2020-2021学年四川省成都市青羊区石室联中陕西街校区九年级（下）开学数学试卷

这是一份2020-2021学年四川省成都市青羊区石室联中陕西街校区九年级（下）开学数学试卷，共35页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）9的平方根是（ ）
A．﹣3B．3C．﹣3或3D．81
2．（3分）舌尖上的浪费让人触目惊心，据统计中国每年浪费的食物总量折合粮食约567.8亿千克，这个数用科学记数法应表示为（ ）
A．5.678×1011B．56.78×1010
C．0.5678×1011D．5.678×1010
3．（3分）下列四个立体图形中，其主视图是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
4．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．a2+a3＝a5B．3﹣2＝1C．（x2）3＝x5D．m5÷m3＝m2
5．（3分）下列说法正确的是（ ）
A．“打开电视机，正在播放《达州新闻》”是必然事件
B．天气预报“明天降水概率50%”是指明天有一半的时间会下雨”
C．甲、乙两人在相同的条件下各射击10次，他们成绩的平均数相同，方差分别是S甲2＝0.3，S乙2＝0.4，则甲的成绩更稳定
D．数据6，6，7，7，8的中位数与众数均为7
6．（3分）解分式方程﹣3＝时，去分母可得（ ）
A．1﹣3（x﹣2）＝4B．1﹣3（x﹣2）＝﹣4
C．﹣1﹣3（2﹣x）＝﹣4D．1﹣3（2﹣x）＝4
7．（3分）如图，在△ABC中，点E和点F分别在边AB，且EF∥BC，若AE＝3，BC＝9，则EF的长为（ ）
A．1B．C．D．3
8．（3分）如图，点B，C，D在⊙O上，则∠BOD的度数是（ ）
A．50°B．60°C．80°D．100°
9．（3分）在反比例函数y＝中有三点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），已知x1＜x2＜0＜x3，则y1，y2，y3的大小关系为（ ）
A．y1＜y2＜y3B．y2＜y1＜y3C．y3＜y2＜y1D．y3＜y1＜y2
10．（3分）在同一平面直角坐标系中，函数y＝mx+m和y＝﹣mx2+2x+2（m是常数，且m≠0）的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）
11．（4分）因式分解：3a2﹣6a+3＝ ．
12．（4分）已知一次函数y＝（k﹣3）x+1的图象经过第一、二、四象限，则k的取值范围是 ．
13．（4分）如图，直线AB∥CD，直线EF与AB、CD相交于点E、F，则∠2＝ ．
14．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，按以下步骤作图：①以A为圆心，分别交AB，AD于点M，N，N为圆心，以大于，两弧相交于点P；③作AP射线，若DQ＝2QC，BC＝3 ．
三、解答题（本大题共6小题，共54分）
15．（10分）解答．
（1）sin30°+（2021﹣）0﹣2﹣1+|﹣4|．
（2）解不等式组：．
16．（10分）解答下列各题．
（1）化简求值：（+）÷，其中x＝+1．
（2）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+a＝0的两个实数根x1，x2满足x1x2+x1+x2＞0，求a的取值范围．
17．（8分）在综合实践课上王老师带领大家利用所学的知识了解某广告牌的高度，已知CD＝3m，经测量，其中∠CAH＝30°，∠DBH＝60°
18．（8分）疫情期间，我市积极开展“停课不停学”线上教学活动，并通过电视、手机APP等平台进行教学视频推送．某校随机抽取部分学生进行线上学习效果自我评价的调查（学习效果分为：A．效果很好；B．效果较好；C．效果一般；D．效果不理想）
（1）此次调查中，共抽查了 名学生；
（2）补全条形统计图，并求出扇形统计图中∠α的度数；
（3）某班4人学习小组，甲、乙2人认为效果很好，丙认为效果较好，则“1人认为效果很好，1人认为效果较好”的概率是多少？（要求画树状图或列表求概率）
19．（9分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知正比例函数y＝﹣2x的图象与反比例函数y＝（k＜0）（a，6），B两点．
（1）求反比例函数的表达式和点B的坐标；
（2）若点M是第四象限内反比例函数图象上一点，过点M作x轴的平行线，交直线AB于点N，求点N的坐标．
20．（9分）如图，BC是⊙O的直径，AD是⊙O的弦，连接AB，CD，垂足为F，∠AEF＝∠D．
（1）求证：AD⊥BC；
（2）点G在BC的延长线上，连接AG，∠DAG＝2∠D．
①求证：AG与⊙O相切；
②当，CE＝4时，直接写出CG的长．
四、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）
21．（4分）若实数a满足＝a﹣1，且0＜a＜ ．
22．（4分）在平面直角坐标中，△ABC的顶点坐标分别是A（1，1），B（4，2），C（3，5），以点A为位似中心，得到△AB1C1，则点C的对应点C1的坐标为 ．
23．（4分）现有牌面编码为﹣1，1，2的三张卡片，背面向上，记其数字为k，将抽到的卡片背面朝上，再抽一张记其数字为m，则事件“关于a、b的方程组，且二次函数y＝x2﹣2x+m的图象与x轴恰有2个交点”成立的概率为 ．
24．（4分）如图，正方形ABCD的边长为4cm，动点E、F分别从点A、C同时出发，当点E到达点B时，运动停止，垂足为点G，连接AG cm．
25．（4分）如图，点C在以AB为直径的半圆上，AB＝10，点D在线段AB上运动，点E与点D关于AC对称，并交EC的延长线于点F．有下列结论：①CE＝CF；②线段EF的最小值为5，EF与半圆相切；④若点F恰好落在弧BC上；⑤当点D从点A运动到点B时，线段EF扫过的面积是25 ．
五、解答题（本大题共3小题，共30分）
26．（10分）2020年，新型冠状病毒肆虐，给人们的生活带来许多不便，销售当地农产品．其中一种当地特产在网上试销售，其成本为每千克2元．公司在试销售期间，每天销售量y（kg）与销售单价x（元）（其中2＜x≤10）．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）销售单价x为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
27．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点D是BC边上一动点，连接AD，得到AE，连接CE，连接CF．
（1）求证：CF＝AD；
（2）如图2所示，在点D运动的过程中，当BD＝2CD时，BA，相交于点G，并证明你猜想的结论；
（3）在点D运动的过程中，在线段AD上存在一点P，使PA+PB+PC的值最小．当PA+PB+PC的值取得最小值时，请直接用含m的式子表示CE的长．
28．（10分）如图1，抛物线y＝ax2+（a+3）x+3（a≠0）与x轴交于点A（4，0），在x轴上有一动点E（m，0）（0＜m＜4），过点E作x轴的垂线交直线AB于点N，过点P作PM⊥AB于点M．
（1）求a的值和直线AB的函数表达式；
（2）设△PMN的周长为C1，△AEN的周长为C2，若＝，求m的值；
（3）如图2，在（2）条件下，将线段OE绕点O逆时针旋转得到OE'（0°＜α＜90°），连接E'A、E'B，求E'A+
2020-2021学年四川省成都市青羊区石室联中陕西街校区九年级（下）开学数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）9的平方根是（ ）
A．﹣3B．3C．﹣3或3D．81
【分析】直接根据平方根的定义进行解答即可．
【解答】解：∵（±3）2＝8，
∴9的平方根是±3．
故选：C．
2．（3分）舌尖上的浪费让人触目惊心，据统计中国每年浪费的食物总量折合粮食约567.8亿千克，这个数用科学记数法应表示为（ ）
A．5.678×1011B．56.78×1010
C．0.5678×1011D．5.678×1010
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，据此判断即可．
【解答】解：567.8亿＝56780000000＝5.678×1010．
故选：D．
3．（3分）下列四个立体图形中，其主视图是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据从正面看得到的图形是主视图以及轴对称图形、中心对称图形的概念，可得答案．
【解答】解：A、主视图是正方形，又是中心对称图形；
B、主视图是长方形，又是中心对称图形；
C、主视图是等腰三角形，不是中心对称图形；
D、主视图是圆，又是中心对称图形．
故选：C．
4．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．a2+a3＝a5B．3﹣2＝1C．（x2）3＝x5D．m5÷m3＝m2
【分析】直接利用合并同类项法则以及幂的乘方运算法则、同底数幂的乘除运算法则分别计算得出答案．
【解答】解：A、a2+a3，无法计算，故此选项错误；
B、2﹣2＝；
C、（x2）8＝x6，故此选项错误；
D、m5÷m2＝m2，正确．
故选：D．
5．（3分）下列说法正确的是（ ）
A．“打开电视机，正在播放《达州新闻》”是必然事件
B．天气预报“明天降水概率50%”是指明天有一半的时间会下雨”
C．甲、乙两人在相同的条件下各射击10次，他们成绩的平均数相同，方差分别是S甲2＝0.3，S乙2＝0.4，则甲的成绩更稳定
D．数据6，6，7，7，8的中位数与众数均为7
【分析】直接利用随机事件以及众数、中位数的定义以及方差的定义分别分析得出答案．
【解答】解：A、打开电视机，故此选项错误；
B、天气预报“明天降水概率50%，故此选项错误；
C、甲、乙两人在相同的条件下各射击10次，方差分别是S2＝0.4，S2＝0.7，则甲的成绩更稳定；
D、数据6，6，5，7，众数为：6和8；
故选：C．
6．（3分）解分式方程﹣3＝时，去分母可得（ ）
A．1﹣3（x﹣2）＝4B．1﹣3（x﹣2）＝﹣4
C．﹣1﹣3（2﹣x）＝﹣4D．1﹣3（2﹣x）＝4
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，即可作出判断．
【解答】解：去分母得：1﹣3（x﹣2）＝﹣4，
故选：B．
7．（3分）如图，在△ABC中，点E和点F分别在边AB，且EF∥BC，若AE＝3，BC＝9，则EF的长为（ ）
A．1B．C．D．3
【分析】证明△AEF∽△ABC，根据相似三角形的性质列出比例式，代入计算得到答案．
【解答】解：∵EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∴＝，即＝，
解得，EF＝3，
故选：D．
8．（3分）如图，点B，C，D在⊙O上，则∠BOD的度数是（ ）
A．50°B．60°C．80°D．100°
【分析】首先圆上取一点A，连接AB，AD，根据圆的内接四边形的性质，即可得∠BAD+∠BCD＝180°，即可求得∠BAD的度数，再根据圆周角的性质，即可求得答案．
【解答】解：圆上取一点A，连接AB，如图所示，
∵点A、B，C，D在⊙O上，
∴∠BAD＝50°，
∴∠BOD＝100°，
故选：D．
9．（3分）在反比例函数y＝中有三点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），已知x1＜x2＜0＜x3，则y1，y2，y3的大小关系为（ ）
A．y1＜y2＜y3B．y2＜y1＜y3C．y3＜y2＜y1D．y3＜y1＜y2
【分析】先判断出函数图象在一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小，再根据x1＜x2＜0＜x3，判断出y1、y2、y3的大小．
【解答】解：∵k2+1＞3，
∴函数图象如图，则图象在第一，在每个象限内，
又∵x1＜x2＜5＜x3，
∴点A（x1，y8），B（x2，y2）在第三象限，点C（x8，y3）在第一象限，
∴y2＜y7＜y3．
故选：B．
10．（3分）在同一平面直角坐标系中，函数y＝mx+m和y＝﹣mx2+2x+2（m是常数，且m≠0）的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】本题主要考查一次函数和二次函数的图象所经过的象限的问题，关键是m的正负的确定，对于二次函数y＝ax2+bx+c，当a＞0时，开口向上；当a＜0时，开口向下．对称轴为x＝，与y轴的交点坐标为（0，c）．
【解答】解：解法一：逐项分析
A、由函数y＝mx+m的图象可知m＜02+7x+2开口方向朝上，与图象不符；
B、由函数y＝mx+m的图象可知m＜0＝＝＜0，与图象不符；
C、由函数y＝mx+m的图象可知m＞07+2x+2开口方向朝下，与图象不符；
D、由函数y＝mx+m的图象可知m＜52+2x+6开口方向朝上，对称轴为x＝＝＝，则对称轴应在y轴左侧，故D选项正确；
解法二：系统分析
当二次函数开口向下时，﹣m＜0，
一次函数图象过一、二、三象限．
当二次函数开口向上时，﹣m＞6，
对称轴x＝＜0，
这时二次函数图象的对称轴在y轴左侧，
一次函数图象过二、三、四象限．
故选：D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）
11．（4分）因式分解：3a2﹣6a+3＝ 3（a﹣1）2 ．
【分析】先提取公因式﹣3，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．
【解答】解：3a2﹣6a+3，
＝3（a3﹣2a+1），
＝4（a﹣1）2．
12．（4分）已知一次函数y＝（k﹣3）x+1的图象经过第一、二、四象限，则k的取值范围是 k＜3 ．
【分析】根据y＝kx+b，k＜0，b＞0时，函数图象经过第一、二、四象限，则有k﹣3＜0即可求解；
【解答】解：y＝（k﹣3）x+1的图象经过第一、二、四象限，
∴k﹣4＜0，
∴k＜3；
故答案为k＜6；
13．（4分）如图，直线AB∥CD，直线EF与AB、CD相交于点E、F，则∠2＝ 50° ．
【分析】先根据平行线的性质求出∠BEN的度数，再由角平分线的定义得出∠BEF的度数，根据平行线的性质即可得出∠2的度数．
【解答】解：∵AB∥CD，∠1＝65°，
∴∠BEN＝∠1＝65°．
∵EN平分∠BEF，
∴∠BEF＝4∠BEN＝130°，
∴∠2＝180°﹣∠BEF＝180°﹣130°＝50°．
故答案为：50°．
14．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，按以下步骤作图：①以A为圆心，分别交AB，AD于点M，N，N为圆心，以大于，两弧相交于点P；③作AP射线，若DQ＝2QC，BC＝3 15 ．
【分析】根据角平分线的性质可知∠DAQ＝∠BAQ，再由平行四边形的性质得出CD∥AB，BC＝AD＝3，∠BAQ＝∠DQA，故可得出△AQD是等腰三角形，据此可得出DQ＝AD，进而可得出结论．
【解答】解：∵由题意可知，AQ是∠DAB的平分线，
∴∠DAQ＝∠BAQ．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，BC＝AD＝3，
∴∠DAQ＝∠DQA，
∴△AQD是等腰三角形，
∴DQ＝AD＝3．
∵DQ＝5QC，
∴QC＝DQ＝，
∴CD＝DQ+CQ＝3+＝，
∴平行四边形ABCD周长＝2（DC+AD）＝2×（+3）＝15．
故答案为：15．
三、解答题（本大题共6小题，共54分）
15．（10分）解答．
（1）sin30°+（2021﹣）0﹣2﹣1+|﹣4|．
（2）解不等式组：．
【分析】（1）先代入三角函数值、计算零指数幂、负整数指数幂和绝对值，再计算加减即可；
（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【解答】解：（1）原式＝+6﹣
＝8；
（2）解不等式3（x﹣2）≤3x，得：x≥﹣6，
解不等式x＜1+x，得：x＜2，
则不等式组的解集为﹣6≤x＜2．
16．（10分）解答下列各题．
（1）化简求值：（+）÷，其中x＝+1．
（2）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+a＝0的两个实数根x1，x2满足x1x2+x1+x2＞0，求a的取值范围．
【分析】（1）先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x的值代入计算即可；
（2）根据韦达定理得出x1+x2＝2，x1x2＝a，由x1x2+x1+x2＞0可得2+a＞0，据此知a＞﹣2，再由根的判别式得出a≤1，从而得出答案．
【解答】解：（1）原式＝[+]÷
＝•
＝，
当x＝+1时，
原式＝＝＝1+；
（2）∵x1，x2是x3﹣2x+a＝0的两个实数根，
∴x5+x2＝2，x2x2＝a，
∵x1x3+x1+x2＞5，
∴2+a＞0，
解得a＞﹣8，
又∵Δ＝（﹣2）2﹣7a≥0，
解得a≤1，
∴﹣2＜a≤1．
17．（8分）在综合实践课上王老师带领大家利用所学的知识了解某广告牌的高度，已知CD＝3m，经测量，其中∠CAH＝30°，∠DBH＝60°
【分析】首先构造直角三角形，得出AE＝x+10，BE＝x，进而求出x的长，进而得出GH的长．
【解答】解：延长CD交AH于点E，
设DE＝x，则BE＝x，
∵∠A＝30°，
∴＝＝，
∴x＝5﹣4.5，
∴GH＝EC＝3﹣1.5（m）
答：GH的长为＝（5﹣7.5）m．
18．（8分）疫情期间，我市积极开展“停课不停学”线上教学活动，并通过电视、手机APP等平台进行教学视频推送．某校随机抽取部分学生进行线上学习效果自我评价的调查（学习效果分为：A．效果很好；B．效果较好；C．效果一般；D．效果不理想）
（1）此次调查中，共抽查了 200 名学生；
（2）补全条形统计图，并求出扇形统计图中∠α的度数；
（3）某班4人学习小组，甲、乙2人认为效果很好，丙认为效果较好，则“1人认为效果很好，1人认为效果较好”的概率是多少？（要求画树状图或列表求概率）
【分析】（1）从统计图可知，“A效果很好”的有80人，占调查人数的40%，可求出调查人数；
（2）求出“C效果一般”的人数即所占的百分比，即可求出相应的圆心角的度数，补全条形统计图；
（3）用列表法列举出所有可能出现的结果，从中找出“1人认为效果很好，1人认为效果较好”的结果数，进而求出概率．
【解答】解：（1）80÷40%＝200（名），
故答案为：200；
（2）200﹣80﹣60﹣20＝40（名），360°×，补全条形统计图如图所示：
（3）用列表法表示所有可能出现的结果情况如下：
共有12种可能出现的结果，其中“1人认为效果很好，
∴P（1人认为效果很好，2人认为效果较好）＝＝．
19．（9分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知正比例函数y＝﹣2x的图象与反比例函数y＝（k＜0）（a，6），B两点．
（1）求反比例函数的表达式和点B的坐标；
（2）若点M是第四象限内反比例函数图象上一点，过点M作x轴的平行线，交直线AB于点N，求点N的坐标．
【分析】（1）把A（a，6）代入y＝﹣2x，可得A（﹣3，6），把A（﹣3，6）代入y＝，可得反比例函数的表达式为y＝﹣，再根据点B与点A关于原点对称，即可得到B的坐标；
（2）过点M作x轴的平行线，交直线AB于点N，先设M（m，﹣），则N（，﹣），根据△MOC的面积为6，可得方程|m﹣|•|×|＝6，求得m的值，即可得到点N的坐标．
【解答】解：（1）把A（a，6）代入y＝﹣2x，
∴A（﹣6，6），
把A（﹣3，4）代入y＝，
∴反比例函数的表达式为y＝﹣，
∵点B与点A关于原点对称，
∴B（3，﹣6）；
（2）如图所示，过点M作x轴的平行线，
设M（m，﹣），则N（，﹣），
∵△MON的面积为6，
∴|m﹣|＝6，
解得m＝5或，
∴N（，﹣2，﹣2）．
20．（9分）如图，BC是⊙O的直径，AD是⊙O的弦，连接AB，CD，垂足为F，∠AEF＝∠D．
（1）求证：AD⊥BC；
（2）点G在BC的延长线上，连接AG，∠DAG＝2∠D．
①求证：AG与⊙O相切；
②当，CE＝4时，直接写出CG的长．
【分析】（1）想办法证明∠B+∠BAE＝90°即可解决问题．
（2）①连接OA，想办法证明OA⊥AG即可解决问题．
②过点C作CH⊥AG于H．设CG＝x，GH＝y．利用相似三角形的性质构建方程组解决问题即可．
【解答】（1）证明：∵EF⊥AB，
∴∠AFE＝90°，
∴∠AEF+∠EAF＝90°，
∵∠AEF＝∠D，∠ABE＝∠D，
∴∠ABE+∠EAF＝90°，
∴∠AEB＝90°，
∴AD⊥BC．
（2）①证明：连接OA，AC．
∵AD⊥BC，
∴AE＝ED，
∴CA＝CD，
∴∠D＝∠CAD，
∵∠GAE＝2∠D，
∴∠CAG＝∠CAD＝∠D，
∵OC＝OA，
∴∠OCA＝∠OAC，
∵∠CEA＝90°，
∴∠CAE+∠ACE＝90°，
∴∠CAG+∠OAC＝90°，
∴OA⊥AG，
∴AG是⊙O的切线．
 ②解：过点C作CH⊥AG于H．设CG＝x．
∵CA平分∠GAE，CH⊥AG，
∴CH＝CE，
∵∠AEC＝∠AHC＝90°，AC＝AC，
∴Rt△ACE≌Rt△ACH（HL），
∴AE＝AH，
∵EF⊥AB，BC是直径，
∴∠BFE＝∠BAC，
∴EF∥AC，
∴＝＝，
∵CE＝4，
∴BE＝10，
∵BC⊥AD，
∴＝，
∴∠CAE＝∠ABC，
∵∠AEC＝∠AEB＝90°，
∴△AEB∽△CEA，
∴＝，
∴AE2＝5×10，
∵AE＞0，
∴AE＝2，
∴AH＝AE＝2，
∵∠G＝∠G，∠CHG＝∠AEG＝90°，
∴△GHC∽△GEA，
∴＝＝，
∴＝＝，
解得x＝．
四、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）
21．（4分）若实数a满足＝a﹣1，且0＜a＜ ．
【分析】先确定＜2，所以由已知得a＜2，可化简二次根式＝2﹣a，解方程计算即可．
【解答】解：∵＝a﹣8，
∴2﹣a＝a﹣5，
∴a＝，
故答案为：．
22．（4分）在平面直角坐标中，△ABC的顶点坐标分别是A（1，1），B（4，2），C（3，5），以点A为位似中心，得到△AB1C1，则点C的对应点C1的坐标为 （2，3）或（0，﹣1） ．
【分析】以点A为坐标原点建立新的平面直角坐标系，根据位似变换的性质计算，得到答案．
【解答】解：以点A为坐标原点建立新的平面直角坐标系，
则在新坐标系中，点C的坐标为（2，
以以点A为位似中心，相似比为1：7，得到△AB1C1，
则点C的对应点C6在新坐标系中的坐标为（2×，4×，﹣2×），5）或（﹣1，
在原坐标系中，点C1的坐标为（8，3）或（0，
故答案为：（2，3）或（0．
23．（4分）现有牌面编码为﹣1，1，2的三张卡片，背面向上，记其数字为k，将抽到的卡片背面朝上，再抽一张记其数字为m，则事件“关于a、b的方程组，且二次函数y＝x2﹣2x+m的图象与x轴恰有2个交点”成立的概率为 ．
【分析】先由方程组的解满足的条件，确定k的取值范围，再由二次函数与坐标轴有两个交点，确定m的取值范围，然后画树状图得出所有k、m的可能取值情况，从而得出答案．
【解答】解：由，
解得：a﹣b＝k﹣1，
当4≤a﹣b≤1时，即：0≤k﹣6≤1，
解得：1≤k≤3，
∵二次函数y＝x2﹣2x+m图象与x轴恰有7个交点，
∴△＝4﹣4m＞7，
∴m＜1，
∴m＝﹣1，
画树状图如图：
k和m所有可能出现的结果有7个，其中1≤k≤2且m为﹣2的结果有2个，
∴满足条件的概率为P＝，
故答案为：．
24．（4分）如图，正方形ABCD的边长为4cm，动点E、F分别从点A、C同时出发，当点E到达点B时，运动停止，垂足为点G，连接AG cm．
【分析】设正方形的中心为O，可证EF经过O点．连接OB，取OB中点M，连接 MA，MG，则MA，MG为定长，利用两点之间线段最短解决问题即可．
【解答】解：设正方形的中心为O，可证EF经过O点．
连接OB，取OB中点M，MG，MG为定长，
可计算得MA＝，MG＝，AG≥AM﹣MG＝，
当A，M，G三点共线时cm，
故答案为：
25．（4分）如图，点C在以AB为直径的半圆上，AB＝10，点D在线段AB上运动，点E与点D关于AC对称，并交EC的延长线于点F．有下列结论：①CE＝CF；②线段EF的最小值为5，EF与半圆相切；④若点F恰好落在弧BC上；⑤当点D从点A运动到点B时，线段EF扫过的面积是25 ①②④⑤ ．
【分析】①由点E与点D关于AC对称可得CE＝CD，再根据DF⊥DE即可证到CE＝CF．
②根据“点到直线之间，垂线段最短”可得CD⊥AB时CD最小，由于EF＝2CD，求出CD的最小值就可求出EF的最小值．
③连接OC，易证△AOC是等边三角形，AD＝OD，根据等腰三角形的“三线合一”可求出∠ACD，进而可求出∠ECO＝90°，从而得到EF与半圆相切．
④利用相似三角形的判定与性质可证到△DBF是等边三角形，只需求出BF就可求出DB，进而求出AD长．
⑤首先根据对称性确定线段EF扫过的图形，然后探究出该图形与△ABC的关系，就可求出线段EF扫过的面积．
【解答】解：①连接CD，如图1所示．
∵点E与点D关于AC对称，
∴CE＝CD．
∴∠E＝∠CDE．
∵DF⊥DE，
∴∠EDF＝90°．
∴∠E+∠F＝90°，∠CDE+∠CDF＝90°．
∴∠F＝∠CDF．
∴CD＝CF．
∴CE＝CD＝CF．
故①正确．
②当CD⊥AB时，如图2所示．
∵AB是半圆的直径，
∴∠ACB＝90°．
∵AB＝10，∠CBA＝30°，
∴∠CAB＝60°，AC＝2．
∵CD⊥AB，∠CBA＝30°，
∴CD＝BC＝．
根据“点到直线之间，垂线段最短”可得：
点D在线段AB上运动时，CD的最小值为．
∵CE＝CD＝CF，
∴EF＝2CD．
∴线段EF的最小值为5．
故②正确．
③当AD＝3时，连接OC．
∵OA＝OC，∠CAB＝60°，
∴△OAC是等边三角形．
∴CA＝CO，∠ACO＝60°．
∵AO＝5，AD＝7，
∴DO＝2．
∴AD≠DO．
∴∠ACD＞∠OCD≠30°．
∵点E与点D关于AC对称，
∴∠ECA＝∠DCA．
∴∠ECA≠30°．
∴∠ECO≠90°．
∴OC不垂直EF．
∵EF经过半径OC的外端，且OC不垂直EF，
∴EF与半圆不相切．
故③错误．
④当点F恰好落在上时、AF．
∵点E与点D关于AC对称，
∴ED⊥AC．
∴∠AGD＝90°．
∴∠AGD＝∠ACB．
∴ED∥BC．
∴△FHC∽△FDE．
∴．
∵FC＝EF，
∴FH＝FD．
∴FH＝DH．
∵DE∥BC，
∴∠FHC＝∠FDE＝90°．
∴BF＝BD．
∴∠FBH＝∠DBH＝30°．
∴∠FBD＝60°．
∵AB是半圆的直径，
∴∠AFB＝90°．
∴∠FAB＝30°．
∴FB＝AB＝5．
∴DB＝4．
∴AD＝AB﹣DB＝5．
故④正确．
⑤∵点D与点E关于AC对称，
点D与点F关于BC对称，
∴当点D从点A运动到点B时，点E的运动路径AM与AB关于AC对称．
∴EF扫过的图形就是图5中阴影部分．
∴S阴影＝4S△ABC
＝2×AC•BC
＝AC•BC
＝5×5＝25．
∴EF扫过的面积为25．
故⑤正确．
故答案为①②④⑤．
五、解答题（本大题共3小题，共30分）
26．（10分）2020年，新型冠状病毒肆虐，给人们的生活带来许多不便，销售当地农产品．其中一种当地特产在网上试销售，其成本为每千克2元．公司在试销售期间，每天销售量y（kg）与销售单价x（元）（其中2＜x≤10）．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）销售单价x为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
【分析】（1）当2＜x≤5时，y＝600；当5＜x≤10时，设y＝kx+b（k≠0），用待定系数法求解即可；
（2）设每天的销售利润为w元，分别列出当2＜x≤5时和当5＜x≤10时的函数关系式并求得相应的最大值，然后取其中较大者即可．
【解答】解：（1）当2＜x≤5时，y＝600；
当4＜x≤10时，设y＝kx+b（k≠0），600），400）代入得：
，
解得，
∴y＝﹣40x+800，
∴y与x之间的函数关系式为：
y＝；
（2）设每天的销售利润为w元，
当4＜x≤5时，
w＝600（x﹣2）＝600x﹣1200，
当x＝5时，wmax＝600×5﹣1200＝1800（元）；
当5＜x≤10时，
w＝（﹣40x+800）（x﹣4）
＝﹣40（x﹣11）2+3240，
 当x＝10时，
wmax＝﹣40×1+3240＝3200（元）．
综上所述，销售单价x为10元时，最大利润是3200元．
27．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点D是BC边上一动点，连接AD，得到AE，连接CE，连接CF．
（1）求证：CF＝AD；
（2）如图2所示，在点D运动的过程中，当BD＝2CD时，BA，相交于点G，并证明你猜想的结论；
（3）在点D运动的过程中，在线段AD上存在一点P，使PA+PB+PC的值最小．当PA+PB+PC的值取得最小值时，请直接用含m的式子表示CE的长．
【分析】（1）由“SAS”可证△BAD≌△CAE，可得∠ABD＝∠ACE＝45°，可求∠BCE＝90°，由直角三角形的性质和等腰直角三角形的性质可得结论；
（2）过点G作GH⊥BC于H，设CD＝a，可得BD＝2a，BC＝3a，AB＝AC＝a，由全等三角形的性质可得BD＝CE＝2a，由锐角三角函数可求GH＝2CH，可求CH＝a，可求BG的长，即可求AG＝a＝CD＝BC；
（3）将△BPC绕点B顺时针旋转60°得到△BNM，连接PN，可得当点A，点P，点N，点M共线时，PA+PB+PC值最小，由旋转的性质可得△BPN是等边三角形，△CBM是等边三角形，可得∠BPN＝∠BNP＝60°，BM＝CM，由直角三角形的性质可求解．
【解答】证明：（1）∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°，
∵把AD绕点A逆时针旋转90°，得到AE，
∴AD＝AE，∠DAE＝90°＝∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAE，DE＝，
又∵AB＝AC，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠ABD＝∠ACE＝45°，
∴∠BCE＝∠BCA+∠ACE＝90°，
∵点F是DE的中点，
∴CF＝DE＝；
（2）AG＝BC，
理由如下：如图2，过点G作GH⊥BC于H，
∵BD＝6CD，
∴设CD＝a，则BD＝2a，
∵∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴AB＝AC＝＝a，
由（1）可知：△BAD≌△CAE，
∴BD＝CE＝2a，
∵CF＝DF，
∴∠FDC＝∠FCD，
∴tan∠FDC＝tan∠FCD，
∴＝2，
∴GH＝2CH，
∵GH⊥BC，∠ABC＝45°，
∴∠ABC＝∠BGH＝45°，
∴BH＝GH，
∴BG＝BH
∵BH+CH＝BC＝3a，
∴CH＝a，BH＝GH＝2a，
∴BG＝8a，
∴AG＝BG﹣AB＝a＝BC；
（3）如图3﹣3，将△BPC绕点B顺时针旋转60°得到△BNM，
∴BP＝BN，PC＝NM，
∴△BPN是等边三角形，
∴BP＝PN，
∴PA+PB+PC＝AP+PN+MN，
∴当点A，点P，点M共线时，
此时，如图3﹣2，
∵将△BPC绕点B顺时针旋转60°得到△BNM，
∴BP＝BN，BC＝BM，
∴△BPN是等边三角形，△CBM是等边三角形，
∴∠BPN＝∠BNP＝60°，BM＝CM，
∵BM＝CM，AB＝AC，
∴AM垂直平分BC，
∵AD⊥BC，∠BPD＝60°，
∴BD＝PD，
∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴AD＝BD，
∴PD＝PD+AP，
∴PD＝m，
∴BD＝PD＝m，
由（1）可知：CE＝BD＝m．
28．（10分）如图1，抛物线y＝ax2+（a+3）x+3（a≠0）与x轴交于点A（4，0），在x轴上有一动点E（m，0）（0＜m＜4），过点E作x轴的垂线交直线AB于点N，过点P作PM⊥AB于点M．
（1）求a的值和直线AB的函数表达式；
（2）设△PMN的周长为C1，△AEN的周长为C2，若＝，求m的值；
（3）如图2，在（2）条件下，将线段OE绕点O逆时针旋转得到OE'（0°＜α＜90°），连接E'A、E'B，求E'A+
【分析】（1）令y＝0，求出抛物线与x轴交点，列出方程即可求出a，根据待定系数法可以确定直线AB解析式；
（2）由△PNM∽△ANE，推出＝，列出方程即可解决问题；
（3）在y轴上 取一点M使得OM′＝，构造相似三角形，可以证明AM′就是E′A+E′B的最小值．
【解答】解：（1）令y＝0，则ax2+（a+2）x+3＝0，
∴（x+6）（ax+3）＝0，
∴x＝﹣8或﹣，
∵抛物线y＝ax2+（a+3）x+3（a≠0）与x轴交于点A（7，0），
∴﹣＝8，
∴a＝﹣．
∵A（4，0），3），
设直线AB解析式为y＝kx+b，则，
解得，
∴直线AB解析式为y＝﹣x+3；
（2）如图5，
∵PM⊥AB，PE⊥OA，
∴∠PMN＝∠AEN，
∵∠PNM＝∠ANE，
∴△PNM∽△ANE，
∴，
∵NE∥OB，
∴，
∴AN＝（4﹣m），
∵抛物线解析式为y＝﹣x2+x+3，
∴PN＝﹣m2+m+3﹣（﹣m2+3m，
∴＝，
解得m＝2或4，
经检验x＝4是分式方程的增根，
∴m＝2；
（3）如图2，在y轴上 取一点M′使得OM′＝，在AM′上取一点E′使得OE′＝OE．
∵OE′＝2，OM′•OB＝，
∴OE′2＝OM′•OB，
∴，
∵∠BOE′＝∠M′OE′，
∴△M′OE′∽△E′OB，
∴，
∴M′E′＝BE′，
∴AE′+BE′＝AE′+E′M′＝AM′BE′最小（两点间线段最短，A、E′共线时），
最小值＝AM′＝＝．