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2023年福建省龙岩市长汀县中考数学适应性试卷（二）（含解析）
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这是一份2023年福建省龙岩市长汀县中考数学适应性试卷（二）（含解析），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列实数是无理数的有( )
A. 17B. 2C. 3.142D. −10
2.下列说法正确的是( )
A. 为了了解2022年足球世界杯的收视率，选择全面调查
B. 为了审核语文教科书书稿中的错别字，选择抽样调查
C. “经过有交通信号灯的路口，遇到绿灯”是必然事件
D. 已知一组数据为1，2，3，3，5，则这组数据的中位数为3
3.不等式组2x−5<13x+1≥2x的解集在数轴上表示正确的是( )
A. B.
C. D.
4.下列一定不相等的一组是( )
A. a+a×a=a+a2B. (−a)⋅(−b)=ab
C. a2b−ba2=0D. a−b=b−a
5.若关于x的一元二次方程(m−2)x2+2x−1=0有实数根，则实数m的取值范围是( )
A. m>2B. m≥3C. m≥1且m≠2D. m>−3且m≠2
6.如图，将直角△ABC的边AB沿边AC的方向平移到DE的位置，连结BE，CE，若∠ABC=90°，∠A=60°，AB=2 3，AD=2，则△BEC的面积为( )
A. 3
B. 2 3
C. 6
D. 3
7.有理数b在数轴上的对应点的位置如图所示，若有理数a满足−bA. 2B. 0C. −3D. −1
8.如图，矩形纸片ABCD中，AB=3cm，BC=6cm，现将其沿AE对折，使得点B落在边AD上的点B′处，折痕与边BC交于点E，连接DE，则∠AED的度数为( )
A. 90°B. 89°C. 100°D. 92°
9.如图，AB，AC和BC分别为⊙O内接正三角形，正四边形和正m边形的一边，已知⊙O的半径是1，以下说法：①m的值是十二；②∠ABC=45°；③∠BAC=20°；④BC的长为π6；其中正确的个数有( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
10.已知抛物线y=ax2+4ax+3与x轴交于(−1,0)，(m,0)，该函数在m−1≤x≤−a时，下列说法正确的是( )
A. 有最小值−1，有最大值3B. 有最小值0，有最大值3
C. 有最小值−3，有最大值4D. 有最小值−1，有最大值4
二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）
11.分解因式：a2+2a= ．
12.已知一组数据2，3，4，m，−2的众数为3，则平均数为______ ．
13.如图，直线AB、EF相交于点D，CD⊥AB.若∠ADE：∠BDE=1：5，∠CDF的度数是______ ．
14.定义：若a−b=0，则称a与b互为平衡数，若2x2−2与x+4互为平衡数，则代数式4x2−2x−11= ______ ．
15.如图，菱形ABCD中，AC与BD交于点O，CD=2OB，E为CD延长线上一点，使得DE=CD，连结BE，分别交AC、AD于点F、G，连结OG，AE，则下列结论：①BC⊥BE；②AF=3OF；③四边形ODEG与四边形OBAG的面积相等；④由点A、B、D、E构成的四边形是菱形.其中正确的结论有______ .(填序号)
16.如图，直线AB与反比例函数y=kx交于点A(3,−1)，与y轴交于点B(0,2)，点C为线段AB(不含端点)上一动点，过点C作CD//y轴交反比例函数于点D，点E为线段CD的中点，已知点F为x轴负半轴上的动点，连接BF，当点F运动到BF⊥BE，且BF=BE时，点F的坐标为______ ．
三、解答题（本大题共9小题，共86.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.(本小题8.0分)
计算：(−12)−2− 4+2sin30°+(2023−π)0+|1− 2|.
18.(本小题8.0分)
先化简，再求值：(1−2a+2)÷a2−4a+2，其中a= 5．
19.(本小题8.0分)
如图，已知AD//BE，点C是BE上一点，连接AC、DC、AE，AE与CD交于点F，∠1=∠2，∠3=∠4，求证：AB//CD．
20.(本小题8.0分)
如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠ACB=30°．
(1)尺规作图：作∠ABC的平分线BE，交AC于点E；(不写作法)
(2)过点A作AF//BC，交射线BE于F，求BE：EF的值．
21.(本小题8.0分)
为了提高学生的艺术素养，某校艺术组开设了艺术观察力、艺术想象力、艺术鉴赏力、艺术行动力等课程(分别记为A、B、C、D)，供学生选择性的学习.小颖同学对参与学习的同学开展调查，得到如图统计图．
1.请根据统计图回答下列问题
(1)此次抽样调查的人数是______ 人.
(2)m= ______ ；n= ______ ．
2.小聪和小明准备报名参加其中的一门艺术课程，求他们恰好都选择艺术鉴赏力这门课程的概率，请用列表法或者画树状图说明．
22.(本小题10.0分)
劳动创造美好生活.某中学在植树节当天开展植树造林活动，需要采购一批树苗.据了解，市场上每棵A种棵苗的价格是B种树苗54倍，用300元在市场上购买的A种树苗的数量比B种树苗的数量购买的少3棵．
(1)求A种树苗的价格；
(2)学校决定购买A，B两种树苗共100棵，且B种树苗的数量不超过A种树苗的数量.树苗公司为支持该校活动，对A，B两种树苗均提供九折优惠，求本次购买最少花费多少钱．
23.(本小题10.0分)
如图，⊙O是△ABD的外接圆，AB是⊙O的直径，C是AB延长线上一点，△EDB在⊙O上，连接DC，若CD为⊙O的切线．
(1)求证：∠DEB=∠CDB；
(2)若AB=5，BD=DE=3，求BE的长；
(3)若AB=6，BD=3，求弓形BD的面积．
24.(本小题12.0分)
已知△ABC是直角三角形，∠ACB=90°．
(1)如图1，若AC=BC=2，取AC的中点D，连接BD，则sin∠ABD的值是______ ；
(2)在(1)的条件下，在BC的延长线上截取CE=CD，连接DE，将△ADCE绕点C顺时针旋转，设旋转角∠ACD为α(0°≤α<90°)，当点A，D，E在同一直线上时，如图2，求AE的长；
(3)如图，在△ACD中，∠ADC=45°，CD= 2，AD=3，将AC绕着点C逆时针旋转α至BC，连接BD．
①当α=90°时，求BD的长；
②当0°≤α<360°，设BD长的最大值为m，最小值为n，直接写出mn的值．
25.(本小题14.0分)
在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c(a>0)经过A(−2,0)，B(0,−2)两点．
(1)用含a的式子表示b；
(2)当a=2时，如图1，点C是直线AB下方抛物线上的一个动点，求点C到直线AB距离的最大值．
(3)当a=1时，如图2，过点P(−12,−2)的直线交抛物线y=ax2+bx+c(a>0)于M，N．
①若MN//x轴，计算1PM+1PN= ______ ．
②若MN与x轴不平行，请你探索1PM+1PN是否定值？请说明理由．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：A．17是分数，属于有理数，故不符合题意；
B. 2是无限不循环小数，故符合题意；
是有理数，故不符合题意；
D.−10是有理数，故不符合题意；
故选：B．
根据无理数的定义判断即可．
本题考查了无理数的定义，解题的关键是掌握无理数的定义．
2.【答案】D
【解析】解：A中关于收视率的调查一般不适合选择全面调查，故A不正确；
B中教科书书稿中错别字的审核需要选择全面调查，故B不正确；
C中“经过有交通信号灯的路口，可能遇到绿灯”是随机事件，故C不正确；
D中这组数据中中间的那个数是3，中位数就是3，故D正确．
故选：D．
对每一个选项中的说法进行逐一判断后即可找出正确的说法．
本题主要考查随机事件、全面调查与抽样调查、中位数，深入理解几个概念的意义是解决问题的关键．
3.【答案】C
【解析】解：2x−5<13x+1≥2x,
解不等式2x−5<1得x<3，
解不等式3x+1≥2x得x≥−1，
故不等式组的解集为−1≤x<3，
在数轴上的表示如选项C所示．
故选：C．
先求出不等式组的解集并在数轴上表示出来，找出符合条件的选项即可．
本题考查的是在数轴上表示不等式组的解集，把每个不等式的解集在数轴上表示出来(>,≥向右画；<，≤向左画)，数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“<”，“>”要用空心圆点表示．
4.【答案】D
【解析】解：∵a+a×a=a+a2，
∴选项A不符合题意；
∵(−a)⋅(−b)=ab，
∴选项B不符合题意；
∵a2b−ba2=a2b−a2b=0，
∴选项C不符合题意；
∵当a=b时，a−b=b−a=0，
当a≠b时，a−b≠b−a，
∴选项不符合题意，
故选：D．
运用整式的运算方法进行逐一计算、辨别．
此题考查了整式加法、乘法等运算能力，关键是能准确理解并运用以上知识进行正确地计算．
5.【答案】C
【解析】解：∵关于x的一元二次方程(m−2)x2+2x−1=0有实数根，
∴Δ=22−4(m−2)(−1)=4m−4≥0且m−2≠0，
解得：m≥1，
即m的取值范围是m≥1且m≠2；
故选：C．
根据根的判别式得出Δ≥0，然后求出m的取值范围即可．
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式Δ=b2−4ac：当Δ>0，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0，方程有两个相等的实数根；当Δ<0，方程没有实数根．
6.【答案】D
【解析】解：∵∠ABC=90°，∠A=60°，AB=2 3，
∴BC=ABtan60°=2 3×3=6，
由平移得AB//DE且AB=DE(依据：平移的性质)，
∴四边形ABED是平行四边形，
∴∠BEF=60°，∠EFB=∠ABC=90°，BE=AD=2，
∴EF=BEcs60°=1，
.S△CBE=12×BC×EF=3，
故选：D．
由平移可知AB平行且等于DE，则四边形ABDE为平行四边形，所以AD=BE=2，∠A=∠BED=60°，∠BFE=90°，在Rt△ABC与Rt△BEF利用三角函数求EF及BC的长，进而求△BEC的面积．
本题考查了平行四边形的判定和性质，解含有特殊角的直角三角形，三角形的面积公式，读懂题意是关键．
7.【答案】C
【解析】解：根据数轴上的位置得：2∴−3<−b<−2，
∵−b∴−3则a的值不可能是−3．
故选：C．
根据b的范围确定出−b的范围，进而确定出a的范围即可判断．
本题考查了有理数与数轴，解题的关键是确定出a的范围．
8.【答案】A
【解析】解：∵矩形纸片ABCD，
∴AB=CD=3cm，AD=BC=6cm，AD//BC，
由折叠可得，AB=AB′=3，∠B=∠AB′E=90°，∠AEB=∠AEB′=12∠BEB′=45°，
∴B′是AD的中点，
∴AB′=B′D，
∴△AB′E≌△DB′E(SAS)，
∴∠AEB′=∠DEB′=45°，
∴∠AED=90°．
故选：A．
利用矩形的性质及折叠的性质，证明△AB′E≌△DB′E(SAS)，即可求解．
本题考查了折叠的性质和全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握折叠的性质．
9.【答案】C
【解析】解：如图，连接OA、OB、OC，
∵AC是⊙O内接正四边形的一边，
∴∠AOC=360°4=90°，
∴∠ABC=12∠AOC=45°，
因此②正确；
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA=45°，
∵AB是⊙O内接正三角形的一边，
∴∠AOB=360°3=120°，
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA=30°，
∴∠BAC=45°−30°=15°，
因此③不正确；
∴∠BOC=120°−90°=30°，
∴m=360°÷30°=12，
即BC是⊙O内接正12边形的一边，
因此①正确；
∴BC的长为30π×1180=π6，
因此④正确；
综上所述，正确的结论有：①②④，共3个，
故选：C．
根据正多边形和圆的性质，等腰三角形的性质，圆周角定理以及弧长的计算公式逐项进行判断即可．
本题考查正多边形和圆，弧长的计算方法，掌握正多边形和圆的性质以及弧长公式是正确解答的前提．
10.【答案】A
【解析】解：将(−1,0)代入y=ax2+4ax+3，得
a−4a+3=0，解得a=1．
将a=1代入y=ax2+4ax+3，
得y=x2+4x+3．
当y=x2+4x+3=(x+1)(x+3)=0时，
解得x=−1或−3．
∴m=−3．
又∵y=x2+4x+3=(x+2)2−1，
∴该抛物线开口向下，对称轴为直线x=−2，顶点坐标为(−2,−1)，与x轴交点坐标为(−1,0)和(−3,0)．
∴当−4≤x≤−1时，该二次函数的最小值为−1(x=−2时)，最大值为3(x=−4时)．
故选：A．
将(−1,0)代入y=ax2+4ax+3，解得a，从而得到其解析式，由此知道其开口方向、对称轴、顶点坐标、与x轴交点、m值等，再结合函数的性质求得最值．
本题考查二次函数的性质及最值等，是二次函数部分最基本的内容，也是必考内容，一定要深刻理解、牢固掌握、灵活运用．
11.【答案】a(a+2)
【解析】解：a2+2a=a(a+2)．
直接提公因式法：观察原式a2+2a，找到公因式a，提出即可得出答案．
本题考查了提公因式法因式分解的运用．
12.【答案】2
【解析】解：∵数据2，3，4，m，−2的众数为3，
∴m=3，
则这组数据为2，3，4，3，−2，
所以平均数为2+3+4+3−25=2，
故答案为：2．
先根据众数的定义得出m的值，再利用平均数的定义求解可得答案．
本题主要考查众数和平均数，解题的关键是掌握众数和算术平均数的定义．
13.【答案】120°
【解析】解：∵CD⊥AB，
∴∠ADC=∠BDC=90°，
∵∠ADE：∠BDE=1：5，∠ADE+∠BDE=180°，
∴∠ADF=16×180°=30°，
∴∠BDF=∠ADE=30°，
∴∠CDF=∠CDB+∠BDF=90°+30°=120°．
故答案为：120°．
根据已知条件求出∠ADE，再根据对顶角相等求出∠BDF，再利用∠CDF=∠CDB+∠BDF即可求出结果．
本题考查了垂线，对顶角的定义和角的和差计算，熟练掌握对顶角的定义是解题的关键．
14.【答案】1
【解析】解：∵2x2−2与x+4互为平衡数，
∴2x2−2−x−4=0，
∴2x2−x=6，
∴4x2−2x−11
=2(2x2−x)−11
=2×6−11=1．
故答案为：1．
根据题意，2x2−2与x+4互为平衡数，得2x2−2−x−4=0，得到2x2−x=6，即可求出答案．
本题考查整式的加减，解答本题的关键是明确整式加减的计算方法．
15.【答案】①③④
【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴BC=CD=AB，AB//CD，OB=OD，
∵CD=2OB，
∴BC=DC=BD，
∴△BDC是等边三角形，
∴∠BCD=60°，
∵DE=CD，
∴DE=BD，
∴∠DBE=∠DEB，
∵∠BCD=∠DBE+∠DEB=60°，
∴∠DBE=∠DEB=30°，
∴∠EBC=90°，
∴BC⊥BE，故①正确；
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∵∠OBF=30°，
∴BF=2OF，
∵∠BCA=∠BAC=30°，
∴BF=AF，
∴AF=2OF，故②错误；
∵AB//CD，
∴∠BAG=∠EDG，
∵AB=CD，CD=DE，
∴AB=DE，
在△ABG和△DEG中，
∠BAG=EDG∠AGB=∠DGEAB=DE，
∴△ABG≌△DEG(AAS)，
∴AG=DG，BG=GE，
∵BO=DO，AB//DE，
∴OG//AB//DE，OG=12AB，OG到AB之间的距离=OG到DE之间的距离(设距离为h)，
∵四边形ODEG的面积S=12(DE+OG)h，四边形OBAG的面积S′=12(AB+OG)h，AB=DE，
∴四边形ODEG与四边形OBAG的面积相等，故③正确；
∵AG=DG，BG=GE，
∴四边形ABDE是平行四边形，
∵DE=CD=BD，
∴四边形ABDE是菱形，故④正确；
∴正确的是①③④，
故答案为：①③④．
根据菱形的性质得出BC=CD=AB，AB//CD，OB=OD，求出BC=DC=BD，根据等边三角形的判定得出△BDC是等边三角形，根据等边三角形的性质得出∠BCD=60°，求出∠EBC=90°，根据全等三角形的判定得出△ABG≌△DEG，根据全等三角形的性质得出AG=DG，BG=GE，求出OG//AB//DE，OG=12AB，OG到AB之间的距离=OG到DE之间的距离(设距离为h)，求出四边形ODEG与四边形OBAG的面积相等，根据菱形的判定求出四边形ABDE是菱形即可．
本题考查了菱形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定等知识点，能熟记菱形的性质和判定是解此题的关键．
16.【答案】(−114,0)
【解析】解：∵点A(3,−1)在函数y=kx上，
∴k=−3，
∴反比例函数解析式为：y=−3x，
∵点A(3,−1)点B(0,2)在直线AB上，设直线AB的解析式为y=kx+b，
3k+b=−1b=2，k=−1b=2，
∴直线AB的解析式为：y=−x+2．
过点E作EM⊥y轴，垂足为M，
∵BF⊥BE，且BF=BE时，
∴△BFO≌△EBM(AAS)，
∴OB=ME=2，BM=OF，
∵CD//y轴，
∴点C、E、D的横坐标都为2，
∴C(2,0)，D(2,−32)，
∵E为CD的中点，
∴E(2,−34)，
∴BM=OM+OB=34+2=114，
∴OF=114，
∵点F在x轴的负半轴上，
∴F(−114,0)．
故答案为：(−114,0)．
过点E作EM⊥y轴，构造全等三角形，则OF=BM，利用OB=2和直线AB解析式以及反比例函数解析式，求出点C、D、E的纵坐标，从而得到线段CE长，CE=OM，
利用BM=OM+OB得到BM长，即是OF长，依据点F在x轴的负半轴可写出点F的坐标．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，构造全等是本题的关键．
17.【答案】解：(−12)−2− 4+2sin30°+(2023−π)0+|1− 2|
=4−2+2×12+1+( 2−1)
=4−2+1+1+ 2−1
=3+ 2．
【解析】首先计算零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值、开平方和绝对值，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
18.【答案】解：(1−2a+2)÷a2−4a+2
=(a+2a+2−2a+2)÷(a+2)(a−2)a+2
=aa+2⋅1a−2
=aa2−4，
当a= 5时，原式= 5( 5)2−4= 5．
【解析】先根据分式的混合运算法则和运算顺序将原式化简，再将a的代入计算即可求解．
本题主要考查分式的化简求值，熟练掌握分式的混合运算法则和运算顺序是解题关键．
19.【答案】证明：∵AD//BE，
∴∠3=∠CAD．
∵∠3=∠4，
∴∠4=∠CAD．
∵∠1=∠2，
∴∠1+∠CAE=∠2+∠CAE，
即∠BAE=∠CAD，
∴∠4=∠BAE，
∴AB//CD．
【解析】根据AD//BE，可得∠3=∠CAD.再由∠3=∠4，可得∠4=∠CAD.然后根据∠1=∠2，可得∠BAE=∠CAD，从而得到∠4=∠BAE，即可求证．
本题主要考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键．
20.【答案】解：(1)作∠ABC的平分线BE，交AC于点E，如图：
(2)∵∠BAC=90°，∠ACB=30°，
∴∠ABC=60°，BC：AB=2：1，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABF=∠CBF=30°，
∵AF//BC，
∴∠F=∠CBF=30°，
∴∠ABF=∠F=30°，
∴AB=AF，
∴BC：AF=2：1，
∵AF//BC，
∴△CEB∽△AEF，
∴BE：EF=BC：AF=2：1．
∴BE：EF的值为2．
【解析】(1)按要求作图即可；
(2)由∠BAC=90°，∠ACB=30°，BE平分∠ABC，可得∠ABF=∠CBF=30°，又AF//BC，得∠F=∠CBF=30°，∠ABF=∠F=30°，故AB=AF，即得BC：AF=2：1，而△CEB∽△AEF，从而得BE：EF的值为2．
本题考查作图−复杂作图，涉及含30°角的直角三角形性质，相似三角形的判定与性质，平行线的性质及应用等，解题的关键是掌握角平分线尺规作图的方法及证明AB=AF．
21.【答案】200 40 30
【解析】解：1.(1)∵A组20人，占10%，
∴此次抽样调查的人数为：20÷10%=200(人)，
故答案为：200；
(2)∵B组是80人，总人数为200人，
∴m%=80200×100%=40%，
∴m=40，
∵C组占15%，
∴C组人数为：15%×200=30(人)，
∴n=30，
故答案为：40，30；
2.画树状图如下：
一共有16种等可能的结果，其中两人都选择艺术鉴赏力这门课程有1种可能，
∴P(都选择艺术鉴赏力这门课程)=116．
1.(1)用A组的人数除以A组占的百分比即可求出答案；
(2)用B组人数除以总人数，即可求出m%，从而确定m的值，用C组所占百分比乘以总人数即可求出n的值；
2.用列表法或树状图法列举出所有等可能的结果，从中找出两人恰好都选择艺术鉴赏力这门课程的结果数，再利用等可能事件的概率公式求出即可．
本题考查扇形统计图，条形统计图，列表法和树状图法求等可能事件的概率，能从统计图中获取有用信息，掌握列表法和树状图法求等可能事件的概率的方法是解题的关键．
22.【答案】解：(1)设B种树苗的单价是x元，则A种树苗的单价是54x元，
根据题意得：300x−30054x=3，
解得：x=20，
经检验，x=20是所列方程的解，且符合题意．
20×54=25(元)，
答：A种树苗的单价是25元；
(2)设购买m棵B种树苗，则购买(100−m)棵A种树苗，
根据题意得：m≤100−m，
解得：m≤50．
设学校本次购买树苗共花费w元，则w=20×0.9m+20×54×0.9(100−m)，
∴w=−4.5m+2250，
∵−4.5<0，
∴w随m的增大而减小，
∴当m=50时，w取得最小值，最小值=−4.5×50+2250=2025．
答：本次购买最少花费2025元．
【解析】(1)设A种树苗的单价是x元，则B种树苗的单价是54x元，利用数量=总价÷单价，结合用300元购买B种树苗的数量比购买A种树苗的数量少3棵，可得出关于x的分式方程，解之经检验后，即可得出结论；
(2)设购买m棵B种树苗，则购买(100−m)棵A种树苗，根据A种树苗的数量不超过B种树苗的数量，可得出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，设学校本次购买树苗共花费w元，利用总价=单价×数量，可得出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．
本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出分式方程；(2)根据各数量之间的关系，找出w关于m的函数关系式．
23.【答案】(1)证明：连接OD，如图，
∵CD为⊙O的切线，
∴OD⊥CD，
∴∠ODB+∠CDB=90°．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠A+∠OBD=90°．
∵OD=OB，
∴∠ODB=∠OBD，
∴∠A=∠CDB，
∵∠A=∠DEB，
∴∠DEB=∠CDB；
(2)解：设OD交BE于点H，
∵BD=DE，
∴BD=DE，
∴OD⊥BE，BH=EH=12BE．
∵AB=5，
∴OB=OD=2.5，
设OH=x，则DH=2.5−x，
∵BH2=BD2−DH2，BH2=OB2−OH2，
∴BD2−DH2=OB2−OH2，
∴32−(2.5−x)2=2.52−x2，
解得：x=0.7．
∴OH=0.7．
∴BH= OB2−OH2= 2．52−0．72=2.4，
∴BE=2BH=4.8；
(3)∵AB=6，AB是⊙O的直径，
∴OB=OD=3，
∵BD=3，
∴OB=OD=BD，
∴△OBD为等边三角形，
∴∠DOB=60°．
过点O作OG⊥BD于点G，如图，
则BG=DG=12BD=32，
∴OG= OB2−BG2=3 32．
∴弓形BD的面积=S扇形OBD−S△OBD
=60π×32360−12BD⋅OG
=32π−9 34．
【解析】(1)连接OD，利用切线的性质定理，圆周角定理，同圆的半径相等，等腰三角形的性质和同角的余角相等的性质解答即可得出结论；
(2)设OD交BE于点H，利用垂径定理得到OD⊥BE，BH=EH=12BE，OH=x，则DH=2.5−x，利用勾股定理列出关于x的方程，解方程求得x值，则OH=0.7，利用勾股定理解答即可得出结论；
(3)判定△OBD为等边三角形，过点O作OG⊥BD于点G，利用弓形BD的面积=S扇形OBD−S△OBD解答即可得出结论．
本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，垂径定理，勾股定理，圆的切线的性质定理，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，扇形，三角形的面积，连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线．
24.【答案】 1010
【解析】解：(1)①过点D作DH⊥AB于H，
∵∠ACB=90°，AC=BC=2，
∴∠A=45°，AB=2，
∵点D是AC的中点，
∴AD=CD=1，
∴BD= CD2+BC2= 1+4= 5，
∵DH⊥AB，
∴AH=DH= 22，
∴sin∠ABD=DHBD= 22 5= 1010，
故答案为： 1010；
②如图2，过点C作CF⊥AE于F，
∵CD=CE=1，∠DCE=90°，点F是DE的中点，
∴DE= 2，DF=FE= 22=CF，
∴AF= AC2−CF2= 4−12= 142，
∴AE= 22+ 142；
(2)①如图3，在CD的右侧以C为直角顶点作等腰直角△CDE，连接AE，
∴∠DCE=90°，CE=CD= 2，∠CDE=45°，
∴DE= 2DC=2，
∵∠ADC=45°，
∴∠ADE=∠ADC+∠CDE=45°+45°=90°，
∴AE= AD2+DE2= 4+9= 13，
∵将AC绕着点C逆时针旋转90°至BC，
∴∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠ACE=∠BCD，
∴△ACE≌△BCD(SAS)，
∴BD=AE= 13；
②如图4，过点C作CH⊥AD于H，
∵∠ADC=45°，CD= 2，CH⊥AD，
∴CH=DH=1，
∴AH=AD−DH=2，
∴AC= CH2+AH2= 1+4= 5，
∵将AC绕点C逆时针旋转角α至BC，
∴点B在以点C为圆心，AC长为半径的圆上，
当点B在DC的延长线上时，BD有最大值，
∴BD的最大值为m= 5+ 2，
当点B在CD的延长线上时，BD有最小值，
∴BD的最小值为n= 5− 2，
∴mn=( 5+ 2)( 5− 2)=3．
(1)由等腰直角三角形的性质和勾股定理可求DH，BD的长，即可求解；
(2)由勾股定理可求CF的长，由勾股定理可求AF的长，即可求解；
(3)①由勾股定理可求AE的长，由“SAS”可证△ACE≌△BCD，可得BD=AE= 13；
②由等腰直角三角形的性质和勾股定理可求AC的长，由点B在以点C为圆心，AC长为半径的圆上，则当点B在DC的延长线上时，BD有最大值，当点B在CD的延长线上时，BD有最小值，即可求m，n的长，即可求解．
本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，旋转的性质，锐角三角函数等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
25.【答案】4
【解析】解：(1)将A(−2,0)，B(0,−2)代入抛物线y=ax2+bx+c，
得4a−2b+c=0c=−2，
∴2a−b=1，
∴b=2a−1；
(2)当a=2时，b=2a−1=2×2−1=3，
∴y=2x2+3x−2，
∵A(−2,0)，B(0,−2)，
∴OA=OB，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∴∠OAB=45°，
如图1，过点C作CF⊥x轴于F，交AB于E，则△ECD是等腰直角三角形，
∴直线AB的解析式为y=−x−2，
设C(m,2m2+3m−2)，则E(m,−m−2)，
∴CE=(−m−2)−(2m2+3m−2)
=−2m2−4m
=−2(m+1)2+2，
∴CD= 22CE=− 2(m+1)2+ 2，
∵− 2<0，−2∴当m=−1时，CD有最大值是 2，
当m=−1时，y=2−3−2=−3，
综上，点C的坐标为(−1,−3)时，CD有最大值是 2；
∴点C到直线AB距离的最大值是 2；
(3)①当a=1时，抛物线的解析式为y=x2+x−2，
令y=−2，即x2+x−2=−2，
解得x=0或x=−1，
∴M(−1,−2)，N(0,−2)，
∴PM=PN=12，
∴1PM+1PN=112+112=4，
故答案为：4；
②1PM+1PN是定值．理由如下：
∵过点P(−12,−2)的直线交抛物线y=x2+x−2于M，N，
设直线MN的解析式为y=kx+k2−2，M(x1,y1)，N(x2,y2)，
令kx+k2−2=x2+x−2，整理得x2+(1−k)x−k2=0，
∴x1+x2=k−1，x1x2=−k2，
∵y1=kx1+k2−2，y2=kx2+k2−2，
∴y1−y2=k(x1−x2)，
∴MN2=(x1−x2)2+(y1−y2)2
=(1+k2)(x1−x2)2
=(1+k2)[(x1+x2)2−4x1x2]
=(1+k2)[(k−1)2−4×(−k2)]
=(1+k2)2，
∴MN=1+k2，
∵P(−12,−2)，
∴PM= (−12−x1)2+(−2−y1)2
= (x1+12)2+k2(x1+12)2
= 1+k2 (x1+12)2，
PN= (−12−x2)2+(−2−y2)2
= (x2+12)2+k2(x2+12)2
= 1+k2 (x2+12)2，
∴PM⋅PN=(1+k2)⋅ (x1+12)2⋅ (x2+12)2
=(1+k2) [x1x2+12(x1+x2)+14]2
=(1+k2) [−k2+12(k−1)+14]2
=14(1+k2)
=14MN，
∴1PM+1PN=PM+PNPM⋅PN=MN14MN=4，
∴1PM+1PN是定值．
(1)将A(−2,0)，B(0,−2)代入抛物线解析式，利用待定系数法求解即可；
(2)求出抛物线的解析式，进而求出点A，B的坐标，可得△AOB是等腰直角三角形；过点C作CF⊥x轴于F，交AB于E，则△ECD是等腰直角三角形，设点C的横坐标为m，则C(m,2m2+3m−2)，则E(m,−m−2)，可得CE=−2(m+1)2+2，所以CD= 22CE=− 2(m+1)2+ 2，利用二次函数的性质可得结论；
(3)①令y=−2，求出x的值可得出M，N的坐标，分别表达PM，PN的长度，代入可得结论；
②设直线MN的解析式为y=kx+k2−2，M(x1,y1)，N(x2,y2)，令kx+k2−2=x2+x−2，整理得x2+(1−k)x−k2=0，所以x1+x2=k−1，x1x2=−k2，分别表达PM，PN和MN的长度，代入可得结论．
本题主要考查二次函数与一次函数的综合运用，掌握二次函数图象的性质，函数图象平移的性质，一次函数与二次函数交点的计算方法是解题的关键．
1.下列实数是无理数的有( )
A. 17B. 2C. 3.142D. −10
2.下列说法正确的是( )
A. 为了了解2022年足球世界杯的收视率，选择全面调查
B. 为了审核语文教科书书稿中的错别字，选择抽样调查
C. “经过有交通信号灯的路口，遇到绿灯”是必然事件
D. 已知一组数据为1，2，3，3，5，则这组数据的中位数为3
3.不等式组2x−5<13x+1≥2x的解集在数轴上表示正确的是( )
A. B.
C. D.
4.下列一定不相等的一组是( )
A. a+a×a=a+a2B. (−a)⋅(−b)=ab
C. a2b−ba2=0D. a−b=b−a
5.若关于x的一元二次方程(m−2)x2+2x−1=0有实数根，则实数m的取值范围是( )
A. m>2B. m≥3C. m≥1且m≠2D. m>−3且m≠2
6.如图，将直角△ABC的边AB沿边AC的方向平移到DE的位置，连结BE，CE，若∠ABC=90°，∠A=60°，AB=2 3，AD=2，则△BEC的面积为( )
A. 3
B. 2 3
C. 6
D. 3
7.有理数b在数轴上的对应点的位置如图所示，若有理数a满足−b
8.如图，矩形纸片ABCD中，AB=3cm，BC=6cm，现将其沿AE对折，使得点B落在边AD上的点B′处，折痕与边BC交于点E，连接DE，则∠AED的度数为( )
A. 90°B. 89°C. 100°D. 92°
9.如图，AB，AC和BC分别为⊙O内接正三角形，正四边形和正m边形的一边，已知⊙O的半径是1，以下说法：①m的值是十二；②∠ABC=45°；③∠BAC=20°；④BC的长为π6；其中正确的个数有( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
10.已知抛物线y=ax2+4ax+3与x轴交于(−1,0)，(m,0)，该函数在m−1≤x≤−a时，下列说法正确的是( )
A. 有最小值−1，有最大值3B. 有最小值0，有最大值3
C. 有最小值−3，有最大值4D. 有最小值−1，有最大值4
二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）
11.分解因式：a2+2a= ．
12.已知一组数据2，3，4，m，−2的众数为3，则平均数为______ ．
13.如图，直线AB、EF相交于点D，CD⊥AB.若∠ADE：∠BDE=1：5，∠CDF的度数是______ ．
14.定义：若a−b=0，则称a与b互为平衡数，若2x2−2与x+4互为平衡数，则代数式4x2−2x−11= ______ ．
15.如图，菱形ABCD中，AC与BD交于点O，CD=2OB，E为CD延长线上一点，使得DE=CD，连结BE，分别交AC、AD于点F、G，连结OG，AE，则下列结论：①BC⊥BE；②AF=3OF；③四边形ODEG与四边形OBAG的面积相等；④由点A、B、D、E构成的四边形是菱形.其中正确的结论有______ .(填序号)
16.如图，直线AB与反比例函数y=kx交于点A(3,−1)，与y轴交于点B(0,2)，点C为线段AB(不含端点)上一动点，过点C作CD//y轴交反比例函数于点D，点E为线段CD的中点，已知点F为x轴负半轴上的动点，连接BF，当点F运动到BF⊥BE，且BF=BE时，点F的坐标为______ ．
三、解答题（本大题共9小题，共86.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.(本小题8.0分)
计算：(−12)−2− 4+2sin30°+(2023−π)0+|1− 2|.
18.(本小题8.0分)
先化简，再求值：(1−2a+2)÷a2−4a+2，其中a= 5．
19.(本小题8.0分)
如图，已知AD//BE，点C是BE上一点，连接AC、DC、AE，AE与CD交于点F，∠1=∠2，∠3=∠4，求证：AB//CD．
20.(本小题8.0分)
如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠ACB=30°．
(1)尺规作图：作∠ABC的平分线BE，交AC于点E；(不写作法)
(2)过点A作AF//BC，交射线BE于F，求BE：EF的值．
21.(本小题8.0分)
为了提高学生的艺术素养，某校艺术组开设了艺术观察力、艺术想象力、艺术鉴赏力、艺术行动力等课程(分别记为A、B、C、D)，供学生选择性的学习.小颖同学对参与学习的同学开展调查，得到如图统计图．
1.请根据统计图回答下列问题
(1)此次抽样调查的人数是______ 人.
(2)m= ______ ；n= ______ ．
2.小聪和小明准备报名参加其中的一门艺术课程，求他们恰好都选择艺术鉴赏力这门课程的概率，请用列表法或者画树状图说明．
22.(本小题10.0分)
劳动创造美好生活.某中学在植树节当天开展植树造林活动，需要采购一批树苗.据了解，市场上每棵A种棵苗的价格是B种树苗54倍，用300元在市场上购买的A种树苗的数量比B种树苗的数量购买的少3棵．
(1)求A种树苗的价格；
(2)学校决定购买A，B两种树苗共100棵，且B种树苗的数量不超过A种树苗的数量.树苗公司为支持该校活动，对A，B两种树苗均提供九折优惠，求本次购买最少花费多少钱．
23.(本小题10.0分)
如图，⊙O是△ABD的外接圆，AB是⊙O的直径，C是AB延长线上一点，△EDB在⊙O上，连接DC，若CD为⊙O的切线．
(1)求证：∠DEB=∠CDB；
(2)若AB=5，BD=DE=3，求BE的长；
(3)若AB=6，BD=3，求弓形BD的面积．
24.(本小题12.0分)
已知△ABC是直角三角形，∠ACB=90°．
(1)如图1，若AC=BC=2，取AC的中点D，连接BD，则sin∠ABD的值是______ ；
(2)在(1)的条件下，在BC的延长线上截取CE=CD，连接DE，将△ADCE绕点C顺时针旋转，设旋转角∠ACD为α(0°≤α<90°)，当点A，D，E在同一直线上时，如图2，求AE的长；
(3)如图，在△ACD中，∠ADC=45°，CD= 2，AD=3，将AC绕着点C逆时针旋转α至BC，连接BD．
①当α=90°时，求BD的长；
②当0°≤α<360°，设BD长的最大值为m，最小值为n，直接写出mn的值．
25.(本小题14.0分)
在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c(a>0)经过A(−2,0)，B(0,−2)两点．
(1)用含a的式子表示b；
(2)当a=2时，如图1，点C是直线AB下方抛物线上的一个动点，求点C到直线AB距离的最大值．
(3)当a=1时，如图2，过点P(−12,−2)的直线交抛物线y=ax2+bx+c(a>0)于M，N．
①若MN//x轴，计算1PM+1PN= ______ ．
②若MN与x轴不平行，请你探索1PM+1PN是否定值？请说明理由．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：A．17是分数，属于有理数，故不符合题意；
B. 2是无限不循环小数，故符合题意；
是有理数，故不符合题意；
D.−10是有理数，故不符合题意；
故选：B．
根据无理数的定义判断即可．
本题考查了无理数的定义，解题的关键是掌握无理数的定义．
2.【答案】D
【解析】解：A中关于收视率的调查一般不适合选择全面调查，故A不正确；
B中教科书书稿中错别字的审核需要选择全面调查，故B不正确；
C中“经过有交通信号灯的路口，可能遇到绿灯”是随机事件，故C不正确；
D中这组数据中中间的那个数是3，中位数就是3，故D正确．
故选：D．
对每一个选项中的说法进行逐一判断后即可找出正确的说法．
本题主要考查随机事件、全面调查与抽样调查、中位数，深入理解几个概念的意义是解决问题的关键．
3.【答案】C
【解析】解：2x−5<13x+1≥2x,
解不等式2x−5<1得x<3，
解不等式3x+1≥2x得x≥−1，
故不等式组的解集为−1≤x<3，
在数轴上的表示如选项C所示．
故选：C．
先求出不等式组的解集并在数轴上表示出来，找出符合条件的选项即可．
本题考查的是在数轴上表示不等式组的解集，把每个不等式的解集在数轴上表示出来(>,≥向右画；<，≤向左画)，数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“<”，“>”要用空心圆点表示．
4.【答案】D
【解析】解：∵a+a×a=a+a2，
∴选项A不符合题意；
∵(−a)⋅(−b)=ab，
∴选项B不符合题意；
∵a2b−ba2=a2b−a2b=0，
∴选项C不符合题意；
∵当a=b时，a−b=b−a=0，
当a≠b时，a−b≠b−a，
∴选项不符合题意，
故选：D．
运用整式的运算方法进行逐一计算、辨别．
此题考查了整式加法、乘法等运算能力，关键是能准确理解并运用以上知识进行正确地计算．
5.【答案】C
【解析】解：∵关于x的一元二次方程(m−2)x2+2x−1=0有实数根，
∴Δ=22−4(m−2)(−1)=4m−4≥0且m−2≠0，
解得：m≥1，
即m的取值范围是m≥1且m≠2；
故选：C．
根据根的判别式得出Δ≥0，然后求出m的取值范围即可．
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式Δ=b2−4ac：当Δ>0，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0，方程有两个相等的实数根；当Δ<0，方程没有实数根．
6.【答案】D
【解析】解：∵∠ABC=90°，∠A=60°，AB=2 3，
∴BC=ABtan60°=2 3×3=6，
由平移得AB//DE且AB=DE(依据：平移的性质)，
∴四边形ABED是平行四边形，
∴∠BEF=60°，∠EFB=∠ABC=90°，BE=AD=2，
∴EF=BEcs60°=1，
.S△CBE=12×BC×EF=3，
故选：D．
由平移可知AB平行且等于DE，则四边形ABDE为平行四边形，所以AD=BE=2，∠A=∠BED=60°，∠BFE=90°，在Rt△ABC与Rt△BEF利用三角函数求EF及BC的长，进而求△BEC的面积．
本题考查了平行四边形的判定和性质，解含有特殊角的直角三角形，三角形的面积公式，读懂题意是关键．
7.【答案】C
【解析】解：根据数轴上的位置得：2
∵−b
故选：C．
根据b的范围确定出−b的范围，进而确定出a的范围即可判断．
本题考查了有理数与数轴，解题的关键是确定出a的范围．
8.【答案】A
【解析】解：∵矩形纸片ABCD，
∴AB=CD=3cm，AD=BC=6cm，AD//BC，
由折叠可得，AB=AB′=3，∠B=∠AB′E=90°，∠AEB=∠AEB′=12∠BEB′=45°，
∴B′是AD的中点，
∴AB′=B′D，
∴△AB′E≌△DB′E(SAS)，
∴∠AEB′=∠DEB′=45°，
∴∠AED=90°．
故选：A．
利用矩形的性质及折叠的性质，证明△AB′E≌△DB′E(SAS)，即可求解．
本题考查了折叠的性质和全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握折叠的性质．
9.【答案】C
【解析】解：如图，连接OA、OB、OC，
∵AC是⊙O内接正四边形的一边，
∴∠AOC=360°4=90°，
∴∠ABC=12∠AOC=45°，
因此②正确；
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA=45°，
∵AB是⊙O内接正三角形的一边，
∴∠AOB=360°3=120°，
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA=30°，
∴∠BAC=45°−30°=15°，
因此③不正确；
∴∠BOC=120°−90°=30°，
∴m=360°÷30°=12，
即BC是⊙O内接正12边形的一边，
因此①正确；
∴BC的长为30π×1180=π6，
因此④正确；
综上所述，正确的结论有：①②④，共3个，
故选：C．
根据正多边形和圆的性质，等腰三角形的性质，圆周角定理以及弧长的计算公式逐项进行判断即可．
本题考查正多边形和圆，弧长的计算方法，掌握正多边形和圆的性质以及弧长公式是正确解答的前提．
10.【答案】A
【解析】解：将(−1,0)代入y=ax2+4ax+3，得
a−4a+3=0，解得a=1．
将a=1代入y=ax2+4ax+3，
得y=x2+4x+3．
当y=x2+4x+3=(x+1)(x+3)=0时，
解得x=−1或−3．
∴m=−3．
又∵y=x2+4x+3=(x+2)2−1，
∴该抛物线开口向下，对称轴为直线x=−2，顶点坐标为(−2,−1)，与x轴交点坐标为(−1,0)和(−3,0)．
∴当−4≤x≤−1时，该二次函数的最小值为−1(x=−2时)，最大值为3(x=−4时)．
故选：A．
将(−1,0)代入y=ax2+4ax+3，解得a，从而得到其解析式，由此知道其开口方向、对称轴、顶点坐标、与x轴交点、m值等，再结合函数的性质求得最值．
本题考查二次函数的性质及最值等，是二次函数部分最基本的内容，也是必考内容，一定要深刻理解、牢固掌握、灵活运用．
11.【答案】a(a+2)
【解析】解：a2+2a=a(a+2)．
直接提公因式法：观察原式a2+2a，找到公因式a，提出即可得出答案．
本题考查了提公因式法因式分解的运用．
12.【答案】2
【解析】解：∵数据2，3，4，m，−2的众数为3，
∴m=3，
则这组数据为2，3，4，3，−2，
所以平均数为2+3+4+3−25=2，
故答案为：2．
先根据众数的定义得出m的值，再利用平均数的定义求解可得答案．
本题主要考查众数和平均数，解题的关键是掌握众数和算术平均数的定义．
13.【答案】120°
【解析】解：∵CD⊥AB，
∴∠ADC=∠BDC=90°，
∵∠ADE：∠BDE=1：5，∠ADE+∠BDE=180°，
∴∠ADF=16×180°=30°，
∴∠BDF=∠ADE=30°，
∴∠CDF=∠CDB+∠BDF=90°+30°=120°．
故答案为：120°．
根据已知条件求出∠ADE，再根据对顶角相等求出∠BDF，再利用∠CDF=∠CDB+∠BDF即可求出结果．
本题考查了垂线，对顶角的定义和角的和差计算，熟练掌握对顶角的定义是解题的关键．
14.【答案】1
【解析】解：∵2x2−2与x+4互为平衡数，
∴2x2−2−x−4=0，
∴2x2−x=6，
∴4x2−2x−11
=2(2x2−x)−11
=2×6−11=1．
故答案为：1．
根据题意，2x2−2与x+4互为平衡数，得2x2−2−x−4=0，得到2x2−x=6，即可求出答案．
本题考查整式的加减，解答本题的关键是明确整式加减的计算方法．
15.【答案】①③④
【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴BC=CD=AB，AB//CD，OB=OD，
∵CD=2OB，
∴BC=DC=BD，
∴△BDC是等边三角形，
∴∠BCD=60°，
∵DE=CD，
∴DE=BD，
∴∠DBE=∠DEB，
∵∠BCD=∠DBE+∠DEB=60°，
∴∠DBE=∠DEB=30°，
∴∠EBC=90°，
∴BC⊥BE，故①正确；
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∵∠OBF=30°，
∴BF=2OF，
∵∠BCA=∠BAC=30°，
∴BF=AF，
∴AF=2OF，故②错误；
∵AB//CD，
∴∠BAG=∠EDG，
∵AB=CD，CD=DE，
∴AB=DE，
在△ABG和△DEG中，
∠BAG=EDG∠AGB=∠DGEAB=DE，
∴△ABG≌△DEG(AAS)，
∴AG=DG，BG=GE，
∵BO=DO，AB//DE，
∴OG//AB//DE，OG=12AB，OG到AB之间的距离=OG到DE之间的距离(设距离为h)，
∵四边形ODEG的面积S=12(DE+OG)h，四边形OBAG的面积S′=12(AB+OG)h，AB=DE，
∴四边形ODEG与四边形OBAG的面积相等，故③正确；
∵AG=DG，BG=GE，
∴四边形ABDE是平行四边形，
∵DE=CD=BD，
∴四边形ABDE是菱形，故④正确；
∴正确的是①③④，
故答案为：①③④．
根据菱形的性质得出BC=CD=AB，AB//CD，OB=OD，求出BC=DC=BD，根据等边三角形的判定得出△BDC是等边三角形，根据等边三角形的性质得出∠BCD=60°，求出∠EBC=90°，根据全等三角形的判定得出△ABG≌△DEG，根据全等三角形的性质得出AG=DG，BG=GE，求出OG//AB//DE，OG=12AB，OG到AB之间的距离=OG到DE之间的距离(设距离为h)，求出四边形ODEG与四边形OBAG的面积相等，根据菱形的判定求出四边形ABDE是菱形即可．
本题考查了菱形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定等知识点，能熟记菱形的性质和判定是解此题的关键．
16.【答案】(−114,0)
【解析】解：∵点A(3,−1)在函数y=kx上，
∴k=−3，
∴反比例函数解析式为：y=−3x，
∵点A(3,−1)点B(0,2)在直线AB上，设直线AB的解析式为y=kx+b，
3k+b=−1b=2，k=−1b=2，
∴直线AB的解析式为：y=−x+2．
过点E作EM⊥y轴，垂足为M，
∵BF⊥BE，且BF=BE时，
∴△BFO≌△EBM(AAS)，
∴OB=ME=2，BM=OF，
∵CD//y轴，
∴点C、E、D的横坐标都为2，
∴C(2,0)，D(2,−32)，
∵E为CD的中点，
∴E(2,−34)，
∴BM=OM+OB=34+2=114，
∴OF=114，
∵点F在x轴的负半轴上，
∴F(−114,0)．
故答案为：(−114,0)．
过点E作EM⊥y轴，构造全等三角形，则OF=BM，利用OB=2和直线AB解析式以及反比例函数解析式，求出点C、D、E的纵坐标，从而得到线段CE长，CE=OM，
利用BM=OM+OB得到BM长，即是OF长，依据点F在x轴的负半轴可写出点F的坐标．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，构造全等是本题的关键．
17.【答案】解：(−12)−2− 4+2sin30°+(2023−π)0+|1− 2|
=4−2+2×12+1+( 2−1)
=4−2+1+1+ 2−1
=3+ 2．
【解析】首先计算零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值、开平方和绝对值，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
18.【答案】解：(1−2a+2)÷a2−4a+2
=(a+2a+2−2a+2)÷(a+2)(a−2)a+2
=aa+2⋅1a−2
=aa2−4，
当a= 5时，原式= 5( 5)2−4= 5．
【解析】先根据分式的混合运算法则和运算顺序将原式化简，再将a的代入计算即可求解．
本题主要考查分式的化简求值，熟练掌握分式的混合运算法则和运算顺序是解题关键．
19.【答案】证明：∵AD//BE，
∴∠3=∠CAD．
∵∠3=∠4，
∴∠4=∠CAD．
∵∠1=∠2，
∴∠1+∠CAE=∠2+∠CAE，
即∠BAE=∠CAD，
∴∠4=∠BAE，
∴AB//CD．
【解析】根据AD//BE，可得∠3=∠CAD.再由∠3=∠4，可得∠4=∠CAD.然后根据∠1=∠2，可得∠BAE=∠CAD，从而得到∠4=∠BAE，即可求证．
本题主要考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键．
20.【答案】解：(1)作∠ABC的平分线BE，交AC于点E，如图：
(2)∵∠BAC=90°，∠ACB=30°，
∴∠ABC=60°，BC：AB=2：1，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABF=∠CBF=30°，
∵AF//BC，
∴∠F=∠CBF=30°，
∴∠ABF=∠F=30°，
∴AB=AF，
∴BC：AF=2：1，
∵AF//BC，
∴△CEB∽△AEF，
∴BE：EF=BC：AF=2：1．
∴BE：EF的值为2．
【解析】(1)按要求作图即可；
(2)由∠BAC=90°，∠ACB=30°，BE平分∠ABC，可得∠ABF=∠CBF=30°，又AF//BC，得∠F=∠CBF=30°，∠ABF=∠F=30°，故AB=AF，即得BC：AF=2：1，而△CEB∽△AEF，从而得BE：EF的值为2．
本题考查作图−复杂作图，涉及含30°角的直角三角形性质，相似三角形的判定与性质，平行线的性质及应用等，解题的关键是掌握角平分线尺规作图的方法及证明AB=AF．
21.【答案】200 40 30
【解析】解：1.(1)∵A组20人，占10%，
∴此次抽样调查的人数为：20÷10%=200(人)，
故答案为：200；
(2)∵B组是80人，总人数为200人，
∴m%=80200×100%=40%，
∴m=40，
∵C组占15%，
∴C组人数为：15%×200=30(人)，
∴n=30，
故答案为：40，30；
2.画树状图如下：
一共有16种等可能的结果，其中两人都选择艺术鉴赏力这门课程有1种可能，
∴P(都选择艺术鉴赏力这门课程)=116．
1.(1)用A组的人数除以A组占的百分比即可求出答案；
(2)用B组人数除以总人数，即可求出m%，从而确定m的值，用C组所占百分比乘以总人数即可求出n的值；
2.用列表法或树状图法列举出所有等可能的结果，从中找出两人恰好都选择艺术鉴赏力这门课程的结果数，再利用等可能事件的概率公式求出即可．
本题考查扇形统计图，条形统计图，列表法和树状图法求等可能事件的概率，能从统计图中获取有用信息，掌握列表法和树状图法求等可能事件的概率的方法是解题的关键．
22.【答案】解：(1)设B种树苗的单价是x元，则A种树苗的单价是54x元，
根据题意得：300x−30054x=3，
解得：x=20，
经检验，x=20是所列方程的解，且符合题意．
20×54=25(元)，
答：A种树苗的单价是25元；
(2)设购买m棵B种树苗，则购买(100−m)棵A种树苗，
根据题意得：m≤100−m，
解得：m≤50．
设学校本次购买树苗共花费w元，则w=20×0.9m+20×54×0.9(100−m)，
∴w=−4.5m+2250，
∵−4.5<0，
∴w随m的增大而减小，
∴当m=50时，w取得最小值，最小值=−4.5×50+2250=2025．
答：本次购买最少花费2025元．
【解析】(1)设A种树苗的单价是x元，则B种树苗的单价是54x元，利用数量=总价÷单价，结合用300元购买B种树苗的数量比购买A种树苗的数量少3棵，可得出关于x的分式方程，解之经检验后，即可得出结论；
(2)设购买m棵B种树苗，则购买(100−m)棵A种树苗，根据A种树苗的数量不超过B种树苗的数量，可得出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，设学校本次购买树苗共花费w元，利用总价=单价×数量，可得出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．
本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出分式方程；(2)根据各数量之间的关系，找出w关于m的函数关系式．
23.【答案】(1)证明：连接OD，如图，
∵CD为⊙O的切线，
∴OD⊥CD，
∴∠ODB+∠CDB=90°．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠A+∠OBD=90°．
∵OD=OB，
∴∠ODB=∠OBD，
∴∠A=∠CDB，
∵∠A=∠DEB，
∴∠DEB=∠CDB；
(2)解：设OD交BE于点H，
∵BD=DE，
∴BD=DE，
∴OD⊥BE，BH=EH=12BE．
∵AB=5，
∴OB=OD=2.5，
设OH=x，则DH=2.5−x，
∵BH2=BD2−DH2，BH2=OB2−OH2，
∴BD2−DH2=OB2−OH2，
∴32−(2.5−x)2=2.52−x2，
解得：x=0.7．
∴OH=0.7．
∴BH= OB2−OH2= 2．52−0．72=2.4，
∴BE=2BH=4.8；
(3)∵AB=6，AB是⊙O的直径，
∴OB=OD=3，
∵BD=3，
∴OB=OD=BD，
∴△OBD为等边三角形，
∴∠DOB=60°．
过点O作OG⊥BD于点G，如图，
则BG=DG=12BD=32，
∴OG= OB2−BG2=3 32．
∴弓形BD的面积=S扇形OBD−S△OBD
=60π×32360−12BD⋅OG
=32π−9 34．
【解析】(1)连接OD，利用切线的性质定理，圆周角定理，同圆的半径相等，等腰三角形的性质和同角的余角相等的性质解答即可得出结论；
(2)设OD交BE于点H，利用垂径定理得到OD⊥BE，BH=EH=12BE，OH=x，则DH=2.5−x，利用勾股定理列出关于x的方程，解方程求得x值，则OH=0.7，利用勾股定理解答即可得出结论；
(3)判定△OBD为等边三角形，过点O作OG⊥BD于点G，利用弓形BD的面积=S扇形OBD−S△OBD解答即可得出结论．
本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，垂径定理，勾股定理，圆的切线的性质定理，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，扇形，三角形的面积，连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线．
24.【答案】 1010
【解析】解：(1)①过点D作DH⊥AB于H，
∵∠ACB=90°，AC=BC=2，
∴∠A=45°，AB=2，
∵点D是AC的中点，
∴AD=CD=1，
∴BD= CD2+BC2= 1+4= 5，
∵DH⊥AB，
∴AH=DH= 22，
∴sin∠ABD=DHBD= 22 5= 1010，
故答案为： 1010；
②如图2，过点C作CF⊥AE于F，
∵CD=CE=1，∠DCE=90°，点F是DE的中点，
∴DE= 2，DF=FE= 22=CF，
∴AF= AC2−CF2= 4−12= 142，
∴AE= 22+ 142；
(2)①如图3，在CD的右侧以C为直角顶点作等腰直角△CDE，连接AE，
∴∠DCE=90°，CE=CD= 2，∠CDE=45°，
∴DE= 2DC=2，
∵∠ADC=45°，
∴∠ADE=∠ADC+∠CDE=45°+45°=90°，
∴AE= AD2+DE2= 4+9= 13，
∵将AC绕着点C逆时针旋转90°至BC，
∴∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠ACE=∠BCD，
∴△ACE≌△BCD(SAS)，
∴BD=AE= 13；
②如图4，过点C作CH⊥AD于H，
∵∠ADC=45°，CD= 2，CH⊥AD，
∴CH=DH=1，
∴AH=AD−DH=2，
∴AC= CH2+AH2= 1+4= 5，
∵将AC绕点C逆时针旋转角α至BC，
∴点B在以点C为圆心，AC长为半径的圆上，
当点B在DC的延长线上时，BD有最大值，
∴BD的最大值为m= 5+ 2，
当点B在CD的延长线上时，BD有最小值，
∴BD的最小值为n= 5− 2，
∴mn=( 5+ 2)( 5− 2)=3．
(1)由等腰直角三角形的性质和勾股定理可求DH，BD的长，即可求解；
(2)由勾股定理可求CF的长，由勾股定理可求AF的长，即可求解；
(3)①由勾股定理可求AE的长，由“SAS”可证△ACE≌△BCD，可得BD=AE= 13；
②由等腰直角三角形的性质和勾股定理可求AC的长，由点B在以点C为圆心，AC长为半径的圆上，则当点B在DC的延长线上时，BD有最大值，当点B在CD的延长线上时，BD有最小值，即可求m，n的长，即可求解．
本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，旋转的性质，锐角三角函数等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
25.【答案】4
【解析】解：(1)将A(−2,0)，B(0,−2)代入抛物线y=ax2+bx+c，
得4a−2b+c=0c=−2，
∴2a−b=1，
∴b=2a−1；
(2)当a=2时，b=2a−1=2×2−1=3，
∴y=2x2+3x−2，
∵A(−2,0)，B(0,−2)，
∴OA=OB，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∴∠OAB=45°，
如图1，过点C作CF⊥x轴于F，交AB于E，则△ECD是等腰直角三角形，
∴直线AB的解析式为y=−x−2，
设C(m,2m2+3m−2)，则E(m,−m−2)，
∴CE=(−m−2)−(2m2+3m−2)
=−2m2−4m
=−2(m+1)2+2，
∴CD= 22CE=− 2(m+1)2+ 2，
∵− 2<0，−2
当m=−1时，y=2−3−2=−3，
综上，点C的坐标为(−1,−3)时，CD有最大值是 2；
∴点C到直线AB距离的最大值是 2；
(3)①当a=1时，抛物线的解析式为y=x2+x−2，
令y=−2，即x2+x−2=−2，
解得x=0或x=−1，
∴M(−1,−2)，N(0,−2)，
∴PM=PN=12，
∴1PM+1PN=112+112=4，
故答案为：4；
②1PM+1PN是定值．理由如下：
∵过点P(−12,−2)的直线交抛物线y=x2+x−2于M，N，
设直线MN的解析式为y=kx+k2−2，M(x1,y1)，N(x2,y2)，
令kx+k2−2=x2+x−2，整理得x2+(1−k)x−k2=0，
∴x1+x2=k−1，x1x2=−k2，
∵y1=kx1+k2−2，y2=kx2+k2−2，
∴y1−y2=k(x1−x2)，
∴MN2=(x1−x2)2+(y1−y2)2
=(1+k2)(x1−x2)2
=(1+k2)[(x1+x2)2−4x1x2]
=(1+k2)[(k−1)2−4×(−k2)]
=(1+k2)2，
∴MN=1+k2，
∵P(−12,−2)，
∴PM= (−12−x1)2+(−2−y1)2
= (x1+12)2+k2(x1+12)2
= 1+k2 (x1+12)2，
PN= (−12−x2)2+(−2−y2)2
= (x2+12)2+k2(x2+12)2
= 1+k2 (x2+12)2，
∴PM⋅PN=(1+k2)⋅ (x1+12)2⋅ (x2+12)2
=(1+k2) [x1x2+12(x1+x2)+14]2
=(1+k2) [−k2+12(k−1)+14]2
=14(1+k2)
=14MN，
∴1PM+1PN=PM+PNPM⋅PN=MN14MN=4，
∴1PM+1PN是定值．
(1)将A(−2,0)，B(0,−2)代入抛物线解析式，利用待定系数法求解即可；
(2)求出抛物线的解析式，进而求出点A，B的坐标，可得△AOB是等腰直角三角形；过点C作CF⊥x轴于F，交AB于E，则△ECD是等腰直角三角形，设点C的横坐标为m，则C(m,2m2+3m−2)，则E(m,−m−2)，可得CE=−2(m+1)2+2，所以CD= 22CE=− 2(m+1)2+ 2，利用二次函数的性质可得结论；
(3)①令y=−2，求出x的值可得出M，N的坐标，分别表达PM，PN的长度，代入可得结论；
②设直线MN的解析式为y=kx+k2−2，M(x1,y1)，N(x2,y2)，令kx+k2−2=x2+x−2，整理得x2+(1−k)x−k2=0，所以x1+x2=k−1，x1x2=−k2，分别表达PM，PN和MN的长度，代入可得结论．
本题主要考查二次函数与一次函数的综合运用，掌握二次函数图象的性质，函数图象平移的性质，一次函数与二次函数交点的计算方法是解题的关键．
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