2022-2023学年河南省南阳市邓州市八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年河南省南阳市邓州市八年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  当为任意实数时，下列分式中，一定有意义的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  分式可变形为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  若一粒米的质量约是，我国有亿人，如果每人每天浪费粒米，那么全国人民一年会浪费掉大米．节约粮食，人人有责；光盘行动，意义重大将数据用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  化简的结果是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  在平面直角坐标系中，已知点，下列说法不正确的是(    )

A. 点在第四象限
B. 点关于轴的对称点的坐标为
C. 点关于轴的对称点的坐标为
D. 点关于原点的对称点的坐标为

6.  如图，曲线表示一只蝴蝶在飞行过程中离地面的高度随飞行时间的变化情况，则这只蝴蝶飞行的最高高度约为(    )

A.  B.  C.  D.

7.  在平面直角坐标系中，一次函数的图象是(    )

A.  B.
C.  D.

8.  如图，在▱中，已知，，的平分线交边于点，则的长为(    )

A.  B.  C.  D.

9.  一艘轮船在静水中的速度为，它沿江顺流航行与逆流航行所用时间相等，江水的流速为多少？设江水流速为，则符合题意的方程是(    )

A.  B.  C.  D.

10.  如图，点从的顶点出发，沿匀速运动，到点停止运动，点运动时，线段的长度与运动时间的函数关系如图所示，其中为曲线部分的最低点，则的面积是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11.  若分式有意义，则的值不等于______ ．

12.  已知一次函数的函数值随的增大而减小，则实数的值可以是______ 只需写出一个符合条件的实数

13.  分式方程的解是______ ．

14.  如图，在平面直角坐标系中，若将点向右平移后，其对应点恰好落在反比例函数的图象上，已知点，连接、，则图中阴影部分的面积为______ ．

15.  如图，在平面直角坐标系中，点，，将平行四边形绕点旋转后，点的对应点坐标是______．

三、解答题（本大题共8小题，共64.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.  本小题分
计算：；
化简：．

17.  本小题分
如图所示反映的过程是：小明从家出发去菜地浇水，又去玉米地锄草，然后回家其中表示时间，表示小明离家的距离已知小明家、菜地、玉米地在同一直线上．
根据图象回答下列问题：
小明到达菜地用了______ 分钟；
菜地离玉米地的距离是______ 千米；
小明给玉米地锄草用了______ 分钟；
求小明从玉米地到家的平均速度是每小时多少千米？

18.  本小题分
阅读与理解
阅读下列材料，完成后面的任务．
在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算目的．
例：若，求代数式的值．
解：，，，．
任务：已知．
求的值．
求的值．

19.  本小题分
已知是的函数，且．
若该函数为正比例函数，则 ______ ，此时函数图象经过______ 象限．
若将该函数图象向上平移个单位后经过点，求出此时的值．
当时，求该函数图象与轴、轴的交点坐标．

20.  本小题分
反比例函数的图象如图所示，一次函数的图象与的图象交于，两点．

求一次函数的表达式，并在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象；
观察图象，直接写出不等式的解集．

21.  本小题分
我市开展信息技术与教学深度融合的“精准化教学”，某实验学校计划购买，两种型号教学设备，已知型设备价格比型设备价格每台高，用元购买型设备的数量比用元购买型设备的数量多台．
求、型设备单价分别是多少元．
该校计划购买两种设备共台，要求型设备数量不少于型设备数量的设购买台型设备，购买总费用为元，求与的函数关系式，并求出最少购买费用．

22.  本小题分
为了探索函数的图象与性质，我们参照学习函数的过程与方法．

列表：
描点：在平面直角坐标系中，以自变量的取值为横坐标，以相应的函数值为纵坐标，描出相应的点，如图所示．
观察所描出点的分布，用一条光滑的曲线将点顺次连接起来，作出函数图象．
已知点、在函数图象上，结合表格和函数图象，回答下列问题填“”“”或“”：
若，则 ______ ；
若，则 ______ ；
若，则 ______ ．
某农户要用一些围栏建造一个的长方形鸡圈，设鸡圈的一边长为，所需围栏长度为．
请直接写出与之间的函数关系式；
若围栏的单价为元，且该农户买围栏的预算不超过元，在不考虑其他影响因素的情况下，鸡圈的一边长应控制在什么范围内？

23.  本小题分
综合与实践
折纸是一项有趣的活动，折纸活动也伴随着我们初中数学的学习在折纸过程中，我们可以研究图形的运动和性质，也可以在思考问题的过程中，初步建立几何直观，现在就让我们带着数学的眼光来折纸吧定义：将纸片折叠，若折叠后的图形恰能拼合成一个无缝隙、无重叠的长方形，这样的长方形称为完美长方形．

操作发现：
如图，将纸片按所示折叠成完美长方形，若的面积为，，则此完美长方形的边长 ______ ，面积为______ ．
类比探究：
如图，将▱纸片按所示折叠成完美长方形，若▱的面积为，，求完美长方形的周长．
拓展延伸：
如图，将▱纸片按所示折叠成完美长方形，若：：，，则此完美长方形的周长为______ ，面积为______ ．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、当时，分式无意义，故此选项错误；
B、当时，分式无意义，故此选项错误；
C、当时，分式无意义，故此选项错误；
D、当为任意实数时，分式都有意义，故此选项正确；
故选：．
根据分式有意义分母不为零分别进行分析即可．
此题主要考查了分式有意义的条件，关键是掌握分式有意义的条件是分母不等于零．分式无意义的条件是分母等于零．
 

2.【答案】 

【解析】解：分式可变形为：．
故选：．
直接利用分式的基本性质分析得出答案．
此题主要考查了分式的基本性质，正确将原式变形是解题关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
绝对值小于的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
 

4.【答案】 

【解析】解：



，
故选：．
根据异分母分式的加减法法则，进行计算即可解答．
本题考查了分式的加减法，熟练掌握异分母分式的加减法法则是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：点在第四象限，选项正确，不符合题意；
B.点关于轴的对称点的坐标为，选项正确，不符合题意；
C.点关于轴的对称点的坐标为，选项正确，不符合题意；
D.点关于原点的对称点的坐标为，选项错误，符合题意；
故选：．
先确定平面直角坐标系中点的位置，再确定其对称点的位置即可．
本题考查平面直角坐标系中点的位置和对称点的坐标，解题的关键是熟练掌握对称点坐标变化规律：关于轴对称，横坐标不变，纵坐标变为原数的相反数；关于轴对称，横坐标变为原数的相反数，纵坐标不变；关于原点对称，横、纵坐标均变为原数的相反数．
 

6.【答案】 

【解析】

【分析】
根据函数的图象的最高点对应的函数值即可得出答案．
本题考查了函数的图象，掌握函数的图象的最高点对应的函数值即为这只蝴蝶飞行的最高高度是解题的关键．
【解答】
解：观察图象，当时，，
这只蝴蝶飞行的最高高度约为，
故选：．  

7.【答案】 

【解析】解：一次函数中，令，则；令，则，
一次函数的图象经过点和，
一次函数的图象经过一、二、四象限，
故选：．
依据一次函数的图象经过点和，即可得到一次函数的图象经过一、二、四象限．
本题主要考查了一次函数的图象，一次函数的图象是与坐标轴不平行的一条直线．
 

8.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，
，，，
，
是的平分线，
，
，
，
，
故选：．
由平行四边形的得，，，再证，则，即可得出结论．
本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定以及平行线的性质等知识，熟练掌握平行四边形的性质，证明是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：根据题意，可得，
故选：．
根据“顺流航行与逆流航行所用时间相等”列分式方程即可．
本题考查了分式方程的应用，理解题意并根据题意建立等量关系是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：根据图象可知，点在上运动时，此时不断增大，
由图象可知：点从向运动时，的最大值为，即，
点从向运动时，的最小值为，
即边上的高为，
当，，
此时，由勾股定理可知：，
由于图象的曲线部分是轴对称图形，
此时，
，
的面积为：，
故选：．
根据图象可知点在上运动时，此时不断增大，而从向运动时，先变小后变大，从而可求出与上的高．
本题考查动点问题的函数图象，注意结合图象求出与的长度是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：分式  有意义，
，
解得：，
故答案为：．
由分式  有意义，可得，从而可得答案．
本题考查的是分式有意义的条件，熟记分式的分母不为是解本题的关键．
 

12.【答案】答案不唯一 

【解析】解：一次函数随的增大而减小，
，
不妨设，
故答案为：答案不唯一．
根据一次函数的性质，随的增大而减小，不妨令即可．
本题考查了一次函数的性质，开放型题目，所写函数解析式必须满足．
 

13.【答案】 

【解析】解：方程两边同时乘以，得：
，
去括号得，
整理得，
解得：，
检验：当时，
所以是分式方程的解，
故答案为：．
分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解．
本题考查了解分式方程，利用了转化的思想，熟练掌握解分式方程的方法以及注意事项是解题的关键．解分式方程注意要检验．
 

14.【答案】 

【解析】解：如图，过作于，

将点向右平移后，其对应点恰好落在反比例函数的图象上，
，，
，
，
故答案为：．
如图，过作于，由将点向右平移后，其对应点恰好落在反比例函数的图象上，可得，，从而可得答案．
本题考查的是平移的性质，反比例函数图象的性质，理解题意确定是解本题的关键．
 

15.【答案】或 

【解析】解：，，
，，，，轴，

将平行四边形绕点分别顺时针、逆时针旋转后，
由旋转得：，，，
轴，轴，
和 的坐标分别为：、，
即是图中的和，坐标就是或，
故答案为：或．
根据旋转可得：，，可得和 的坐标，即是的坐标．
本题考查了平行四边形的性质，坐标与图形的性质，旋转的性质，正确的识别图形是解题的关键．
 

16.【答案】解：原式；
原式


． 

【解析】实数的计算，根据实数的运算法则求解即可；
分式的化简，根据分式的运算法则计算求解．
本题考查了实数的混合运算，负指数幂的计算，二次根式的化简，零次幂的计算，分式的化简等知识，牢记公式与定义，熟练分解因式是解题的关键．
 

17.【答案】     

【解析】解：由图可知，小明到达菜地用了分钟；
故答案为：；
菜地离玉米地的距离是千米；
故答案为：；
小明给玉米地锄草用了分钟；
故答案为：；
千米，
小明从玉米地到家的平均速度是每小时或千米．
观察函数图象得到小明用分钟从家去菜地，浇水用了分钟，又去离家千米的玉米地，锄草用了分钟，然后用了分钟回家，由此可得出结果．
本题考查函数图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

18.【答案】解：，
，
，
；
，
． 

【解析】利用分式约分化简解题；
先求出倒数的值，然后代入求值即可．
本题考查分式的有关运算，理解材料中的计算方法，掌握分式的运算法则是解题的关键．
 

19.【答案】  一，三 

【解析】解：为正比例函数，
且，
解得：，
此时函数式为：，
函数图象经过一、三象限．
故答案为：，一，三；
向上平移个单位长度；
平移后的解析式为：，
平移后图象经过点

解得；
当时，，
令，即
解得：，
令，即．
该函数图象轴的交点坐标为，与轴的交点坐标为．
由为正比例函数，可得且，解得：，从而可得答案；
向上平移个单位长度；可得，把点代入可得，再解方程即可；
当时，则，再求解函数与坐标轴的交点即可．
本题考查的是正比例函数的定义，一次函数图象的平移，求解一次函数与坐标轴的交点坐标，理解一次函数的性质是解本题的关键．
 

20.【答案】，在反比例函数的图象上，
，
解得，，
，，
把，代入中得，
解得，
一次函数解析式为．
画出函数图象如图；

由图象可得当或时，直线在反比例函数图象下方，
的解集为或． 

【解析】将，两坐标先代入反比例函数求出，，然后由待定系数法求函数解析式．
根据直线在曲线下方时的取值范围求解．
本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题关键是掌握函数与方程及不等式的关系．
 

21.【答案】解：设型设备的单价为元，则型设备的单价为元，
根据题意，得：，
解得，
经检验，是原方程的解且符合题意，元，
答：型设备的单价为元，型设备的单价为元．
根据题意，得，
解得，
由题意得：，
随的增大而增大，
当时，最小，元．
答：与的函数关系式为，最少购买费用为元． 

【解析】设型设备的单价为元，则型设备的单价为元，根据题意建立分式方程，解方程即可求解；
根据题意建立关于的一元一次不等式，求得的取值范围，根据单价乘以数量即可求的与的函数关系式，根据一次函数的性质即可求得最少购买费用．
本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，理解题意列出关系式是解题的关键，难点是根据一次函数增减性判断最小值．
 

22.【答案】     

【解析】解：函数图象如下所示：

由函数图象可知，当时，值随的增大而减小，当时，值随的增大而增大，
因此若，则；若，则；若，则 ，
故答案为：；；；
设鸡圈的一边长为，则另一边长为 ，
因此与之间的函数关系式为：；
由题意知：，
整理得：，即，
解得．
用光滑的曲线将点顺次连接起来即可；
根据函数图象的增减性即可求解；
设鸡圈的一边长为，则另一边长为 ，再根据长方形周长公式即可求解；根据“预算不超过元”列不等式即可求解．
本题主要考查反比例函数的实际应用、从函数的图象获取信息、一元二次方程的应用等，能够从函数图象获取相关信息是解题的关键．
 

23.【答案】       

【解析】解：由折叠可知，，，，
，点是中点，
，
，
即，
过点作于，
四边形是矩形，
，
，
是中点，
，
，
，
，
完美长方形的面积为，
故答案为：，；


由折叠可知，，
，
同理可知，，
长方形的面积为，
，
长方形的周长为；
由折叠可证点，分别是，的中点，
，
由题意知，，
，，
为平行四边形，
，
在中，设，则，
由勾股定理得：，
又，
，
，，
周长为：，
面积为：，
故答案为：，．
由折叠可知点是中点，，过点作于，根据三角形面积求的长，由，点是中点可知是中位线，得到  进而求完美长方形面积；
根据折叠可知，，，从而可得 ，根据平行四边形面积可求得的长为进而可求周长；
由折叠可证点，分别是，中点，进一步可证四边形是平行四边形，所以，即长方形对角线长为，设，，根据勾股定理得到方程，解出，从而可得完美长方形的边长和宽，最后求周长面积即可．
本题考查了折叠的性质，平行四边形的性质与判定等知识，熟练掌握其性质是解决此题的关键．