2023-2024学年四川省成都市青羊区石室金沙中学九年级（上）开学数学试卷（含解析）

2023-2024学年四川省成都市青羊区石室金沙中学九年级（上）开学数学试卷

一、选择题（本题共8小题，共32分）

.下列图形中，是中心对称图形的是(    )

A.  B.
C.  D.

2.若，则下列式子正确的是
(    )

A.  B.  C.  D.

3.多项式与多项式的公因式是(    )

A.  B.  C.  D.

4.一元二次方程的根的情况是(    )

A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 只有一个实数根 D. 没有实数根

5.将一次函数的图象向下平移个单位，得到新的图象的函数解析式为(    )

A.  B.  C.  D.

6.下列命题错误的是(    )

A. 一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形
B. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
C. 对角线相等的平行四边形是矩形
D. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形

7.如图，将等边沿直线平移到，使点与点重合，连接，若，则的长为
(    )
 

A.  B.  C.  D.

8.如图，直线和直线相交于点则不等式组的解集为
(    )

 

A.  B.  C.  D. 或

二、填空题（本题共10小题，共40分）

9.因式分解：        ．

10.若分式的值为，则的值为______ ；若，则 ______ ．

11.如图，已知是的斜边上的高，其中，，那么等于______ ．

12.如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，在重叠部分构成的四边形中，若，，则的长为______．

13.如图，在▱中，按以下步骤作图：以为圆心，以适当长为半径画弧，分别交，于，两点；分别以，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在的内部交于点；连接并延长交于点若，，，则的周长等于          ．

14.若关于的分式方程有增根，则的值为______ ．

15.已知关于的方程的两实根的平方和等于，则的值为______．

16.如图，在中，，点，分别是边，的中点，延长至，使，若，则线段的长为______．

17.如图，在中，，，为边上一点，且，是边上一动点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到，若恰好在边上，则的长为______．

18.如图，将菱形放置于平面直角坐标系中，边与轴正半轴重合，为边的中点，点，，分别在边，与上，若，，则当四边形为菱形时，点的坐标为______．

三、解答题（本题共8小题，共78分）

19.解方程：
；
．

20.解不等式组：．
化简求值：，其中．

21.如图，方格纸中每个小正方形的边长都是个单位长度，的三个顶点分别为，，．
画，使它与关于点成中心对称；
平移，使点的对应点坐标为，画出平移后对应的；
若将绕点旋转可得到，请直接写出旋转中心的坐标．

22.水果店小明先用元购进一批葡萄，供不应求，又用元购进第二批这种葡萄，第二批这种葡萄的数量是第一批这种葡萄数量的倍，但单价比第一批贵元斤．
第一批葡萄的进货单价是多少元斤？
若两批购进的葡萄都按同一价格销售，两批葡萄全部售完后，获利不少于元，那么葡萄的销售单价至少为多少元斤？

23.如图，为正方形的边上一点，为边延长线上一点，且．

求证：；

如图，若点为边上一点，且，的周长为，求四边形的面积；

如图，在的条件下，与交于点，连接且，求的长．

24.某地区年投入教育经费万元，年投入教育经费万元．
求年至年该地区投入教育经费的年平均增长率；
按照义务教育法规定，教育经费的投入不低于国民生产总值的百分之四，结合该地区国民生产总值的增长情况，该地区到年需投入教育经费万元，如果按中教育经费投入的增长率，到年该地区投入的教育经费是否能达到万元？请说明理由．
参考数据：，，，

25.如图，在矩形中，，，将矩形绕点逆时针旋转得到矩形．

如图，若在旋转过程中，点落在对角线上，，分别交于点，．
求证：；
求的长；
如图，在旋转过程中，若直线经过线段的中点，连接，，求的面积

26.如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，过点的直线交轴于，且面积为．

求点的坐标及直线的解析式；
如图，设点为线段中点，点为轴上一动点，连接，以为边向右侧作正方形，在点的运动过程中，当顶点落在直线上时，求点的坐标；
如图，若为线段上一点，且满足，点为直线上一动点，在轴上是否存在点，使以点，，，为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、不是中心对称图形，不符合题意；
B、不是中心对称图形，不符合题意；
C、是中心对称图形，不符合题意；
D、不是中心对称图形，不符合题意；
故选：．
根据中心对称图形的概念判断即可．
本题考查的是中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后两部分重合．

2.【答案】 

【解析】解：若，则，故A选项错误；
若，则，故B选项错误；
若，则，故C选项正确；
若，则，故D选项错误；
故选：．
本题主要考查了不等式的基本性质，在不等式的两边都乘以或除以同一个负数时，一定要改变不等号的方向．
本题依据不等式的基本性质进行判断，即可得出结论．

3.【答案】 

【解析】解：，，
与多项式的公因式是，
故选：．
根据公因式定义，对各选项整理然后即可选出有公因式的项．
此题考查的是公因式的定义，找公因式的要点是：公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数；字母取各项都含有的相同字母；相同字母的指数取次数最低的．在提公因式时千万别忘了“”．

4.【答案】 

【解析】解：，，，
，
所以原方程没有实数根．
故选：．
把，，代入进行计算，根据计算结果判断方程根的情况．
本题考查了一元二次方程为常数的根的判别式当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．

5.【答案】 

【解析】解：将一次函数的图象向下平移个单位，那么平移后所得图象的函数解析式为：，
故选：．
直接利用一次函数平移规律，“上加下减”进而得出即可．
此题主要考查了一次函数图象与几何变换，熟练记忆函数平移规律是解题关键．

6.【答案】 

【解析】解：、首先由两直线平行，同旁内角互补及等角的补角相等得出另一组对角相等，然后根据两组对角分别相等的四边形是平行四边形可知是个真命题，正确，不合题意；
B、对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，故此选项错误，符合题意；
C、对角线相等的平行四边形是矩形，正确，不合题意；
D、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，正确，不合题意；
故选：．
分别利用平行四边形的判定方法以及正方形和矩形、菱形的判定方法判断得出即可．
此题主要考查了命题与定理，正确掌握矩形、菱形、正方形的判定方法是解题关键．

7.【答案】 

【解析】【分析】
此题主要考查了平移的性质以及等边三角形的性质，根据题意得出是解决问题的关键．
利用平移的性质得出，、的长，得，，可得结论．
【解答】
解：由平移得：≌，
是等边三角形，且，
，，
，
，
，
中，，
，则，
故选：．

8.【答案】 

【解析】【分析】
本题考查一次函数与一元一次不等式，两直线相交或平行问题等知识，解题的关键是学会利用图象法解决自变量的取值范围问题，属于中考常考题型．直线在轴的上方部分，和直线的图象在直线的图象上方部分对应的自变量的取值范围即为不等式的解集．
【解答】解：直线在轴的上方部分，和直线的图象在直线的图象上方部分对应的自变量的取值范围即为不等式的解集，
观察图象可知：不等式的解集为：，
故选B．

9.【答案】 

【解析】解：原式．
故答案为：．
原式利用平方差公式分解即可．
此题考查了因式分解运用公式法，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．

10.【答案】  或 

【解析】解：由分式值为的条件可得且，
解得：；
，
移项得：，
配方得：，
即，
直接开平方得：，
解得：或；
故答案为：；或．
根据分式值为的条件及配方法解一元二次方程即可求得答案．
本题考查分式值为的条件及配方法解一元二次方程，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．

11.【答案】 

【解析】解：，
∽，
，
，
．
利用∽，对应线段成比例就可以求出．
本题关键在于从相似三角形中找对应比例线段，由相似三角形对应线段成比例来解题．

12.【答案】 

【解析】解：过点作于，于，设、交点为．
两条纸条宽度相同，
．
，，
四边形是平行四边形．
．
又．
，
四边形是菱形；
，，．
．
．
故答案为：．
过点作于，于，设、交点为，首先可判断重叠部分为平行四边形，且两条纸条宽度相同；再由平行四边形的面积可得邻边相等，则重叠部分为菱形．然后依据勾股定理求得的长，从而可得到的长．
本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理以及四边形的面积，证得四边形为菱形是解题的关键．

13.【答案】 

【解析】解：由作图可知，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
是等边三角形，
，
，，
四边形的周长为，
故答案为：．
首先证明是等边三角形，求出，即可解决问题．
本题考查作图复杂作图，平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于常考题型．

14.【答案】解：，
，
，
或，
所以，；
去分母得，
解得，
检验：当时，，则为原方程的解，
所以原方程的解为． 

【解析】先移项得到，再利用因式分解法把方程转化为或，然后解两个一次方程即可；
先去分母把方程化为整式方程，再解整式方程，然后进行检验确定原方程的解．
本题考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了解分式方程．

15.【答案】解：由得到
，
，
由得到，
，
，
；
原式

，
当时，原式． 

【解析】分别求出各个不等式的解集，可得结论；
先计算括号再计算乘法，最后代入求解．
本题考查分式的化简求值，一元一次不等式组等知识，解题的关键是掌握分式的化简求值，掌握不等式组的解法，属于中考常考题型．

16.【答案】解：即为所求．
即为所求．

． 

【解析】分别作出，，的对应点，，即可．
分别求出，，的对应点，，即可．
对应点连线段的垂直平分线的交点即为所求的点．
本题考查作图旋转变换，平移变换等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．

17.【答案】解：设第一批葡萄的进货单价为元斤，则第二批进货单价为元斤，
依题意，得：，
解得：，
经检验，是所列分式方程的解，且符合题意．
答：第一批葡萄的进货单价为元斤．

第一批购进数量为斤，
第二批购进数量为斤．
设葡萄的销售单价为元斤，
依题意，得：，
解得：．
答：葡萄的销售单价至少为元斤． 

【解析】设第一批葡萄的进货单价为元斤，则第二批进货单价为元斤，根据数量总价单价结合第二批这种葡萄的数量是第一批这种葡萄数量的倍，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
利用数量总价单价可求出第一批购进数量，结合第二批的数量是第一批的倍可求出第二批购进数量，设销售单价为元斤，根据利润销售收入成本，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论．
本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．

18.【答案】证明：四边形是正方形，
，，
在和中，
，
≌
，
，
，即，
；
解：，，
，
，
的周长为，
，
，
，
，
，
，
≌
；
过点作交的延长线于点，

，，
垂直平分，
，
，，
，即，
在四边形中，，，
，
在和中，
，
≌
，，
在中，，
，
，，
在中，设，则，
由勾股定理得，
解得：，
． 

【解析】本题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、正方形的性质是解题的关键．
证明≌，根据全等三角形的性质得到，根据垂直的定义证明；
根据三角形的外角的性质、等腰三角形的判定定理得到，根据三角形的周长公式求出，根据正方形的面积公式计算；
作交的延长线于点，证明≌，得到，，根据勾股定理列方程求出，计算即可．

19.【答案】 

【解析】解：分式方程去分母得：，
解得：，
由分式方程有增根，得到，即，
，
解得：．
故答案为：．
分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，得到，求出的值，代入整式方程即可求出的值．
此题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：让最简公分母为确定增根；化分式方程为整式方程；把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．

20.【答案】 

【解析】解：设方程两根为，
得，，
，
，
，
，
，
解得或；
，
故答案为：．
由题意设方程两根为，，得，，然后再根据两实根的平方和等于，从而解出值．
此题应用一元二次方程根与系数的关系解题，利用两根的和与两根的积表示两根的平方和，把求未知系数的问题转化为解方程的问题．

21.【答案】 

【解析】解：点，分别是边，的中点，
，，
，
，又，
四边形为平行四边形，
，
，点是边的中点，
，
故答案为：．
根据三角形中位线定理得到，，根据平行四边形的性质求出，根据直角三角形的性质计算即可．
本题考查的是直角三角形的性质、三角形中位线定理，掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．

22.【答案】 

【解析】解：如图，延长到，使，连接，
，，
，，
，
又，
，
在和中，
，
≌
，，
，
，
设，则，由得：
，
解得，不合题意舍去，
，
，
故答案为：．
由，可知，又有，联想一线三等角模型，延长到，使，得≌，进而可得，，由于，即可得是直角三角形，易求，由即可解题．
本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了全等三角形的判定与性质和等腰直角三角形的性质．本题解题关键是通过一线三等角模型构造全等三角形，从而得到．

23.【答案】 

【解析】解：过作于，交的延长线于，连接、，交于点，

四边形是菱形，
，
，
，，
≌，
，
，
，
中，，
，
，，
，
四边形是菱形，
，，，
≌，
，
，，
四边形为矩形，
，，
，，，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
故答案为：
作辅助线，构建全等三角形，证明≌，得，由中点得，根据直角三角形度角的性质和勾股定理得：，，所以，证明，根据菱形的对角线互相垂直平分得：的长，从而得的长，可得结论．
本题考查坐标与图形的性质、菱形的性质、全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．

24.【答案】解：设增长率为，根据题意年为万元，年为万元．
则，
解得，或不合题意舍去．
答：这两年投入教育经费的平均增长率为．
年该地区投入的教育经费是万元．
，
答：按中教育经费投入的增长率，到年该地区投入的教育经费不能达到万元． 

【解析】一般用增长后的量增长前的量增长率，年要投入教育经费是万元，在年的基础上再增长，就是年的教育经费数额，即可列出方程求解．
利用中求得的增长率来求年该地区将投入教育经费．
本题考查了一元二次方程中增长率的知识．增长前的量年平均增长率增长后的量．

25.【答案】证明：四边形是矩形，
，
，
由旋转的性质得：，
，
；
解：设，则，
在中，，
解得：，
在中，，
，
，
，
又，
，
；
解：分情况讨论：
如图所示：过点作于，则，
在和中，，
≌，
，，
在中，，
，
，
的面积的面积；
如图所示：同得：，，
，
的面积的面积；
综上所述，的面积为或． 

【解析】由矩形的性质得出，得出，由旋转的性质得：，证出，即可得出；
设，则，在中，由勾股定理得出方程，解得：，在中，由勾股定理得出，得出，证出，得出即可；
分情况讨论：过点作于，证明≌，得出，，在中，由勾股定理得出，得出，得出，得出的面积的面积；
同得：，，得出，得出的面积的面积即可．
本题是四边形综合题目，考查了矩形的性质、旋转变换的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、勾股定理、三角形面积、分类讨论等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形全等是解题的关键．

26.【答案】解：直线与轴交于点，与轴交于点，
，，
，，
，
，
，
，
设直线的解析式为，则有
．
直线的解析式为．

，，，
，
设，
当时，如图中，点落在上时，过作直线平行于轴，过点，作该直线的垂线，垂足分别为，．

四边形是正方形，易证，
，，
，
点在直线上，
，
，

当时，如图中，同法可得，

点在直线上，
，
，
．
综上所述，满足条件的点坐标为或．

存在点，点的坐标为或或． 

【解析】见答案．
见答案．
如图中，设，

，
，
，
，
，
直线的解析式为，
作交直线于，此时，
当时，可得四边形，四边形是平行四边形，可得，，
根据对称性可得点关于点的对称点也符合条件，
综上所述，满足条件的点的坐标为或或．

本题考查坐标与图形性质，一次函数与坐标轴的交点，待定系数法求一次函数解析式，正方形的性质，平行四边形的判定，面积法，
利用三角形的面积公式求出点坐标，再利用待定系数法即可解决问题．
分两种情形：当时，如图中，点落在上时，过作直线平行于轴，过点，作该直线的垂线，垂足分别为，求出当时，如图中，同法可得，利用待定系数法即可解决问题．
利用三角形的面积公式求出点的坐标，求出直线的解析式，作交直线于，此时，当时，可得四边形，四边形是平行四边形，可得，，再根据对称性可得解决问题．