备战2024年高考数学大一轮复习（人教A版-理）第九章 平面解析几何 第3节 圆的方程

这是一份备战2024年高考数学大一轮复习（人教A版-理）第九章 平面解析几何 第3节 圆的方程，共16页。试卷主要包含了圆的定义和圆的方程，点与圆的位置关系等内容，欢迎下载使用。
第3节　圆的方程
考试要求　掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程.


1.圆的定义和圆的方程
定义
平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆
方程
标准
(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)
圆心C(a，b)
半径为r
一般
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0
(D2＋E2－4F＞0)
充要条件：D2＋E2－4F＞0
圆心坐标：
半径r＝
2.点与圆的位置关系
平面上的一点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2之间存在着下列关系：
(1)|MC|＞r⇔M在圆外，即(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2⇔M在圆外；
(2)|MC|＝r⇔M在圆上，即(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔M在圆上；
(3)|MC|＜r⇔M在圆内，即(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2⇔M在圆内.

1.圆心在坐标原点，半径为r的圆的方程为x2＋y2＝r2.
2.以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x－x1)·(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.

1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)确定圆的几何要素是圆心与半径.(　　)
(2)方程x2＋y2＝a2表示半径为a的圆.(　　)
(3)方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF>0.(　　)
(4)若点M(x0，y0)在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，则x＋y＋Dx0＋Ey0＋F>0.(　　)
答案　(1)√　(2)×　(3)√　(4)√
解析　(2)当a＝0时，x2＋y2＝a2表示点(0，0)；当a＜0时，表示半径为|a|的圆.
2.圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标和半径分别是(　　)
A.(2，3)，3 B.(－2，3)，
C.(－2，－3)，13 D.(2，－3)，
答案　D
解析　圆的方程可化为(x－2)2＋(y＋3)2＝13，所以圆心坐标是(2，－3)，半径r＝.
3.(2021·合肥模拟)已知A(1，0)，B(0，3)两点，则以AB为直径的圆的方程是(　　)
A.＋＝
B.＋＝
C.＋＝
D.＋＝
答案　A
解析　|AB|＝＝，圆心为，半径r＝，
∴圆的方程为＋＝.
4.(2022·银川模拟)若点(1，1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，则实数a的取值范围是(　　)
A.(－1，1)
B.(0，1)
C.(－∞，－1)∪(1，＋∞)
D.{－4，4}
答案　A
解析　因为点(1，1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，
所以表示点(1，1)到圆心(a，－a)的距离小于2，
即0，
即5k2－6k＋1>0，解得k>1或k0，
将P，Q两点的坐标代入得

令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0，　③
设x1，x2是方程③的两根，
由|x1－x2|＝6得D2－4F＝36，　④
由①②④得或
故所求的圆的方程为x2＋y2－2x－4y－8＝0或x2＋y2－6x－8y＝0.
6.已知两点A(－1，0)，B(0，2)，点P是圆(x－1)2＋y2＝1上任意一点，则△PAB面积的最大值与最小值分别是(　　)
A.2，(4－)
B.(4＋)，(4－)
C.，4－
D.(＋2)，(－2)
答案　B
解析　如图，圆心(1，0)到直线AB：2x－y＋2＝0的距离d＝，故圆上的点P到直线AB的距离的最大值是＋1，最小值是－1.

又|AB|＝，故△PAB面积的最大值和最小值分别是2＋，2－.
7.(2021·郑州模拟)圆(x＋2)2＋(y－12)2＝4关于直线x－y＋8＝0对称的圆的方程为________________.
答案　(x－4)2＋(y－6)2＝4
解析　设对称圆的圆心为(m，n)，
则解得
所以所求圆的圆心为(4，6)，
故所求圆的方程为(x－4)2＋(y－6)2＝4.
8.圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0上的点到直线x－y＝2的距离的最大值是________.
答案　＋1
解析　将圆的方程化为(x－1)2＋(y－1)2＝1，圆心坐标为(1，1)，半径为1，则圆心到直线x－y＝2的距离d＝＝，故圆上的点到直线x－y＝2的距离的最大值为d＋1＝＋1.
9.(2022·贵阳调研)已知A(0，2)，点P在直线x＋y＋2＝0上，点Q在圆C：x2＋y2－4x－2y＝0上，则|PA|＋|PQ|的最小值是________.
答案　2
解析　因为圆C：x2＋y2－4x－2y＝0，所以圆C是以C(2，1)为圆心，半径r＝的圆.
设点A(0，2)关于直线x＋y＋2＝0的对称点为A′(m，n)，
所以
解得故A′(－4，－2).
连接A′C交圆C于Q(图略)，此时，|PA|＋|PQ|取得最小值，由对称性可知|PA|＋|PQ|＝|A′P|＋|PQ|≥|A′Q|＝|A′C|－r＝2.
10.已知Rt△ABC的斜边为AB，且A(－1，0)，B(3，0)，求：
(1)直角顶点C的轨迹方程；
(2)直角边BC的中点M的轨迹方程.
解　(1)法一　设C(x，y)，因为A，B，C三点不共线，所以y≠0.
因为AC⊥BC，且BC，AC斜率均存在，
所以kAC·kBC＝－1.
又kAC＝，kBC＝，
所以·＝－1，
化简得x2＋y2－2x－3＝0.
因此，直角顶点C的轨迹方程为x2＋y2－2x－3＝0(y≠0).
法二　设AB的中点为D，由中点坐标公式得D(1，0)，由直角三角形的性质知|CD|＝|AB|＝2.由圆的定义知，动点C的轨迹是以D(1，0)为圆心，2为半径的圆(由于A，B，C三点不共线，所以应除去与x轴的交点)，
所以直角顶点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0).
(2)设M(x，y)，C(x0，y0)，因为B(3，0)，M是线段BC的中点，由中点坐标公式得x＝，y＝，
所以x0＝2x－3，y0＝2y.
由(1)知，点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0)，
将x0＝2x－3，y0＝2y代入得(2x－4)2＋(2y)2＝4，
即(x－2)2＋y2＝1.
因此动点M的轨迹方程为(x－2)2＋y2＝1(y≠0).
11.已知点(x，y)在圆(x－2)2＋(y＋3)2＝1上.
(1)求的最大值和最小值；
(2)求x＋y的最大值和最小值；
(3)求的最大值和最小值.
解　(1)可视为点(x，y)与原点连线的斜率，的最大值和最小值就是与该圆有公共点的过原点的直线斜率的最大值和最小值，即直线与圆相切时的斜率.
设过原点的直线的方程为y＝kx，由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径，即＝1，解得k＝－2＋或k＝－2－，∴的最大值为－2＋，最小值为－2－.
(2)设t＝x＋y，则y＝－x＋t，t可视为直线y＝－x＋t在y轴上的截距，
∴x＋y的最大值和最小值就是直线与圆有公共点时直线纵截距的最大值和最小值，即直线与圆相切时在y轴上的截距.
由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径，即＝1，解得t＝－1或t＝－－1.
∴x＋y的最大值为－1，最小值为－－1.
(3)＝
，求它的最值可视为求点(x，y)到定点(－1，2)的距离的最值，可转化为求圆心(2，－3)到定点(－1，2)的距离与半径的和或差.又圆心到定点(－1，2)的距离为，
∴的最大值为＋1，最小值－1.

12.(2020·全国Ⅱ卷)若过点(2，1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x－y－3＝0的距离为(　　)
A. B. C. D.
答案　B
解析　设圆心为P(x0，y0)，半径为r，∵圆与x轴，y轴都相切，
∴|x0|＝|y0|＝r.
又圆经过点(2，1)，∴x0＝y0＝r且(2－x0)2＋(1－y0)2＝r2，
∴(r－2)2＋(r－1)2＝r2，解得r＝1或r＝5.
当r＝1时，圆心坐标为(1，1)，此时圆心到直线2x－y－3＝0的距离
d＝＝；
当r＝5时，圆心坐标为(5，5)，此时圆心到直线2x－y－3＝0的距离
d＝＝.
综上，圆心到直线2x－y－3＝0的距离为.
13.(2022·郑州模拟)大约在2 000多年前，我国的墨子给出了圆的概念“一中同长也”，意思是说，圆有一个圆心，圆心到圆周上的点的长都相等.这个定义比古希腊数学家欧几里得给圆下定义要早100多年.现有动点P满足|OP|＝2，其中O为坐标原点，若M，则|PM|的最小值为________.
答案　1
解析　由题意可得点P在以O为圆心，2为半径的圆上，
因为|OM|＝＝10)的直线l与C交于A，B两点，|AB|＝8.
(1)求l的方程；
(2)求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程.
解　(1)由题意得F(1，0)，l的方程为y＝k(x－1)(k>0).
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由
得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，
Δ＝16k2＋16>0，故x1＋x2＝，
所以|AB|＝|AF|＋|BF|
＝(x1＋1)＋(x2＋1)＝.
由题设知＝8，解得k＝－1(舍去)，k＝1，
因此l的方程为y＝x－1.
(2)由(1)得AB的中点坐标为(3，2)，所以AB的垂直平分线方程为y－2＝－(x－3)，即y＝－x＋5.
设所求圆的圆心坐标为(x0，y0)，则

解得或
故圆的半径为x0＋＝4或12，
因此所求圆的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝16或(x－11)2＋(y＋6)2＝144.