2023版步步高新高考人教A版一轮复习讲义第五章 §5.4　平面向量中的综合问题　培优课

§5.4　平面向量中的综合问题题型一　平面向量在几何中的应用例1　(1)在△ABC中，AC＝9，∠A＝60°，D点满足eq \o(CD,\s\up6(→))＝2eq \o(DB,\s\up6(→))，AD＝eq \r(37)，则BC的长为(　　)A．3eq \r(7) B．3eq \r(6)C．3eq \r(3) D．6答案　A解析　因为eq \o(CD,\s\up6(→))＝2eq \o(DB,\s\up6(→))，所以eq \o(AD,\s\up6(→))＝eq \o(AB,\s\up6(→))＋eq \o(BD,\s\up6(→))＝eq \o(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \o(BC,\s\up6(→))＝eq \o(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)(eq \o(AC,\s\up6(→))－eq \o(AB,\s\up6(→)))＝eq \f(2,3)eq \o(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \o(AC,\s\up6(→))，设AB＝x，则eq \o(AD2,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)\o(AB,\s\up6(→))＋\f(1,3)\o(AC,\s\up6(→))))2，得37＝eq \f(4,9)x2＋eq \f(4,9)×x×9cos 60°＋eq \f(1,9)×92，即2x2＋9x－126＝0，因为x>0，故解得x＝6，即AB＝6，所以BC＝eq \r(AB2＋AC2－2AB·ACcos 60°)＝eq \r(62＋92－2×6×9×\f(1,2))＝3eq \r(7).(2)已知平行四边形ABCD，证明：AC2＋BD2＝2(AB2＋AD2)．证明　取{eq \o(AB,\s\up6(→))，eq \o(AD,\s\up6(→))}为基底，设eq \o(AB,\s\up6(→))＝a，eq \o(AD,\s\up6(→))＝b，则eq \o(AC,\s\up6(→))＝a＋b，eq \o(DB,\s\up6(→))＝a－b，∴eq \o(AC,\s\up6(→))2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2，eq \o(DB,\s\up6(→))2＝(a－b)2＝a2－2a·b＋b2，上面两式相加，得eq \o(AC,\s\up6(→))2＋eq \o(DB,\s\up6(→))2＝2(a2＋b2)，∴AC2＋BD2＝2(AB2＋AD2)．思维升华　用向量方法解决平面几何问题的步骤平面几何问题eq \o(――→,\s\up7(设向量))向量问题eq \o(――→,\s\up7(计算))解决向量问题eq \o(――→,\s\up7(还原))解决几何问题．跟踪训练1　(1)(2020·全国Ⅲ)在平面内，A，B是两个定点，C是动点，若eq \o(AC,\s\up6(→))·eq \o(BC,\s\up6(→))＝1，则点C的轨迹为(　　)A．圆 B．椭圆C．抛物线 D．直线答案　A解析　建立如图所示的平面直角坐标系Oxy，设点A，B的坐标分别为(－a,0)，(a,0)，点C为(x，y)，则eq \o(AC,\s\up6(→))＝(x＋a，y)，eq \o(BC,\s\up6(→))＝(x－a，y)，所以eq \o(AC,\s\up6(→))·eq \o(BC,\s\up6(→))＝(x－a)(x＋a)＋y·y＝x2＋y2－a2＝1，整理得x2＋y2＝a2＋1.因此点C的轨迹为圆．(2)(多选)在四边形ABCD中，eq \o(AB,\s\up6(→))＝eq \o(DC,\s\up6(→))＝(6,8)，且eq \f(\o(AB,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|)＋eq \f(\o(AD,\s\up6(→)),|\o(AD,\s\up6(→))|)＝eq \f(\o(AC,\s\up6(→)),|\o(AC,\s\up6(→))|)，则下列结论成立的是(　　)A．四边形ABCD为菱形B．∠BAD＝120°C．|eq \o(AC,\s\up6(→))|＝10eq \r(3)D．|eq \o(BD,\s\up6(→))|＝10eq \r(3)答案　ABD解析　eq \o(AB,\s\up6(→))＝eq \o(DC,\s\up6(→))＝(6,8)，则四边形ABCD为平行四边形，设m，n，p都是单位向量，m＋n＝p，则(m＋n)2＝p2，m2＋2m·n＋n2＝p2，1＋2m·n＋1＝1，则m·n＝－eq \f(1,2)＝cos〈m，n〉，所以〈m，n〉＝120°，因此由eq \f(\o(AB,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|)＋eq \f(\o(AD,\s\up6(→)),|\o(AD,\s\up6(→))|)＝eq \f(\o(AC,\s\up6(→)),|\o(AC,\s\up6(→))|)知∠BAD＝120°，且AC是∠BAD的平分线，因此四边形ABCD是菱形，而|eq \o(AB,\s\up6(→))|＝10，所以|eq \o(BD,\s\up6(→))|＝eq \r(3)|eq \o(AB,\s\up6(→))|＝10eq \r(3)，|eq \o(AC,\s\up6(→))|＝10.题型二　和向量有关的最值(范围)问题命题点1　与平面向量基本定理有关的最值(范围)问题例2　(2022·广州模拟)如图，在平行四边形ABCD中，点E是CD的中点，点F为线段BD上的一动点，若eq \o(AF,\s\up6(→))＝xeq \o(AE,\s\up6(→))＋yeq \o(DC,\s\up6(→))(x>0，y>0)，则eq \f(2－3x,4y2＋1)的最大值为(　　)A.eq \f(1,2) B.eq \f(3,4)C．1 D．2答案　A解析　设BD，AE交于O，因为DE∥AB，所以△AOB∽△EOD，所以eq \f(AO,OE)＝eq \f(AB,DE)＝2，所以AO＝2OE，则eq \o(AE,\s\up6(→))＝eq \f(3,2)eq \o(AO,\s\up6(→))，所以eq \o(AF,\s\up6(→))＝xeq \o(AE,\s\up6(→))＋yeq \o(DC,\s\up6(→))＝eq \f(3,2)xeq \o(AO,\s\up6(→))＋yeq \o(AB,\s\up6(→))，因为O，F，B三点共线，所以eq \f(3,2)x＋y＝1，即2－3x＝2y，所以eq \f(2－3x,4y2＋1)＝eq \f(2y,4y2＋1)＝eq \f(2,4y＋\f(1,y))，因为x>0，y>0，所以4y＋eq \f(1,y)≥2eq \r(4y·\f(1,y))＝4，当且仅当4y＝eq \f(1,y)，即y＝eq \f(1,2)时等号成立，此时x＝eq \f(1,3)，所以eq \f(2－3x,4y2＋1)＝eq \f(2,4y＋\f(1,y))≤eq \f(2,4)＝eq \f(1,2).命题点2　与数量积有关的最值(范围)问题例3　(2020·新高考全国Ⅰ)已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则eq \o(AP,\s\up6(→))·eq \o(AB,\s\up6(→)) 的取值范围是(　　)A．(－2,6) B．(－6,2)C．(－2,4) D．(－4,6)答案　A解析　如图，取A为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则A(0,0)，B(2,0)，C(3，eq \r(3))，F(－1，eq \r(3))．设P(x，y)，则eq \o(AP,\s\up6(→))＝(x，y)，eq \o(AB,\s\up6(→))＝(2,0)，且－1