高考数学大一轮复习第五章 平面向量与复数

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第2节　平面向量基本定理及坐标表示
考纲要求　1.了解平面向量的基本定理及其意义；2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示；3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算；4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件．

知识梳理
1．平面向量的基本定理
如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．
2．平面向量的正交分解
把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解．
3．平面向量的坐标运算
(1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则
a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝.
(2)向量坐标的求法
①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．
②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)，||＝.
4．平面向量共线的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0.

1．平面内不共线向量都可以作为基底，反之亦然．
2．若a与b不共线，λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0.
3．向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的相对位置有关系．两个相等的向量，无论起点在什么位置，它们的坐标都是相同的．
诊断自测

1．判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底．(　　)
(2)设a，b是平面内的一组基底，若实数λ1，μ1，λ2，μ2满足λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.(　　)
(3)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件可以表示成＝.(　　)
(4)平面向量不论经过怎样的平移变换之后其坐标不变．(　　)
答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)√
解析　(1)共线向量不可以作为基底．
(3)若b＝(0,0)，则＝无意义．

2. 若P1(1,3)，P2(4,0)，且P是线段P1P2的一个三等分点(靠近点P1)，则点P的坐标为(　　)
A．(2,2) B．(3，－1)
C．(2,2)或(3，－1) D．(2,2)或(3,1)
答案　A
解析　由题意得＝且＝(3，－3)，
设P(x，y)，则(x－1，y－3)＝(1，－1)，
所以x＝2，y＝2，则点P(2,2)．
3．已知向量a＝(－1,3)，b＝(2,1)，则3a－2b＝(　　)
A．(－7,7) B．(－3，－2)
C．(6,2) D．(4，－3)
答案　A
解析　3a－2b＝(－3,9)－(4,2)＝(－7,7)．

4．(2021·南阳调研)已知向量a＝(m,1)，b＝(3，m－2)，则m＝3是a∥b的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．既不充分也不必要条件
D．充要条件
答案　A
解析　∵a＝(m,1)，b＝(3，m－2)，
若a∥b，则m(m－2)－3＝0，
得m＝3或m＝－1，
所以“m＝3”是“a∥b”的充分不必要条件．
5．(2020·合肥质检)设向量a＝(－3,4)，向量b与向量a方向相反，且|b|＝10，则向量b的坐标为(　　)
A. B．(－6,8) C． D．(6，－8)
答案　D
解析　因为向量b与a方向相反，则可设b＝λa＝(－3λ，4λ)，λ<0，则|b|＝＝5|λ|＝10，∴λ＝－2，b＝(6，－8)．
6．(2021·贵阳模拟)如图，在平行四边形ABCD中，F是BC的中点，＝－2，若＝x＋y，则x＋y＝(　　)

A．1 B．6 C． D．
答案　C
解析　因为四边形ABCD是平行四边形，
所以＝，＝，
因为＝－2，所以＝－＝－，
连接AF，在△AEF中，
所以＝＋＝－＋＋
＝－－＋＋＝－，
又因为＝x＋y，
所以x＝，y＝－，故x＋y＝.


考点一　平面向量的坐标运算
1．已知四边形ABCD的三个顶点A(0,2)，B(－1，－2)，C(3,1)，且＝2，则顶点D的坐标为(　　)
A. B． C．(3,2) D．(1,3)
答案　A
解析　设D(x，y)，＝(x，y－2)，＝(4,3)，又＝2，所以解得故选A.
2．向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，则＝(　　)

A．1 B．2 C．3 D．4
答案　D
解析　以向量a和b的交点为原点建立如图所示的平面直角坐标系(设每个小正方形边长为1)，则A(1，－1)，B(6,2)，C(5，－1)，

∴a＝＝(－1,1)，b＝＝(6,2)，c＝＝(－1，－3)，
∵c＝λa＋μb，∴(－1，－3)＝λ(－1,1)＋μ(6,2)，
则解得
∴＝＝4.
3．(2021·西安调研)在平面直角坐标系中，O为坐标原点，＝，若绕点O逆时针旋转60°得到向量，则＝(　　)
A．(0,1) B．(1,0)
C. D．
答案　A
解析　∵＝，∴与x轴的夹角为30°，
依题意，向量与x轴的夹角为90°，
则点B在y轴正半轴上，且||＝||＝1，
∴点B(0,1)，则＝(0,1)．
4．(2021·衡水检测)如图，原点O是△ABC内一点，顶点A在x轴上，∠AOB＝150°，∠BOC＝90°，||＝2，||＝1，||＝3，若＝λ＋μ，则＝(　　)

A．－ B． C．－ D．
答案　D
解析　由三角函数定义，易知A(2,0)，B，C(3cos 240°，3sin 240°)，
即C，
因为＝λ＋μ，
所以＝λ(2,0)＋μ，
所以解得
所以＝.
感悟升华　1.向量的坐标表示把点与数联系起来，实际上是向量的代数表示，即引入平面向量的坐标可以使向量运算代数化，成为数与形结合的载体，可以使很多几何问题的解答转化为我们熟知的数量运算．
2．向量的坐标运算主要是利用向量的加、减、数乘运算法则进行计算．若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用．
考点二　平面向量基本定理及其应用
【例1】　如图所示，已知在△OCB中，A是CB的中点，D是将分成2∶1的一个内分点，DC和OA交于点E，设＝a，＝b.

(1)用a和b表示向量，；
(2)若＝λ，求实数λ的值．
解　(1)依题意，A是BC的中点，
∴2＝＋，即＝2－＝2a－b.
＝－＝－
＝2a－b－b＝2a－b.
(2)设＝λ(0<λ<1)，
则＝－＝λa－(2a－b)＝(λ－2)a＋b.
∵与共线，
∴存在实数k，使＝k，
(λ－2)a＋b＝k，解得λ＝.
感悟升华　1.应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．
2．用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．
【训练1】　(2021·银川调研)在△ABC中，M，N分别是边AB，AC的中点，点O是线段MN上异于端点的一点，且满足λ＋3＋4＝0(λ≠0)，则λ＝________.

答案　7
解析　法一　由已知得＝－－，①
由M，O，N三点共线，知∃t∈R，使＝t，
故2＝2t，故＋＝t(＋)，
整理得＝＋，②
对比①②两式的系数，得解得
法二　因为M是AB的中点，所以＝(＋)，
于是＝2－，同理＝2－，
将两式代入λ＋3＋4＝0，
整理得(λ－7)＋6＋8＝0，
因为M，O，N三点共线，故∃p∈R，使得＝p，
于是(λ－7)＋(6p＋8)＝0，
显然，不共线，故λ－7＝6p＋8＝0，故λ＝7.

考点三　平面向量共线的坐标表示
角度1　利用向量共线求向量或点的坐标
【例2】　已知点A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，O为坐标原点，则AC与OB的交点P的坐标为________．
答案　(3,3)
解析　法一　由O，P，B三点共线，可设＝λ＝(4λ，4λ)，则＝－＝(4λ－4,4λ)．
又＝－＝(－2,6)，
由与共线，得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0，
解得λ＝，所以＝＝(3,3)，
所以点P的坐标为(3,3)．
法二　设点P(x，y)，则＝(x，y)，因为＝(4,4)，且与共线，所以＝，即x＝y.
又＝(x－4，y)，＝(－2,6)，且与共线，
所以(x－4)×6－y×(－2)＝0，解得x＝y＝3，
所以点P的坐标为(3,3)．
角度2　利用向量共线求参数
【例3】　(1)已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－2)，c＝(1，λ)．若c∥(2a＋b)，则λ＝________.
(2)(2021·福州八校联考)设向量＝(1，－2)，＝(a，－1)，＝(－b,0)，其中O为坐标原点，且a>0，b>0，若A，B，C三点共线，则＋的最小值为(　　)
A．8 B．9 C．6 D．4
答案　(1)　(2)A
解析　(1)由题意得2a＋b＝(4,2)，因为c＝(1，λ)，且c∥(2a＋b)，所以4λ－2＝0，即λ＝.
(2)由题意知＝－＝(a－1,1)，＝－＝(－b－1,2)．
因为A，B，C三点共线，设＝λ，
则(a－1,1)＝λ(－b－1,2)．
∴得2a＋b＝1.
又a>0，b>0，则＋＝(2a＋b)＝2＋2＋＋≥4＋2＝8，当且仅当＝，
即a＝，b＝时，等号成立．
∴＋的最小值为8.
感悟升华　1.两平面向量共线的充要条件有两种形式：(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件是x1y2－x2y1＝0；
(2)若a∥b(b≠0)，则a＝λb.
2．向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数．当两向量的坐标均非零时，也可以利用坐标对应成比例来求解．
【训练2】　(1)(2021·太原联考)已知向量e1＝(1,1)，e2＝(0,1)，若a＝e1＋λe2与b＝－(2e1－3e2)共线，则实数λ＝________.
(2)(2021·安徽江南十校调研)在直角坐标系xOy中，已知点A(0,1)和点B(－3,4)，若点C在∠AOB的平分线上，且||＝3，则向量的坐标为________．
答案　(1)－　(2)(－3,9)
解析　(1)由题意知a＝e1＋λe2＝(1,1＋λ)，
b＝－(2e1－3e2)＝(－2,1)．
由于a∥b，所以1×1＋2(1＋λ)＝0，解得λ＝－.
(2)因为点C在∠AOB的平分线上，
所以存在λ∈(0，＋∞)，使得＝λ.
∴＝λ(0,1)＋λ＝，
又||＝3，
所以2＋2＝(3)2，解得λ＝5.
故向量＝(－3,9).

A级　基础巩固
一、选择题
1．设A(0,1)，B(1,3)，C(－1,5)，D(0，－1)，则＋等于(　　)
A．－2 B．2 C．－3 D．3
答案　C
解析　由题意得＝(1,2)，＝(－1,4)，＝(0，－2)，所以＋＝(0,6)＝－3(0，
－2)＝－3.
2．已知向量a＝(2,1)，b＝(3,4)，c＝(1，m)，若实数λ满足a＋b＝λc，则λ＋m等于(　　)
A．5 B．6 C．7 D．8
答案　B
解析　由平面向量的坐标运算法则可得a＋b＝(5,5)，
λc＝(λ，λm)，据此有解得λ＝5，m＝1，∴λ＋m＝6.
3．(2021·郑州质检)已知向量＝(1,4)，＝(m，－1)，若∥，则实数m的值为(　　)
A. B．－4 C．4 D．－
答案　D
解析　∵向量＝(1,4)，＝(m，－1)，
∴＝＋＝(1＋m,3)，
又∥，所以1×3－4(1＋m)＝0，解得m＝－.
4．在平面直角坐标系xOy中，已知A(1,0)，B(0,1)，C为第一象限内一点，且∠AOC＝，且|OC|＝2，若＝λ ＋μ ，则λ＋μ＝(　　)
A．2 B． C．2 D．4
答案　A
解析　因为|OC|＝2，∠AOC＝，所以C(，)，
又＝λ ＋μ ，所以(，)＝λ(1,0)＋μ(0,1)＝(λ，μ)，所以λ＝μ＝，λ＋μ＝2.
5．(2020·济南调研)在△ABC中，＝，若P是直线BN上的一点，且满足＝m＋，则实数m的值为(　　)
A．－4 B．－1 C．1 D．4
答案　B
解析　根据题意设＝n(n∈R)，则＝＋＝＋n＝＋n(－)＝＋n＝(1－n)＋.
又＝m＋，∴解得
6．(2021·东北师大附中等五校联考)已知向量a＝，b＝(cos α，1)，α∈，且a∥b，则sin＝(　　)
A．－ B． C． D．－
答案　C
解析　向量a＝，b＝(cos α，1)，且a∥b，
则＝tan α·cos α＝sin α，
又α∈，知cos α＝－，
所以sin＝－cos α＝.
7.

给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为90°，如图所示，点C在以O为圆心的圆弧上运动，若＝x＋y，其中x，y∈R，则x＋y的最大值是(　　)
A．1 B． C． D．2
答案　B
解析　因为点C在以O为圆心的圆弧上，所以||2＝|x＋y|2＝x2＋y2＋2xy·＝x2＋y2，
∴x2＋y2＝1，则2xy≤x2＋y2＝1.
又(x＋y)2＝x2＋y2＋2xy≤2，当x＝y时取等号，
故x＋y的最大值为.
8．(2021·合肥检测)△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，m＝(a，b)，n＝(cos B，cos A)，则“m∥n”是“△ABC是等腰三角形”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案　D
解析　由m∥n得bcos B－acos A＝0，即sin Bcos B＝sin Acos A，
可得sin 2B＝sin 2A，因为角A，B，C分别是△ABC的内角，所以2A＝2B或2A＝π－2B，即A＝B或A＋B＝，可得△ABC是等腰三角形或直角三角形．
因此，由“m∥n”不能推出“△ABC是等腰三角形”．
因为由“△ABC是等腰三角形”不能推出“A＝B”，所以由“△ABC是等腰三角形”也不能推出“m∥n”．
故“m∥n”是“△ABC是等腰三角形”的既不充分也不必要条件．
二、填空题
9．已知A(2,3)，B(4，－3)，点P在线段AB的延长线上，且|AP|＝|BP|，则点P的坐标为________．
答案　(8，－15)
解析　设P(x，y)，由点P在线段AB的延长线上，
则＝，得(x－2，y－3)＝(x－4，y＋3)，
即解得
所以点P的坐标为(8，－15)．
10．(2021·百校联盟联考)已知非零向量a＝(2x，y)，b＝(1，－2)，且a∥b，则＝________.
答案　－
解析　因为a＝(2x，y)，b＝(1，－2)，且a∥b，所以2x·(－2)－y·1＝0，所以＝－.
11．已知矩形ABCD的两条对角线交于点O，点E为线段AO的中点，若＝m＋n，则m＋n的值为________．
答案　－
解析　如图所示，因为点E为线段AO的中点，

所以＝(＋)＝＋
＝－＋－＝－.
又＝m＋n，
所以m＝，n＝－，故m＋n＝－.
12．已知向量＝(1，－3)，＝(2，－1)，＝(k＋1，k－2)，若A，B，C三点能构成三角形，则实数k应满足的条件是________．
答案　k≠1
解析　若点A，B，C能构成三角形，
则向量，不共线．
∵＝－＝(2，－1)－(1，－3)＝(1,2)，
＝－＝(k＋1，k－2)－(1，－3)＝(k，k＋1)，
∴1×(k＋1)－2k≠0，解得k≠1.
B级　能力提升
13．(2021·西安质检)已知在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝1，AC＝2，D是△ABC内一点，且∠DAB＝60°，设＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则＝(　　)
A. B． C．3 D．2
答案　A
解析　如图，以A为原点，AB所在直线为x轴，AC所在直线为y轴建立平面直角坐标系，则B点的坐标为(1,0)，C点的坐标为(0,2)，

因为∠DAB＝60°，所以设D点的坐标为(m，m)(m>0)．
＝(m，m)＝λ＋μ＝λ(1,0)＋μ(0,2)＝(λ，2μ)，则λ＝m，且μ＝m，所以＝.
14．已知点P为四边形ABCD所在平面内一点，且满足＋2＝0，＋＋4＝0，＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则λμ＝(　　)
A. B．－ C．－ D．
答案　D
解析　如图，取AB的中点O，连接DO.

由＋2＝0，知AB∥CD，AB＝2CD，
所以CD綉OB，所以四边形OBCD为平行四边形．
又由＋＋4＝0，得－2＋4＝0，
即＝2，所以D，P，O三点共线，且P为OD上靠近D的三等分点，
所以＝＋＝＋＝＋，
所以λ＝，μ＝，所以λμ＝.
15．如图，在正方形ABCD中，M，N分别是BC，CD的中点，若＝λ＋μ，则λ＋μ＝________.

答案　
解析　以AB，AD所在直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系，如图所示，

设正方形的边长为1，则＝，＝，＝(1,1)．
∵＝λ＋μ
＝，
∴解得∴λ＋μ＝.
16．(2021·兰州调研)在△ABC中，点D，E是线段BC上的两个动点，且＋＝x＋y，则xy的最大值为________．
答案　1
解析　设DE的中点为M，连接AM(如图)．

则＋＝2＝x＋y，
所以＝＋，
又B，C，M三点共线，
所以x＋y＝2，且x>0，y>0，
又x＋y≥2，当且仅当x＝y＝1时，取等号，
∴xy≤1，即xy的最大值为1.