2023年福建省福州市晋安区重点中学中考数学适应性试卷（含解析）

2023年福建省福州市晋安区重点中学中考数学适应性试卷

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  四个数，，，中最大的数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  “柳条初弄绿，已觉春风驻”每到春天，人们在欣赏柳绿桃红的同时，也被飞舞的柳絮所烦恼，据了解柳絮纤维的直径约为，则用科学记数法可表示为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  如图是由两个大小不一的圆柱组成的几何体，其主视图是(    )

A.
B.
C.
D.

5.  下列计算正确的是(    )

A.  B.  C.   D.

6.  一组数据，，，，，，，若加入一个整数，一定不会发生变化的统计量是(    )

A. 方差 B. 平均数 C. 中位数 D. 众数

7.  如图，在菱形中，对角线，相交于点，点为的中点．若，则菱形的周长为(    )

A.
B.
C.
D.

8.  随着快递业务的增加，某快递公司为快递员更换了快捷的交通工具，公司投递快件的能力由每周件提高到件，平均每人每周比原来多投递件，若快递公司的快递员人数不变，求原来平均每人每周投递快件多少件？设原来平均每人每周投递快件件，根据题意可列方程为(    )

A.  B.
C.  D.

9.  如图，是的直径，点，分别在两个半圆上，过点的切线与的延长线交于与的关系是(    )

A.  B.
C.  D.

10.  无论为何值，直线与抛物线总有公共点，则的取值范围是(    )

A.  B.  C. 或 D.

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

11.  在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是______ ．

12.  如图，，与相交于点，若，，则的值为______ ．

13.  在单词数学中任意选择一个字母，字母为“”的概率是______ ．

14.  若是方程的一个根，则代数式的值为______ ．

15.  如图，要用一个扇形纸片围成一个无底的圆锥接缝处忽略不计，若该圆锥的底面圆周长为，扇形的圆心角的度数是，则圆锥的侧面积为______ 结果保留．

16.  如图，在边长为的正方形中，点，分别为，边上的动点不与端点重合，连接，，分别交对角线于点，点，在运动过程中，始终保持，连接，，下列结论：；；；为等腰直角三角形；若过点作，垂足为，连接，则的最小值为其中所有正确结论的序号是______．
 

三、计算题（本大题共1小题，共8.0分）

17.  某校开展了“互助、平等、感恩、和谐、进取”主题班会活动，活动后，就活动的个主题进行了抽样调查每位同学只选最关注的一个，根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图．根据图中提供的信息，解答下列问题：

这次调查的学生共有多少名？
请将条形统计图补充完整，并在扇形统计图中计算出“进取”所对应的圆心角的度数．
如果要在这个主题中任选两个进行调查，根据中调查结果，用树状图或列表法，求恰好选到学生关注最多的两个主题的概率将互助、平等、感恩、和谐、进取依次记为、、、、．

四、解答题（本大题共8小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

18.  本小题分
计算．

19.  本小题分
如图，在菱形中，、分别在边、上，且，
求证：．

20.  本小题分
先化简，再求值，其中．

21.  本小题分
如图，以边为直径的经过点，是上一点，连接交于点，且，．
证明：是的切线．
若点是弧的中点，已知，求的值．

22.  本小题分
为增强民众生活幸福感，市政府大力推进老旧小区改造工程．和谐小区新建一小型活动广场，计划在的绿化带上种植甲乙两种花卉．市场调查发现：甲种花卉种植费用元与种植面积之间的函数关系如图所示，乙种花卉种植费用为元．
当时，求与的函数关系式，并写出的取值范围；
当甲种花卉种植面积不少于，且乙种花卉种植面积不低于甲种花卉种植面积的倍时．如何分配甲乙两种花卉的种植面积才能使种植的总费用元最少？最少是多少元？

23.  本小题分
如图，中，，的大小保持不变，点在斜边上，，垂足为点如图，把绕着点顺时针旋转，旋转角为，点的对应点为点．

求作点的对应点要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹；
连接，，，直线，相交于点，试探究在整个旋转过程中，直线，所相交成的锐角是否保持不变？若不变，请证明；若有变化，说明理由．

24.  本小题分
已知如图，在中，弦于点，，，是的中点．

求的长．
求的长．
如图，若，连接交于点，试说明的度数是否会发生变化，若不变请求出的度数，并说明理由．

25.  本小题分
抛物线交轴交于，两点在左侧，与轴交于，．

求抛物线的解析式；
若是抛物线上，之间的一点不与，重合，连接，，交轴于，记四边形的面积为，求的最大值；
若是第一象限抛物线上的一点，点与关于抛物线的对称轴对称，点在第四象限抛物线上，且，若点与点的横坐标之差为，求点的横坐标．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
四个数，，，中最大的数是．
故选：．
有理数大小比较的法则：正数都大于；负数都小于；正数大于一切负数；两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可．
此题主要考查了有理数大小比较的方法，解答此题的关键是要明确：正数都大于；负数都小于；正数大于一切负数；两个负数，绝对值大的其值反而小．
 

2.【答案】 

【解析】解：、原图不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
B、原图既是中心对称图形，又是轴对称图形，故此选项符合题意；
C、原图是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D、原图既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：．
根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与自身重合．
 

3.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
绝对值小于的负数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
此题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
 

4.【答案】 

【解析】解：根据主视图是从正面看到的可得：
它的主视图是如下：
．
故选：．
根据主视图是从正面看到的图形，可得答案．
本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图．
 

5.【答案】 

【解析】解：，故本选项符合题意；
B.与不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意；
C. ，故本选项不合题意；
D.，故本选项不合题意．
故选：．
分别根据同底数幂的除法法则，合并同类项法则，积的除法运算法则以及同底数幂的除法法则逐一判断即可．
本题主要考查了合并同类项、同底数幂的乘除法以及积的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：、原来数据的方差加入一个整数后的方差一定发生了变化，不符合题意，选项错误；
B、原来数据的平均数是，加入一个整数后，平均数一定变化，不符合题意，选项错误；
C、原来数据的中位数是，加入一个整数后，如果，中位数一定变化，不符合题意，选项错误；
D、原来数据的众数是，加入一个整数后众数仍为，符合题意，选项正确．
故选：．
依据众数、平均数、中位数、方差的定义逐一进行判断，即可得到结论．
本题考查了众数、中位数、方差、平均数，熟练掌握相关概念是解题关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：四边形为菱形，
，，
为直角三角形．
，点为线段的中点，
．
．
故选：．
由菱形的性质可得出，，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出的长，结合菱形的周长公式即可得出结论．
本题考查了菱形的性质以及直角三角形的性质，解题的关键是求出．
 

8.【答案】 

【解析】解：设原来平均每人每周投递快件件，则现在平均每人每周投递快件件，
依题意，得：．
故选：．
设原来平均每人每周投递快件件，则现在平均每人每周投递快件件，根据人数投递快递总数量人均投递数量结合快递公司的快递员人数不变，即可得出关于的分式方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：连接，，，
是的直径，
，
，
，，
，
，
是的切线，
，
，
，
．
故选：．
连接，，，根据圆周角定理得到，得到，根据切线的性质得到，求得，于是得到结论．
本题考查了切线的性质，圆周角定理，等腰三角形的性质，熟练掌握切线的性质是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：当时，若，直线与直线没有交点，不合题意．
当时，二次函数为：．
由得：．

．
无论为何值，，
．
直线与抛物线总有公共点，
符合题意．
故排除，．
当时，二次函数为：．
由得：，
．
直线与抛物线总有公共点．
符合题意．
故排除．
故选：．
将交点问题转化为方程解的问题求解．
本题考查二次函数与一次函数的交点问题，取特殊的值，将交点问题转化为方程解的问题是求解本题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：点关于原点对称的点的坐标是，
故答案为．
根据平面直角坐标系内两点关于原点对称横纵坐标互为相反数，即可得出答案．
本题主要考查关于原点对称的点的坐标变化．
 

12.【答案】 

【解析】解：，
．
，，
．
故答案为：．
利用平行线的性质列出比例式可得结论．
本题主要考查了平行线的性质，正确应用平行的性质是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：在单词数学中，共有个字母，其中字母“”出现了次，
则字母为“”的概率是．
故答案为：．
直接利用概率公式进行求解即可．
此题考查概率的求法：如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种可能，那么事件的概率．
 

14.【答案】 

【解析】解：是一元二次方程的一个根，
，
，



．
故答案为：．
先根据一元二次方程解的定义得到，然后利用整体代入的方法计算代数式的值．
本题考查了解一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
 

15.【答案】． 

【解析】解：圆锥的底面圆周长为，
圆锥展开后的侧面扇形的弧长为
设扇形的半径为，
由题意可得：，
解得：；
则扇形的面积为：．
故答案为：．
由题意可知圆锥展开后的侧面扇形的弧长为，设扇形的半径为，根据扇形的弧长公式可得，即圆锥的母线为；最后根据扇形的面积公式求解即可．
本题主要考查的是圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：如图，四边形是正方形，
，，
在和中，

≌，
，故正确；
，
，
又，
∽，
，，
，
，
∽，
，
，
，
，
，
为等腰直角三角形，故正确；
，
，，，四点共圆，
，
，
，
，，
，
，
，
，
在和中，

≌，
，
在和中，

≌，
，
，
，
，
，故正确；
将绕点顺时针旋转得到，连接，
，，，
，
，

，
在和中，

≌，
，
，
，故错误；
连接，，
正方形的边长为，
，，
，
的最小值为，故正确．
故答案为：．
正确．证明≌，可得结论；
正确．推出，，由，可得结论；
错误．可以证明；
正确．利用相似三角形的性质证明，可得结论；
正确．求出，，根据，可得结论．
本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
 

17.【答案】解：名，
答：这次调查的学生共有名；
名，名，
补全条形统计图，如图所示，
根据题意得：，，
答：“进取”所对应的圆心角是；
由中调查结果知：学生关注最多的两个主题为“进取”和“感恩”用列表法为：

用树状图为：

共种情况，恰好选到“”和“”有种，
恰好选到“进取”和“感恩”两个主题的概率是． 

【解析】根据“平等”的人数除以占的百分比得到调查的学生总数即可；
求出“互助”与“进取”的学生数，补全条形统计图，求出“进取”占的圆心角度数即可；
列表或画树状图得出所有等可能的情况数，找出恰好选到“”与“”的情况数，即可求出所求的概率．
此题考查了列表法与树状图法，扇形统计图，以及条形统计图，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 

18.【答案】解：原式

． 

【解析】根据零指数幂，绝对值性质，负整数指数幂进行计算即可．
本题考查实数的运算，其相关运算法则是基础且重要知识点，必须熟练掌握．
 

19.【答案】证明：菱形，
，，
，
，
，
≌，
． 

【解析】根据菱形的性质和全等三角形的判定和性质解答即可．
此题考查菱形的性质，关键是根据菱形的性质得出，解答．
 

20.【答案】解：原式

，
当时，
原式． 

【解析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将的值代入计算即可．
本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
 

21.【答案】解：连接，

，
，
，
，
，
，
，
，
是的切线．
连接，
是的直径，
，
又为弧的中点，
，，
，
，
，
，，
∽，

． 

【解析】连接，根据圆周角定理可得，然后计算出和的度数，进而可得，从而证明是的切线；
连接，首先求出，然后可得长，再证明∽，进而可得，然后可得的值．
此题主要考查了切线的判定，等腰三角形的性质，勾股定理和相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握切线的判定定理和相似三角形的判定与性质定理．
 

22.【答案】解：当时，，
当时，设，
把，代入得：
，
解得：，
，
；
设甲种花卉种植面积为，则乙种花卉种植面积为，
甲种花卉种植面积不少于，且乙种花卉种植面积不低于甲种花卉种植面积的倍，
，
解得，
当时，，
，
当时，最小，最小为元，
当时，，
，对称轴为直线，且，
时，取最小值，最小为元，
，
当时，取最小值，最小为元，
此时，
答：甲种花卉种植面积为，乙种花卉种植面积为，才能使种植的总费用元最少，最少元． 

【解析】分两种情况，用待定系数法求出与的函数关系式；
根据总费用甲种花卉种植费用乙种花卉种植费用，分两种情况列出函数关系式，求出最小值，再比较即可得答案．
本题考查一次函数，二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式．
 

23.【答案】解：如下图：点即为所求；

在整个旋转过程中，直线，所相交成的锐角保持不变；
理由：由旋转的性质得：，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
在整个旋转过程中，直线，所相交成的锐角保持不变． 

【解析】先作角相等，再截取线段相等；
先证明，再根据三角形的内角和证明角相等．
本题考查了复杂作图，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
 

24.【答案】解：，
，
，，，
，
；
，，
是等腰三角形，
是的中点，
，
，
是圆的直径，
，
，
，
，
，
在中，，，
，
；
的度数为，不会发生变化，理由如下：
设与的交点为，过点作交于点，
由知，，，
，
，，
≌，
，
，
设，则，，
在中，，
解得，
，
，
垂直平分，
，
，
，
，
． 

【解析】由相交弦定理可得，再代入已知条件求值即可；
由可知是等腰三角形，再由是的中点，可得，则是圆的直径，再由同弧所对的圆周角相等，可知，则，即可求；
设与的交点为，过点作交于点，证明≌，设，则，，在中，由勾股定理求出，再由垂直平分，可得，则，又由，可得，则．
本题考查圆的综合应用，熟练掌握同弧所对的圆周角相等，相交弦定理，直角三角形的性质，勾股定理，三角形全等的判定及性质是解题的关键．
 

25.【答案】解：设，，，，

，
抛物线的解析式为：；
，，，
，，
设，，
设直线的解析式为：，
，
，
直线的解析式为：，
当时，，
，
，




，
，，
当时，有最大值；
过作轴，过作于，过作于，则，

设，，
点与关于抛物线的对称轴对称，抛物线的对称轴为直线，
，
即，
点与点的横坐标之差为，点在的右侧，
的横坐标为，又在抛物线上，
，
，，，
，
，
∽，则，
，
，
经检验是方程的解，
，
故的横坐标为． 

【解析】设，，，利用待定系数法求解即可；
由得到，，，则，，设，利用待定系数法求得直线的表达式，进而求得点坐标，然后利用坐标与图形性质和三角形的面积公式，结合二次函数的性质求解即可；
过作轴，过作于，过作于，则，设，，根据二次函数的对称性得到，再由题意得到，再证明∽，则，进而求解即可．
本题是二次函数的综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式、二次函数的图象与性质、坐标与图形、相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，添加辅助线构造相似三角形是解答的关键．