2024年数学高考大一轮复习第十章 §10.5　列联表与独立性检验（附答单独案解析）

§10.5　列联表与独立性检验

考试要求　1.通过实例，理解2×2列联表的统计意义.2.通过实例，了解独立性检验及其应用．

知识梳理

1．分类变量：变量的不同“值”表示个体所属的不同类别，像这样的变量称为分类变量．

2．列联表：列出的两个分类变量的频数表，称为列联表．一般地，假设有两个分类变量X和Y，它们的取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其样本频数列联表(称为2×2列联表)为

构造一个随机变量K2＝________________，其中n＝a＋b＋c＋d为样本容量．

3．独立性检验：利用随机变量________来判断“两个分类变量有关系”的方法称为独立性检验．

思考辨析

判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)2×2列联表中的数据是两个分类变量的频数．(　　)

(2)两个分类变量的独立性检验无关，即两个分类变量互不影响．(　　)

(3)K2的大小是判断两个分类变量是否相关的统计量．(　　)

(4)在2×2列联表中，若|ad－bc|越小，则说明两个分类变量之间的关系越强．(　　)

教材改编题

1．某机构为调查网游爱好者是否有性别差异，通过调研数据统计：在500名男生中有200名爱玩网游，在400名女生中有50名爱玩网游．若要确定网游爱好是否与性别有关时，下列最适合的统计方法是(　　)

A．均值   B．方差

C．独立性检验   D．回归分析

2．如表是2×2列联表，则表中a，b的值分别为(　　)

A.27,38   B．28,38

C．27,37   D．28,37

3．已知P(K2≥6.635)＝0.01，P(K2≥10.828)＝0.001.在检验喜欢某项体育运动是否与性别有关的过程中，某研究员搜集数据并计算得到K2＝7.235，则有________的把握认为喜欢该项体育运动与性别有关．

题型一　列联表与K2的计算

例1 (1)为了解某大学的学生是否喜欢体育锻炼，用简单随机抽样方法在校园内调查了120位学生，得到如下2×2列联表：

则a－b－c等于(　　)

A．7  B．8  C．9  D．10

(2)为加强素质教育，使学生各方面全面发展，某学校对学生文化课与体育课的成绩进行了调查统计，结果如表：

在对体育课成绩与文化课成绩进行独立性检验时，根据以上数据可得到K2的值约等于(　　)

A．1.255   B．38.214

C．0.003 7   D．2.058

听课记录：_______________________________________________________________________

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思维升华 2×2列联表是4行4列，计算时要准确无误，关键是对涉及的变量分清类别．

跟踪训练1 某次国际会议为了搞好对外宣传工作，会务组选聘了50名记者担任对外翻译工作，在如表“性别与会外语”的2×2列联表中，a＋b＋d＝________.

题型二　列联表与独立性检验

例2 (12分)(2022·全国甲卷)甲、乙两城之间的长途客车均由A和B两家公司运营．为了解这两家公司长途客车的运行情况，随机调查了甲、乙两城之间的500个班次，得到下面列联表：

(1)根据上表，分别估计这两家公司在甲、乙两城之间长途客车准点的概率；[切入点：古典概型]

(2)能否有90%的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关？[关键点：K2的计算比较]

思维升华 独立性检验的一般步骤

(1)根据样本数据制成2×2列联表．

(2)计算K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.

(3)比较K2与临界值的大小关系，作统计推断．

跟踪训练2 为了减少自身消费的碳排放，“绿色消费”等绿色生活方式渐成风尚．为获得不同年龄段的人对“绿色消费”意义的认知情况，某地研究机构将“90后与00后”作为A组，将“70后与80后”作为B组，并从A，B两组中各随机选取了100人进行问卷调查，整理数据后获得如下列联表：

单位：人

附：K2＝，n＝a＋b＋c＋d.

(1)若从样本内知晓“绿色消费”意义的120人中用分层抽样的方法随机抽取16人，应在A组、B组中各抽取多少人？

(2)能否有99.9%的把握认为对“绿色消费”意义的认知情况与年龄有关？

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题型三　独立性检验的综合应用

例3 体育运动是强身健体的重要途径，《中国儿童青少年体育健康促进行动方案(2020－2030)》(下面简称“体育健康促进行动方案”)中明确提出青少年学生每天在校内参与不少于60分钟的中高强度身体活动的要求．随着“体育健康促进行动方案”的发布，体育运动受到各地中小学的高度重视，众多青少年的体质健康得到很大的改善．某中学教师为了了解体育运动对学生的数学成绩的影响情况，现从该中学高三年级的一次月考中随机抽取1 000名学生，调查他们平均每天的体育运动情况以及本次月考的数学成绩(单位：分)情况，得到如表数据：

约定：平均每天进行体育运动的时间不少于60分钟的为“运动达标”，数学成绩排在年级前50%以内(含50%)的为“数学成绩达标”．

(1)请估计该中学高三年级本次月考数学成绩的平均分(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；

(2)完成2×2列联表，并判断能否有99.9%的把握认为“数学成绩达标”与“运动达标”有关．

单位：人

附：K2＝，n＝a＋b＋c＋d.

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思维升华 独立性检验的考查，往往与概率和抽样统计图等一起考查，这类问题的求解往往按各小题及提问的顺序，一步步进行下去，是比较容易解答的，考查单纯的独立性检验往往用小题的形式，而且K2的公式一般会在原题中给出．

跟踪训练3 某奶茶品牌公司计划在W市某区开设加盟分店，为了确定在该区开设分店的个数，该公司对该市已开设分店的5个区域的数据作了初步处理后得到下列表格，记x表示在5个区域开设分店的个数，y表示这x个分店的年收入之和．

参考公式：＝，＝－；

K2＝，n＝a＋b＋c＋d.

临界值表：

(1)该公司经过初步判断，可用线性回归模型拟合y与x的关系，求y关于x的线性回归方程；

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(2)如果该公司最终决定在该区选择两个合适的地段各开设一个分店，根据市场调查得到如下统计数据，分店一每天的顾客平均为30人，其中5人会购买该品牌奶茶，分店二每天的顾客平均为80人，其中20人会购买该品牌奶茶．根据列联表判断是否有90%的把握认为顾客下单与分店所在地段有关．

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