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第63讲 随机抽样、统计图表--2025高考一轮单元综合复习与测试卷
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这是一份第63讲 随机抽样、统计图表--2025高考一轮单元综合复习与测试卷，文件包含第63讲随机抽样统计图表原卷版docx、第63讲随机抽样统计图表解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共17页， 欢迎下载使用。
1.简单随机抽样
(1)简单随机抽样
分为放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样.除非特殊声明，本章简单随机抽样指不放回简单随机抽样.
(2)简单随机样本
通过简单随机抽样获得的样本称为简单随机样本.
(3)简单随机抽样的常用方法
实现简单随机抽样的方法很多，抽签法和随机数法是比较常用的两种方法.
2.总体平均数与样本平均数
3.分层随机抽样
(1)分层随机抽样的概念
一般地，按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体，每个个体属于且仅属于一个子总体，在每个子总体中独立地进行简单随机抽样，再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本，这样的抽样方法称为分层随机抽样，每一个子总体称为层.
(2)分层随机抽样的平均数计算
在分层随机抽样中，以层数是2层为例，如果第1层和第2层包含的个体数分别为M和N，抽取的样本量分别为m和n，第1层和第2层的样本平均数分别为eq \(x,\s\up6(－))，eq \(y,\s\up6(－))，样本平均数为eq \(w,\s\up6(－))，则eq \(w,\s\up6(－))＝eq \f(M,M＋N)eq \(x,\s\up6(－))＋eq \f(N,M＋N)eq \(y,\s\up6(－))＝eq \f(m,m＋n)eq \(x,\s\up6(－))＋eq \f(n,m＋n)eq \(y,\s\up6(－)).
我们可以用样本平均数eq \(w,\s\up6(－))估计总体平均数eq \(W,\s\up6(－)).
4.统计图表
(1)常见的统计图表有条形图、扇形图、折线图、频数分布直方图、频率分布直方图等.
(2)频率分布表、频率分布直方图的制作步骤及意义
考点1 简单的随机抽样
[名师点睛]
1.简单随机抽样需满足：(1)被抽取的样本总体的个体数有限；(2)逐个抽取；(3)是不放回抽取；(4)是等可能抽取.
2.简单随机抽样常有抽签法(适用于总体中个体数较少的情况)、随机数法(适用于个体数较多的情况).
[典例]
1.下列抽样方法是简单随机抽样的是( )
A.质检员从50个零件中一次性抽取5个做质量检验
B.“隔空不隔爱，停课不停学”，网课上，李老师对全班45名学生中点名表扬了3名发言积极的
C.老师要求学生从实数集中逐个抽取10个分析奇偶性
D.某运动员从8条跑道中随机抽取一条跑道试跑
2.用简单随机抽样的方法从含有10个个体的总体中，抽取一个样本量为3的样本，其中某一个体a“第一次被抽到”的可能性与“第二次被抽到”的可能性分别是( )
A.eq \f(1,10)，eq \f(1,10) B.eq \f(3,10)，eq \f(1,5) C.eq \f(1,5)，eq \f(3,10) D.eq \f(3,10)，eq \f(3,10)
[举一反三]
(多选)(2022·郑州模拟)要考察某种品牌的850颗种子的发芽率，利用随机数表法抽取50颗种子进行实验.先将850颗种子按001，002，…，850进行编号，如果从随机数表第2行第2列的数开始并向右读，下列选项中属于最先检验的4颗种子中一个的是________(下面抽取了随机数表第1行至第3行).( )
03 47 43 73 86 36 96 47 36 61 46 98 63 71 62 33 26 16 80 45 60 11 14 10 95
97 74 94 67 74 42 81 14 57 20 42 53 32 37 32 27 07 36 07 51 24 51 79 89 73
16 76 62 27 66 56 50 26 71 07 32 90 79 78 53 13 55 38 58 59 88 97 54 14 10
A.774 B.946 C.428 D.572
考点2 分层随机抽样及其应用
[名师点睛]
1.求某层应抽个体数量：按该层所占总体的比例计算.
2.已知某层个体数量，求总体数量或反之求解：根据分层随机抽样就是按比例抽样，列比例式进行计算.
3.在分层随机抽样中，如果第一层的样本量为m，平均值为x；第二层的样本量为n，平均值为y，则样本的平均值为eq \f(mx＋ny,m＋n).
[典例]
1.我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息、住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除．某单位老年、中年、青年员工分别有80人、100人、120人，现采用分层随机抽样的方法，从该单位上述员工中抽取30人调查专项附加扣除的享受情况，则应该从青年员工中抽取的人数为( )
A．8 B．10 C．12 D．18
2.记样本x1，x2，…，xm的平均数为eq \(x,\s\up6(－))，样本y1，y2，…，yn的平均数为eq \(y,\s\up6(－)) (eq \(x,\s\up6(－))≠eq \(y,\s\up6(－))).若样本x1，x2，…，xm，y1，y2，…，yn的平均数为eq \(z,\s\up6(－))＝eq \f(1,4)eq \(x,\s\up6(－))＋eq \f(3,4)eq \(y,\s\up6(－))，则eq \f(m,n)的值为( )
A.3 B.4 C.eq \f(1,4) D.eq \f(1,3)
[举一反三]
(2022·重庆调研)甲、乙两套设备生产的同类型产品共4 800件，采用分层随机抽样的方法从中抽取一个样本量为80的样本进行质量检测.若样本中有50件产品由甲设备生产，则乙设备生产的产品总数为________件.
考点3 统计图表
[名师点睛]
统计图表的主要应用
扇形图：直观描述各类数据占总数的比例；
折线图：描述数据随时间的变化趋势；
条形图和直方图：直观描述不同类别或分组数据的频数和频率．
[典例]
1.(2022·蚌埠质检)自中华人民共和国成立以来，我国共进行了七次全国人口普査，下图为我国历次全国人口普査人口性别构成及总人口性别比(以女性为100，男性对女性的比例)统计图，则下列说法错误的是( )
A．近三次全国人口普查总人口性别比呈递减趋势
B．我国历次全国人口普查总人口数呈逐次递增
C．第五次全国人口普查时，我国总人口数已经突破12亿
D．第七次人口普查时，我国总人口性别比最高
2.(多选)(2022·宁德模拟)调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90后从事互联网行业岗位分布条形图，则下列选项中正确的是( )
注：90后指1990年及以后出生，80后指1980－1989年之间出生，80前指1979年及以前出生.
A．互联网行业中从事技术和运营岗位的人数占总人数的三成以上
B．互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20%
C．互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80前多
D．互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多
3.(2022·南昌调研)从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50度至350度之间，频率分布直方图如图.
(1)直方图中x的值为________；
(2)在这些用户中，月用电量落在区间[100，250)内的户数为________.
[举一反三]
1.(2022·邯郸模拟)构建德智体美劳全面培养的教育体系是我国教育一直以来努力的方向．某中学积极响应党的号召，开展各项有益于德智体美劳全面发展的活动．如图所示的是该校高三(1)、(2)班两个班级在某次活动中的德智体美劳的评价得分对照图(得分越高，说明该项教育越好)．下列说法正确的是( )
A．高三(2)班五项评价得分的极差为1.5
B．除体育外，高三(1)班的各项评价得分均高于高三(2)班对应的得分
C．高三(1)班五项评价得分的平均数比高三(2)班五项评价得分的平均数要高
D．各项评价得分中，这两个班的体育得分相差最大
2.(2022·铁岭模拟)某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例．得到扇形统计图如图所示，
则下面结论中不正确的是( )
A．新农村建设后，种植收入略有增加
B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上
C．新农村建设后，养殖收入不变
D．新农村建设后，种植收入在经济收入中所占比重大幅下降
3.(多选) (2020·新高考全国Ⅱ卷)我国新冠肺炎疫情防控进入常态化，各地有序推进复工复产，下面是某地连续11天复工复产指数折线图，下列说法正确的是( )
A.这11天复工指数和复产指数均逐日增加
B.这11天期间，复产指数增量大于复工指数的增量
C.第3天至第11天复工复产指数均增大都超过80%
D.第9天至第11天复产指数增量大于复工指数的增量
4.某网络研发公司为解决各种技术问题成立了一个专业技术研发团队，该团队中数学专业毕业与物理专业毕业的人数之比为2∶1，按分层随机抽样的方法从团队中随机抽取了60人进行问卷调查．进行统计后将这60人按数学专业、物理专业分为两组，再将每组人员每天使用某设备进行测试的时间(单位：分钟)分为[0,10)，[10,20)，[20,30)，[30,40)，[40,50]5组，得到如图所示的频率分布直方图(假设所抽取的人员每天使用某设备进行测试的时间均不超过50分钟)．
(1)求出数学专业频率分布直方图中a的值；
(2)求抽取的60人中每天使用某设备进行测试的时间不少于30分钟的人数．名称
定义
总体均值
(总体平均数)
一般地，总体中有N个个体，它们的变量值分别为Y1，Y2，…，YN，则称eq \(Y,\s\up6(－))＝eq \f(Y1＋Y2＋…＋YN,N)＝eq \f(1,N)eq \(∑,\s\up11(N),\s\d4(i＝1))Yi为总体均值，又称总体平均数.
如果总体的N个变量值中，不同的值共有k(k≤N)个，不妨记为Y1，Y2，…，Yk，其中Yi出现的频数fi(i＝1，2，…，k)，则总体均值还可以写成加权平均数的形式eq \(Y,\s\up6(－))＝eq \f(1,N)eq \(∑,\s\up11(k),\s\d4(i＝1))fiYi.
样本均值(样本平均数)
如果从总体中抽取一个容量为n的样本，它们的变量值分别为y1，y2，…，yn，则称eq \(y,\s\up6(－))＝eq \f(y1＋y2＋…＋yn,n)＝eq \f(1,n)eq \(∑,\s\up11(n),\s\d4(i＝1))yi为样本均值，又称样本平均数.
说明：(1)在简单随机抽样中，我们常用样本平均数eq \(y,\s\up6(－))去估计总体平均数eq \(Y,\s\up6(－))；
(2)总体平均数是一个确定的数，样本平均数具有随机性(因为样本具有随机性)；
(3)一般情况下，样本量越大，估计越准确.
1.简单随机抽样
(1)简单随机抽样
分为放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样.除非特殊声明，本章简单随机抽样指不放回简单随机抽样.
(2)简单随机样本
通过简单随机抽样获得的样本称为简单随机样本.
(3)简单随机抽样的常用方法
实现简单随机抽样的方法很多，抽签法和随机数法是比较常用的两种方法.
2.总体平均数与样本平均数
3.分层随机抽样
(1)分层随机抽样的概念
一般地，按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体，每个个体属于且仅属于一个子总体，在每个子总体中独立地进行简单随机抽样，再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本，这样的抽样方法称为分层随机抽样，每一个子总体称为层.
(2)分层随机抽样的平均数计算
在分层随机抽样中，以层数是2层为例，如果第1层和第2层包含的个体数分别为M和N，抽取的样本量分别为m和n，第1层和第2层的样本平均数分别为eq \(x,\s\up6(－))，eq \(y,\s\up6(－))，样本平均数为eq \(w,\s\up6(－))，则eq \(w,\s\up6(－))＝eq \f(M,M＋N)eq \(x,\s\up6(－))＋eq \f(N,M＋N)eq \(y,\s\up6(－))＝eq \f(m,m＋n)eq \(x,\s\up6(－))＋eq \f(n,m＋n)eq \(y,\s\up6(－)).
我们可以用样本平均数eq \(w,\s\up6(－))估计总体平均数eq \(W,\s\up6(－)).
4.统计图表
(1)常见的统计图表有条形图、扇形图、折线图、频数分布直方图、频率分布直方图等.
(2)频率分布表、频率分布直方图的制作步骤及意义
考点1 简单的随机抽样
[名师点睛]
1.简单随机抽样需满足：(1)被抽取的样本总体的个体数有限；(2)逐个抽取；(3)是不放回抽取；(4)是等可能抽取.
2.简单随机抽样常有抽签法(适用于总体中个体数较少的情况)、随机数法(适用于个体数较多的情况).
[典例]
1.下列抽样方法是简单随机抽样的是( )
A.质检员从50个零件中一次性抽取5个做质量检验
B.“隔空不隔爱，停课不停学”，网课上，李老师对全班45名学生中点名表扬了3名发言积极的
C.老师要求学生从实数集中逐个抽取10个分析奇偶性
D.某运动员从8条跑道中随机抽取一条跑道试跑
2.用简单随机抽样的方法从含有10个个体的总体中，抽取一个样本量为3的样本，其中某一个体a“第一次被抽到”的可能性与“第二次被抽到”的可能性分别是( )
A.eq \f(1,10)，eq \f(1,10) B.eq \f(3,10)，eq \f(1,5) C.eq \f(1,5)，eq \f(3,10) D.eq \f(3,10)，eq \f(3,10)
[举一反三]
(多选)(2022·郑州模拟)要考察某种品牌的850颗种子的发芽率，利用随机数表法抽取50颗种子进行实验.先将850颗种子按001，002，…，850进行编号，如果从随机数表第2行第2列的数开始并向右读，下列选项中属于最先检验的4颗种子中一个的是________(下面抽取了随机数表第1行至第3行).( )
03 47 43 73 86 36 96 47 36 61 46 98 63 71 62 33 26 16 80 45 60 11 14 10 95
97 74 94 67 74 42 81 14 57 20 42 53 32 37 32 27 07 36 07 51 24 51 79 89 73
16 76 62 27 66 56 50 26 71 07 32 90 79 78 53 13 55 38 58 59 88 97 54 14 10
A.774 B.946 C.428 D.572
考点2 分层随机抽样及其应用
[名师点睛]
1.求某层应抽个体数量：按该层所占总体的比例计算.
2.已知某层个体数量，求总体数量或反之求解：根据分层随机抽样就是按比例抽样，列比例式进行计算.
3.在分层随机抽样中，如果第一层的样本量为m，平均值为x；第二层的样本量为n，平均值为y，则样本的平均值为eq \f(mx＋ny,m＋n).
[典例]
1.我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息、住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除．某单位老年、中年、青年员工分别有80人、100人、120人，现采用分层随机抽样的方法，从该单位上述员工中抽取30人调查专项附加扣除的享受情况，则应该从青年员工中抽取的人数为( )
A．8 B．10 C．12 D．18
2.记样本x1，x2，…，xm的平均数为eq \(x,\s\up6(－))，样本y1，y2，…，yn的平均数为eq \(y,\s\up6(－)) (eq \(x,\s\up6(－))≠eq \(y,\s\up6(－))).若样本x1，x2，…，xm，y1，y2，…，yn的平均数为eq \(z,\s\up6(－))＝eq \f(1,4)eq \(x,\s\up6(－))＋eq \f(3,4)eq \(y,\s\up6(－))，则eq \f(m,n)的值为( )
A.3 B.4 C.eq \f(1,4) D.eq \f(1,3)
[举一反三]
(2022·重庆调研)甲、乙两套设备生产的同类型产品共4 800件，采用分层随机抽样的方法从中抽取一个样本量为80的样本进行质量检测.若样本中有50件产品由甲设备生产，则乙设备生产的产品总数为________件.
考点3 统计图表
[名师点睛]
统计图表的主要应用
扇形图：直观描述各类数据占总数的比例；
折线图：描述数据随时间的变化趋势；
条形图和直方图：直观描述不同类别或分组数据的频数和频率．
[典例]
1.(2022·蚌埠质检)自中华人民共和国成立以来，我国共进行了七次全国人口普査，下图为我国历次全国人口普査人口性别构成及总人口性别比(以女性为100，男性对女性的比例)统计图，则下列说法错误的是( )
A．近三次全国人口普查总人口性别比呈递减趋势
B．我国历次全国人口普查总人口数呈逐次递增
C．第五次全国人口普查时，我国总人口数已经突破12亿
D．第七次人口普查时，我国总人口性别比最高
2.(多选)(2022·宁德模拟)调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90后从事互联网行业岗位分布条形图，则下列选项中正确的是( )
注：90后指1990年及以后出生，80后指1980－1989年之间出生，80前指1979年及以前出生.
A．互联网行业中从事技术和运营岗位的人数占总人数的三成以上
B．互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20%
C．互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80前多
D．互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多
3.(2022·南昌调研)从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50度至350度之间，频率分布直方图如图.
(1)直方图中x的值为________；
(2)在这些用户中，月用电量落在区间[100，250)内的户数为________.
[举一反三]
1.(2022·邯郸模拟)构建德智体美劳全面培养的教育体系是我国教育一直以来努力的方向．某中学积极响应党的号召，开展各项有益于德智体美劳全面发展的活动．如图所示的是该校高三(1)、(2)班两个班级在某次活动中的德智体美劳的评价得分对照图(得分越高，说明该项教育越好)．下列说法正确的是( )
A．高三(2)班五项评价得分的极差为1.5
B．除体育外，高三(1)班的各项评价得分均高于高三(2)班对应的得分
C．高三(1)班五项评价得分的平均数比高三(2)班五项评价得分的平均数要高
D．各项评价得分中，这两个班的体育得分相差最大
2.(2022·铁岭模拟)某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例．得到扇形统计图如图所示，
则下面结论中不正确的是( )
A．新农村建设后，种植收入略有增加
B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上
C．新农村建设后，养殖收入不变
D．新农村建设后，种植收入在经济收入中所占比重大幅下降
3.(多选) (2020·新高考全国Ⅱ卷)我国新冠肺炎疫情防控进入常态化，各地有序推进复工复产，下面是某地连续11天复工复产指数折线图，下列说法正确的是( )
A.这11天复工指数和复产指数均逐日增加
B.这11天期间，复产指数增量大于复工指数的增量
C.第3天至第11天复工复产指数均增大都超过80%
D.第9天至第11天复产指数增量大于复工指数的增量
4.某网络研发公司为解决各种技术问题成立了一个专业技术研发团队，该团队中数学专业毕业与物理专业毕业的人数之比为2∶1，按分层随机抽样的方法从团队中随机抽取了60人进行问卷调查．进行统计后将这60人按数学专业、物理专业分为两组，再将每组人员每天使用某设备进行测试的时间(单位：分钟)分为[0,10)，[10,20)，[20,30)，[30,40)，[40,50]5组，得到如图所示的频率分布直方图(假设所抽取的人员每天使用某设备进行测试的时间均不超过50分钟)．
(1)求出数学专业频率分布直方图中a的值；
(2)求抽取的60人中每天使用某设备进行测试的时间不少于30分钟的人数．名称
定义
总体均值
(总体平均数)
一般地，总体中有N个个体，它们的变量值分别为Y1，Y2，…，YN，则称eq \(Y,\s\up6(－))＝eq \f(Y1＋Y2＋…＋YN,N)＝eq \f(1,N)eq \(∑,\s\up11(N),\s\d4(i＝1))Yi为总体均值，又称总体平均数.
如果总体的N个变量值中，不同的值共有k(k≤N)个，不妨记为Y1，Y2，…，Yk，其中Yi出现的频数fi(i＝1，2，…，k)，则总体均值还可以写成加权平均数的形式eq \(Y,\s\up6(－))＝eq \f(1,N)eq \(∑,\s\up11(k),\s\d4(i＝1))fiYi.
样本均值(样本平均数)
如果从总体中抽取一个容量为n的样本，它们的变量值分别为y1，y2，…，yn，则称eq \(y,\s\up6(－))＝eq \f(y1＋y2＋…＋yn,n)＝eq \f(1,n)eq \(∑,\s\up11(n),\s\d4(i＝1))yi为样本均值，又称样本平均数.
说明：(1)在简单随机抽样中，我们常用样本平均数eq \(y,\s\up6(－))去估计总体平均数eq \(Y,\s\up6(－))；
(2)总体平均数是一个确定的数，样本平均数具有随机性(因为样本具有随机性)；
(3)一般情况下，样本量越大，估计越准确.
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