2022-2023学年河北省石家庄市晋州市九年级（上）期末数学试卷（含详细答案解析）

这是一份2022-2023学年河北省石家庄市晋州市九年级（上）期末数学试卷（含详细答案解析），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.一元二次方程x2−2x−6=0的根的情况是( )
A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根
C. 有一个实数根为0D. 没有实数根
2.如图是由5个完全相同的小正方体搭成的几何体，如果将小正方体A放到小正方体B的正上方，则它的( )
A. 左视图会发生改变，其他视图不变
B. 俯视图会发生改变，其他视图不变
C. 主视图会发生改变，其他视图不变
D. 三种视图都会发生改变
3.我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题，大意为：粮仓开仓收粮，有人送来米1785石，验得米内夹谷，抽样(取米)一把，数得378粒内夹谷18粒，则该人送来的这批米内夹谷约为( )
A. 85石B. 95石C. 100石D. 105石
4.在下列说法中“
①凡正方形都相似；
②凡等腰三角形都相似；
③凡等腰直角三角形都相似；
④直角三角形斜边上的中线与斜边的比为1：2；”中，
正确的个数有个.( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
5.对于二次函数y=−(x−1)2+2的图象与性质，下列说法正确的是( )
A. 对称轴是直线x=1，最大值是2B. 对称轴是直线x=1，最小值是2
C. 对称轴是直线x=−1，最大值是2D. 对称轴是直线x=−1，最小值是2
6.一个不透明的布袋里装有8个只有颜色不同的球，其4个白球，3个红球，1个黄球．从布袋里任意摸出1个球，是白球的概率为( )
A. 58B. 12C. 38D. 18
7.如图所示，△POM中，点M在⊙O上，点P在⊙O外，OP交⊙O于点N，以下条件不能判定PM是⊙O的切线的是( )
A. ∠O+∠P=90∘B. ∠O+∠P=∠OMP
C. OM2+PM2=OP2D. 点N是OP的中点
8.如图所示，直线l1//l2//l3，直线AC和DF被l1，l2，l3所截，AB=3，BC=2，DF=8，则DE的长为( )
A. 4
B. 4.5
C. 4.8
D. 5
9.如图所示，△ABC是⊙O的内接三角形，点B是AC的中点，则下列结论正确的是( )
A. AB=OC
B. AC=2AB
C. 12∠ABC+∠BOC=90∘
D. ∠ABC+∠BOC=180∘
10.在阳光的照射下，一块三角尺的投影一定不会是( )
A. 线段B. 与原三角尺全等的三角形
C. 与原三角尺不全等的三角形D. 点
11.如图所示，抛物线y=ax2+bx+c(a<0)的对称轴是直线x=−1，且经过点P(−3,0)，则a+b+c的值为( )
A. −1
B. −2
C. 0
D. 1
12.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y=ax+b和反比例函数y=cx在同一平面直角坐标系中的图象可能是( )
A.
B.
C.
D.
13.三根等高的木杆竖直立在平地上，其俯视图如图所示，在某一时刻三根木杆在太阳光下的影子合理的是( )
A. B. C. D.
14.如图所示，点P是⊙O的半径OC延长线上的一点，过点P作⊙O的切线，切点为A，AB是⊙O的弦，连接AC，BC，若∠PAB=70∘，则∠ACB的大小为( )
A. 70∘
B. 110∘
C. 120∘
D. 140∘
15.如图所示，Rt△ABC是一块绿化带，⊙O(阴影部分)是△ABC的内切圆，将阴影部分修建成花圃，已知AB=10，AC=8，一只自由飞翔的小鸟随机飞到这块绿化带△ABC上，则小鸟正好落在花圃上的概率为( )
A. π6B. π10C. π12D. 2π15
16.如图所示，若双曲线y=kx(x>0)与抛物线y=−45x(x−4)在第一象限内所围成的区域(即图中阴影部分，不含边界)内的整点(点的横、纵坐标都是整数)只有4个，则k的值可能是( )
A. 1
B. 2.5
C. 3
D. 4
二、填空题：本题共3小题，每小题3分，共9分。
17.将二次函数y=x2的图象先向上平移2个单位，再向右平移3个单位，得到的函数图象的解析式为______ .
18.如图所示，在某点光源下有两根直杆MH，NI垂直于平整的地面，甲杆MH的影子为MJ，乙杆NI的影子一部分落在地面上的NG处，一部分落在斜坡GL上的GK处.
①点光源所在的位置是______ (从A，B，C，D中选择一个)；
②若点光源发出的过点I的光线IK⊥GL，斜坡GL与地面的夹角为30∘，NG=1米，GK= 33米，则乙杆NI的高度为______ 米.
19.如图所示，已知正八边形ABCDEFGH内接于⊙O，连接AC，相交于点P.若⊙O的半径为1，则AC=______ ，∠APD=______ 度，△ABC的面积为______ .
三、解答题：本题共7小题，共69分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
20.(本小题10分)
(1)计算：tan45∘−2sin30∘+ 3cs60∘.
(2)解方程：x2+2x−3=0.
21.(本小题10分)
已知反比例函数y=k−1x(k为常数，k≠1).
(1)若该反比例函数的图象与直线y=−x有一个交点为P(−3,y1)，求k的值；
(2)在(1)的条件下，设点Q(t,y2)为该反比例函数图象上的一点，且t>0，请比较与y2的大小关系.
22.(本小题9分)
如图所示，在⊙O中，直径AB⊥弦CD，点H为垂足，AH=CD=8，求⊙O的面积.
23.(本小题10分)
如图所示，是一个迷宫示意图，嘉嘉和淇淇分别从入口进入，沿着虚线所示的路线行走，两人根据自己的选择可能会随机进入A，B，C三个房间中的某一个.
(1)嘉嘉进入A房间的概率为______ ；
(2)请用画树状图或列表等方法，求出两人在走迷宫结束后，B房间至少有1个人的概率.
24.(本小题10分)
已知，如图所示，⊙O的半径是1，点A，B，C在⊙O上.
(1)尺规作图(要求：保留作图痕迹，不用写出作法和证明过程)：
①在劣弧BC上找一点D，使△OBD是等边三角形；
②在劣弧AC上找一点E，使AE= 2.
(2)在(1)的基础上，连接AD，BE，设它们交于点P，求∠APB的大小.
(3)过点B作⊙O的切线QB，设∠AOB=α，∠QBA=β，请直接写出α与β的数量关系.
25.(本小题10分)
如图所示，在平面直角坐标系中，点P的坐标为(3 3,3)，点M(t,0)是横轴上的一点，点N在y轴上，且∠MPN=90∘，0≤t≤4 3.
(1)当t=0时，点N的纵坐标为______ ；当t=4 3时，点N的纵坐标为______ .
(2)①当0②淇淇同学认为，当t=0或3 3≤t≤4 3时，PMPN的值也是一个定值.他的说法正确吗？如果你认为正确，请直接写出这个定值是多少？如果你认为不正确，请说明理由.
(3)连接MN，设MN的中点为T，在点M从t=0这个时刻走到t=4 3这个时刻的过程中，点T所走过的路线长是多少？请直接写出结果，不必给出说明.
26.(本小题10分)
如图所示，已知抛物线y=ax2−23x+c与x轴交于点A和点B(5,0)，与y轴交于点C，连接AC，BC，∠OBC=45∘.在第四象限内的抛物线上有一点P，连接PA，PB，PA与BC交于点Q.
(1)求抛物线的解析式；
(2)求△PAB面积的最大值；
(3)设AO=k⋅PQ，请直接写出k的取值范围.
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：∵Δ=b2−4ac=(−2)2−4×(−6)=28>0，
∴一元二次方程x2−2x−6=0有两个不相等的实数根，
故选：A.
根据一元二次方程根的判别式求解即可得出．
此题考查了一元二次方程根的判别式．一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2−4ac有如下关系：(1)Δ>0⇔方程有两个不相等的实数根；(2)Δ=0⇔方程有两个相等的实数根；(3)Δ<0⇔方程没有实数根．
2.【答案】C
【解析】解：如果将小正方体A放到小正方体B的正上方，则它的主视图会发生改变，俯视图和左视图不变．
故选：C.
根据从上面看得到的图形事俯视图，从正面看得到的图形是主视图，从左边看得到的图形是左视图，可得答案．
本题考查了简单组合体的三视图，从上面看得到的图形是俯视图，从正面看得到的图形是主视图，从左边看得到的图形是左视图．
3.【答案】A
【解析】解：粮仓开仓收粮，有人送来米1785石，验得米内夹谷，
抽样取米一把，数得378粒内夹谷18粒，
这批米内夹谷约为：1785×18378=85(石).
故选：A.
利用概率的意义能求出结果．
本题考查用样本估算总体，掌握概率的意义是解答本题的关键．
4.【答案】C
【解析】解：①正方形四个角都是直角，四条边都相等，所以对应成比例，所以都相似，正确；
②等腰三角形的两底角相等，而与另一个等腰三角形的两个底角不一定相等，所以不一定相似，本选项错误；
③等腰直角三角形都有一个直角，且另两角都是45∘的锐角，所以都相似，正确；
④直角三角形斜边上的中线与斜边的一半，所以比为1：2，正确．
故选：C.
根据相似图形的定义和各图形的性质，对各选项分析判断后利用排除法求解．
本题主要考查相似图形的判定和相似三角形的性质，比较简单．
5.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查二次函数的性质，解题的关键是正确理解抛物线的图象与性质，本题属于基础题型．
根据抛物线的图象与性质即可判断．
【解答】
解：由抛物线的解析式：y=−(x−1)2+2，
可知：对称轴是直线x=1，
开口方向向下，所以有最大值y=2，
故选A.
6.【答案】B
【解析】解：∵不透明的布袋里装有8个只有颜色不同的球，其4个白球，3个红球，1个黄球，共8个球，
∴从布袋里任意摸出1个球，是白球的概率为48=12，
故选：B.
用白球的个数除以球的总数即可．
本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件A的概率P(A)=事件A可能出现的结果数÷事件A可能出现的结果数．
7.【答案】D
【解析】解：A.∵∠O+∠P+∠OMP=180∘，且∠O+∠P=90∘，
∴∠OMP=90∘，可知PM是⊙O的切线，
故选项A不符合题意；
B.∵∠O+∠P+∠OMP=180∘，且∠O+∠P=∠OMP，
∴∠OMP=90∘，可知PM是⊙O的切线，
故选项B不符合题意；
C.∵OM2+PM2=OP2，
∴△OMP是直角三角形，且∠OMP=90∘，可知PM是⊙O的切线，
故选项C不符合题意；
D.点N是OP的中点不能得出∠OMP=90∘，即不能判断出PM是⊙O的切线，
故选项D符合题意；
故选：D.
根据切线的判定定理进行判断即可．
本题主要考查了切线的判定，勾股定理的逆定理、正确理解切线的判定定理是解答本题的关键．
8.【答案】C
【解析】解：∵直线l1//l2//l3，
∴ABBC=DEEF，
∵AB=3，BC=2，DF=8，
∴32=DE8−DE，
∴DE=4.8.
故选：C.
根据平行线分线段成比例定理得出比例式，代入求出即可．
本题考查了平行线分线段成比例定理，能根据平行线分线段成比例定理得出正确的比例式是解此题的关键．
9.【答案】D
【解析】解：A.AB=BC，故选项错误，不符合题意；
B.AC<2AB，故选项错误，不符合题意；
C. 12∠ABC+∠BOC≠90∘，故选项错误，不符合题意；
D.∠ABC+∠BOC=180∘，选项正确，符合题意．
故选：D.
根据等弧对等弦，三角形内角和逐项判断即可．
此题考查了三角形的外接圆与外心，解题的关键是熟悉圆和三角形的相关知识．
10.【答案】D
【解析】解：根据太阳高度角不同，所形成的投影也不同．
当三角板与阳光平行时，所形成的投影为一条线段；
当它与阳光形成一定角度但不垂直时，它所形成的投影是三角形，
不可能是一个点，
故选：D.
将一个三角板放在太阳光下，当它与阳光平行时，它所形成的投影是一条线段，当它与阳光成一定角度但不垂直时，它所形成的投影是三角形．
本题考查了平行投影特点，不同位置，不同时间，影子的大小、形状可能不同，具体形状应视其外在形状，及其与光线的夹角而定．
11.【答案】C
【解析】解：∵抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为x=−1，
∴根据二次函数的对称性得：点(−3,0)关于对称轴直线x=−1的对称点为(1,0)，
∵当x=1时，y=a+b+c=0，
∴a+b+c的值等于0.
故选：C.
根据二次函数对称性可求出点(−3,0)关于对称轴直线x=−1的对称点为(1,0)，然后把(1,0)代入y=ax2+bx+c即可求出答案．
本题主要考查了二次函数的性质，解答本题的关键是求出点P关于对称轴的对称点．
12.【答案】C
【解析】解：因为二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向上，得出a>0，抛物线与y轴交点在y轴的负半轴，得出c<0，利用对称轴为直线x=−b2a<0，得出b>0，
所以一次函数y=ax+b经过一、二、三象限，反比例函数y=cx经过二、四象限，
故选：C.
根据二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向上，得出a>0，与y轴交点在y轴的负半轴，得出c<0，利用对称轴x=−b2a<0，得出b>0，进而对照四个选项中的图象即可得出结论．
本题考查了反比例函数的图象、一次函数的图象以及二次函数的图象，根据二次函数图象，得出a>0、b>0、c<0是解题的关键．
13.【答案】C
【解析】解：A.在某一时刻三根等高木杆在太阳光下的影子的方向应该一致，故本选项错误；
B.在某一时刻三根等高木杆在太阳光下的影子的长度应该相同，故本选项错误；
C.在某一时刻三根等高木杆在太阳光下的影子合理，故本选项正确；
D.在某一时刻三根等高木杆在太阳光下的影子的方向应该互相平行，故本选项错误．
故选：C.
三根等高的木杆竖直立在平地上，在某一时刻三根木杆在太阳光下的影子应该同方向、长度相等且平行．
本题主要考查了平行投影，由平行光线形成的投影是平行投影，如物体在太阳光的照射下形成的影子就是平行投影．
14.【答案】B
【解析】解：如图所示，连接OA、OB，
，
∵AP是的切线，OA为半径，
∴OA⊥AP，
∵∠PAB=70∘，
∴∠OAB=∠OAP−∠PAB=90∘−70∘=20∘，
设∠BAC=x，则∠BOC=2∠BAC=2x，
∵OA=OB=OC，
∴∠OCA=∠OAC=∠OAB+∠BAC=20∘+x，
∴∠OCB=∠OBC=12(180∘−∠BOC)=12×(180∘−2x)=90∘−x，
∴∠ACB=∠ACO+∠OCB=20∘+x+90∘−x=110∘，
故选：B.
连接OA、OB，根据切线的性质得到∠OAB=20∘，设∠BAC=x，则∠BOC=2∠BAC=2x，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理分别求出∠OCA、∠OCB的度数，再根据∠ACB=∠OCA+∠OCB计算即可得到答案．
本题主要考查了切线的性质、圆周角定理、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理，熟练掌握切线的性质、圆周角定理、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理是解题的关键．
15.【答案】A
【解析】解：设⊙O的半径为r，
在Rt△ABC中，AB=10，AC=8，
∴BC=6，
如图，设AC，BC，AB与⊙O的切点分别为点E，D，F，连接OD，OE，则OD⊥BC，OE⊥AC，
∴∠ODC=∠OEC=∠C=90∘，
∴四边形ODCE是矩形，
∵⊙O(阴影部分)是△ABC的内切圆，
∴CD=CE，BD=BF，AF=AE，
∴四边形ODCE是正方形，
∴CD=OD=r，
∴BD=BF=6−r，AF=AE=8−r，
∴6−r+8−r=10，
解得：r=2，
∴圆的面积为22×π=4π，
∵S△ABC=12AC×BC=12×6×8=24，
∴小鸟正好落在花圃上的概率为4π24=π6.
故选：A.
设⊙O的半径为r，根据勾股定理求出BC=6，设AC，BC，AB与⊙O的切点分别为点E，D，F，连接OD，OE，则OD⊥BC，OE⊥AC，可证得四边形ODCE是矩形，再由切线长定理可得四边形ODCE是正方形，从而得到CD=OD=r，进而得到BD=BF=6−r，AF=AE=8−r，可求出r=2，再分别求出圆的面积和S△ABC，然后根据概率公式，即可求解．
本题主要考查的是几何概率，涉及到切线长定理，正方形的判定和性质，根据题意得到圆的面积是解题的关键．
16.【答案】B
【解析】解：抛物线y=−45x(x−4)与x轴所围成的区域(不含边界)内整点(点的横、纵坐标都是整数)的个数是7个，坐标分别为：(1,1)，(2,1)，(3,1)，(1,2)，(2,2)，(3,2)，(2,3)，
要使双曲线y=kx(x>0)与抛物线y=−45x(x−4)在第一象限内所围成的区域(即图中阴影部分，不含边界)内的整点(点的横、纵坐标都是整数)只有4个，
结合图象可得：当双曲线y=kx(x>0)恰好经过点(3,1)时，k取临界值3，当双曲线y=kx(x>0)恰好经过点(2,1)时，k取临界值2，
∴双曲线y=kx(x>0)与抛物线y=−45x(x−4)在第一象限内所围成的区域(即图中阴影部分，不含边界)内的整点(点的横、纵坐标都是整数)只有4个，
∴k的范围为：2≤k<3，
故选：B.
利用图象可得满足题意的k的临界值，进而求解．
本题考查了二次函数与反比例函数的综合问题，结合图象利用二次函数与反比例函数的交点是解决本题的关键．
17.【答案】y=(x−3)2+2
【解析】解：由“上加下减”“左加右减”的原则可知，将二次函数y=x2的图象先向上平移2个单位，所得函数的解析式为：y=x2+2；
由“左加右减”的原则可知，将二次函数y=x2+2的图象先向右平移3个单位所得函数的解析式为：y=(x−3)2+2.
故答案为：y=(x−3)2+2.
直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．
本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象几何变换的法则是解答此题的关键．
18.【答案】C5 33
【解析】解：(1)如图所示，C点即为点光源所在的位置，
故答案为：C
(2)延长IK交EG于点O，
∵点光源发出的过点I的光线IK⊥GL，
∴∠CKG=90∘，
∴∠KGE=30∘，
∴∠CON=60∘，
在Rt△OKG中，∠KGE=30∘，∠CON=60∘，
∵GK= 33，
∴OK=13，OG=23，
∵NG=1，
∴ON=53，
在Rt△ONI中，
∵∠CON=60∘，
∴∠OIN=30∘，
∵ON=53，
∴IN= 3ON=53 3
∴乙杆NI的高度为5 33米．
故答案为：5 33.
(1)利用甲杆MH的影子为MJ，乙杆NI的影子一部分落在地面上的NG，一部分落在斜坡上即可得到点光源的位置；
(2)延长IK交EG于点O，已知点光源发出的过点I的光线IK⊥GL，∠KGE=30∘，可得∠ION=60∘，根据GK= 33，可得OG=23，在Rt△ONI中，已知NG=1，可得ON=53，结合∠OIN=30∘，即可求得乙杆NI的高度．
本题主要考查中心投影及勾股定理的应用，根据已知条件确定点光源的位置是解题的关键．
19.【答案】 2 135 2−12
【解析】解：如图，连接OA，OB，OB与AC交于点Q，
由题意可知，QA=QC，OB⊥AC，
∵ABCDEFGH是正八边形，
∴∠AOB=360∘8=45∘，
∴QA=OQ=OAsin∠AOB=sin∠45∘= 22，
∴QB=OB−OQ=1− 22，AC=2QA= 2，
∵AFD所对的圆心角为5∠AOB=225∘，
∴AFD所对的圆周角为∠ABD=12×225∘=112.5∘，
∵∠BAC=12×45∘=22.5∘，
∴∠APD=∠ABD+∠BAC=135∘，S△ABC=12AC⋅QB=12× 2×(1− 22)= 2−12.
故答案为： 2，135， 2−12.
连接OA，OB，OB与AC交于点Q，先根据正八边形和圆的性质求出∠AOB，再根据特殊角三角函数值求出AC的长，再根据圆周角定理和三角形的外角定理即可求出∠APD，最后根据三角形的面积公式求出△ABC的面积即可．
本题考查了正八边形与圆的综合，熟练运用正八边形的性质，特殊角的三角函数值，圆周角定理是解题的关键．
20.【答案】解：(1)tan45∘−2sin30∘+ 3cs60∘
=1−2×12+ 32
= 32.
(2)x2+2x−3=0，
x2+2x+1=4，
(x+1)2=4，
x+1=±2，
∴x1=1，x2=−3.
【解析】(1)将特殊角的三角函数值代入计算即可；
(2)利用配方法解方程即可．
本题主要考查特殊角的三角函数值，配方法解一元二次方程，熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．
21.【答案】解：(1)由题意得，y1=−x=−(−3)=3，
∴P(−3,3)，
将P(−3,3)代入y=k−1x，得3=k−1−3.
解得：k=−8.
(2)当t>0时，y2=−8−1x=−9t<0，
而y1=3>0，
∴y1>y2.
【解析】(1)先求出y1=−x=−(−3)=3，得到P(−3,3)，再将其代入反比例函数解析式即可得出答案；
(2)当t>0时，y2=−8−1x=−9t<0，而y1=3>0，即可得出答案．
本题考查反比例函数与一次函数，掌握反比例函数的性质是解题的关键．
22.【答案】解：连接OC，
设⊙O的半径为r，则OH=AH−OA=8−r，
∵AB为⊙O的直径，且AB⊥CD，
∴CH=DH=12CD=12×8=4，
在Rt△OHC中，有OC2=OH2+CH2，
即r2=(8−r)2+42，
解之，得r=5，
所以，⊙O的面积为S⊙O=25π.
【解析】连接OC，设⊙O的半径为r，则OH=AH−OA=8−r，根据垂径定理得出CH=DH=12CD=12×8=4，再利用勾股定理得出r2=(8−r)2+42，求解即可得出答案．
本题考查垂径定理，勾股定理，圆的面积，正确作出辅助线是解题的关键．
23.【答案】13
【解析】解：(1)嘉嘉进入A房间的概率为13.
故答案为：13.
(2)列表如下(其中，嘉嘉所在房间写在前面，淇淇所在房间写在后面)：
由表格可知，共有9种等可能性发生的结果，其中B房间至少有1个人的结果共有5种，
所以B房间至少有1个人的概率为：P=59.
(1)根据概率公式进行计算即可；
(2)先列出表格，然后根据概率公式进行计算即可．
本题主要考查了根据概率公式计算，列表法或画树状图法求概率，解题的关键是根据题意列出表格或画出树状图．
24.【答案】解：(1)①如图所示，点D即为所求作：
②如图所示，点E即为所求作：
(2)∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA.
在等边三角形OBD中，∠ODB=60∘.
∵△OAE是等腰直角三角形，
∴∠AOE=90∘，∠OAE=45∘.
∴∠APB=∠PAE+∠AEB
=(∠OAE+∠OAD)+∠AEB
=(∠OAE+∠ODA)+∠ADB
=∠OAE+(∠ODA+∠ADB)
=∠OAE+∠ODB
=45∘+60∘=105∘.
(3)α=2β，理由如下：
如图，连接BG，则∠ABG=90∘，即∠ABO+∠OBG=90∘，
∵OB=OG
∴∠OBG=∠OGB
∴∠AOB=∠OBG+∠OGB=2∠OBG，
又BQ是⊙O的切线，
∴OB⊥BQ，即∠OBQ=90∘，
∴∠ABO+∠ABO=90∘
∴∠OBG=∠ABQ，
∴∠AOB=2∠ABQ，
∵∠AOB=α，∠QBA=β，
∴α=2β.
【解析】(1)①以点B为圆心，OB为半径画弧交劣弧BC于点D，连接OD，BD，则△OBD是等边三角形；②过点O作OA的垂线交劣弧AC于点E，连接AE，则△AOE是等腰直角三角形，从而可得AE= 2；
(2)根据∠APB=∠PAE+∠AEB=∠OAE+∠ODB可得结论；
(3)连接BG，则∠AGB=90∘，∠OGB=∠OBG，由构型外角的性质可得∠AOB=2∠OBG，由切线的性质可得∠ABO+∠ABQ=90∘，可得∠ABQ=∠OBG，从而可得结论．
本题主要考查了基本作图，圆周角定理以及切线的性质，正确作图是解答本题的关键．
25.【答案】12 0
【解析】解：(1)如图，连接PO，过点P作PA⊥x轴于点A，截取AC= 3，连接PC，
∵点P的坐标为(3 3,3)，
∴OA=3 3,PA=3,OC=4 3,PC= 32+( 3)2=2 3，OP= 32+(3 3)2=6，
∴∠POA=30∘，∠PON=60∘，
∵OP2+PC2=62+(2 3)2=48=(4 3)2=OC2，
∴∠OPC=90∘，
当t=0时，M与原点重合，此时∠OPN=90∘，
∴∠ONP=30∘，
∴ON=2PO=12；
故纵坐标为12；
当t=4 3时，点M与点C重合，点N与原点重合，
∴故纵坐标为0；
故答案为：12，0；
(2)①嘉嘉同学的说法正确，PMPN= 33.理由如下：
如上图，过点P作PB⊥y轴于点B，
则四边形APBO是矩形，
∴PB=AO=3 3,∠BPA=90∘,∠PBN=90∘，
∵∠MPN=90∘，
∴∠APM=90∘−∠BPM=∠BPN，
∴△APM∽△BPN，
∴PMPN=APBP=33 3= 33.
②淇淇同学的说法正确，理由如下：
当t=0时，M与原点重合，此时∠OPN=90∘，
∴∠ONP=30∘，
∴ON=2PO=12,PN= 122−62=6 3，
∴PMPN=OPPN=66 3= 33.
当t=4 3时，点M与点C重合，点N与原点重合，
∴PMPN=PCPO=2 36= 33；
(3)如上图，连接OT，PT，
∵∠MPN=∠MON=90∘，MT=NT=12MN，
∴OT=PT=12MN，
∴点T在线段PO的垂直平分线上，
当t=0时，M与原点重合，此时∠OPN=90∘，得到MN=ON=12，
此时点T与ON的中点E重合；
∴OE=12ON=6，
当t=4 3时，点N与原点重合，此时点T与OC的中点D重合，且OD=12OC=2 3；
∴点T的运动路径长就是线段DE的长，
∴DE= OE2+OD2= 62+(2 3)2=4 3.
(1)如图，连接PO，过点P作PA⊥x轴于点A，截取AC= 3，连接PC.根据点P的坐标为(3 3,3)，确定，OC=4 3,PC= 32+( 3)2=2 3；OP= 32+(3 3)2=6，∠POA=30∘，∠PON=60∘，证明△OPC是直角三角形，当t=0时，M与原点重合，此时∠OPN=90∘，得到ON=2PO；当t=4 3时，点N与原点重合，计算即可；
(2)①如图，连接PO，过点P作PB⊥y轴于点B，易证四边形APBO是矩形，得到PB=AO=3 3,∠BPA=90∘,∠PBN=90∘，结合∠MPN=90∘，得到∠APM=90∘−∠BPM=∠BPN，证明△APM∽△BPN即可．
②根据特殊位置的特殊直角三角形计算即可；
(3)连接OT，PT，根据直角三角形的性质得到OT=PT，故判定点T在线段PO的垂直平分线上，当t=0时，M与原点重合，此时∠OPN=90∘，得到MN=ON=12，此时点T与ON的中点E重合；当t=4 3时，点N与原点重合，此时点T与OC的中点D重合，且OD=12OC=2 3；点T的运动路径长就是线段DE的长，利用勾股定理计算即可．
本题考查了直角三角形的性质，三角形相似的判定和性质，勾股定理，熟练掌握直角三角形的性质，三角形相似的判定和性质，勾股定理是解题的关键．
26.【答案】解：(1)由B(5,0)，得OB=5，
∵tan∠OBC=OCOB，即tan45∘=OC5=1，
∴OC=5，C(0,−5)，
∴把B(5,0)，C(0,−5)代入y=ax2−23x+c，
得25a−103+c=0c=−5，
解之，得a=13，c=−5，
∴抛物线的解析式为y=13x2−23x−5，
(2)解：令0=13x2−23x−5，得x1=5，x2=−3，
∴A(−3,0)，
∵y=13x2−23x−5=13(x−1)2−163，
∴抛物线的顶点为(1,−163)，在第四象限，
∴当△PAB面积的最大时，点P为抛物线的顶点，
∴此时，S△PAB=12⋅AB⋅|yP|=12×[5−(−3)]×163=643，
(3)解：过点P作PM//BC，交x轴于点M，
设直线PM的解析式为y=x+b，则M(−b,0)，
∴−b>5，
∵AQ=k⋅PQ，
∴k=AQPQ=ABBM=8−b−5，
∴由y=13x2−23x−5y=x+b，
∴得x2−5x−15−3b=0，
∴由Δ=(−5)2−4×1×(−15−3b)≥0，得−b≤8512，
∴则0<−b−5≤2512，
∴8−b−5≥9625，
∴k≥9625.

【解析】(1)根据已知条件利用待定系数法求出函数解析式；
(2)利用平面直角坐标系与线段的长度关系、抛物线的解析式以及三角形的面积公式即可求出最大值；
(3)根据平行线分线段成比例列出方程，解方程即可求出取值范围．
本题考查了待定系数法以及线段的长度关系，平行线分线段成比例等相关知识点，掌握函数与方程、不等式的关系是解题的关键．淇淇
嘉嘉
A
B
C
A
(A,A)
(A,B)
(A,C)
B
(B,A)
(B,B)
(B,C)
C
(C,A)
(C,B)
(C,C)