2023-2024学年陕西省西安市莲湖区远东二中八年级（上）第一次月考数学试卷（含解析）

2023-2024学年陕西省西安市莲湖区远东二中八年级（上）第一次月考数学试卷

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.在实数，，，，中，无理数的个数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.下列四组数据不能作为直角三角形的三边长的是(    )

A. 、、 B. 、、
C. 、、 D. 、、

3.下列各式中，正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.三角形的三边长为，，，且满足等式，则此三角形是(    )

A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等边三角形

5.如图，在中，，，，则点到的距离是(    )

A.
B.
C.
D.

6.的平方根是(    )

A.  B.  C.  D.

7.下列计算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

8.如图，直线上有三个正方形，，，若，的面积分别为和，则的面积为(    )
 

A.  B.  C.  D.

9.图中不能证明勾股定理的是(    )

A.  B.
C.  D.

10.如图，圆柱形容器高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到达内壁处的最短距离为(    )

A.
B.
C.
D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11. ______ ；

12.若直角三角形的两边长为和，则第三边长为______．

13.若的整数部分为，小数部分为，则______．

14.如图，在数轴上，点表示的数为，点表示的数为，以，为直角边作，，以点为圆心，以长为半径作弧，交该数轴于点，则点对应的数为______ ．

15.如图，在三角形纸片中，，，折叠三角形纸片，使点在边上的点处，则．

 

16.若、为实数，且，则的值为______ ．

三、计算题（本大题共1小题，共8.0分）

17.求满足下列各式的未知数
                         
．

四、解答题（本大题共6小题，共64.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

18.本小题分
计算：
；
；
；
；
；
．

19.本小题分
在数轴上，用点大致表示．

20.本小题分
若，正数的两个平方根分别是和，求平方根．

21.本小题分

如图是俱乐部新打造的一款儿童游戏项目，工作人员告诉小敏，该项目段和段均由不锈钢管材打造，总长度为米，长方形和长方形均为木质平台的横截面，点在上，点在上，点在上，经过现场测量得知：米，米．
小敏猜想立柱段的长为米，请判断小敏的猜想是否正确？如果正确，请写出理由，如果错误，请求出立柱段的正确长度；
为加强游戏安全性，俱乐部打算再焊接一段钢索，经测量米，请你求出要焊接的钢索的长．结果不必化简成最简二次根式

22.本小题分

为迎接十四运，我区强力推进“三改一通一落地”，加速城市更新步伐，绿地广场有一块三角形空地将进行绿化，如图，在中，，是上的一点，，，．
判断的形状，并说明理由；
求线段的长．

23.本小题分
阅读下列解题过程：


请回答下列问题：
观察上面的解题过程，请直接写出的结果为______ ．
利用上面所提供的解法，求的值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：实数，，，，中，无理数有：，，，共个．
故选：．
根据无理数的三种形式：开方开不尽的数，无限不循环小数，含有的数，结合所给数据即可得出答案．
本题考查了无理数的知识，解答本题的关键是掌握无理数的三种形式．

2.【答案】 

【解析】【分析】
本题主要考查了勾股定理的逆定理的运用，要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．
根据勾股定理的逆定理进行判断，如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形．
【解答】
解：、、符合，能作为直角三角形的三边长；
B.、、符合，能作为直角三角形的三边长；
C.、、符合，能作为直角三角形的三边长；
D.、、不符合勾股定理的逆定理，不能作为直角三角形的三边长；
故选：．

3.【答案】 

【解析】解：、，应该，故选项错误；
B、，应该等于，故选项错误；
C、，不能开立方，故选项错误；
D、，故选项正确．
故选D．
A、根据算术平方根的性质即可判定；
根据算术平方根的性质计算即可判定、
C、根据立方根的定义即可判定；
D、根据平方根的定义计算即可判定．
此题主要考查了算术平方根的性质、立方根的定义及立方根的定义，都是基础知识，比较简单．

4.【答案】 

【解析】解：，
，
，
三角形是直角三角形．
故选：．
先根据完全平方公式对已知等式进行化简，再根据勾股定理的逆定理进行判定．
本题考查了勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形．也考查了完全平方公式．

5.【答案】 

【解析】解：设点到的距离为，
在中，，则有，
，，
，
，
．
故选：．
首先根据勾股定理求出斜边的长，再根据等面积法即可求出点到的距离．
本题考查了勾股定理在直角三角形中的应用，解本题的关键是正确的运用勾股定理，确定为斜边．

6.【答案】 

【解析】解：，
，
的平方根是．
故选：．
先根据算术平方根的定义求出的值，再根据平方根的定义进行解答即可．
本题考查了平方根的定义，注意先求出，再求平方根，这也是本题容易出错的地方．

7.【答案】 

【解析】解：、不是同类项不能合并，故选项错误；
B、，故选项正确；
C、不是同类项不能合并，故选项错误；
D、，故选项正确．
故选：．
A、根据二次根式加减法则即可判定；
B、根据二次根式加减法则即可判定；
C、根据二次根式加减法则即可判定；
D、根据二次根式加减法则即可判定；
此题主要考查二次根式的加减运算，注意只有同类二次根式才能合并．同类二次根式：根指数是，被开方数相同．二次根式的加减运算，只有同类二次根式才能合并．

8.【答案】 

【解析】【分析】
运用正方形边长相等，结合全等三角形和勾股定理来求解即可．
此题主要考查全等三角形和勾股定理的综合运用，证明≌，推出，是解题的关键．
【解答】
解：、、都是正方形，





，；
，
，
在和中，
≌，
，；
在中，由勾股定理得：，
即，
故选：．

9.【答案】 

【解析】解：在选项中，大正方形的面积等于四个三角形的面积加小正方形的面积，
，
整理可得，
选项可以证明勾股定理，
在选项中，不能利用图形面积证明勾股定理，
选项不可以证明勾股定理，
在选项中，由图可知三个三角形的面积的和等于梯形的面积，
，
整理得，
选项可以说明勾股定理，
在选项中，大正方形的面积等于两个小正方形的面积的和，
，
选项可以说明勾股定理，
故选：．
勾股定理有两条直角边，一条斜边，共三个量，根据勾股定理的概念即可判断．
此题主要考查了勾股定理的证明方法，根据图形面积得出是解题关键．

10.【答案】 

【解析】解：如图：
将杯子侧面展开，作关于的对称点，
连接，则即为最短距离，
．
故选：．
将杯子侧面展开，建立关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求．
本题考查了平面展开---最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力．

11.【答案】 

【解析】解：，，
．
首先可以估算得，然后根据绝对值的定义即可化简求解．
此题主要考查了求实数的绝对值，注意如何实数的绝对值是非负数．

12.【答案】或 

【解析】解：当是直角边时，第三边长，
当是斜边时，第三边长，
故答案为：或．
分是直角边、是斜边两种情况，根据勾股定理计算即可．
本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么．

13.【答案】 

【解析】解：，
，，
代入可得：．
故答案为：．
通过估算的大小，可得的整数部分为，小数部分为；代入求即可求得其数值．
此题主要考查了无理数的估算，现实生活中经常需要估算，估算应是我们具备的数学能力，“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法．

14.【答案】 

【解析】解：点表示的数为，点表示的数为，
，
以，为直角边作，，
，
，
点表示的数为，
对应的数为，
故答案为：．
求出的长度即可得出结果．
本题考查数轴上的点表示实数，关键是求出的长度．

15.【答案】 

【解析】【分析】
本题主要考查的是翻折的性质、勾股定理的应用，在中依据勾股定理列出关于的方程是解题的关键．
先利用勾股定理求得，然后由翻折的性质可知，，设，则，最后再中利用勾股定理求解即可．
【解答】
解：在中，．
由翻折的性质可知：，，．
，
．
设，则．
在中，由勾股定理得：，即．
解得：．
．
故答案为：．

16.【答案】 

【解析】解：由题意得，且，
解得且，
所以，，
，
．
故答案为：．
根据被开方数大于等于，分母不等于列式计算求出，再求出，然后代入代数式计算即可得解．
本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为；二次根式的被开方数是非负数．

17.【答案】解：       
则             
解得：；  

则，
解得：，． 

【解析】此题主要考查了立方根以及平方根，正确把握相关定义是解题关键．
直接利用立方根的定义化简求出答案；
直接利用平方根的定义化简求出答案．

18.【答案】解：




；


；



；




；


；



． 

【解析】先计算二次根式的乘除法，再算减法，即可解答；
先把每一个二次根式化成最简二次根式，然后再进行计算即可解答；
先计算二次根式的乘法，再算减法，即可解答；
先计算二次根式的乘除法，再算减法，即可解答；
先计算二次根式的乘除法，再算加减法，即可解答；
先化简各式，然后再进行计算即可解答．
本题考查了二次根式的混合运算，平方差公式，零指数幂，负整数指数幂，实数的运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．

19.【答案】解：数轴如图所示，

点的位置如图所示． 

【解析】通过勾股定理构造出长度为的线段即可解决问题．
本题考查实数与数轴，能够通过勾股定理构造出长度为的线段是解题的关键．

20.【答案】解：正数的两个平方根分别是和，
，解得，
，
，
解得，
，
的平方根是． 

【解析】由于一个正数的两个平方根互为相反数，得：和解方程即可求出，然后即可求，根据算术平方根的定义可求，再代入计算可求平方根．
此题主要考查了算术平方根、平方根的定义，还要注意正数的两个平方根之间的关系．

21.【答案】解：不正确，理由如下：
由题意得：米，米，
设米，则米，
在中，由勾股定理得：，
即，
解得：，
米，
米，
小敏的猜想不正确，立柱段的正确长度长为米．
由题意得：米，
米，
在中，由勾股定理得：米． 

【解析】设米，则米，在中，由勾股定理得，解得，则米，即可得出结论；
由题意得米，则米，在中，再由勾股定理求出的长即可．
本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理，求出的长是解题的关键．

22.【答案】解：是直角三角形，
理由：，，，
，
，
，
是直角三角形．
设，则，
由可知是直角三角形，
，
，
解得．
． 

【解析】直接利用勾股定理逆定理进而分析得出答案．
设，则，利用勾股定理得出的长，则可求出答案．
此题主要考查了勾股定理以及勾股定理逆定理，等腰三角形的性质，正确运用勾股定理是解题关键．

23.【答案】；
原式

 

【解析】解：，
故答案是：；

【分析】
根据解题规律即可直接写出结果；
根据已知中的规律把每个式子写成两个数的差的形式，然后合并同类二次根式即可求解．
本题考查了分母有理化，正确读懂已知条件中式子的规律，正确对已知的式子进行化简是关键．