2023年福建省龙岩市长汀县中考数学一模试卷（含解析）

2023年福建省龙岩市长汀县中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的倒数为(    )

A.  B.  C.  D.

2.  在下面的四个几何体中，主视图是三角形的是(    )

A. 圆锥 B. 正方体
C. 三棱柱 D. 圆柱

3.  某市有万名学生参加中考，为了考察他们的数学考试成绩，抽样调查了名考生的数学成绩，在这个问题中，下列说法正确的是(    )

A. 万名考生是总体 B. 每名考生的数学成绩是个体
C. 名考生是总体的一个样本 D. 名是样本容量

4.  下列运算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  将一副三角板按如图所示的位置摆放在直尺上，则的度数为(    )

A.  B.  C.  D.

6.  如图，为钝角三角形，将绕点按逆时针方向旋转得到，连接，若，则的度数为(    )

A.  B.  C.  D.

7.  习近平总书记指出，中华优秀传统文化是中华民族的“根”和“魂”为了大力弘扬中华优秀传统文化，某校决定开展名著阅读活动．用元购买“四大名著”若干套后，发现这批图书满足不了学生的阅读需求，图书管理员在购买第二批时正赶上图书城八折销售该套书，于是用元购买的套数只比第有批少套．设第一批购买的“四大名著”每套的价格为元，则符合题意的方程是(    )

A.  B.
C.  D.

8.  如图，是半圆的直径，，是半圆上两点，且满足，，则的长为(    )

A.
B.
C.
D.

9.  如图，四边形是边长为的菱形，且有一个内角为，现将其绕点顺时针旋转得到菱形，线段与线段交于点，连接当五边形为正五边形时，长为(    )

A.
B.
C.
D.

10.  已知抛物线，抛物线与轴交于，两点，则，，，的大小关系是(    )

A.  B.
C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

11.  不等式的解集是        ．

12.  小丽计算数据方差时，使用公式，则公式中        ．

13.  如图，在中，，把沿射线方向平移个单位至处，与交于点若，则图中阴影部分的面积为______ ．

14.  如图，在中，，，是的内切圆，分别与、、相切于点、、，则圆心到顶点的距离        ．

15.  如图，，是反比例函数图象上的点，过点，分别作轴，轴，垂足分别是点，，连接，，，线段交于点，且恰好是的中点．当的面积为时，的值是______．

16.  如图，正方形中，是线段上一动点，连接交于点，过点作交于点，连接，，现有以下结论：是等腰直角三角形；；点到的距离等于正方形的边长；当点运动到的三等分点时，或以上结论正确的有______ ．

三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）

17.  计算：．

四、解答题（本大题共8小题，共80.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

18.  本小题分
先化简，再求值：，请在数，，中选取一个合适的数作为的值代入求值．

19.  本小题分
如图，在中，点，分别在边及的延长线上，且．
实践与探索：利用尺规按下列要求作图不写作法，保留作图痕迹．
作，且点在的上方；
在上截取；
连接．
猜想与验证：试猜想线段和的数量关系，并证明你的猜想．

20.  本小题分
如图，在▱中，是边上一点，连接、、若，求证：．

21.  本小题分
某校在宣传“民族团结”活动中，采用四种宣传形式：器乐，舞蹈，朗诵，唱歌每名学生从中选择并且只能选择一种最喜欢的，学校就宣传形式对学生进行了抽样调查，并将调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图．

请结合图中所给信息，解答下列问题：
本次调查的学生共有______ 人；扇形统计图中表示选项的扇形圆心角的度数是______ ，并补全条形统计图；
该校共有名学生，请估计选择“唱歌”的学生有多少人？
七年一班在最喜欢“器乐”的学生中，有甲、乙、丙、丁四位同学表现优秀，现从这四位同学中随机选出两名同学参加学校的器乐队，请用列表或画树状图法求被选取的两人恰好是甲和乙的概率．

22.  本小题分
红灯笼，象征着阖家团圆，红红火火，挂灯笼成为我国的一种传统文化．小明在春节前购进甲、乙两种红灯笼，用元购进甲灯笼与用元购进乙灯笼的数量相同，已知乙灯笼每对进价比甲灯笼每对进价多元．
求甲、乙两种灯笼每对的进价；
经市场调查发现，乙灯笼每对售价元时，每天可售出对，售价每提高元，则每天少售出对：物价部门规定其销售单价不高于每对元，设乙灯笼每对涨价元，小明一天通过乙灯笼获得利润元．
求出与之间的函数解析式；
乙种灯笼的销售单价为多少元时，一天获得利润最大？最大利润是多少元？

23.  本小题分
如图，在中，，以为直径作，交于点，过点作交延长线于点，为上一点，且．
求证：为的切线；
若，，求的长．

24.  本小题分
已知菱形中，，点、分别在、上，，与交于点．
求证：；
当，时，求的长；
当时，求的最大值．

25.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交于点，已知．
求抛物线的函数表达式；
如图，点为抛物线上的点，且点的横坐标为，是抛物线上异于点的点，连接，，当，求点的横坐标；
如图，点为直线上方抛物线上一点，交于点，交于点记，，的面积分别为，，求的最大值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
的倒数为．
故选C．
直接根据倒数的定义即可得出结论．
本题考查的是倒数的定义，熟知乘积是的两数互为倒数是解答此题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：该圆锥主视图是等腰三角形，故A符合题意；
B.该正方体主视图是正方形，故B不符合题意；
C.该三棱柱的主视图是矩形，故C不符合题意；
D.该圆柱主视图是矩形，故D不符合题意；
故选：．
根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
本题考查了简单几何体的三视图，从正面看得到的图形是主视图．
 

3.【答案】 

【解析】解：、万名学生的数学成绩是总体，故A不符合题意；
B、其中的每名考生的数学成绩是个体，故B符合题意；
C、名考生的数学成绩是总体的一个样本，故C不符合题意；
D、是样本容量，故D不符合题意；
故选：．
总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目．我们在区分总体、个体、样本、样本容量，这四个概念时，首先找出考查的对象．从而找出总体、个体．再根据被收集数据的这一部分对象找出样本，最后再根据样本确定出样本容量．
本题考查了总体、个体、样本、样本容量，解题要分清具体问题中的总体、个体与样本，关键是明确考查的对象．总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小．样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位．
 

4.【答案】 

【解析】解：、，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C符合题意；
D、，故D不符合题意；
故选：．
利用同底数幂的除法的法则，合并同类项的法则，同底数幂的乘法的法则，幂的乘方的法则对各项进行运算即可．
本题主要考查同底数幂的除法，合并同类项，幂的乘方，同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

5.【答案】 

【解析】解：如图，

，
，
，
，
故选：．
利用三角形内角和定理和平行线的性质解题即可．
此题考查平行线的性质，关键是根据两直线平行，同位角相等解答．
 

6.【答案】 

【解析】解：将绕点按逆时针方向旋转得到，
，，
，
，
，
，
故选：．
由旋转的性质可得，，由等腰三角形的性质可得，由平行线的性质可得，即可求解．
本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，也考查了等腰三角形的性质和平行线的性质．
 

7.【答案】 

【解析】解：设第一批购买的“四大名著”每套的价格为元，则设第二批购买的“四大名著”每套的价格为元，
依题意得：．
故选：．
设第一批购买的“四大名著”每套的价格为元，则设第二批购买的“四大名著”每套的价格为元，利用数量总价单价，结合第二批购买的套数比第一批少套，即可得出关于的分式方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：如图，连接．
，
，
，
，
，
，
的长为，
故选：．
由圆周角定理求出，再根据弧长公式进行计算即可．
本题考查弧长的计算和圆周角定理，掌握等边三角形的性质，三角形内角和定理以及圆周角定理是正确解答的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：连接，，

五边形为正五边形，
，
菱形绕点顺时针旋转得到菱形，
，，，，，
，
，
，
平分，
点，，在同一条直线上，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
设，
，，
∽，
，
，
或舍去，
，
，
，
，
，
，
，
，
故选：．
连接，，根据正五边形的内角和先求出，再根据菱形和旋转的性质可得，，，，，从而可得，进而可得点，，在同一条直线上，然后求出，从而可设，再证明∽，利用相似三角形的性质求出的长，最后再证明是等腰三角形，从而可得，进而求出的长，进行计算即可解答．
本题考查了相似三角形的判定与性质，菱形的性质，旋转的性质，正多边形和圆，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：设，则、是函数和轴的交点的横坐标，
而，
即函数向上平移个单位得到函数，
则两个函数的图象如下图所示省略了轴，

从图象看，，
故选A．
设，而，即函数向上平移个单位得到函数，通过画出函数大致图象即可求解．
本题考查函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质．
 

11.【答案】 

【解析】解：，
去分母，得：，
移项及合并同类项，得：，
故答案为：．
根据解一元一次不等式的方法，可以求得该不等式的解集．
本题考查解一元一次不等式，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法．
 

12.【答案】 

【解析】解：，
．
故答案为：．
根据题目中的式子，可以得到的值，从而可以解答本题．
本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差及平均数的定义．
 

13.【答案】 

【解析】解：由平移的性质可知：，，≌，
，
，即，
，，
，
，
故答案为：．
根据平移的性质得到，，≌，根据梯形面积公式计算，得到答案．
本题考查的是平移的性质，平移不改变图形的形状和大小、经过平移，对应点所连的线段平行且相等．
 

14.【答案】 

【解析】解：如图，连结，，，设半径为，

，，，
，
是的内切圆，分别与、、相切于点、、，
，，，且，
四边形是正方形，
，
，，
，
，
．
，
．
．
故答案为：．
如图，连结，，，设半径为，根据勾股定理得到，根据切线的性质得到，，，且，根据正方形的性质得到，根据勾股定理得到．
本题考查了三角形的内切圆与内心，切线的性质，勾股定理，解决本题的关键是掌握切线的性质．
 

15.【答案】 

【解析】解：轴，轴，为的中点，
为的中点，
为的中位线．
设点的坐标为，则，，，
，，
．
，
，
解得．
故答案为：．
设点的坐标为，然后分别表示出，，，的坐标，最后根据三角形面积公式可得方程，求解可得答案．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是设出点的坐标，利用点的横坐标表示出、点的坐标．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，利用反比例函数图象上点的坐标特征表示出点的坐标是关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：如图所示，延长交于点，连接，
四边形是正方形，
，，，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，故正确；
；
将绕点顺时针旋转得到，过点作于点，
由旋转的性质可知，，，，，
，即、、三点共线，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，故正确；
≌，
，
，即为点到的距离，
点到的距离等于正方形的边长，故正确；
设，，则，
点是点的三等分点，
当，时，
由可知，，
在中，，
，
整理得：，
；
当，时，
由可知，，
在中，，
，
整理得：，

综上所述，当点运动到的三等分点时，或，故错误，
故答案为：．
如图所示，延长交于，连接，根据正方形的性质，易证≌，得到，，再利用平行线的性质，证明，进而推出，得到，即可证明是等腰直角三角形，故正确；则，将绕点顺时针旋转得到，过点作于点，根据旋转和正方形的性质，可证、、三点共线，≌，得到，则，故正确；根据全等三角形的性质，得到，即点到的距离等于正方形的边长，故正确；设，，则，分两种情况讨论：当，时，，利用勾股定理求出，得到；当，时，同理可得，则错误，即可得到答案．
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，旋转的性质，勾股定理等知识，利用分类讨论的思想解决问题，作辅助线构造全等三角形是解题关键．
 

17.【答案】解：原式

． 

【解析】先算开方、乘方化简绝对值，再代入特殊角的三角函数值算乘法，最后算加减．
本题考查了实数的混合运算，掌握二次根式的化简、“”、绝对值的意义及特殊角的三角函数值是解决本题的关键．
 

18.【答案】解：原式

，
，，
和，
当时，原式． 

【解析】根据分式的混合运算法则按原式化简，根据分式有意义的条件确定的值，代入计算即可．
本题考查的是分式的化简求值、分式有意义的条件，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
 

19.【答案】解：如图所示：即为所求；

，理由如下：
，
，
，
由作图过程可知：，，
≌，
． 

【解析】根据基本作图方法即可完成作图；
由作图过程可得，，证明≌，即可解决问题．
本题考查了作图复杂作图，解决本题的关键是掌握基本作图方法．
 

20.【答案】证明：四边形为平行四边形，
，．
．
，
．
．
在和中，
，
≌，
． 

【解析】在和中已经有一条边和一个角分别相等，根据平行的性质和等边对等角得出即可证明≌，进而利用全等三角形的性质解答即可．
主要考查了平行四边形的基本性质和全等三角形的判定及性质．判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、．
 

21.【答案】   

【解析】解：本次调查的学生共有：人，
扇形统计图中表示选项的扇形圆心角的度数是，
喜欢类项目的人数有：人，
故答案为：，，
补全条形统计图如图所示：

由题意得：人，
答：估计选择“唱歌”的学生约有人；
画树形图如下：

共有种等可能的情况，其中被选取的两人恰好是甲和乙的有种情况，
被选取的两人恰好是甲和乙的概率是．
根据项目的人数和所占的百分比求出总人数，即可解决问题；
用该校的总人数乘以选择“唱歌”的学生所占的比例即可；
画出树状图，共有种等可能的情况，其中被选取的两人恰好是甲和乙的有种情况，再由概率公式求解即可．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式计算事件或事件的概率．也考查了统计图．
 

22.【答案】解：设甲种灯笼单价为元对，则乙种灯笼的单价为元对，由题意得：
，
解得，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
，
答：甲种灯笼单价为元对，乙种灯笼的单价为元对．
，
答：与之间的函数解析式为：．
，
函数有最大值，该二次函数的对称轴为：，
物价部门规定其销售单价不高于每对元，
，
，
时，随的增大而增大，
当时，．
答：乙种灯笼的销售单价为元时，一天获得利润最大，最大利润是元． 

【解析】本题属于分式方程和二次函数的应用题综合．由于前后步骤有联系，第一问解对，后面才能做对．本题还需要根据问题的实际意义来确定销售单价的取值，本题中等难度．
设甲种灯笼单价为元对，则乙种灯笼的单价为元对，根据用元购进甲灯笼与用元购进乙灯笼的数量相同，列分式方程可解；
利用总利润等于每对灯笼的利润乘以卖出的灯笼的实际数量，可以列出函数的解析式；
由函数为开口向下的二次函数，可知有最大值，结合问题的实际意义，可得答案．
 

23.【答案】证明：，
，
，
．
，
，
，
．
，
是的半径，
为的切线；
解：设与交与点，连接，，如图，

为的直径，
，
，
四边形为矩形．
．
在中，
，，
．
设，则．
，
，
解得：，
，．
．
，，
∽．
，
，
．
． 

【解析】利用等腰三角形的性质，直角三角形的两个锐角互余和圆的切线的判定定理解答即可；
设与交与点，连接，，利用圆周角定理，矩形的判定与性质和直角三角形的边角关系定理求得，设，则，利用勾股定理列出方程求得值，再利用相似三角形的判定与性质解答即可得出结论．
本题主要考查了圆的切线的判定，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，圆周角定理，矩形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的边角关系定理，相似三角形的判定与性质，连接直径所对的圆周角是解决此类问题常添加的辅助线．
 

24.【答案】证明：连接，如图，
四边形是菱形，
，，
，
，
是等边三角形，
，，
，
≌，
，
，
；
解：延长至，使，如图，
由可知，
，，
，，
，
，
，
又，，
≌，
，，
同理得出，
，
是等边三角形，
；
解：，
，
，
，
、、、四点共圆，
当为直径时，最大，
设圆心为，连接，，过点作于点，如图，
，
，
，
，，
，
，
，
的最大值为． 

【解析】连接，由菱形的性质得出，，证出是等边三角形，得出，，证明≌，由全等三角形的性质得出，则可得出结论；
延长至，使，由可知，证明≌，由全等三角形的性质得出，，同理得出，由等边三角形的性质得出答案；
证出、、、四点共圆，收当为直径时，最大，设圆心为，连接，，过点作于点，求出，由直角三角形的性质可得出答案．
本题是四边形综合题，考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，四点共圆，直角三角形的性质，熟练掌握菱形的性质和等边三角形的性质是解题的关键．
 

25.【答案】解：，
，
又，
，
．
设抛物线解析式为，
把代入得：，解得，
即抛物线解析式为．
点的横坐标为，
．
轴，
设直线的解析式为，则，解得，
．
把直线向右平移个单位过点，交抛物线于点，则，
则直线的解析式为：，
解方程组，
解得或舍．
点坐标为．
当把直线向左平移个单位，交抛物线于点，则，
则平移后直线为，
解方程组，
解得或舍，
点坐标为或．
综上所述，点坐标为或，．
，
，，
∽，
，
，，
．
设点坐标为，则点坐标为，
，
当时，最大为，即的最大值为． 

【解析】根据得到，利用待定系数法解题即可；
求出直线的解析式为，然后可以求出轴，利用同底等高的两个三角形面积相等，通过平移得到直线的解析式，联立方程解题即可；
由得到，进而表示，设点坐标为，则点坐标为，表示的长并配方找到最大值解题即可．
本题考查待定系数法求二次函数的解析式，一次函数的解析式，平移，相似和二次函数的顶点坐标，综合型较强，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．