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2023年河北省石家庄外国语教育集团中考数学二模试卷（含解析）
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这是一份2023年河北省石家庄外国语教育集团中考数学二模试卷（含解析），共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年河北省石家庄外国语教育集团中考数学二模试卷
一、选择题（本大题共16小题，共42.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 在等式a5⋅a□=a10中，□内应该填入( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
2. 如图，从热气球A看一栋楼底部C的俯角是( )
A. ∠BAD
B. ∠ACB
C. ∠BAC
D. ∠DAC
3. 下列运算正确的是( )
A. ( 3)2=3 B. 3 2− 2=3
C. 2−1=−2 D. | 2−2|= 2−2
4. 如图，盖房子时，在窗框未安装好之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条，这样做的数学道理是( )
A. 两点之间线段最短 B. 垂线段最短 C. 两点确定一条直线 D. 三角形具有稳定性
5. 在九年级的一次考试中某道单选题的作答情况如图所示，由统计图可得选B的人数是( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
6. 如图①，用一个平面截长方体，得到如图②的几何体，它在我国古代数学名著《九章算术》中被称为“堑堵”.图②“堑堵”的左视图是( )
A. B.
C. D.
7. 光速约为3×105km/s，太阳光照射到地球上大约需5×102s，地球与太阳的距离大约是( )
A. 0.15×109km B. 1.5×108km C. 1.5×107km D. 15×107km
8. 小熊和小猫把一个三角形纸片折一次后，折痕把原三角形分成两个三角形.如图，当∠1=∠2时，折痕是三角形的( )
A. 中线 B. 中位线 C. 高线 D. 角平分线
9. 如图，若ab=3，则表示ab−a2a2−b2的值的点落在( )
A. 段① B. 段② C. 段③ D. 段④
10. 依据所标识的数据，下列平行四边形一定为菱形的是( )
A. B.
C. D.
11. 平面内，将长分别为1，2，4，x的线段，首尾顺次相接组成凸四边形(如图)，x可能是( )
A. 1 B. 2 C. 7 D. 8
12. 计算：9992−998×1002=( )
A. −2000 B. −1995 C. 1995 D. 2000
13. 图1中的直角三角形有一条直角边长为3，将四个图1中的直角三角形分别拼成如图2，图3所示的正方形，其中阴影部分的面积分别记为S1，S2，则S1−S2的值为( )
A. 9 B. 10 C. 6 D. 1
14. 如图所示，A、B、C、D是一个外角为40°的正多边形的顶点．若O为正多边形的中心，则∠OAD的度数为( )
A. 14°
B. 40°
C. 30°
D. 15°
15. 已知闭合电路的电压为定值，电流I(A)与电路的电阻R(Ω)是反比例函数关系，根据下表判断以下选项正确的是( )
I(A)
5
…
a
…
…
…
b
…
…
R(Ω)
20
30
40
50
60
70
80
90
100
A. I与R的关系式为I=100R B. a=25
C. a 16. 如图，直线a，b所成的角跑到画板外面去了，甲、乙、丙、丁四位同学得到这两条直线所成角的度数的方法如下：
在直线b上任取一点P，过点P作直线a的平行线，量出该直线与直线b所成角的度数．
甲
在直线a上任取一点Q，过点Q作直线a的垂线交直线b于一点，量出该垂线与直线b所成夹角的度数．
乙
任意作一条直线交直线a，b于两点，分别量出该直线与直线a，b所成必角的度数．
丙
在画板上任取一点P，过点P分别作直线a，b的平行线，量出以P为顶点的角的度数．
丁
以上各方法中，可行的有种．( )
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
二、填空题（本大题共2小题，共6.0分）
17. 计算： 9+16= ______ ．
18. 如图，以矩形ABCD的顶点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交AB，AC于点M，N；再分别以点M，N为圆心，大于12MN的长为半径作弧，两弧交于点P：作射线AP，交BC于点E，连接DE，交AC于点F，若AB=1，AC=2．
(1)∠ACB= ______ °；
(2)CF的长为______ ．
三、解答题（本大题共8小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. (本小题4.0分)
新年联欢，某公司为员工准备了A、B两种礼物，A礼物单价a元、重m千克，B礼物单价(a+1)元，重(m−1)千克，为了增加趣味性，公司把礼物随机组合装在盲盒里，每个盲盒里均放两个，随机发放．
(1)装两个A礼物的盲盒比两个B礼物的盲盒重______ 千克：
(2)小林的盲盒比小李的盲盒重1千克，
①两个盲盒的总价钱相差______ 元；
②通过称重其他盲盒，还发现：
称重情况
重量大于小林
的盲盒
与小林的盲盒一样重
重量介于小林和小李之间的
与小李的盲盒一样重
重量小于小李的盲盒的
盲盒个数
0
5
0
9
4
若公司准备所有礼物共花费2018元，则a= ______ 元.
20. (本小题8.0分)
现有代数式n(2−m)，其中m为负整数，嘉嘉和淇淇给出了不同的条件：
(1)根据嘉嘉给出的条件，求代数式的值；
(2)根据淇淇给出的条件，求m的值．
21. (本小题9.0分)
某学校为了解学生的体能情况，组织了体育测试，测试项目有A“立定跳远”、B“掷实心球”、C“耐久跑”、D“快速跑”四个.规定：每名学生测试三项，其中A、B为必测项目，第三项在C、D中随机抽取，每项10分，满分30分．
(1)请用树状图或列表法，求出甲、乙两同学测试的三个项目完全相同的概率：
(2)据统计，九(1)班有8名女生抽到了C“耐久跑”项目，她们的成绩如下：
7，6，8，9，10，5，8，7
①这组成绩的中位数是______ ，平均数是______ ；
②该班女生丙因病错过了测试，补测抽到了C“耐久跑”项目，加上丙同学的成绩后，发现这组成绩的众数与中位数相等，但平均数比①中的平均数大，则丙同学“耐久跑”的成绩为______ ．
22. (本小题9.0分)
发现：如果两个连续的正整数的和可以表示成某一个正整数的平方，那么以这三个正整数为边长的三角形是直角三角形．
验证：如12+13=25=52，请判断以12、13和5为边长的三角形是直角三角形；
探究：设两个连续的正整数m和m+1的和可以表示成正整数n2，请论证“发现”中的结论正确；
应用：寻找一组含正整数9，且满足“发现”中的结论的数字．
23. (本小题9.0分)
如图是放于水平桌面上的鱼缸，其主体部分的轴截面是圆心为O的弓形AMB，与桌面CD相切于点M，开口部分AB与桌面CD平行，测得开口部分AB=40cm，MB=20 5cm．
(1)求弓形AMB的半径：
(2)求优弧AMB的长. (参考数据：tan26.5°≈12，sin30°≈=12)
24. (本小题10.0分)
如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y=x+4的图象分别与x轴，y轴交于A，B两点，直线l2：y=mx+4的图象分别与x轴，y轴交于C、B两点，C为AO中点，M(1,3)和N(3,3)是第一象限的两个点，连接MN．
(1)求直线l2的函数解析式；
(2)将线段MN向左平移n个单位，若与直线l1，l2同时有公共点，求n的取值范围；
(3)直线y=a分别与直线l1，直线l2交于点E和点F，当EF=1时，求a的值．
25. (本小题11.0分)
数学课上大家研究图形的性质．
要求：每位同学画一个△ABC，AB=AC，0°<∠BAC<60°，将线段BC绕点B逆时针旋转α(0°
小丽：“α=36°时，点D落在AC上”．
(1)小明说的可以实现吗？如果可以，请求出这个α的值，如果不可以请说明理由；
(2)求小丽画出的△ABC底角的余弦值；
(3)若∠BAC=30°，旋转线段BD得到∠ABD=45°，BC=4，则C、D两点的距离为______ ．
26. (本小题12.0分)
如图，在平面直角坐标系中，A(0,7)，B(0,4)，嘉琪用手机设计了动画，光点P从点A出发，以每秒2个单位的速度向右匀速运动：光点Q同时从点B出发，在点P的正下方沿抛物线L1：y=x2+bx+c运动，设运动时间为t，当t=32时，P、Q第一次相遇．
(1)①P、Q第一次相遇时，点P的坐标为______ ；
②求抛物线L1的解析式，并写出顶点坐标．
(2)当P、Q相遇后，点P的运动保持不变，点Q沿与L1形状相同的抛物线L2(如图)运动，点Q仍在点P的正下方，再次相遇时同时停止运动.当t=3时，光点Q运动到抛物线L2的最低点，求点P、Q在运动的整个过程中，距离不超过2的时间；
(3)在(2)的条件下，P、Q运动结束后，嘉琪用手机截图L1、L2后，发现屏幕上有一个黑点K(位置固定)，刚好落在平面直角坐标系(10,5)的位置，嘉琪通过手机触屏功能将L1与L2横向、纵向同时放大a倍，使点K落在L1或L2上(放大过程中不改变坐标原点的位置)，直接写出符合条件的a的值．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：由题意，a5+□=a10，
∴5+□=10．
∴□=5．
故选：D．
依据题意，由同底数幂的乘法可得，a5+□=a10，从而5+□=10，进而可以得解．
本题主要考查了同底数幂的乘法，解题时要熟练掌握并准确计算．
2.【答案】D
【解析】解：从热气球A看一栋楼底部C的俯角是∠DAC．
故选：D．
俯角是向下看的视线与水平线的夹角，直接根据定义进行判断即可．
本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，掌握俯角的定义是关键．
3.【答案】A
【解析】解：A、( 3)2=3，故A符合题意；
B、3 2− 2=2 2，故B不符合题意；
C、2−1=12，故C不符合题意；
D、| 2−2|=2− 2，故D不符合题意；
故选：A．
根据二次根式的乘法，减法，绝对值，负整数指数幂进行计算，逐一判断即可解答．
本题考查了二次根式的混合运算，负整数指数幂，准确熟练地进行计算是解题的关键．
4.【答案】D
【解析】解：加上木条后，原不稳定的四边形中具有了稳定的三角形，故这种做法根据的是三角形的稳定性．
故选：D．
用木条固定矩形门框，即是组成三角形，故可用三角形的稳定性解释．
本题考查三角形稳定性的实际应用．三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用，如钢架桥、房屋架梁等，因此要使一些图形具有稳定的结构，往往通过连接辅助线转化为三角形而获得．
5.【答案】C
【解析】解：根据题意得：
1020%×8%=4(人)，
答：选B的人数是4人；
故选：C．
根据D的人数和所占的百分比，求出调查的总人数，再乘以B所占的百分比即可得出答案．
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
6.【答案】A
【解析】解：这个“堑堵”的左视图如下：
故选：A．
找到从几何体的左面看所得到的图形即可．
本题考查了简单组合体的三视图，注意主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．
7.【答案】B
【解析】解：3×105km/s×5×102s=1.5×108km．
故选：B．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
8.【答案】C
【解析】解：根据翻折的性质知，∠1=∠2，
∵∠1+∠2=180°，
∴∠1=∠2=90°，
∴折痕是三角形的高线，
故选：C．
根据翻折的性质可得∠1=∠2=90°，即知折痕是三角形的高线．
本题考查三角形中的翻折问题，解题的关键是掌握翻折的性质．
9.【答案】B
【解析】解：∵ab=3，
∴a=3b，
∴ab−a2a2−b2=3b2−9b29b2−b2=−6b28b2=−34，
∴表示ab−a2a2−b2的值的点落在段②，
故选：B．
把ab=3变形得a=3b，代入即可求出分式的值，再看值的点落在的位置．
本题考查了分式的值，能正确把ab=3变形为a=3b是解此题的关键．
10.【答案】C
【解析】解：∵四边形是平行四边形，
∴对角线互相平分，故A不一定是菱形；
∵四边形是平行四边形，
∴对边相等，故B不一定是菱形；
∵四边形是平行四边形，
∴对边平行，故D不一定是菱形，
∵图C中，根据三角形的内角和定理可得：180°−70°−55°=55°，
∴邻边相等，
∵四边形是平行四边形，
∴邻边相等的平行四边形的菱形，故C是菱形；
故选：C．
根据菱形的判定解答即可．
此题考查菱形的判定，关键是根据菱形的判定方法解答．
11.【答案】B
【解析】解：连接AC，
在△ACD中，4−2
故选：B．
由三角形三边关系定理得到2
12.【答案】B
【解析】解：9992−998×1002
=9992−(1000−2)×(1000+2)
=9992−10002+4
=(999−1000)×(999+1000)+4
=−1×1999+4
=−1999+4
=−1995．
故选：B．
两次根据平方差公式计算即可求解．
本题考查了平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差．
13.【答案】A
【解析】解：设直角三角的另一直角边为a，则，
S1=(a+3)2−4×12×3a=a2+9，
S2=a⋅a=a2，
∴S1−S2=a2+9−a2=9．
故选：A．
设直角三角形另一直角边为a，然后分别用a表示出两个阴影部分的面积，最后求解即可．
本题主要考查了三角形和正方形面积的求法，解题的关键在于能够熟练地掌握相关的知识点．
14.【答案】C
【解析】
【分析】
本题主要考查了正多边形的外角以及内角，熟练求出正多边形的中心角是解题的关键．
连接OB、OC，利用任意凸多边形的外角和均为360°，正多边形的每个外角相等即可求出多边形的边数，再根据多边形的内角和公式计算即可．
【解答】
解：连接OB、OC，
正多边形的每个外角相等，且其和为360°，
据此可得多边形的边数为：360°40∘=9，
∴∠AOB=360°9=40°，，
∴∠AOD=40°×3=120°．
∴∠OAD=180°−∠AOD2=180°−120°2=30°．
故选：C．
15.【答案】D
【解析】解：∵闭合电路的电压为定值，
∴U=IR=5×20=100，
∴I=100R(R>0)，故A错误，不符合题意；
当R=40时，I=a=10040=2.5，故B错误，不符合题意；
当R=80时，I=b=10080=1.25，
∴a>b，故C错误，不符合题意；
当I=2时，R=1002=50，
当I=a=2.5时，R=1002.5=40，
∴当2
由闭合电路的电压为定值，可得I=100R(R>0)，判断A错误；当R=40时，I=a=10040=2.5，判断B错误；求出b=10080=1.25，知a>b，判断C错误；求出当I=2时，R=50，当I=a=2.5时，R=40，判定D正确．
本题考查反比例函数的应用，解题的关键是读懂题意，求出I=100R(R>0)．
16.【答案】A
【解析】解：(1)根据“两直线平行，同位角相等”可得这两条直线所成角的度数，故符合题意；
(2)根据“直角三角形的两锐角互余”可得这两条直线所成角的度数，故符合题意；
(3)根据三角形内角和定理可得这两条直线所成角的度数，故符合题意；
(4)根据“两边互相平行的两角相等或互补”可得这两条直线所成角的度数，故符合题意；
故选：A．
根据平行线的性质、直角三角形的两锐角互余、三角形内角和定理、两边互相平行的两角相等或互补判断求解即可．
本题考查了平行线的性质、三角形内角和定理等，解题的关键是掌握平行线的性质、三角形内角和定理．
17.【答案】5
【解析】解： 9+16= 25=5．
故答案为：5．
先算根号里面的加法，再算算术平方根即可求解．
本题考查了算术平方根，算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．记为 a．
18.【答案】30 45
【解析】解：连接BD交AC于O点，如图，
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠ABC=90°，
∴sin∠ACB=ABAC=12，
∴∠ACB=30°，
故答案为：30；
(2)∵四边形ABCD为矩形，
∴AD//BC，AD=BC，CD=AB=1，OA=OB=OC=12AC=1，∠ABC=90°，
∴AB=OA=OB，
∴△AOB为等边三角形，
∴∠BAC=60°，
由作法得AP平分∠BAC，
∴∠BAE=12∠BAC=30°，
在Rt△ABC中，BC= 22−12= 3，
在Rt△ABE中，BE= 33AB= 33，
∴CE= 3− 33=2 33，
∵CE//AD，
∴CEAD=CFAF=2 33 3=23，
∴CF2−CF=23，
∴CF=45
故答案为：45．
(1)利用三角函数即可得答案；
(2)连接BD交AC于O点，如图，根据矩形的性质得到AD//BC，AD=BC，CD=AB=1，OA=OB=OC=12AC=1，∠ABC=90°，先证明△AOB为等边三角形得到∠BAC=60°，再利用基本作图得AP平分∠BAC，所以∠BAE=30°，接着计算出BC= 3，BE= 33，所以CE=2 33，然后利用平行线分线段成比例定理得到CEAD=CFAF，最后利用比例的性质可求出CF的长．
本题考查了作图−基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了角平分线的性质和矩形的性质．
19.【答案】2 1 50
【解析】解：(1)∵A礼物重m千克，B礼物重(m−1)千克，
∴一个A礼物比一个B礼物重1千克，
∵每个盲盒里均放两样，小林的盲盒比小李的盲盒重2千克，
故答案为：2；
(2)①小李的盲盒中为1件A礼物和1件B礼物，小林的盲盒中为2件4礼物，或小李的盲盒中为2件B礼物，小林的盲盒中为1件A礼物和1件B礼物；
∴不管以上哪种情况，两个盲盒的礼物总价格都相差a+1−a=1(元)，
②由表格中数据可知，重量小于小李的盲盒的有4盒可知小李的盲盒中为1件A礼物和1件B礼物，不可能为2件B礼物，
∵小李的盲盒中为1件A礼物和1件B礼物，小林的盲盒中为2件A礼物，
∴重量小于小李的盲盒为2件B礼物，
∵与小林的盲盒一样重盲盒有5盒，与小李的盲盒一样重的盲盒有9盒，重量小于小李的盲盒有4盒，
∴2件B礼物的有4盒，1件A礼物和1件B礼物有10盒，
2件A礼物有6盒，
∴.2×4(a+1)+10×a+10(a+1)+2×6a=2018，
解得a=50，
故答案为：①1，②50．
(1)根据小林的盲盒比小李的盲盒重1千克可判断两个盲盒的总价钱相差1元；
(2)①根据重量小于小李的盲盒的为4盒可以得出结论；
②小李的盲盒中为1件A礼物和1件B礼物，小林的盲盒中为2件4礼物，然后再根据表格中的数据列一元一次方程求解即可．
本题主要考查数据的收集与整理，能根据一直数据准确判断小李与小林的盲盒中的礼物时解答此题的关键．
20.【答案】解：(1)当n=−3，m=−2时，原式=−3×(2+2)=−12；
(2)当n=2时，代数式为2(2−m)，
由题意得：2(2−m)≤7，
解得：m≥−1.5，
∵m为负整数，
∴m=−1．
【解析】(1)把n、m的值代入计算即可；
(2)根据题意列出一元一次不等式，解不等式得到答案．
本题考查的是整式的化简求值，一元一次不等式的解法，掌握整式的解一元一次不等式的一般步骤是解题的关键．
21.【答案】7.5 7.5 8
【解析】解：(1)列表如下，
C
D
C
(C,C)
(D,C)
D
(C,C)
(D,D)
由图中可知抽取结果共有4种，其中甲、乙两同学测试的项目完全相同的结果有2种，
则P(三个项目完全相同的概率)=24=12；
(2)①重新排列为5，6，7，7，8，8，9，10，
根据题意得：中位数是7+82=7.5，平均数=18×(7+6+8+9+10+5+8+7)=7.5；
故答案为：7.5，7.5；
②设丙同学“耐久跑”的成绩为x，则这组成绩为：5，6，7，7，x，8，8，9，10，
∵这组成绩的众数与中位数相等，
∴x为7或8，
∵平均数比①中的平均数大，即x>7.5，
∴x=8，
故答案为：8．
(1)找出抽取结果共有种数，以及其中抽到项目完全相同结果的种数，即可求出所求概率；
(2)①根据题意确定出这组数据的平均数与中位数即可；
②根据众数、中位数、平均数的定义即可得到结论
此题考查了列表法与树状图法，用样本估计总体，中位数，以及众数，概率=所求情况数与总情况数之比．
22.【答案】解：验证：52+122=169，132=169，
∴52+122=132，
∴以12、13和5为边长的三角形是直角三角形；
探究：
由“发现”得：m+m+1=n2，
∴n2=2m+1，
∴n2+m2=m2+2m+1=(m+1)2，
∴以n、m、m+1为边长的三角形是直角三角形；
∴“发现”中的结论正确；
应用：
∵40+41=92，
∴92+402=1681，412=1681，
∴92+402=412，
∴以9、40、41为边长的三角形是直角三角形．
【解析】验证：可得52+122=132，即可求解；
探究：可得n2+m2=m2+2m+1=(m+1)2，可以得证；
应用：由40+41=92，即可求解．
本题考查了勾股定理的逆定理在知识迁移创新题中的应用，理解题意，掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
23.【答案】解：(1)连接OM并延长MO交AB于D，连接AO，AM，OB，
∵⊙O于CD相切，
∴DM⊥CD，
∵AB//CD，
∴DM⊥AB，
∴AD=BD=12AB=12×40=20(cm)，AM=BM=20 5(cm)，
∴DM= BM2−BD2= (20 5)2−202=40(cm)，
∵AD2+OD2=OA2，
∴202+(40−OA)2=OA2，
∴OA=25cm，
即弓形AMB的半径为25cm；
(2)∵tan∠AMD=ADDM=12，
∴∠AMD≈26.5°，
∴∠AOD=2∠AMD=53°，
∴∠AOB=2∠AOD=106°，
∴优弧AMB的长为(360−106)⋅π×25180=635π18．
【解析】(1)连接OM并延长MO交AB于D，连接AO，AM，OB，根据切线的性质得到DM⊥CD，根据平行线的性质得到DM⊥AB，根据勾股定理即可得到结论；
(2)根据三角函数的定义得到∠AMD≈26.5°，根据圆周角定理得到∠AOB=2∠AOD=106°，根据弧长公式即可得到结论．
本题考查了解直角三角形的应用，弧长的计算，正确地作出辅助线是解题的关键．
24.【答案】解：(1)令y=x+4=0，则x=−4，即点A(−4,0)，
∵C为AO中点，则点C(−2,0)，
将点C的坐标代入y=mx+4得：0=−2m+4，
解得：m=2，
即直线l2的函数解析式为：y=2x+4；
(2)延长NM分别交两条直线于点G、H，
当y=3时，则y=2x+4=3，则x=−12，即点H(−12,3)，
当y=3时，则y=x+4=3，则x=−1，即点G(−1,3)；
当点M和点G重合时，符合题设要求，此时，n=2，
当点N和点H重合时，符合题设要求，此时，n=3.5，
即2≤n≤3.5；
(3)当y=a时，即y=2x+4=a，y=x+4=a，
则x=a−42，x=a−4，
则|a−4−a−42|=1，
则a=6或2．
【解析】(1)用待定系数法即可求解；
(2)当点M和点G重合时，符合题设要求，此时，n=2，当点N和点H重合时，符合题设要求，此时，n=3.5，进而求解；
(3)当y=a时，即y=2x+4=a，y=x+4=a，则x=a−42，x=a−4，则|a−4−a−42|=1，即可求解．
本题是一次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、绝对值的运用、图形的平移等，其中(2)、(3)，要注意分类求解，避免遗漏．
25.【答案】2 6−2 2
【解析】解：(1)小明说的可以实现．α=60°．
当α=60°时，∵BD=BC，
∴△BDC是等边三角形，
∴DB=DC，
∵AB=AC，AD=AD，
∴△BAD≌△CAD(SSS)，
∴∠BAD=∠CAD，
∴AD平分∠BAC；
(2)过点A作AH⊥BC于点H.设BC=a，CD=b．
∵BD=BC，∠CBD=36°，
∴∠BDC=∠C=72°，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C=72°，
∴∠BAC=180°−72°−72°=36°，
∴∠ABD=∠BAD=36°，
∴AD=DB=BC=a，
∴CD=b，
∴AC=a+b，
∵∠C=∠C，∠CBD=∠CAB，
∴△CBD∽△CAB，
∴BCCA=CDBC，
∴a2=b(a+b)，
∴b2+ab−a2=0，
∴b= 5−12a(负根已经舍去)，
∵AB=AC，AH⊥CB，
∴CH=BH=12a，
∴cosC=CHAC=12aa+ 5−12a= 5−14；
(3)如图3中，
∵AB=AC，∠A=30°，
∴∠ABC=∠C=12(180°−30°)=75°．
∵∠ABD=45°，
∴∠DBC=∠ABC−∠ABD=30°，
∴∠ADB=180°−30°−45°=105°，∠BDC=180°−30°−75°=75°，
∴∠ADB+∠BDC=180°，
∴A，D，C共线，
∵∠C=∠CDB=75°，
∴BC=BD=4，
过点D作DH⊥AB于点H，则BH=DH=2 2，AD=2DH=4 2，AH= DH=2 6，
∴AB=AC=AH+BH=2 2+2 6，
∴CD=AC=AD=2 2+2 6−4 2=2 6−2 2．
故答案为：2 6−2 2．
(1)小明说的可以实现．α=60°.证明△DBC是等边三角形即可；
(2)过点A作AH⊥BC于点H.设BC=a，CD=b.利用相似三角形的性质求出a，b的关系，可得结论；
(3)首先证明A，D，C三点共线，推出BD=BC=4，再求出AB，AC，AD，可得结论．
本题属于几何变换综合题，考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
26.【答案】(3,7)
【解析】解：(1)①∵2×32=3，A(0,7)，
∴P、Q第一次相遇时，点P的坐标为(3,7)；
故答案为：(3,7)；
②把(3,7)，(0,4)代入y=x2+bx+c得：
9+3b+c=7c=4，
解得：b=−2c=4，
∴抛物线L1的解析式解析式为y=x2−2x+4；
∵y=x2−2x+4=(x−1)2+3，
∴物线L1的顶点坐标是(1,3)；
(2)设抛物线L2的解析式为y=x2+mx+n，
∵当t=3时，光点Q运动到抛物线L2的最低点，
∴−m2=3×2，
∴m=−12，
∴y=x2−12x+n，
把(3,7)代入y=x2−12x+n得：
7=9−36+n，
解得：n=34，
∴抛物线L2的解析式为y=x2−12x+34，
当Q在抛物线L1上，点P、Q距离为2，则x2−2x+4=7−2，
解得：x=1+ 2或x=1− 2(不符合题意，舍去)，
∴当Q在抛物线L1上，点P、Q距离不超过2的时间为3−(1+ 2)2=2− 22(秒)；
当Q在抛物线L2上，点P、Q距离为2，则x2−12x+34=7−2，
解得：x=6+ 7或x=6− 7，
由对称性可知，停止运动时，P的横坐标为9，
∴当Q在抛物线L2上，点P、Q距离不超过2的时间为6− 7−32+9−(6+ 7)2=3− 7(秒)；
∴点P、Q在运动的整个过程中，距离不超过2的时间为2− 22+3− 7=8− 2−2 72(秒)；
(3)由(1)(2)知，抛物线L1的解析式为y=(x−1)2+3，抛物线L2的解析式为y=(x−6)2−2，
∴将L1与L2横向、纵向同时放大a倍后，抛物线L1的顶点为(a,3a)，抛物线L2的顶点为(6a,−2a)，
设放大a倍后，抛物线L1的解析式为y=p(x−a)2+3a，
将(3a,7a)代入得：7a=4a2p+3a，
∴4a2p=4a，
∵a≠0，
∴p=1a，
∴放大a倍后，抛物线L1的解析式为y=1a(x−a)2+3a，
把K(10,5)代入得：5=1a(10−a)2+3a，
方程无实数解，
∴K不可能在放大a倍后的抛物线L1上；
同理设放大a倍后，抛物线L2的解析式为y=q(x−6a)2−2a，
将(3a,7a)代入得：7a=9a2q−2a，
∴9a2q=9a，
∵a≠0，
∴q=1a，
∴放大a倍后，抛物线L2的解析式为y=1a(x−6a)2−2a，
把K(10,5)代入得：5=1a(10−6a)2−2a，
解得a=52或a=2017，
综上所述，a的值为52或2017．
(1)①由2×32=3，可得P、Q第一次相遇时，点P的坐标为(3,7)；
②用待定系数法得抛物线L1的解析式解析式为y=x2−2x+4；即可得物线L1的顶点坐标是(1,3)；
(2)设抛物线L2的解析式为y=x2+mx+n，用待定系数法可得抛物线L2的解析式为y=x2−12x+34，分别求出当Q在抛物线L1上，点P、Q距离不超过2的时间和当Q在抛物线L2上，点P、Q距离不超过2的时间，再相加即可；
(3)由抛物线L1的解析式为y=(x−1)2+3，抛物线L2的解析式为y=(x−6)2−2，可知将L1与L2横向、纵向同时放大a倍后，抛物线L1的顶点为(a,3a)，抛物线L2的顶点为(6a,−2a)，设放大a倍后，抛物线L1的解析式为y=p(x−a)2+3a，用待定系数法可得放大a倍后，抛物线L1的解析式为y=1a(x−a)2+3a，把K(10,5)代入得5=1a(10−a)2+3a，方程无实数解，故K不可能在放大a倍后的抛物线L1上；同理可得放大a倍后，抛物线L2的解析式为y=1a(x−6a)2−2a，把K(10,5)代入可解得a=52或a=2017．
本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，动点问题，位似变换等知识，解题的关键是读懂题意，用含字母的代数式表示相关点坐标和相关相等的长度．
2023年河北省石家庄外国语教育集团中考数学二模试卷
一、选择题（本大题共16小题，共42.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 在等式a5⋅a□=a10中，□内应该填入( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
2. 如图，从热气球A看一栋楼底部C的俯角是( )
A. ∠BAD
B. ∠ACB
C. ∠BAC
D. ∠DAC
3. 下列运算正确的是( )
A. ( 3)2=3 B. 3 2− 2=3
C. 2−1=−2 D. | 2−2|= 2−2
4. 如图，盖房子时，在窗框未安装好之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条，这样做的数学道理是( )
A. 两点之间线段最短 B. 垂线段最短 C. 两点确定一条直线 D. 三角形具有稳定性
5. 在九年级的一次考试中某道单选题的作答情况如图所示，由统计图可得选B的人数是( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
6. 如图①，用一个平面截长方体，得到如图②的几何体，它在我国古代数学名著《九章算术》中被称为“堑堵”.图②“堑堵”的左视图是( )
A. B.
C. D.
7. 光速约为3×105km/s，太阳光照射到地球上大约需5×102s，地球与太阳的距离大约是( )
A. 0.15×109km B. 1.5×108km C. 1.5×107km D. 15×107km
8. 小熊和小猫把一个三角形纸片折一次后，折痕把原三角形分成两个三角形.如图，当∠1=∠2时，折痕是三角形的( )
A. 中线 B. 中位线 C. 高线 D. 角平分线
9. 如图，若ab=3，则表示ab−a2a2−b2的值的点落在( )
A. 段① B. 段② C. 段③ D. 段④
10. 依据所标识的数据，下列平行四边形一定为菱形的是( )
A. B.
C. D.
11. 平面内，将长分别为1，2，4，x的线段，首尾顺次相接组成凸四边形(如图)，x可能是( )
A. 1 B. 2 C. 7 D. 8
12. 计算：9992−998×1002=( )
A. −2000 B. −1995 C. 1995 D. 2000
13. 图1中的直角三角形有一条直角边长为3，将四个图1中的直角三角形分别拼成如图2，图3所示的正方形，其中阴影部分的面积分别记为S1，S2，则S1−S2的值为( )
A. 9 B. 10 C. 6 D. 1
14. 如图所示，A、B、C、D是一个外角为40°的正多边形的顶点．若O为正多边形的中心，则∠OAD的度数为( )
A. 14°
B. 40°
C. 30°
D. 15°
15. 已知闭合电路的电压为定值，电流I(A)与电路的电阻R(Ω)是反比例函数关系，根据下表判断以下选项正确的是( )
I(A)
5
…
a
…
…
…
b
…
…
R(Ω)
20
30
40
50
60
70
80
90
100
A. I与R的关系式为I=100R B. a=25
C. a 16. 如图，直线a，b所成的角跑到画板外面去了，甲、乙、丙、丁四位同学得到这两条直线所成角的度数的方法如下：
在直线b上任取一点P，过点P作直线a的平行线，量出该直线与直线b所成角的度数．
甲
在直线a上任取一点Q，过点Q作直线a的垂线交直线b于一点，量出该垂线与直线b所成夹角的度数．
乙
任意作一条直线交直线a，b于两点，分别量出该直线与直线a，b所成必角的度数．
丙
在画板上任取一点P，过点P分别作直线a，b的平行线，量出以P为顶点的角的度数．
丁
以上各方法中，可行的有种．( )
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
二、填空题（本大题共2小题，共6.0分）
17. 计算： 9+16= ______ ．
18. 如图，以矩形ABCD的顶点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交AB，AC于点M，N；再分别以点M，N为圆心，大于12MN的长为半径作弧，两弧交于点P：作射线AP，交BC于点E，连接DE，交AC于点F，若AB=1，AC=2．
(1)∠ACB= ______ °；
(2)CF的长为______ ．
三、解答题（本大题共8小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. (本小题4.0分)
新年联欢，某公司为员工准备了A、B两种礼物，A礼物单价a元、重m千克，B礼物单价(a+1)元，重(m−1)千克，为了增加趣味性，公司把礼物随机组合装在盲盒里，每个盲盒里均放两个，随机发放．
(1)装两个A礼物的盲盒比两个B礼物的盲盒重______ 千克：
(2)小林的盲盒比小李的盲盒重1千克，
①两个盲盒的总价钱相差______ 元；
②通过称重其他盲盒，还发现：
称重情况
重量大于小林
的盲盒
与小林的盲盒一样重
重量介于小林和小李之间的
与小李的盲盒一样重
重量小于小李的盲盒的
盲盒个数
0
5
0
9
4
若公司准备所有礼物共花费2018元，则a= ______ 元.
20. (本小题8.0分)
现有代数式n(2−m)，其中m为负整数，嘉嘉和淇淇给出了不同的条件：
(1)根据嘉嘉给出的条件，求代数式的值；
(2)根据淇淇给出的条件，求m的值．
21. (本小题9.0分)
某学校为了解学生的体能情况，组织了体育测试，测试项目有A“立定跳远”、B“掷实心球”、C“耐久跑”、D“快速跑”四个.规定：每名学生测试三项，其中A、B为必测项目，第三项在C、D中随机抽取，每项10分，满分30分．
(1)请用树状图或列表法，求出甲、乙两同学测试的三个项目完全相同的概率：
(2)据统计，九(1)班有8名女生抽到了C“耐久跑”项目，她们的成绩如下：
7，6，8，9，10，5，8，7
①这组成绩的中位数是______ ，平均数是______ ；
②该班女生丙因病错过了测试，补测抽到了C“耐久跑”项目，加上丙同学的成绩后，发现这组成绩的众数与中位数相等，但平均数比①中的平均数大，则丙同学“耐久跑”的成绩为______ ．
22. (本小题9.0分)
发现：如果两个连续的正整数的和可以表示成某一个正整数的平方，那么以这三个正整数为边长的三角形是直角三角形．
验证：如12+13=25=52，请判断以12、13和5为边长的三角形是直角三角形；
探究：设两个连续的正整数m和m+1的和可以表示成正整数n2，请论证“发现”中的结论正确；
应用：寻找一组含正整数9，且满足“发现”中的结论的数字．
23. (本小题9.0分)
如图是放于水平桌面上的鱼缸，其主体部分的轴截面是圆心为O的弓形AMB，与桌面CD相切于点M，开口部分AB与桌面CD平行，测得开口部分AB=40cm，MB=20 5cm．
(1)求弓形AMB的半径：
(2)求优弧AMB的长. (参考数据：tan26.5°≈12，sin30°≈=12)
24. (本小题10.0分)
如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y=x+4的图象分别与x轴，y轴交于A，B两点，直线l2：y=mx+4的图象分别与x轴，y轴交于C、B两点，C为AO中点，M(1,3)和N(3,3)是第一象限的两个点，连接MN．
(1)求直线l2的函数解析式；
(2)将线段MN向左平移n个单位，若与直线l1，l2同时有公共点，求n的取值范围；
(3)直线y=a分别与直线l1，直线l2交于点E和点F，当EF=1时，求a的值．
25. (本小题11.0分)
数学课上大家研究图形的性质．
要求：每位同学画一个△ABC，AB=AC，0°<∠BAC<60°，将线段BC绕点B逆时针旋转α(0°
小丽：“α=36°时，点D落在AC上”．
(1)小明说的可以实现吗？如果可以，请求出这个α的值，如果不可以请说明理由；
(2)求小丽画出的△ABC底角的余弦值；
(3)若∠BAC=30°，旋转线段BD得到∠ABD=45°，BC=4，则C、D两点的距离为______ ．
26. (本小题12.0分)
如图，在平面直角坐标系中，A(0,7)，B(0,4)，嘉琪用手机设计了动画，光点P从点A出发，以每秒2个单位的速度向右匀速运动：光点Q同时从点B出发，在点P的正下方沿抛物线L1：y=x2+bx+c运动，设运动时间为t，当t=32时，P、Q第一次相遇．
(1)①P、Q第一次相遇时，点P的坐标为______ ；
②求抛物线L1的解析式，并写出顶点坐标．
(2)当P、Q相遇后，点P的运动保持不变，点Q沿与L1形状相同的抛物线L2(如图)运动，点Q仍在点P的正下方，再次相遇时同时停止运动.当t=3时，光点Q运动到抛物线L2的最低点，求点P、Q在运动的整个过程中，距离不超过2的时间；
(3)在(2)的条件下，P、Q运动结束后，嘉琪用手机截图L1、L2后，发现屏幕上有一个黑点K(位置固定)，刚好落在平面直角坐标系(10,5)的位置，嘉琪通过手机触屏功能将L1与L2横向、纵向同时放大a倍，使点K落在L1或L2上(放大过程中不改变坐标原点的位置)，直接写出符合条件的a的值．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：由题意，a5+□=a10，
∴5+□=10．
∴□=5．
故选：D．
依据题意，由同底数幂的乘法可得，a5+□=a10，从而5+□=10，进而可以得解．
本题主要考查了同底数幂的乘法，解题时要熟练掌握并准确计算．
2.【答案】D
【解析】解：从热气球A看一栋楼底部C的俯角是∠DAC．
故选：D．
俯角是向下看的视线与水平线的夹角，直接根据定义进行判断即可．
本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，掌握俯角的定义是关键．
3.【答案】A
【解析】解：A、( 3)2=3，故A符合题意；
B、3 2− 2=2 2，故B不符合题意；
C、2−1=12，故C不符合题意；
D、| 2−2|=2− 2，故D不符合题意；
故选：A．
根据二次根式的乘法，减法，绝对值，负整数指数幂进行计算，逐一判断即可解答．
本题考查了二次根式的混合运算，负整数指数幂，准确熟练地进行计算是解题的关键．
4.【答案】D
【解析】解：加上木条后，原不稳定的四边形中具有了稳定的三角形，故这种做法根据的是三角形的稳定性．
故选：D．
用木条固定矩形门框，即是组成三角形，故可用三角形的稳定性解释．
本题考查三角形稳定性的实际应用．三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用，如钢架桥、房屋架梁等，因此要使一些图形具有稳定的结构，往往通过连接辅助线转化为三角形而获得．
5.【答案】C
【解析】解：根据题意得：
1020%×8%=4(人)，
答：选B的人数是4人；
故选：C．
根据D的人数和所占的百分比，求出调查的总人数，再乘以B所占的百分比即可得出答案．
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
6.【答案】A
【解析】解：这个“堑堵”的左视图如下：
故选：A．
找到从几何体的左面看所得到的图形即可．
本题考查了简单组合体的三视图，注意主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．
7.【答案】B
【解析】解：3×105km/s×5×102s=1.5×108km．
故选：B．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
8.【答案】C
【解析】解：根据翻折的性质知，∠1=∠2，
∵∠1+∠2=180°，
∴∠1=∠2=90°，
∴折痕是三角形的高线，
故选：C．
根据翻折的性质可得∠1=∠2=90°，即知折痕是三角形的高线．
本题考查三角形中的翻折问题，解题的关键是掌握翻折的性质．
9.【答案】B
【解析】解：∵ab=3，
∴a=3b，
∴ab−a2a2−b2=3b2−9b29b2−b2=−6b28b2=−34，
∴表示ab−a2a2−b2的值的点落在段②，
故选：B．
把ab=3变形得a=3b，代入即可求出分式的值，再看值的点落在的位置．
本题考查了分式的值，能正确把ab=3变形为a=3b是解此题的关键．
10.【答案】C
【解析】解：∵四边形是平行四边形，
∴对角线互相平分，故A不一定是菱形；
∵四边形是平行四边形，
∴对边相等，故B不一定是菱形；
∵四边形是平行四边形，
∴对边平行，故D不一定是菱形，
∵图C中，根据三角形的内角和定理可得：180°−70°−55°=55°，
∴邻边相等，
∵四边形是平行四边形，
∴邻边相等的平行四边形的菱形，故C是菱形；
故选：C．
根据菱形的判定解答即可．
此题考查菱形的判定，关键是根据菱形的判定方法解答．
11.【答案】B
【解析】解：连接AC，
在△ACD中，4−2
故选：B．
由三角形三边关系定理得到2
12.【答案】B
【解析】解：9992−998×1002
=9992−(1000−2)×(1000+2)
=9992−10002+4
=(999−1000)×(999+1000)+4
=−1×1999+4
=−1999+4
=−1995．
故选：B．
两次根据平方差公式计算即可求解．
本题考查了平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差．
13.【答案】A
【解析】解：设直角三角的另一直角边为a，则，
S1=(a+3)2−4×12×3a=a2+9，
S2=a⋅a=a2，
∴S1−S2=a2+9−a2=9．
故选：A．
设直角三角形另一直角边为a，然后分别用a表示出两个阴影部分的面积，最后求解即可．
本题主要考查了三角形和正方形面积的求法，解题的关键在于能够熟练地掌握相关的知识点．
14.【答案】C
【解析】
【分析】
本题主要考查了正多边形的外角以及内角，熟练求出正多边形的中心角是解题的关键．
连接OB、OC，利用任意凸多边形的外角和均为360°，正多边形的每个外角相等即可求出多边形的边数，再根据多边形的内角和公式计算即可．
【解答】
解：连接OB、OC，
正多边形的每个外角相等，且其和为360°，
据此可得多边形的边数为：360°40∘=9，
∴∠AOB=360°9=40°，，
∴∠AOD=40°×3=120°．
∴∠OAD=180°−∠AOD2=180°−120°2=30°．
故选：C．
15.【答案】D
【解析】解：∵闭合电路的电压为定值，
∴U=IR=5×20=100，
∴I=100R(R>0)，故A错误，不符合题意；
当R=40时，I=a=10040=2.5，故B错误，不符合题意；
当R=80时，I=b=10080=1.25，
∴a>b，故C错误，不符合题意；
当I=2时，R=1002=50，
当I=a=2.5时，R=1002.5=40，
∴当2
由闭合电路的电压为定值，可得I=100R(R>0)，判断A错误；当R=40时，I=a=10040=2.5，判断B错误；求出b=10080=1.25，知a>b，判断C错误；求出当I=2时，R=50，当I=a=2.5时，R=40，判定D正确．
本题考查反比例函数的应用，解题的关键是读懂题意，求出I=100R(R>0)．
16.【答案】A
【解析】解：(1)根据“两直线平行，同位角相等”可得这两条直线所成角的度数，故符合题意；
(2)根据“直角三角形的两锐角互余”可得这两条直线所成角的度数，故符合题意；
(3)根据三角形内角和定理可得这两条直线所成角的度数，故符合题意；
(4)根据“两边互相平行的两角相等或互补”可得这两条直线所成角的度数，故符合题意；
故选：A．
根据平行线的性质、直角三角形的两锐角互余、三角形内角和定理、两边互相平行的两角相等或互补判断求解即可．
本题考查了平行线的性质、三角形内角和定理等，解题的关键是掌握平行线的性质、三角形内角和定理．
17.【答案】5
【解析】解： 9+16= 25=5．
故答案为：5．
先算根号里面的加法，再算算术平方根即可求解．
本题考查了算术平方根，算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．记为 a．
18.【答案】30 45
【解析】解：连接BD交AC于O点，如图，
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠ABC=90°，
∴sin∠ACB=ABAC=12，
∴∠ACB=30°，
故答案为：30；
(2)∵四边形ABCD为矩形，
∴AD//BC，AD=BC，CD=AB=1，OA=OB=OC=12AC=1，∠ABC=90°，
∴AB=OA=OB，
∴△AOB为等边三角形，
∴∠BAC=60°，
由作法得AP平分∠BAC，
∴∠BAE=12∠BAC=30°，
在Rt△ABC中，BC= 22−12= 3，
在Rt△ABE中，BE= 33AB= 33，
∴CE= 3− 33=2 33，
∵CE//AD，
∴CEAD=CFAF=2 33 3=23，
∴CF2−CF=23，
∴CF=45
故答案为：45．
(1)利用三角函数即可得答案；
(2)连接BD交AC于O点，如图，根据矩形的性质得到AD//BC，AD=BC，CD=AB=1，OA=OB=OC=12AC=1，∠ABC=90°，先证明△AOB为等边三角形得到∠BAC=60°，再利用基本作图得AP平分∠BAC，所以∠BAE=30°，接着计算出BC= 3，BE= 33，所以CE=2 33，然后利用平行线分线段成比例定理得到CEAD=CFAF，最后利用比例的性质可求出CF的长．
本题考查了作图−基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了角平分线的性质和矩形的性质．
19.【答案】2 1 50
【解析】解：(1)∵A礼物重m千克，B礼物重(m−1)千克，
∴一个A礼物比一个B礼物重1千克，
∵每个盲盒里均放两样，小林的盲盒比小李的盲盒重2千克，
故答案为：2；
(2)①小李的盲盒中为1件A礼物和1件B礼物，小林的盲盒中为2件4礼物，或小李的盲盒中为2件B礼物，小林的盲盒中为1件A礼物和1件B礼物；
∴不管以上哪种情况，两个盲盒的礼物总价格都相差a+1−a=1(元)，
②由表格中数据可知，重量小于小李的盲盒的有4盒可知小李的盲盒中为1件A礼物和1件B礼物，不可能为2件B礼物，
∵小李的盲盒中为1件A礼物和1件B礼物，小林的盲盒中为2件A礼物，
∴重量小于小李的盲盒为2件B礼物，
∵与小林的盲盒一样重盲盒有5盒，与小李的盲盒一样重的盲盒有9盒，重量小于小李的盲盒有4盒，
∴2件B礼物的有4盒，1件A礼物和1件B礼物有10盒，
2件A礼物有6盒，
∴.2×4(a+1)+10×a+10(a+1)+2×6a=2018，
解得a=50，
故答案为：①1，②50．
(1)根据小林的盲盒比小李的盲盒重1千克可判断两个盲盒的总价钱相差1元；
(2)①根据重量小于小李的盲盒的为4盒可以得出结论；
②小李的盲盒中为1件A礼物和1件B礼物，小林的盲盒中为2件4礼物，然后再根据表格中的数据列一元一次方程求解即可．
本题主要考查数据的收集与整理，能根据一直数据准确判断小李与小林的盲盒中的礼物时解答此题的关键．
20.【答案】解：(1)当n=−3，m=−2时，原式=−3×(2+2)=−12；
(2)当n=2时，代数式为2(2−m)，
由题意得：2(2−m)≤7，
解得：m≥−1.5，
∵m为负整数，
∴m=−1．
【解析】(1)把n、m的值代入计算即可；
(2)根据题意列出一元一次不等式，解不等式得到答案．
本题考查的是整式的化简求值，一元一次不等式的解法，掌握整式的解一元一次不等式的一般步骤是解题的关键．
21.【答案】7.5 7.5 8
【解析】解：(1)列表如下，
C
D
C
(C,C)
(D,C)
D
(C,C)
(D,D)
由图中可知抽取结果共有4种，其中甲、乙两同学测试的项目完全相同的结果有2种，
则P(三个项目完全相同的概率)=24=12；
(2)①重新排列为5，6，7，7，8，8，9，10，
根据题意得：中位数是7+82=7.5，平均数=18×(7+6+8+9+10+5+8+7)=7.5；
故答案为：7.5，7.5；
②设丙同学“耐久跑”的成绩为x，则这组成绩为：5，6，7，7，x，8，8，9，10，
∵这组成绩的众数与中位数相等，
∴x为7或8，
∵平均数比①中的平均数大，即x>7.5，
∴x=8，
故答案为：8．
(1)找出抽取结果共有种数，以及其中抽到项目完全相同结果的种数，即可求出所求概率；
(2)①根据题意确定出这组数据的平均数与中位数即可；
②根据众数、中位数、平均数的定义即可得到结论
此题考查了列表法与树状图法，用样本估计总体，中位数，以及众数，概率=所求情况数与总情况数之比．
22.【答案】解：验证：52+122=169，132=169，
∴52+122=132，
∴以12、13和5为边长的三角形是直角三角形；
探究：
由“发现”得：m+m+1=n2，
∴n2=2m+1，
∴n2+m2=m2+2m+1=(m+1)2，
∴以n、m、m+1为边长的三角形是直角三角形；
∴“发现”中的结论正确；
应用：
∵40+41=92，
∴92+402=1681，412=1681，
∴92+402=412，
∴以9、40、41为边长的三角形是直角三角形．
【解析】验证：可得52+122=132，即可求解；
探究：可得n2+m2=m2+2m+1=(m+1)2，可以得证；
应用：由40+41=92，即可求解．
本题考查了勾股定理的逆定理在知识迁移创新题中的应用，理解题意，掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
23.【答案】解：(1)连接OM并延长MO交AB于D，连接AO，AM，OB，
∵⊙O于CD相切，
∴DM⊥CD，
∵AB//CD，
∴DM⊥AB，
∴AD=BD=12AB=12×40=20(cm)，AM=BM=20 5(cm)，
∴DM= BM2−BD2= (20 5)2−202=40(cm)，
∵AD2+OD2=OA2，
∴202+(40−OA)2=OA2，
∴OA=25cm，
即弓形AMB的半径为25cm；
(2)∵tan∠AMD=ADDM=12，
∴∠AMD≈26.5°，
∴∠AOD=2∠AMD=53°，
∴∠AOB=2∠AOD=106°，
∴优弧AMB的长为(360−106)⋅π×25180=635π18．
【解析】(1)连接OM并延长MO交AB于D，连接AO，AM，OB，根据切线的性质得到DM⊥CD，根据平行线的性质得到DM⊥AB，根据勾股定理即可得到结论；
(2)根据三角函数的定义得到∠AMD≈26.5°，根据圆周角定理得到∠AOB=2∠AOD=106°，根据弧长公式即可得到结论．
本题考查了解直角三角形的应用，弧长的计算，正确地作出辅助线是解题的关键．
24.【答案】解：(1)令y=x+4=0，则x=−4，即点A(−4,0)，
∵C为AO中点，则点C(−2,0)，
将点C的坐标代入y=mx+4得：0=−2m+4，
解得：m=2，
即直线l2的函数解析式为：y=2x+4；
(2)延长NM分别交两条直线于点G、H，
当y=3时，则y=2x+4=3，则x=−12，即点H(−12,3)，
当y=3时，则y=x+4=3，则x=−1，即点G(−1,3)；
当点M和点G重合时，符合题设要求，此时，n=2，
当点N和点H重合时，符合题设要求，此时，n=3.5，
即2≤n≤3.5；
(3)当y=a时，即y=2x+4=a，y=x+4=a，
则x=a−42，x=a−4，
则|a−4−a−42|=1，
则a=6或2．
【解析】(1)用待定系数法即可求解；
(2)当点M和点G重合时，符合题设要求，此时，n=2，当点N和点H重合时，符合题设要求，此时，n=3.5，进而求解；
(3)当y=a时，即y=2x+4=a，y=x+4=a，则x=a−42，x=a−4，则|a−4−a−42|=1，即可求解．
本题是一次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、绝对值的运用、图形的平移等，其中(2)、(3)，要注意分类求解，避免遗漏．
25.【答案】2 6−2 2
【解析】解：(1)小明说的可以实现．α=60°．
当α=60°时，∵BD=BC，
∴△BDC是等边三角形，
∴DB=DC，
∵AB=AC，AD=AD，
∴△BAD≌△CAD(SSS)，
∴∠BAD=∠CAD，
∴AD平分∠BAC；
(2)过点A作AH⊥BC于点H.设BC=a，CD=b．
∵BD=BC，∠CBD=36°，
∴∠BDC=∠C=72°，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C=72°，
∴∠BAC=180°−72°−72°=36°，
∴∠ABD=∠BAD=36°，
∴AD=DB=BC=a，
∴CD=b，
∴AC=a+b，
∵∠C=∠C，∠CBD=∠CAB，
∴△CBD∽△CAB，
∴BCCA=CDBC，
∴a2=b(a+b)，
∴b2+ab−a2=0，
∴b= 5−12a(负根已经舍去)，
∵AB=AC，AH⊥CB，
∴CH=BH=12a，
∴cosC=CHAC=12aa+ 5−12a= 5−14；
(3)如图3中，
∵AB=AC，∠A=30°，
∴∠ABC=∠C=12(180°−30°)=75°．
∵∠ABD=45°，
∴∠DBC=∠ABC−∠ABD=30°，
∴∠ADB=180°−30°−45°=105°，∠BDC=180°−30°−75°=75°，
∴∠ADB+∠BDC=180°，
∴A，D，C共线，
∵∠C=∠CDB=75°，
∴BC=BD=4，
过点D作DH⊥AB于点H，则BH=DH=2 2，AD=2DH=4 2，AH= DH=2 6，
∴AB=AC=AH+BH=2 2+2 6，
∴CD=AC=AD=2 2+2 6−4 2=2 6−2 2．
故答案为：2 6−2 2．
(1)小明说的可以实现．α=60°.证明△DBC是等边三角形即可；
(2)过点A作AH⊥BC于点H.设BC=a，CD=b.利用相似三角形的性质求出a，b的关系，可得结论；
(3)首先证明A，D，C三点共线，推出BD=BC=4，再求出AB，AC，AD，可得结论．
本题属于几何变换综合题，考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
26.【答案】(3,7)
【解析】解：(1)①∵2×32=3，A(0,7)，
∴P、Q第一次相遇时，点P的坐标为(3,7)；
故答案为：(3,7)；
②把(3,7)，(0,4)代入y=x2+bx+c得：
9+3b+c=7c=4，
解得：b=−2c=4，
∴抛物线L1的解析式解析式为y=x2−2x+4；
∵y=x2−2x+4=(x−1)2+3，
∴物线L1的顶点坐标是(1,3)；
(2)设抛物线L2的解析式为y=x2+mx+n，
∵当t=3时，光点Q运动到抛物线L2的最低点，
∴−m2=3×2，
∴m=−12，
∴y=x2−12x+n，
把(3,7)代入y=x2−12x+n得：
7=9−36+n，
解得：n=34，
∴抛物线L2的解析式为y=x2−12x+34，
当Q在抛物线L1上，点P、Q距离为2，则x2−2x+4=7−2，
解得：x=1+ 2或x=1− 2(不符合题意，舍去)，
∴当Q在抛物线L1上，点P、Q距离不超过2的时间为3−(1+ 2)2=2− 22(秒)；
当Q在抛物线L2上，点P、Q距离为2，则x2−12x+34=7−2，
解得：x=6+ 7或x=6− 7，
由对称性可知，停止运动时，P的横坐标为9，
∴当Q在抛物线L2上，点P、Q距离不超过2的时间为6− 7−32+9−(6+ 7)2=3− 7(秒)；
∴点P、Q在运动的整个过程中，距离不超过2的时间为2− 22+3− 7=8− 2−2 72(秒)；
(3)由(1)(2)知，抛物线L1的解析式为y=(x−1)2+3，抛物线L2的解析式为y=(x−6)2−2，
∴将L1与L2横向、纵向同时放大a倍后，抛物线L1的顶点为(a,3a)，抛物线L2的顶点为(6a,−2a)，
设放大a倍后，抛物线L1的解析式为y=p(x−a)2+3a，
将(3a,7a)代入得：7a=4a2p+3a，
∴4a2p=4a，
∵a≠0，
∴p=1a，
∴放大a倍后，抛物线L1的解析式为y=1a(x−a)2+3a，
把K(10,5)代入得：5=1a(10−a)2+3a，
方程无实数解，
∴K不可能在放大a倍后的抛物线L1上；
同理设放大a倍后，抛物线L2的解析式为y=q(x−6a)2−2a，
将(3a,7a)代入得：7a=9a2q−2a，
∴9a2q=9a，
∵a≠0，
∴q=1a，
∴放大a倍后，抛物线L2的解析式为y=1a(x−6a)2−2a，
把K(10,5)代入得：5=1a(10−6a)2−2a，
解得a=52或a=2017，
综上所述，a的值为52或2017．
(1)①由2×32=3，可得P、Q第一次相遇时，点P的坐标为(3,7)；
②用待定系数法得抛物线L1的解析式解析式为y=x2−2x+4；即可得物线L1的顶点坐标是(1,3)；
(2)设抛物线L2的解析式为y=x2+mx+n，用待定系数法可得抛物线L2的解析式为y=x2−12x+34，分别求出当Q在抛物线L1上，点P、Q距离不超过2的时间和当Q在抛物线L2上，点P、Q距离不超过2的时间，再相加即可；
(3)由抛物线L1的解析式为y=(x−1)2+3，抛物线L2的解析式为y=(x−6)2−2，可知将L1与L2横向、纵向同时放大a倍后，抛物线L1的顶点为(a,3a)，抛物线L2的顶点为(6a,−2a)，设放大a倍后，抛物线L1的解析式为y=p(x−a)2+3a，用待定系数法可得放大a倍后，抛物线L1的解析式为y=1a(x−a)2+3a，把K(10,5)代入得5=1a(10−a)2+3a，方程无实数解，故K不可能在放大a倍后的抛物线L1上；同理可得放大a倍后，抛物线L2的解析式为y=1a(x−6a)2−2a，把K(10,5)代入可解得a=52或a=2017．
本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，动点问题，位似变换等知识，解题的关键是读懂题意，用含字母的代数式表示相关点坐标和相关相等的长度．
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