高考数学大一轮复习第九章 平面解析几何

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第3节　圆的方程
考纲要求　掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程．

知识梳理
1．圆的定义和圆的方程
定义
平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆
方程
标准
(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)
圆心C(a，b)
半径为r
一般
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0
(D2＋E2－4F＞0)
充要条件：D2＋E2－4F＞0
圆心坐标：
半径r＝
2.点与圆的位置关系
平面上的一点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2之间存在着下列关系：
(1)|MC|＞r⇔M在圆外，即(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2⇔M在圆外；
(2)|MC|＝r⇔M在圆上，即(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔M在圆上；
(3)|MC|＜r⇔M在圆内，即(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2⇔M在圆内．

1．圆心在坐标原点，半径为r的圆的方程为x2＋y2＝r2.
2．以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x－x1)·(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.
诊断自测

1．判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)确定圆的几何要素是圆心与半径．(　　)
(2)方程x2＋y2＝a2表示半径为a的圆．(　　)
(3)方程x2＋y2＋4mx－2y＋5m＝0表示圆．(　　)
(4)方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF>0.(　　)
答案　(1)√　(2)×　(3)×　(4)√
解析　(2)当a＝0时，x2＋y2＝a2表示点(0,0)；当a＜0时，表示半径为|a|的圆．
(3)当(4m)2＋(－2)2－4×5m＞0，即m＜或m＞1时表示圆．

2．圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标和半径分别是(　　)
A．(2,3)，3 B．(－2,3)，
C．(－2，－3)，13 D．(2，－3)，
答案　D
解析　圆的方程可化为(x－2)2＋(y＋3)2＝13，所以圆心坐标是(2，－3)，半径r＝.
3．过点A(1，－1)，B(－1,1)，且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的方程是(　　)
A．(x－3)2＋(y＋1)2＝4 B．(x＋3)2＋(y－1)2＝4
C．(x－1)2＋(y－1)2＝4 D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝4
答案　C
解析　设圆心C的坐标为(a，b)，半径为r.因为圆心C在直线x＋y－2＝0上，所以b＝2－a.又|CA|2＝|CB|2，所以(a－1)2＋(2－a＋1)2＝(a＋1)2＋(2－a－1)2，所以a＝1，b＝1.所以r＝2.所以方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4.

4．(2020·北京卷)已知半径为1的圆经过点(3,4)，则其圆心到原点的距离的最小值为(　　)
A．4 B．5 C．6 D．7
答案　A
解析　由平面几何知识知，当且仅当原点、圆心、点(3,4)共线时，圆心到原点的距离最小且最小值为dmin＝－1＝4.故选A.
5．(2021·佛山一中期末)若方程x2＋y2＋mx－2y＋3＝0表示圆，则m的取值范围是(　　)
A．(－∞，－)
B．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
C．(－∞，－)
D．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
答案　B
解析　将x2＋y2＋mx－2y＋3＝0化为圆的标准方程得2＋(y－1)2＝－2.
由其表示圆可得－2>0，解得m<－2或m>2.
6．(2020·全国Ⅱ卷)若过点(2,1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x－y－3＝0的距离为(　　)
A. B． C． D．
答案　B
解析　设圆心为P(x0，y0)，半径为r，∵圆与x轴，y轴都相切，
∴|x0|＝|y0|＝r，又圆经过点(2,1)，∴x0＝y0＝r且(2－x0)2＋(1－y0)2＝r2，
∴(r－2)2＋(r－1)2＝r2，解得r＝1或r＝5.
当r＝1时，圆心坐标为(1,1)，此时圆心到直线2x－y－3＝0的距离d＝＝；
当r＝5时，圆心坐标为(5,5)，此时圆心到直线2x－y－3＝0的距离d＝＝.
综上，圆心到直线2x－y－3＝0的距离为.

考点一　圆的方程
1．在平面直角坐标系中，经过三点(0,0)，(1,1)，(2,0)的圆的方程为________________．
答案　x2＋y2－2x＝0
解析　法一　设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，则解得D＝－2，E＝0，F＝0，故圆的方程为x2＋y2－2x＝0.
法二　设O(0,0)，A(1,1)，B(2,0)，则kOA＝1，kAB＝－1，所以kOA·kAB＝－1，即OA⊥AB，所以△OAB是以角A为直角的直角三角形，则线段BO是所求圆的直径，则圆心为C(1,0)，半径r＝|OB|＝1，圆的方程为(x－1)2＋y2＝1，即x2＋y2－2x＝0.
2．已知圆C的圆心在直线x＋y＝0上，圆C与直线x－y＝0相切，且截直线x－y－3＝0所得的弦长为，则圆C的方程为________．
答案　(x－1)2＋(y＋1)2＝2
解析　法一　∵所求圆的圆心在直线x＋y＝0上，
∴可设所求圆的圆心为(a，－a)．
∵所求圆与直线x－y＝0相切，∴半径r＝＝|a|.
又所求圆截直线x－y－3＝0所得的弦长为，圆心(a，－a)到直线x－y－3＝0的距离d＝，
∴d2＋2＝r2，即＋＝2a2，解得a＝1，
∴圆C的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝2.
法二　设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，
则圆心(a，b)到直线x－y－3＝0的距离d＝，
∴r2＝＋，即2r2＝(a－b－3)2＋3.①
∵所求圆与直线x－y＝0相切，∴＝r.②
又∵圆心在直线x＋y＝0上，∴a＋b＝0.③
联立①②③，解得
故圆C的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝2.
3．(2021·兰州、张掖重点中学联考)设A(2，－1)，B(4,1)，则以线段AB为直径的圆的方程为(　　)
A．(x－3)2＋y2＝2 B．(x－3)2＋y2＝8
C．(x＋3)2＋y2＝2 D．(x＋3)2＋y2＝8
答案　A
解析　因为A(2，－1)，B(4,1)，所以由中点坐标公式可得线段AB的中点坐标为(3,0)，即圆心为(3,0)，又半径r＝|AB|＝＝，所以所求圆的方程为(x－3)2＋y2＝2，故选A.

4.(2020·郑州二模)圆(x＋2)2＋(y－12)2＝4关于直线x－y＋8＝0对称的圆的方程为(　　)
A．(x＋3)2＋(y＋2)2＝4 B．(x＋4)2＋(y－6)2＝4
C．(x－4)2＋(y－6)2＝4 D．(x＋6)2＋(y＋4)2＝4
答案　C
解析　设对称圆的圆心为(m，n)，
则解得所以所求圆的圆心为(4,6)，
故所求圆的方程为(x－4)2＋(y－6)2＝4，故选C.
感悟升华　求圆的方程时，应根据条件选用合适的圆的方程．一般来说，求圆的方程有两种方法：
(1)几何法，通过研究圆的性质进而求出圆的基本量．确定圆的方程时，常用到的圆的三个性质：①圆心在过切点且垂直切线的直线上；②圆心在任一弦的中垂线上；③两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线；
(2)代数法，即设出圆的方程，用待定系数法求解．
考点二　与圆有关的最值问题
角度1　利用几何意义求最值
【例1】　已知点(x，y)在圆(x－2)2＋(y＋3)2＝1上．
(1)求的最大值和最小值；
(2)求x＋y的最大值和最小值；
(3)求的最大值和最小值．
解　(1)可视为点(x，y)与原点连线的斜率，的最大值和最小值就是与该圆有公共点的过原点的直线斜率的最大值和最小值，即直线与圆相切时的斜率．
设过原点的直线的方程为y＝kx，由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径，即＝1，解得k＝－2＋或k＝－2－，∴的最大值为－2＋，最小值为－2－.
(2)设t＝x＋y，则y＝－x＋t，t可视为直线y＝－x＋t在y轴上的截距，
∴x＋y的最大值和最小值就是直线与圆有公共点时直线纵截距的最大值和最小值，即直线与圆相切时在y轴上的截距．
由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径，
即＝1，解得t＝－1或t＝－－1.
∴x＋y的最大值为－1，最小值为－－1.
(3)＝，求它的最值可视为求点(x，y)到定点(－1,2)的距离的最值，可转化为求圆心(2，－3)到定点(－1,2)的距离与半径的和或差．又圆心到定点(－1,2)的距离为，
∴的最大值为＋1，最小值－1.
感悟升华　把有关式子进行转化或利用所给式子的几何意义解题，充分体现了数形结合以及转化的数学思想，其中以下几类转化较为常见：
(1)形如m＝的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；
(2)形如m＝ax＋by的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；
(3)形如m＝(x－a)2＋(y－b)2的最值问题，可转化为两点间距离的平方的最值问题．
角度2　利用对称性求最值
【例2】　(2021·衡水联考)已知A(0,2)，点P在直线x＋y＋2＝0上，点Q在圆C：x2＋y2－4x－2y＝0上，则|PA|＋|PQ|的最小值是________．
答案　2
解析　因为圆C：x2＋y2－4x－2y＝0，所以圆C是以C(2,1)为圆心，半径r＝的圆．设点A(0,2)关于直线x＋y＋2＝0的对称点为A′(m，n)，
所以
解得故A′(－4，－2)．
连接A′C交圆C于Q(图略)，此时，|PA|＋|PQ|取得最小值，由对称性可知|PA|＋|PQ|＝|A′P|＋|PQ|＝|A′Q|＝|A′C|－r＝2.
感悟升华　求解形如|PM|＋|PN|(其中M，N均为动点)且与圆C有关的折线段的最值问题的基本思路：
(1)“动化定”，把与圆上动点的距离转化为与圆心的距离；
(2)“曲化直”，即将折线段之和转化为同一直线上的两线段之和，一般要通过对称性解决．
角度3　建立函数关系求最值
【例3】　(2021·重庆模拟)设点P(x，y)是圆：x2＋(y－3)2＝1上的动点，定点A(2,0)，
B(－2,0)，则·的最大值为________．
答案　12
解析　由题意，知＝(2－x，－y)，＝(－2－x，－y)，所以·＝x2＋y2－4，由于点P(x，y)是圆上的点，故其坐标满足方程x2＋(y－3)2＝1，故x2＝－(y－3)2＋1，所以·＝－(y－3)2＋1＋y2－4＝6y－12.由圆的方程x2＋(y－3)2＝1，易知2≤y≤4，所以，当y＝4时，·的值最大，最大值为6×4－12＝12.
感悟升华　根据题中条件列出相关的函数关系式，再根据函数知识或基本不等式求最值．
【训练1】　(1)已知两点A(－1,0)，B(0,2)，点P是圆(x－1)2＋y2＝1上任意一点，则△PAB面积的最大值与最小值分别是(　　)
A．2，(4－) B．(4＋)，(4－)
C.，4－ D．(＋2)，(－2)
(2)(2021·长沙模拟)圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0上的点到直线x－y＝2的距离的最大值是________．
答案　(1)B　(2)＋1
解析　(1)如图，

圆心(1,0)到直线AB：2x－y＋2＝0的距离d＝，故圆上的点P到直线AB的距离的最大值是＋1，最小值是－1.
又|AB|＝，故△PAB面积的最大值和最小值分别是2＋，2－.故选B.
(2)将圆的方程化为(x－1)2＋(y－1)2＝1，圆心坐标为(1,1)，半径为1，则圆心到直线x－y＝2的距离d＝＝，故圆上的点到直线x－y＝2的距离的最大值为d＋1＝＋1.
考点三　与圆有关的轨迹问题
【例4】　已知Rt△ABC的斜边为AB，且A(－1,0)，B(3,0)，求：
(1)直角顶点C的轨迹方程；
(2)直角边BC的中点M的轨迹方程．
解　(1)法一　设C(x，y)，因为A，B，C三点不共线，所以y≠0.
因为AC⊥BC，且BC，AC斜率均存在，所以kAC·kBC＝－1，
又kAC＝，kBC＝，所以·＝－1，
化简得x2＋y2－2x－3＝0.
因此，直角顶点C的轨迹方程为x2＋y2－2x－3＝0(y≠0)．
法二　设AB的中点为D，由中点坐标公式得D(1,0)，由直角三角形的性质知|CD|＝|AB|＝2.由圆的定义知，动点C的轨迹是以D(1,0)为圆心，2为半径的圆(由于A，B，C三点不共线，所以应除去与x轴的交点)．
所以直角顶点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0)．
(2)设M(x，y)，C(x0，y0)，因为B(3,0)，M是线段BC的中点，由中点坐标公式得x＝，y＝，
所以x0＝2x－3，y0＝2y.
由(1)知，点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0)，
将x0＝2x－3，y0＝2y代入得(2x－4)2＋(2y)2＝4，
即(x－2)2＋y2＝1.
因此动点M的轨迹方程为(x－2)2＋y2＝1(y≠0)．
感悟升华　求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法：
(1)直接法，直接根据题目提供的条件列出方程；
(2)定义法，根据圆、直线等定义列方程；
(3)几何法，利用圆的几何性质列方程；
(4)代入法，找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等．
【训练2】　设定点M(－3,4)，动点N在圆x2＋y2＝4上运动，以OM，ON为邻边作平行四边形MONP，求点P的轨迹方程．
解　如图，设P(x，y)，N(x0，y0)，

则线段OP的中点坐标为，
线段MN的中点坐标为
.
因为平行四边形的对角线互相平分，
所以＝，＝，
整理得
又点N(x0，y0)在圆x2＋y2＝4上，
所以(x＋3)2＋(y－4)2＝4.
所以点P的轨迹是以(－3,4)为圆心，2为半径的圆，
直线OM与轨迹相交于两点和，不符合题意，舍去，
所以点P的轨迹为(x＋3)2＋(y－4)2＝4，除去两点和.

A级　基础巩固
一、选择题
1．圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是(　　)
A．(x－1)2＋(y－1)2＝1 B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝1
C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2 D．(x－1)2＋(y－1)2＝2
答案　D
解析　因为圆心为(1,1)且过原点，所以该圆的半径r＝＝，则该圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2.
2．如果圆的方程为x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0，那么当圆面积最大时，圆心坐标为(　　)
A．(－1,1) B．(1，－1) C．(－1,0) D．(0，－1)
答案　D
解析　r＝＝，
当k＝0时，r最大，此时圆心坐标为(0，－1)．
3．(2020·荆州模拟)若圆(x－1)2＋(y－1)2＝2关于直线y＝kx＋3对称，则k的值是(　　)
A．2 B．－2 C．1 D．－1
答案　B
解析　由题意知直线y＝kx＋3过圆心(1,1)，
即1＝k＋3，解得k＝－2.
4．点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是(　　)
A．(x－2)2＋(y＋1)2＝1 B．(x－2)2＋(y＋1)2＝4
C．(x＋4)2＋(y－2)2＝4 D．(x＋2)2＋(y－1)2＝1
答案　A
解析　设圆上任意一点为(x1，y1)，中点为(x，y)，则所以代入x2＋y2＝4，得(2x－4)2＋(2y＋2)2＝4，化简得(x－2)2＋(y＋1)2＝1.
5．(2021·成都诊断)若抛物线y＝x2－2x－3与坐标轴的交点在同一个圆上，则由交点确定的圆的方程为(　　)
A．x2＋(y－1)2＝4 B．(x－1)2＋(y－1)2＝4
C．(x－1)2＋y2＝4 D．(x－1)2＋(y＋1)2＝5
答案　D
解析　抛物线y＝x2－2x－3关于直线x＝1对称，与坐标轴的交点为A(－1,0)，B(3,0)，C(0，－3)，设圆心为M(1，b)，半径为r，则|MA|2＝|MC|2＝r2，即4＋b2＝1＋(b＋3)2＝r2，解得b＝－1，r＝，所以由交点确定的圆的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝5.故选D.
6．(2021·西安调研)已知圆C经过P(－2,4)，Q(3，－1)两点，且在x轴上截得的弦长为6，则圆C的方程为(　　)
A．x2＋y2－2x－4y－8＝0
B．x2＋y2＋2x－4y－8＝0
C．x2＋y2－2x－4y－8＝0或x2＋y2－6x－8y＝0
D．x2＋y2＋2x－4y－8＝0或x2＋y2－6x－8y＝0
答案　C
解析　设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，D2＋E2－4F>0，
将P，Q两点的坐标代入得
令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0，　③
设x1，x2是方程③的两根，由|x1－x2|＝6得D2－4F＝36，　④
由①②④得或
故所求的圆的方程为x2＋y2－2x－4y－8＝0或x2＋y2－6x－8y＝0.
二、填空题
7．已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标是________，半径是________．
答案　(－2，－4)　5
解析　由已知方程表示圆，则a2＝a＋2，
解得a＝2或a＝－1.
当a＝2时，方程不满足表示圆的条件，故舍去．
当a＝－1时，原方程为x2＋y2＋4x＋8y－5＝0，
化为标准方程为(x＋2)2＋(y＋4)2＝25，
表示以(－2，－4)为圆心，半径为5的圆．
8．若圆C：x2＋2＝n的圆心为椭圆M：x2＋my2＝1的一个焦点，且圆C经过M的另一个焦点，则圆C的标准方程为________．
答案　x2＋(y＋1)2＝4
解析　∵圆C的圆心为，∴＝，m＝.又圆C经过M的另一个焦点，则圆C经过点(0,1)，从而n＝4.故圆C的标准方程为x2＋(y＋1)2＝4.
9．已知圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为________．
答案　5－4
解析　P是x轴上任意一点，则|PM|的最小值为|PC1|－1，同理|PN|的最小值为|PC2|－3，则|PM|＋|PN|的最小值为|PC1|＋|PC2|－4.作C1关于x轴的对称点C1′(2，－3)．所以|PC1|＋|PC2|＝|PC1′|＋|PC2|≥|C1′C2|＝5，即|PM|＋|PN|＝|PC1|＋|PC2|－4≥5－4.
三、解答题
10．已知M(x，y)为圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0上任意一点，且点Q(－2,3)．
(1)求|MQ|的最大值和最小值；
(2)求的最大值和最小值；
(3)求y－x的最大值和最小值．
解　(1)由圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0，
可得(x－2)2＋(y－7)2＝8，
∴圆心C的坐标为(2,7)，半径r＝2.
又|QC|＝＝4，
∴|MQ|max＝4＋2＝6，
|MQ|min＝4－2＝2.
(2)可知表示直线MQ的斜率k，
设直线MQ的方程为y－3＝k(x＋2)，
即kx－y＋2k＋3＝0.
∵直线MQ与圆C有交点，
∴≤2，
可得2－≤k≤2＋，
∴的最大值为2＋，最小值为2－.
(3)设y－x＝b，则x－y＋b＝0.
当直线y＝x＋b与圆C相切时，截距b取到最值，
∴＝2，∴b＝9或b＝1.
∴y－x的最大值为9，最小值为1.
11．设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过F且斜率为k(k>0)的直线l与C交于A，B两点，|AB|＝8.
(1)求l的方程；
(2)求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程．
解　(1)由题意得F(1,0)，l的方程为y＝k(x－1)(k>0)．
设A(x1，y1)，B(x2，y2)．
由得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0.
Δ＝16k2＋16>0，故x1＋x2＝.
所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝(x1＋1)＋(x2＋1)＝.
由题设知＝8，解得k＝－1(舍去)，k＝1.
因此l的方程为y＝x－1.
(2)由(1)得AB的中点坐标为(3,2)，所以AB的垂直平分线方程为y－2＝－(x－3)，即y＝－x＋5.
设所求圆的圆心坐标为(x0，y0)，则

解得或
故圆的半径为x0＋＝4或12，
因此所求圆的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝16或(x－11)2＋(y＋6)2＝144.
B级　能力提升
12．古希腊数学家阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》中给出了圆的另一种定义：平面内，到两个定点A，B距离之比是常数λ(λ>0，λ≠1)的点M的轨迹是圆．若两定点A，B的距离为3，动点M满足|MA|＝2|MB|，则M点的轨迹围成区域的面积为(　　)
A．π B．2π C．3π D．4π
答案　D
解析　以A点为原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系，则可取B(3,0)．设M(x，y)，依题意有，＝2，化简整理得，x2＋y2－8x＋12＝0，即(x－4)2＋y2＝4，圆的面积为4π.故选D.
13．已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1，设点P是圆C上的动点．记d＝|PB|2＋|PA|2，其中A(0,1)，B(0，－1)，则d的最大值为________．
答案　74
解析　设P(x0，y0)，d＝|PB|2＋|PA|2＝x＋(y0＋1)2＋x＋(y0－1)2＝2(x＋y)＋2.x＋y为圆上任一点到原点距离的平方，∴(x＋y)max＝(5＋1)2＝36，∴dmax＝74.
14．已知点P(2,2)，圆C：x2＋y2－8y＝0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点．
(1)求M的轨迹方程；
(2)当|OP|＝|OM|时，求l的方程及△POM的面积．
解　(1)圆C的方程可化为x2＋(y－4)2＝16，所以圆心为C(0,4)，半径为4.
设M(x，y)，则＝(x，y－4)，＝(2－x,2－y)．
由题设知·＝0，
故x(2－x)＋(y－4)(2－y)＝0，
即(x－1)2＋(y－3)2＝2.
由于点P在圆C的内部，所以M的轨迹方程是(x－1)2＋(y－3)2＝2.
(2)由(1)可知M的轨迹是以点N(1,3)为圆心，为半径的圆．由于|OP|＝|OM|，故O在线段PM的垂直平分线上，又P在圆N上，从而ON⊥PM.
因为ON的斜率为3，所以l的斜率为－，
故l的方程为x＋3y－8＝0.
又|OM|＝|OP|＝2，O到l的距离为，
所以|PM|＝，S△POM＝××＝，
故△POM的面积为.