2022-2023学年河南省南阳市宛城区八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年河南省南阳市宛城区八年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列代数式中，属于分式的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  经测算，一个水分子的直径约为纳米，纳米米，数据纳米用科学记数法表示为(    )

A. 米 B. 米 C. 米 D. 米

3.  下列解为的分式方程是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  下列分式中，最简分式是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  若一次函数的图象经过点，，则与的大小关系是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  若、的值均扩大为原来的倍，则下列分式的值保持不变的是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  在同一平面直角坐标系中，函数与的图象可能是(    )

A.  B.
C.  D.

8.  如图是某教室学生座位平面示意图，老师把王明的座位“第列第排”记为若小东的座位为，则以下四个座位中，与小东相邻且能比较方便地讨论交流的同学的座位是(    )

A.  B.  C.  D.

9.  物理实验证实：在弹性限度内，某弹簧长度与所挂物体质量间有下表的关系下列说法不正确的是(    )

A. 因变量是自变量的一次函数
B. 当弹簧长度为时，所挂物体的质量为
C. 随着所挂物体重量的增加，弹簧长度逐渐变长
D. 所挂物体的重量每增加，弹簧长度增加

10.  如图，已知，，，将先向左平移个单位，再绕原点顺时针旋转得到，则点的对应点的坐标是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11.  函数中自变量的取值范围是______ ．

12.  如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点在轴正半轴上，以点为圆心，长为半径作弧，交轴正半轴于点，则点的坐标为______．

13.  化简的结果是______ ．

14.  反比例函数的图像经过、两点，当时，，写出符合条件的的值          答案不唯一，写出一个即可．

15.  数形结合是解决数学问题常用的思想方法如图，在长方形中，动点从点出发，沿方向匀速运动至点停止，已知点的运动速度为，设点的运动时间为，的面积为，若关于的函数图象如图所示，则长方形的面积为______ ．
 

三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.  本小题分
计算或解方程：；．

17.  本小题分
根据物理学知识，在压力不变的情况下，某物体承受的压强是它的受力面积的反比例函数，其函数图象如图所示．
关于的函数关系式为______ ．
求当时，物体所受的压强是______ ．
当时，求受力面积的变化范围．

18.  本小题分
先化简，然后从中选出一个合适的整数作为的值代入求值．

19.  本小题分
如图，是双曲线上的任意一点，是的中点，过点作轴的垂线，垂足为，交双曲线于点，若的面积，求反比例函数的解析式．

20.  本小题分
“孔子周游列国”是流传很广的故事有一次他和弟子颜回等到离所住驿站里的书院讲学，弟子们步行出发小时后，孔子坐牛车出发，已知牛车的速度是步行的倍，结果孔子和弟子们同时到达书院，求孔子及其弟子们的速度各是多少里小时．

21.  本小题分
通过实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散学生注意力指标随时间分钟变化的函数图象如图所示，当和时，图象是线段；当时，图象是反比例函数的一部分．
求点对应的指标值；
张老师在一节课上讲解一道数学综合题需要分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于？请说明理由．

22.  本小题分
小东根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究下面是小东的探究过程，请补充完整：
化简函数解析式：当时， ______ ；当时， ______ ；
如表是与的几组对应值，表中 ______ ；

在图的平面直角坐标系中，描出以上表中各对对应值为坐标的点，并根据描出的点，画出该函数的图象；

结合函数的图象，解决问题：
写出该函数的一条性质：______ ；
若关于的方程有两个实数根，直接写出的取值范围．

23.  本小题分
某水果店购进甲、乙两种苹果的进价分别为元、元，这两种苹果的销售额单位：元与销售量单位：之间的关系如图所示．
写出图中点表示的实际意义；
分别求甲、乙两种苹果销售额单位：元与销售量单位：之间的函数解析式，并写出的取值范围；
若不计损耗等因素，当甲、乙两种苹果的销售量均为时，它们的利润和为元，求的值．
 

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：分母中含有未知数的式子叫分式，只有选项C符合题意．
故选：．
根据分式的定义判断即可．
本题考查分式的定义，掌握分式的定义是做题的关键．

2.【答案】 

【解析】解：纳米米米，
纳米米米，
故选：．
绝对值小于的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．

3.【答案】 

【解析】解：当时，，故不是选项A的解；
B.当时，方程左边没有意义，故不是选项B的解；
C.当时，，故是选项C的解；
D.当时，方程左边没有意义，故不是选项D的解．
故选：．
可解方程，根据方程的解的情况得结论，亦可利用方程解的意义，通过检验的办法得结论．
本题主要考查了分式方程及其解，掌握分式方程解的意义是解决本题的关键．

4.【答案】 

【解析】解：、该式子的分子、分母中含有公因式，不是最简分式，不符合题意；
B、该式子的分子、分母中含有公因数，不是最简分式，不符合题意；
C、该式子的分子、分母中不含有除之外的其他公因式，是最简分式，符合题意；
D、该式子的分子、分母中含有公因式，不是最简分式，不符合题意；
故选：．
根据最简分式的概念逐项判断即可．
本题考查的是最简分式的定义，一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式．

5.【答案】 

【解析】解：一次函数中，，
随着的增大而增大．
点和是一次函数图象上的两个点，，
．
故选：．
先根据一次函数的解析式判断出函数的增减性，再根据即可得出结论．
本题考查的是一次函数图象上点的坐标特征，熟知一次函数图象的增减性是解答此题的关键．

6.【答案】 

【解析】解：，
选项A不符合题意；
，
选项B不符合题意；
，
选项C不符合题意；
，
选项D符合题意，
故选：．
将、的值均扩大为原来的倍分别代入各选项进行计算、辨别．
此题考查了分式基本性质的应用能力，关键是能准确理解并运用以上知识进行计算、求解．

7.【答案】 

【解析】解：当，时，函数的图象经过第一、二、四象限，的图象在第二、四象限，故选项A错误、选项D正确；
当，时，函数的图象经过第一、二、三象限，的图象在第一、三象限，故选项B错误；
当，时，函数的图象经过第一、三、四象限，的图象在第二、四象限，故选项C错误；
故选：．
根据一次函数的性质和反比例函数的性质，可以判断各个选项中的图象是否正确．
本题考查反比例函数的图象、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．

8.【答案】 

【解析】解：如图所示：与小东相邻且能比较方便地讨论交流的同学的座位是．
故选：．
直接利用点的坐标特点得出与小东相邻且能比较方便地讨论交流的同学的座位．
此题主要考查了点的坐标，正确掌握点的坐标特点是解题关键．

9.【答案】 

【解析】解：有表格得：，为弹簧秤的最大限度
是正确的；
当时，，
解得：，
故B是错误的；
在弹性限度内，弹簧随所挂物品的重量的增加，弹簧的长度逐渐变长；
故C是正确的；
在弹簧的限度内，所挂物体的重量每增加，弹簧长度增加，
故D是正确的；
故选：．
先把表格转化为解析式，再根据一次函数的性质求解．
本题考查了一次函数的应用，掌握函数的形式转化及一次函数的性质是解题的关键．

10.【答案】 

【解析】解：，
将先向左平移个单位后点坐标为，
点关于原点对称的点，
故选：．
先根据平移的性质求出平移后点的坐标，再利用旋转的性质求出点关于原点对称的点的坐标即可．
本题考查了图形的平移和旋转，解题关键是掌握绕原点旋转的图形的坐标特点，即对应点的横纵坐标都互为相反数．

11.【答案】且 

【解析】解：由题意，得
且，
解得且，
故答案为：且．
根据被开方数是非负数，分母不能为零，非零的零次幂等于，可得答案．
本题考查了函数自变量的取值范围，利用被开方数是非负数，分母不能为零，非零的零次幂等于得出不等式是解题关键．

12.【答案】 

【解析】解：由图象可得与直径重合，
，
，
，
，
故答案为：．
由图象可得与圆的直径重合，由及垂径定理求解．
本题考查与圆的有关计算，解题关键是掌握垂径定理及其推论．

13.【答案】 

【解析】解：由题意，原式


．
故答案为：．
依据题意，直接利用异分母分式的加减运算法则计算得出答案．
本题主要考查了分式的加减，正确化简分式是解题关键．

14.【答案】 

【解析】【分析】
本题考查了反比例函数的图象和性质，熟知反比例函数的性质是解题的关键．
先根据已知条件判断出函数图象所在的象限，再根据系数与函数图象的关系解答即可．
【解答】
解：反比例函数的图像经过、两点，当时，，
此反比例函数的图象在二、四象限，
，
可为小于的任意实数，例如，等．
故答案为：．

15.【答案】 

【解析】解：动点从点出发，沿、、运动至点停止，
当点在点，之间运动时，的面积随时间的增大而增大，
由图知，当时，点到达点处，
；
当点运动到点，之间时，的面积不变，
由图可知，点从点运动到点所用时间为，
，
长方形面积
故答案为：．
根据的面积只与点的位置有关，结合图求出长方形的长和宽，再根据矩形面积公式计算即可解答．
本题考查了动点问题的函数图象，解决本题的关键是根据与的函数图象求出长方形的长和宽．

16.【答案】解：


；
，
方程两边都乘，得，
解得：，
检验：当时，，
所以分式方程的解是． 

【解析】先根据零指数幂和负整数指数幂进行计算，再算除法，最后算加法即可；
方程两边都乘得出，求出方程的解，再进行检验即可．
本题考查了解分式方程，零指数幂和负整数指数幂等知识点，能正确根据实数的运算法则进行计算是解的关键，能把分式方程转化成整式方程是解的关键，注意：解分式方程一定要进行检验．

17.【答案】，   

【解析】解：设，
点在这个函数的图象上，
．
．
与的函数关系式为，．
故答案为：，．
当时，．
故答案为：．
令，，
令，，
当时，．
观察图象易知与之间的是反比例函数关系，所以可以设，依据图象上点的坐标可以求得与之间的函数关系式．
将代入上题求得的反比例函数的解析式即可求得压强．
将压强代入函数关系式即可求得受力面积的取值范围．
本题考查了反比例函数的应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．

18.【答案】解：


，
要使分式有意义，必须且，
所以不能为和，
是满足的整数，
，
当时，原式． 

【解析】先根据分式的减法法则进行计算，再根据分式的除法法则进行计算，根据分式有意义的条件求出不能为和，求出为，最后把代入化简结果，即可求出答案．
本题考查了分式的化简求值和一元一次不等式组的整数解，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序．

19.【答案】解：是的中点，
，
，，
，
轴于，
，
反比例函数的解析式为． 

【解析】根据是的中点，得到，推出，于是得到结论．
本题考查了待定系数法求函数的解析式，反比例函数系数的几何意义，正确地作出反比例函数的解析式是解题的关键．

20.【答案】解：设弟子们的速度是里小时，则孔子的速度是里小时，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
．
答：孔子的速度是里小时，弟子们的速度是里小时． 

【解析】设弟子们的速度是里小时，则孔子的速度是里小时，利用时间路程速度，结合孔子比弟子们少用小时，可列出关于的分式方程，解之经检验后，可得出弟子们的速度，再将其代入中，即可求出孔子的速度．
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．

21.【答案】解：设当时，反比例函数的解析式为，将代入
得：，
解得：，
反比例函数的解析式为：，
当时，，
，
，即对应的指标值为；
设当时，的解析式为，将、代入
得：，
解得：，
的解析式为：，
当时，，解得：，
由得反比例函数的解析式为：，
当时，，解得：，
时，注意力指标都不低于，
而，
张老师能经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于． 

【解析】设反比例函数的解析式为，由求出，可得坐标，从而求出的指标值；
求出解析式，得到时，，由反比例函数可得时，，根据，即可得到答案．
本题考查函数图象的应用，涉及一次函数、反比例函数及不等式等知识，解题的关键是求出和时的解析式．

22.【答案】      时，随的增大而增大 

【解析】解：化简函数，
当时，，当时
故答案为：，；
把代入得，，
，
故答案为：；
图象如图所示．

时，随的增大而增大此题答案不唯一；
故答案为：时，随的增大而增大．
把点代入，求得，
由图象可知，当时，直线与函数的图象有两个交点，
关于的方程有两个实数根，的取值范围是．
分两种情况讨论：当时，，当时；
把代入求得即可；
描点、连线画出函数图象；
根据图象可知：时，随的增大而增大；
由图象可知．
本题考查了一次函数，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键．

23.【答案】解：图中点表示的实际意义为当销量为时，甲、乙两种苹果的销售额均为元；
设甲种苹果销售额单位：元与销售量单位：之间的函数解析式为，
把代入解析式得：，解得，
甲种苹果销售额单位：元与销售量单位：之间的函数解析式为；
当时，设乙种苹果销售额单位：元与销售量单位：之间的函数解析式为，
把代入解析式得：，解得：，
；
当时，设乙种苹果销售额单位：元与销售量单位：之间的函数解析式为，把，代入解析式得：
，解得：，
，
综上，乙种苹果销售额单位：元与销售量单位：之间的函数解析式为
；
当时，
根据题意得：，
解得：，不合题意；
当时，
根据题意得：，
解得：，
综上，的值为． 

【解析】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．
根据图象即可得出结论；
用待定系数法分别求出甲、乙两种苹果销售额单位：元与销售量单位：之间的函数解析式即可；
分和两种情况列方程求解即可．