高考数学第一轮复习第五章 培优课　§5.4　平面向量中的综合问题

这是一份高考数学第一轮复习第五章 培优课　§5.4　平面向量中的综合问题，共14页。

题型一 平面向量在几何中的应用
例1 (1)在△ABC中，AC＝9，∠A＝60°，D点满足eq \(CD,\s\up6(→))＝2eq \(DB,\s\up6(→))，AD＝eq \r(37)，则BC的长为( )
A．3eq \r(7) B．3eq \r(6)
C．3eq \r(3) D．6
答案 A
解析 因为eq \(CD,\s\up6(→))＝2eq \(DB,\s\up6(→))，
所以eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(BC,\s\up6(→))
＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)(eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→)))
＝eq \f(2,3)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(AC,\s\up6(→))，
设AB＝x，则eq \(AD2,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)\(AB,\s\up6(→))＋\f(1,3)\(AC,\s\up6(→))))2，
得37＝eq \f(4,9)x2＋eq \f(4,9)×x×9cs 60°＋eq \f(1,9)×92，
即2x2＋9x－126＝0，
因为x>0，
故解得x＝6，即AB＝6，
所以BC＝eq \r(AB2＋AC2－2AB·ACcs 60°)
＝eq \r(62＋92－2×6×9×\f(1,2))＝3eq \r(7).
(2)已知平行四边形ABCD，证明：AC2＋BD2＝2(AB2＋AD2)．
证明 取eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AD,\s\up6(→))为基底，设eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(AD,\s\up6(→))＝b，
则eq \(AC,\s\up6(→))＝a＋b，eq \(DB,\s\up6(→))＝a－b，
∴eq \(AC,\s\up6(→))2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2，
eq \(DB,\s\up6(→))2＝(a－b)2＝a2－2a·b＋b2，
上面两式相加，得eq \(AC,\s\up6(→))2＋eq \(DB,\s\up6(→))2＝2(a2＋b2)，
∴AC2＋BD2＝2(AB2＋AD2)．
思维升华 用向量方法解决平面几何问题的步骤
平面几何问题eq \(――→,\s\up7(设向量))向量问题eq \(――→,\s\up7(计算))解决向量问题eq \(――→,\s\up7(还原))解决几何问题．
跟踪训练1 (1)在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝2eq \r(3)，AD＝5，∠A＝30°，点E在线段CB的延长线上，且AE＝BE，则eq \(BD,\s\up6(→))·eq \(AE,\s\up6(→))＝________.
答案 －1
解析 方法一 在等腰△ABE中，
易得∠BAE＝∠ABE＝30°，故BE＝2，
则eq \(BD,\s\up6(→))·eq \(AE,\s\up6(→))＝(eq \(AD,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→)))·(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BE,\s\up6(→)))
＝eq \(AD,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))·eq \(BE,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))2－eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(BE,\s\up6(→))
＝5×2eq \r(3)×cs 30°＋5×2×cs 180°－12－2eq \r(3)×2×cs 150°
＝15－10－12＋6＝－1.
方法二 在△ABD中，由余弦定理可得BD＝eq \r(AD2＋AB2－2×AD×AB×cs ∠BAD)＝eq \r(7)，
所以cs∠ABD＝eq \f(AB2＋BD2－AD2,2×AB×BD)＝－eq \f(\r(21),14)，
则sin ∠ABD＝eq \f(5\r(7),14).
设eq \(BD,\s\up6(→))与eq \(AE,\s\up6(→))的夹角为θ，
则cs θ＝cs(180°－∠ABD＋30°)
＝－cs(∠ABD－30°)
＝－cs∠ABD·cs 30°－sin∠ABD·sin 30°
＝－eq \f(\r(7),14)，
在△ABE中，易得AE＝BE＝2，
故eq \(BD,\s\up6(→))·eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \r(7)×2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(7),14)))＝－1.
(2)在四边形ABCD中，eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(DC,\s\up6(→))＝(6,8)，且eq \f(\(AB,\s\up6(→)),|\(AB,\s\up6(→))|)＋eq \f(\(AD,\s\up6(→)),|\(AD,\s\up6(→))|)＝eq \f(\(AC,\s\up6(→)),|\(AC,\s\up6(→))|)，则下列结论不成立的是( )
A．四边形ABCD为菱形
B．∠BAD＝120°
C．|eq \(AC,\s\up6(→))|＝10eq \r(3)
D．|eq \(BD,\s\up6(→))|＝10eq \r(3)
答案 C
解析 eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(DC,\s\up6(→))＝(6,8)，则四边形ABCD为平行四边形，
设m，n，p都是单位向量，m＋n＝p，
则(m＋n)2＝p2，m2＋2m·n＋n2＝p2，
1＋2m·n＋1＝1，
则m·n＝－eq \f(1,2)＝cs〈m，n〉，所以〈m，n〉＝120°，
因此由eq \f(\(AB,\s\up6(→)),|\(AB,\s\up6(→))|)＋eq \f(\(AD,\s\up6(→)),|\(AD,\s\up6(→))|)＝eq \f(\(AC,\s\up6(→)),|\(AC,\s\up6(→))|)知∠BAD＝120°，且AC是∠BAD的角平分线，因此四边形ABCD是菱形，而|eq \(AB,\s\up6(→))|＝10，所以|eq \(BD,\s\up6(→))|＝eq \r(3)|eq \(AB,\s\up6(→))|＝10eq \r(3)，|eq \(AC,\s\up6(→))|＝10.
题型二 和向量有关的最值(范围)问题
命题点1 与平面向量基本定理有关的最值(范围)问题
例2 (2022·兰州模拟)如图，在平行四边形ABCD中，点E是CD的中点，点F为线段BD上的一动点，若eq \(AF,\s\up6(→))＝xeq \(AE,\s\up6(→))＋yeq \(DC,\s\up6(→))(x>0，y>0)，则eq \f(2－3x,4y2＋1)的最大值为( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(3,4)
C．1 D．2
答案 A
解析 设BD，AE交于O，因为DE∥AB，
所以△AOB∽△EOD，
所以eq \f(AO,OE)＝eq \f(AB,DE)＝2，
所以AO＝2OE，则eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \f(3,2)eq \(AO,\s\up6(→))，
所以eq \(AF,\s\up6(→))＝xeq \(AE,\s\up6(→))＋yeq \(DC,\s\up6(→))＝eq \f(3,2)xeq \(AO,\s\up6(→))＋yeq \(AB,\s\up6(→))，
因为O，F，B三点共线，
所以eq \f(3,2)x＋y＝1，即2－3x＝2y，
所以eq \f(2－3x,4y2＋1)＝eq \f(2y,4y2＋1)＝eq \f(2,4y＋\f(1,y))，
因为x>0，y>0，
所以4y＋eq \f(1,y)≥2eq \r(4y·\f(1,y))＝4，
当且仅当4y＝eq \f(1,y)，即y＝eq \f(1,2)时等号成立，
此时x＝eq \f(1,3)，
所以eq \f(2－3x,4y2＋1)＝eq \f(2,4y＋\f(1,y))≤eq \f(2,4)＝eq \f(1,2).
命题点2 与数量积有关的最值(范围)问题
例3 (2020·新高考全国Ⅰ)已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则eq \(AP,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→)) 的取值范围是( )
A．(－2,6) B．(－6,2)
C．(－2,4) D．(－4,6)
答案 A
解析 如图，取A为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，
则A(0,0)，B(2,0)，C(3，eq \r(3))，
F(－1，eq \r(3))．
设P(x，y)，则eq \(AP,\s\up6(→))＝(x，y)，eq \(AB,\s\up6(→))＝(2,0)，
且－1所以eq \(AP,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＝(x，y)·(2,0)＝2x∈(－2,6)．
高考改编
已知P是边长为2的正方形ABCD内的一点，则eq \(AP,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→)) 的取值范围是______．
答案 (0,4)
解析 如图，取A为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，
则A(0,0)，B(2,0)，
设P(x，y)，则eq \(AP,\s\up6(→))＝(x，y)，eq \(AB,\s\up6(→))＝(2,0)，
且0所以eq \(AP,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＝(x，y)·(2,0)＝2x∈(0,4)．
命题点3 与模有关的最值(范围)问题
例4 已知向量a＝(cs θ，sin θ)，b＝(－eq \r(3)，1)，则|2a－b|的最大值为________．
答案 4
解析 方法一 由题意得|a|＝1，|b|＝2，
a·b＝sin θ－eq \r(3)cs θ
＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,3)))，
所以|2a－b|2＝4|a|2＋|b|2－4a·b
＝4×12＋22－8sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,3)))
＝8－8sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,3))).
所以|2a－b|2的最大值为8－8×(－1)＝16，
故|2a－b|的最大值为
4eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(此时θ＝2kπ－\f(π,6)，k∈Z)).
方法二 因为a＝(cs θ，sin θ)，b＝(－eq \r(3)，1)，
所以2a－b＝(2cs θ＋eq \r(3)，2sin θ－1)，
所以|2a－b|＝eq \r(2cs θ＋\r(3)2＋2sin θ－12)
＝eq \r(8－4sin θ－\r(3)cs θ)
＝eq \r(8－8sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,3)))).
故|2a－b|的最大值为eq \r(8－8×－1)＝4eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(此时θ＝2kπ－\f(π,6)，k∈Z)).
方法三 由题意得|2a－b|≤2|a|＋|b|＝2×1＋2＝4，当且仅当向量a，b方向相反时不等式取等号，故|2a－b|的最大值为4.
思维升华 向量求最值(范围)的常用方法
(1)利用三角函数求最值(范围)．
(2)利用基本不等式求最值(范围)．
(3)建立坐标系，设变量构造函数求最值(范围)．
(4)数形结合，应用图形的几何性质求最值．
跟踪训练2 (1)(2022·苏州模拟)已知△ABC为等边三角形，AB＝2，△ABC所在平面内的点P满足|eq \(AP,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→))|＝1，则|eq \(AP,\s\up6(→))|的最小值为( )
A.eq \r(3)－1 B．2eq \r(2)－1 C．2eq \r(3)－1 D.eq \r(7)－1
答案 C
解析 因为|eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))|2
＝eq \(AB,\s\up6(→))2＋eq \(AC,\s\up6(→))2＋2eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))
＝|eq \(AB,\s\up6(→))|2＋|eq \(AC,\s\up6(→))|2＋2|eq \(AB,\s\up6(→))|·|eq \(AC,\s\up6(→))|cseq \f(π,3)＝12，
所以|eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))|＝2eq \r(3)，
由平面向量模的三角不等式可得
|eq \(AP,\s\up6(→))|＝|(eq \(AP,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→)))＋(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))|≥
||eq \(AP,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→))|－|eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))||＝2eq \r(3)－1.
当且仅当eq \(AP,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→))与eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))方向相反时，等号成立．
因此|eq \(AP,\s\up6(→))|的最小值为2eq \r(3)－1.
(2)(2022·广东实验中学模拟)如图，在△ABC中，eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(BC,\s\up6(→))，点E在线段AD上移动(不含端点)，若eq \(AE,\s\up6(→))＝λeq \(AB,\s\up6(→))＋μeq \(AC,\s\up6(→))，则eq \f(λ,μ)＝________，λ2－2μ的最小值是________．
答案 2 －eq \f(1,4)
解析 因为在△ABC中，eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(BC,\s\up6(→))，
所以eq \(DC,\s\up6(→))＝2eq \(BD,\s\up6(→)).
由向量定比分点公式得
eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \f(2,1＋2)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,1＋2)eq \(AC,\s\up6(→))，
即eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(AC,\s\up6(→)).
因为点E在线段AD上移动(不含端点)，
所以设eq \(AE,\s\up6(→))＝xeq \(AD,\s\up6(→))(0所以eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \f(2x,3)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(x,3)eq \(AC,\s\up6(→))，
对比eq \(AE,\s\up6(→))＝λeq \(AB,\s\up6(→))＋μeq \(AC,\s\up6(→))，
可得λ＝eq \f(2x,3)，μ＝eq \f(x,3).
得eq \f(λ,μ)＝eq \f(\f(2x,3),\f(x,3))＝2；
代入λ＝eq \f(2x,3)，μ＝eq \f(x,3)可得λ2－2μ＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2x,3)))2－2×eq \f(x,3)
＝eq \f(4x2,9)－eq \f(2x,3)(0根据二次函数性质知当x＝－eq \f(－\f(2,3),2×\f(4,9))＝eq \f(3,4)时，
(λ2－2μ)min＝eq \f(4,9)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)))2－eq \f(2,3)×eq \f(3,4)＝－eq \f(1,4).
课时精练
1．(2022·杭州模拟)边长为2的正△ABC内一点M(包括边界)满足：eq \(CM,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(CA,\s\up6(→))＋λeq \(CB,\s\up6(→))(λ∈R)，则eq \(CA,\s\up6(→))·eq \(BM,\s\up6(→))的取值范围是( )
A.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(4,3)，\f(2,3))) B.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)，\f(2,3)))
C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(4,3)，\f(4,3))) D．[－2,2]
答案 B
解析 因为点M在△ABC内部(包括边界)，
所以0≤λ≤eq \f(2,3)，
由eq \(CA,\s\up6(→))·eq \(BM,\s\up6(→))＝eq \(CA,\s\up6(→))·(eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CM,\s\up6(→)))
＝eq \(CA,\s\up6(→))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(BC,\s\up6(→))＋\f(1,3)\(CA,\s\up6(→))＋λ\(CB,\s\up6(→))))
＝－2＋eq \f(4,3)＋2λ＝－eq \f(2,3)＋2λ∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)，\f(2,3))).
2．设O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三点，动点P满足eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))＋λeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\(AB,\s\up6(→)),|\(AB,\s\up6(→))|cs B)＋\f(\(AC,\s\up6(→)),|\(AC,\s\up6(→))|cs C)))，λ∈[0，＋∞)，则点P的轨迹经过△ABC的( )
A．内心 B．外心
C．垂心 D．重心
答案 C
解析 eq \(OP,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＝
eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＋λeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\(AB,\s\up6(→))·\(BC,\s\up6(→)),|\(AB,\s\up6(→))|cs B)＋\f(\(AC,\s\up6(→))·\(BC,\s\up6(→)),|\(AC,\s\up6(→))|cs C)))
＝eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＋λ(－|eq \(BC,\s\up6(→))|＋|eq \(BC,\s\up6(→))|)
＝eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→)).
则eq \(OP,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＝0，
即eq \(AP,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＝0，故AP⊥BC，
即点P的轨迹经过△ABC的垂心．
3．(2022·新余模拟)已知△ABC是顶角A为120°，腰长为2的等腰三角形，P为平面ABC内一点，则eq \(PA,\s\up6(→))·(eq \(PB,\s\up6(→))＋eq \(PC,\s\up6(→)))的最小值是( )
A．－eq \f(1,2) B．－eq \f(3,2) C．－eq \f(1,4) D．－1
答案 A
解析 如图，以BC所在直线为x轴，BC的垂直平分线DA为y轴，D为坐标原点建立平面直角坐标系，
则A(0,1)，B(－eq \r(3)，0)，C(eq \r(3)，0)，设P(x，y)，
所以eq \(PA,\s\up6(→))＝(－x,1－y)，eq \(PB,\s\up6(→))＝(－eq \r(3)－x，－y)，eq \(PC,\s\up6(→))＝(eq \r(3)－x，－y)，
所以eq \(PB,\s\up6(→))＋eq \(PC,\s\up6(→))＝(－2x，－2y)，
eq \(PA,\s\up6(→))·(eq \(PB,\s\up6(→))＋eq \(PC,\s\up6(→)))＝2x2－2y(1－y)
＝2x2＋2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y－\f(1,2)))2－eq \f(1,2)≥－eq \f(1,2)，
当Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))时，所求的最小值为－eq \f(1,2).
4. (2022·长沙长郡中学月考)如图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆A(前轮)，圆D(后轮)的半径均为eq \r(3)，△ABE，△BEC，△ECD均是边长为4的等边三角形．设点P为后轮上的一点，则在骑动该自行车的过程中，eq \(AC,\s\up6(→))·eq \(BP,\s\up6(→))的最大值为( )
A．18 B．24 C．36 D．48
答案 C
解析 骑行过程中，A，B，C，D，E相对不动，只有P点绕D点作圆周运动．
如图，以AD所在直线为x轴，E为坐标原点建立平面直角坐标系，由题意得A(－4,0)，B(－2,2eq \r(3))，C(2,2eq \r(3))，圆D方程为(x－4)2＋y2＝3，设P(4＋eq \r(3)cs α，eq \r(3)sin α)，
则eq \(AC,\s\up6(→))＝(6,2eq \r(3))，eq \(BP,\s\up6(→))＝(6＋eq \r(3)cs α，
eq \r(3)sin α－2eq \r(3))，
eq \(AC,\s\up6(→))·eq \(BP,\s\up6(→))＝6(6＋eq \r(3)cs α)＋2eq \r(3)(eq \r(3)sin α－2eq \r(3))＝6eq \r(3)cs α＋6sin α＋24
＝12eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)sin α＋\f(\r(3),2)cs α))＋24
＝12sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,3)))＋24，
易知当sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,3)))＝1时，
eq \(AC,\s\up6(→))·eq \(BP,\s\up6(→))取得最大值36.
5．(2022·黄石模拟)P为双曲线x2－y2＝1左支上任意一点，EF为圆C：(x－2)2＋y2＝4的任意一条直径，则eq \(PE,\s\up6(→))·eq \(PF,\s\up6(→))的最小值为( )
A．3 B．4 C．5 D．9
答案 C
解析 如图，圆C的圆心C为(2,0)，半径r＝2，
eq \(PE,\s\up6(→))·eq \(PF,\s\up6(→))＝(eq \(PC,\s\up6(→))＋eq \(CE,\s\up6(→)))·(eq \(PC,\s\up6(→))＋eq \(CF,\s\up6(→)))
＝(eq \(PC,\s\up6(→))＋eq \(CE,\s\up6(→)))·(eq \(PC,\s\up6(→))－eq \(CE,\s\up6(→)))
＝|eq \(PC,\s\up6(→))|2－|eq \(CE,\s\up6(→))|2＝|eq \(PC,\s\up6(→))|2－4，
则当点P位于双曲线左支的顶点时，|eq \(PC,\s\up6(→))|2－4最小，
即eq \(PE,\s\up6(→))·eq \(PF,\s\up6(→))最小．
此时eq \(PE,\s\up6(→))·eq \(PF,\s\up6(→))的最小值为(1＋2)2－4＝5.
6．(2022·上海市金山中学模拟)已知A，B，C三点共线(该直线不过原点O)，且eq \(OA,\s\up6(→))＝meq \(OB,\s\up6(→))＋2neq \(OC,\s\up6(→))(m>0，n>0)，则eq \f(2,m)＋eq \f(1,n)的最小值为( )
A．10 B．9 C．8 D．4
答案 C
解析 因为A，B，C三点共线(该直线不过原点O)，且eq \(OA,\s\up6(→))＝meq \(OB,\s\up6(→))＋2neq \(OC,\s\up6(→))(m>0，n>0)，
所以m＋2n＝1，
所以eq \f(2,m)＋eq \f(1,n)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,m)＋\f(1,n)))(m＋2n)
＝4＋eq \f(4n,m)＋eq \f(m,n)≥4＋2eq \r(4)＝8，
当且仅当eq \f(4n,m)＝eq \f(m,n)，
即m＝eq \f(1,2)，n＝eq \f(1,4)时等号成立．
7．(2022·中央民族大学附属中学模拟)已知圆C的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2，点P在直线y＝x＋3上，线段AB为圆C的直径，则|eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(PB,\s\up6(→))|的最小值为( )
A.eq \f(3\r(2),2) B．3eq \r(2) C．4eq \r(2) D．3
答案 B
解析 因为C为AB的中点，
所以eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(PB,\s\up6(→))＝2eq \(PC,\s\up6(→))，
从而|eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(PB,\s\up6(→))|＝|2eq \(PC,\s\up6(→))|＝2|eq \(PC,\s\up6(→))|，
可知|eq \(PC,\s\up6(→))|的最小值为点C到直线y＝x＋3的距离，
d＝eq \f(|1－1＋3|,\r(2))＝eq \f(3\r(2),2)，
所以|eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(PB,\s\up6(→))|min＝2×eq \f(3\r(2),2)＝3eq \r(2).
8．(2022·上海模拟)已知在边长为1的正方形ABCD中，点P是对角线AC上的动点，点Q在以D为圆心、以1为半径的圆上运动，则eq \(AP,\s\up6(→))·eq \(AQ,\s\up6(→))的取值范围为( )
A．[0,2] B．[1－eq \r(2)，2]
C．[0，eq \r(2)＋1] D．[1－eq \r(2)，1＋eq \r(2)]
答案 D
解析 如图分别以AB，AD所在直线为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，
设P(t，t)，Q(cs θ，1＋sin θ)，
∴eq \(AP,\s\up6(→))＝(t，t)，
eq \(AQ,\s\up6(→))＝(cs θ，1＋sin θ)，t∈[0,1]，θ∈[0,2π)，
∴eq \(AP,\s\up6(→))·eq \(AQ,\s\up6(→))＝tcs θ＋t＋tsin θ
＝teq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\r(2)sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))＋1))，
∴eq \(AP,\s\up6(→))·eq \(AQ,\s\up6(→))∈[1－eq \r(2)，1＋eq \r(2)]，
∴eq \(AP,\s\up6(→))·eq \(AQ,\s\up6(→))的取值范围为[1－eq \r(2)，1＋eq \r(2)]．
9．(2022·潍坊模拟)已知正方形ABCD的边长为1，eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(BC,\s\up6(→))＝b，eq \(AC,\s\up6(→))＝c，则|a＋b＋c|＝________.
答案 2eq \r(2)
解析 由题意可得，|eq \(AC,\s\up6(→))|是正方形的对角线长，
故|eq \(AC,\s\up6(→))|＝eq \r(2)，
又eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→))，
所以|a＋b＋c|＝2|eq \(AC,\s\up6(→))|＝2eq \r(2).
10．已知点P在圆x2＋y2＝1上，点A的坐标为(－2,0)，O为原点，则eq \(AO,\s\up6(→))·eq \(AP,\s\up6(→))的最大值为________．
答案 6
解析 方法一 根据题意作出图象，如图所示，
A(－2,0)，P(x，y)．
eq \(AO,\s\up6(→))＝(2,0)，
eq \(AP,\s\up6(→))＝(x＋2，y)，
所以eq \(AO,\s\up6(→))·eq \(AP,\s\up6(→))＝2(x＋2)＝2x＋4.
点P在圆x2＋y2＝1上，所以x∈[－1,1]．
所以eq \(AO,\s\up6(→))·eq \(AP,\s\up6(→))的最大值为2＋4＝6.
方法二 如图所示，因为点P在圆x2＋y2＝1上，
所以可设P(cs α，sin α)(0≤α<2π)，
所以eq \(AO,\s\up6(→))＝(2,0)，eq \(AP,\s\up6(→))＝(cs α＋2，sin α)，
eq \(AO,\s\up6(→))·eq \(AP,\s\up6(→))＝2cs α＋4≤2＋4＝6，
当且仅当cs α＝1，即α＝0，P(1,0)时等号成立．
11．(2022·赣州模拟)已知在面积为eq \r(3)的△ABC中，sin2C＝sin2A＋sin2B－sin Asin B，eq \(CB,\s\up6(→))＝3eq \(CD,\s\up6(→))，P为AD上一点，且满足eq \(CP,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(CA,\s\up6(→))＋meq \(CB,\s\up6(→))，则|eq \(CP,\s\up6(→))|的最小值为________．
答案 1
解析 在△ABC中，设角A，B，C所对的边的长为a，b，c，
因为sin2C＝sin2A＋sin2B－sin Asin B，
所以由正弦定理得c2＝a2＋b2－ab，
则cs C＝eq \f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq \f(1,2)，
所以C＝60°，因为A，P，D三点共线，
所以eq \(CP,\s\up6(→))＝λeq \(CA,\s\up6(→))＋(1－λ)eq \(CD,\s\up6(→))，
即eq \(CP,\s\up6(→))＝λeq \(CA,\s\up6(→))＋(1－λ)·eq \f(1,3)eq \(CB,\s\up6(→))，
所以λ＝eq \f(1,2)，即eq \(CP,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(CA,\s\up6(→))＋eq \f(1,6)eq \(CB,\s\up6(→))，
而S△ABC＝eq \f(1,2)absin C＝eq \r(3)⇒ab＝4，
所以|eq \(CP,\s\up6(→))|＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)\(CA,\s\up6(→))＋\f(1,6)\(CB,\s\up6(→))))2)
＝eq \r(\f(1,4)\(CA,\s\up6(→))2＋\f(1,6)|\(CB,\s\up6(→))|·|\(CA,\s\up6(→))|cs C＋\f(1,36)\(CB,\s\up6(→))2)
＝eq \r(\f(1,4)\(CA,\s\up6(→))2＋\f(1,36)\(CB,\s\up6(→))2＋\f(1,3))
≥eq \r(2×\f(1,2)b×\f(1,6)a＋\f(1,3))
＝eq \r(2×\f(1,12)×4＋\f(1,3))＝1，
当且仅当a＝3b时等号成立．
12. 如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，P是矩形ABCD内的动点，且点P到点A的距离为1，则eq \(PC,\s\up6(→))·eq \(PD,\s\up6(→))的最小值为________．
答案 2－2eq \r(2)
解析 如图，以A为坐标原点，AB边所在的直线为x轴，AD边所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系，则D(0,1)，C(2,1)，
设P(cs θ，sin θ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ∈\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))))，
eq \(PC,\s\up6(→))＝(2－cs θ，1－sin θ)，
eq \(PD,\s\up6(→))＝(－cs θ，1－sin θ)，
∴eq \(PC,\s\up6(→))·eq \(PD,\s\up6(→))＝－2cs θ＋cs2θ＋1－2sin θ＋sin2θ
＝2－2(sin θ＋cs θ)
＝2－2eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))，
∴当sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))＝1，
即θ＝eq \f(π,4)时，eq \(PC,\s\up6(→))·eq \(PD,\s\up6(→))取最小值，最小值为2－2eq \r(2).