备战2024年高考数学大一轮复习（人教A版-理）第九章 平面解析几何 第6节 双曲线

这是一份备战2024年高考数学大一轮复习（人教A版-理）第九章 平面解析几何 第6节 双曲线，共22页。试卷主要包含了双曲线的定义，双曲线的标准方程和几何性质，双曲线的焦点到渐近线的距离为b，焦点三角形的面积等内容，欢迎下载使用。
第6节　双曲线
考试要求　了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线).


1.双曲线的定义
平面内与两个定点F1，F2(|F1F2|＝2c＞0)的距离差的绝对值等于常数(小于|F1F2|且大于零)的点的轨迹叫双曲线.这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫焦距.其数学表达式：集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.
(1)若ac，则集合P为空集.
2.双曲线的标准方程和几何性质
标准方程
－＝1(a>0，b>0)
－＝1(a>0，b>0)
图　形


性质
范围
x≥a或x≤－a，y∈R
x∈R，y≤－a或y≥a
对称性
对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点
A1(－a，0)，A2(a，0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
渐近线
y＝±x
y＝±x
离心率
e＝，e∈(1，＋∞)
实虚轴
线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长度|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长度|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长
a，b，c的关系
c2＝a2＋b2

1.过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为.
2.离心率e＝＝＝.
3.等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于.
4.若渐近线方程为y＝±x，则双曲线方程可设为－＝λ(λ≠0).
5.双曲线的焦点到渐近线的距离为b.
6.若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝c＋a，|PF2|min＝c－a.
7.焦点三角形的面积：P为双曲线上的点，F1，F2为双曲线的两个焦点，且∠F1PF2＝θ，则△F1PF2的面积为.

1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)平面内到点F1(0，4)，F2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线.(　　)
(2)平面内到点F1(0，4)，F2(0，－4)距离之差等于6的点的轨迹是双曲线.(　　)
(3)方程－＝1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线.(　　)
(4)双曲线－＝λ(m>0，n>0，λ≠0)的渐近线方程是±＝0.(　　)
(5)若双曲线－＝1(a>0，b>0)与－＝1(a>0，b>0)的离心率分别是e1，e2，则＋＝1.(　　)
答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√　(5)√
解析　(1)因为||MF1|－|MF2||＝8＝|F1F2|，表示的轨迹为两条射线.
(2)由双曲线的定义知，应为双曲线的一支，而非双曲线的全部.
(3)当m＞0，n＞0时表示焦点在x轴上的双曲线，而m＜0，n＜0时则表示焦点在y轴上的双曲线.
2.(易错题)双曲线－＝1上一点P到焦点F1(－5，0)的距离为7，则点P到焦点F2(5，0)的距离为________.
答案　13
解析　在双曲线－＝1中，a＝3，
由题意得|PF1|＝7，
由双曲线的定义可得||PF1|－|PF2||＝2a＝6，即|7－|PF2||＝6，解得|PF2|＝13或|PF2|＝1，
又|PF2|≥c－a＝2，所以|PF2|＝13.
3.(2021·新高考Ⅱ卷)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为________.
答案　y＝±x
解析　因为双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为2，
所以e＝＝＝2，所以＝3，
所以该双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x.
4.(2021·全国乙卷)已知双曲线C：－y2＝1(m>0)的一条渐近线为x＋my＝0，则C的焦距为________.
答案　4
解析　双曲线－y2＝1(m>0)的渐近线为
y＝±x，即x±y＝0，
又双曲线的一条渐近线为x＋my＝0，
即x＋y＝0，
对比两式可得，m＝3.
设双曲线的实半轴长为a，虚半轴长为b，半焦距为c，则有a2＝m＝3，b2＝1，
所以双曲线的焦距2c＝2＝4.
5.(易错题)坐标原点为对称中心，两坐标轴为对称轴的双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则双曲线的离心率为________.
答案　2或
解析　当双曲线的焦点在x轴上时，
＝tan ＝，
即b＝a，c2＝a2＋3a2＝4a2，c＝2a，
此时e＝＝2；
当双曲线的焦点在y轴上时，＝tan ＝，
即b＝a，c2＝a2＋a2＝a2，c＝a，
此时e＝＝.
∴双曲线C的离心率2或.
6.(2020·全国Ⅰ卷改编)设F1，F2是双曲线C：x2－＝1的两个焦点，O为坐标原点，点P在C上且|OP|＝2，则△PF1F2的面积为________.
答案　3
解析　法一　由题知a＝1，b＝，c＝2，F1(－2，0)，F2(2，0)，

如图，因为|OF1|＝|OF2|＝|OP|＝2，所以点P在以F1F2为直径的圆上，故PF1⊥PF2，则|PF1|2＋|PF2|2＝(2c)2＝16.
由双曲线的定义知||PF1|－|PF2||＝2a＝2，
所以|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|＝4，
所以|PF1||PF2|＝6，
所以△PF1F2的面积为|PF1||PF2|＝3.
法二　由双曲线的方程可知，双曲线的焦点F1，F2在x轴上，
且|F1F2|＝2＝4.
设点P的坐标为(x0，y0)，
则解得|y0|＝.
所以△PF1F2的面积为|F1F2|·|y0|＝×4×＝3.

考点一　双曲线的标准方程
1.(2021·贵阳调研)已知双曲线的渐近线为y＝±x，实轴长为4，则该双曲线的方程为(　　)
A.－＝1
B.－＝1或－＝1
C.－＝1
D.－＝1或－＝1
答案　D
解析　设双曲线方程为－＝1(m≠0)，
又2a＝4，∴a2＝4，
当m>0，2m＝4，m＝2；
当m0，b>0)的焦点F(c，0)到渐近线的距离为c，且点(2，)在双曲线上，则双曲线的方程为(　　)
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
答案　D
解析　双曲线－＝1的焦点F(c，0)到渐近线bx±ay＝0的距离为＝c，解得b＝c，所以b2＝c2，
又c2＝a2＋b2，所以b2＝3a2，
因为点(2，)在双曲线上，所以－＝1，
联立解得a2＝3，b2＝9，
所以双曲线的方程为－＝1.故选D.
3.经过点P(3，2)，Q(－6，7)的双曲线的标准方程为________.
答案　－＝1
解析　设双曲线方程为mx2＋ny2＝1(mn0)，再根据条件求解.
2.与双曲线－＝1有相同渐近线时可设所求双曲线方程为－＝λ(λ≠0).
考点二　双曲线的定义及应用
例1 (1)已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为(　　)
A.x2－＝1
B.－y2＝1
C.x2－＝1(x≤－1)
D.x2－＝1(x≥1)
(2)(2022·豫南九校联考)若双曲线mx2－4y2＝4的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线交双曲线的左支于A，B两点，若△AF2B的周长是18，|AB|＝5，则实数m＝(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
(3)已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则△F1PF2的面积为________.
(4)已知F是双曲线－＝1的左焦点，A(1，4)，P是双曲线右支上的一动点，则|PF|＋|PA|的最小值为________.
答案　(1)C　(2)A　(3)2　(4)9
解析　(1)如图所示，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于A和B.

根据两圆外切的条件，
得|MC1|－|AC1|＝|MA|，
|MC2|－|BC2|＝|MB|，
因为|MA|＝|MB|，
所以|MC1|－|AC1|＝|MC2|－|BC2|，
即|MC2|－|MC1|＝|BC2|－|AC1|＝2，
所以点M到两定点C1，C2的距离的差是常数且小于|C1C2|＝6.
又根据双曲线的定义，得动点M的轨迹为双曲线的左支(点M与C2的距离大，与C1的距离小)，
其中a＝1，c＝3，则b2＝8.
故点M的轨迹方程为x2－＝1(x≤－1).故选C.
(2)由题意知双曲线的标准方程是－y2＝1，
由双曲线的定义，得

所以|AF2|＋|BF2|＝＋|AF1|＋|BF1|
＝＋|AB|＝＋5.
所以△AF2B的周长为|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝＋5＋5＝18，
解得m＝1，故选A.
(3)不妨设点P在双曲线的右支上，
则|PF1|－|PF2|＝2a＝2，
在△F1PF2中，由余弦定理，得
cos∠F1PF2＝＝，
∴|PF1|·|PF2|＝8，
∴S△F1PF2＝|PF1|·|PF2|·sin 60°＝2.
(4)因为F是双曲线－＝1的左焦点，
所以F(－4，0)，
设其右焦点为H(4，0)，
则由双曲线的定义可得|PF|＋|PA|＝2a＋|PH|＋|PA|≥2a＋|AH|＝4＋＝4＋5＝9(当A，P，H三点共线时取等号).
感悟提升　1.利用双曲线的定义判定平面内动点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出曲线方程；
2.在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方的方法，建立与|PF1|·|PF2|的联系.
训练1 (2021·合肥质检)－＝4表示的曲线方程为(　　)
A.－＝1(x≤－2)
B.－＝1(x≥2)
C.－＝1(y≤－2)
D.－＝1(y≥2)
答案　C
解析　的几何意义为点M(x，y)到点F1(0，3)的距离，
的几何意义为点M(x，y)到点F2(0，－3)的距离，
则－＝4表示点M(x，y)到点F1(0，3)的距离与到点F2(0，－3)的距离的差为4，且40，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P为双曲线C上的一点，若线段PF1与y轴的交点M恰好是线段PF1的中点，·＝b2，其中O为坐标原点，则双曲线的渐近线方程为(　　)
A.y＝±x B.y＝±x
C.y＝±x D.y＝±2x
答案　B
解析　设双曲线C的半焦距为c，
则点F1(－c，0)，
由题意知PF2⊥x轴，所以点P的横坐标为c，
由双曲线的对称性不妨设点P(c，y0)(y0>0)，
所以－＝1，解得y0＝，
所以点P，
所以点M的坐标为，
所以＝，＝，
故·＝·
＝＝b2，
所以a＝b.
所以双曲线C的渐近线方程为y＝±x.故选B.
感悟提升　双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线是由－＝0，即得两渐近线方程±＝0.
角度2　求双曲线的离心率
例3 (1)(2021·全国甲卷)已知F1，F2是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且∠F1PF2＝60°，|PF1|＝3|PF2|，则C的离心率为(　　)
A. B. C. D.
(2)已知F为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点，A为C的右顶点，B为C上的点，且BF垂直于x轴.若AB的斜率为3，则C的离心率为________.
答案　(1)A　(2)2
解析　(1)设|PF2|＝m，|PF1|＝3m，则
|F1F2|＝＝m，所以C的离心率e＝＝＝＝＝.
(2)点B为双曲线的通径位于第一象限的端点，其坐标为，点A的坐标为(a，0)，
∵AB的斜率为3，∴＝3，
即＝＝e＋1＝3，∴e＝2.
感悟提升　求双曲线离心率或其取值范围的方法
(1)求a，b，c的值，由＝＝1＋直接求e.
(2)列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2＝c2－a2消去b，然后转化成关于e的方程(或不等式)求解.
角度3　双曲线几何性质的综合应用
例4 (1)(2022·南充诊断)双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率e＝，右焦点为F，点A是双曲线C的一条渐近线上位于第一象限内的点，∠AOF＝∠OAF，△AOF的面积为3，则双曲线C的方程为________________.
(2)(2021·合肥检测)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点为F1，F2，在双曲线上存在点P满足2|＋|≤||，则此双曲线的离心率e的取值范围是________.
答案　(1)－＝1　(2)[2，＋∞)
解析　(1)法一　由题意知点A所在渐近线方程为bx－ay＝0，
设该渐近线的倾斜角为θ，则tan θ＝，
∵∠AOF＝∠OAF，
∴直线AF的倾斜角为2θ，
则tan 2θ＝＝，
由得
即A，
则△AOF的面积S＝c·＝ab＝3.
又知双曲线的离心率e＝，
所以e2＝1＋＝，即＝，
解得a＝3，b＝，
所以双曲线C的方程为－＝1.
法二　因为∠AOF＝∠OAF，
所以△OAF为等腰三角形，
过F作FB⊥OA，则焦点到渐近线的距离为|BF|＝b，
则|OB|＝＝a，则|OA|＝2|OB|＝2a，
则△OAF的面积为S＝×2a×b＝ab＝3.
又知双曲线的离心率为，
所以e2＝1＋＝，即＝，
解得a＝3，b＝，
所以双曲线C的方程为－＝1.
(2)当P不是双曲线与x轴的交点时，连接OP，
因为OP为△PF1F2的边F1F2上的中线，
所以＝(＋)；
当P是双曲线与x轴的交点时，同样满足上述等式.
因为双曲线上存在点P满足2|＋|≤||，
所以4||≤2c，由||≥a，可知4a≤2c，则e≥2.
感悟提升　1.双曲线几何性质的综合应用涉及知识较宽，如双曲线定义、标准方程、对称性、渐近线、离心率等多方面的知识，在解决此类问题时要注意与平面几何知识的联系.
2.与双曲线有关的取值范围问题的解题思路
(1)若条件中存在不等关系，则借助此关系直接变换转化求解.
(2)若条件中没有不等关系，要善于发现隐含的不等关系或借助曲线中不等关系来解决.
训练2 (1)(2021·西安模拟)已知双曲线C的方程为－＝1，则下列说法不正确的是(　　)
A.双曲线C的实轴长为8
B.双曲线C的离心率为
C.双曲线C的渐近线方程为y＝±x
D.双曲线C的焦点到渐近线的距离为4
(2)(2022·广西桂林重点中学开学检测)圆C：x2＋y2－10y＋16＝0上有且仅有两个点到双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线的距离为1，则该双曲线离心率的取值范围为(　　)
A. B.
C. D.
答案　(1)D　(2)A
解析　(1)因为双曲线C：－＝1，所以a＝4，b＝3，c＝＝5，所以2a＝8，所以A正确；
e＝＝，所以B正确；
渐近线方程为y＝±x，所以C正确；
由对称性，不妨取焦点(0，5)，渐近线y＝x，则焦点到渐近线的距离d＝＝3，所以D不正确.故选D.
(2)双曲线－＝1的一条渐近线方程为bx－ay＝0，圆C：x2＋y2－10y＋16＝0的圆心C(0，5)，半径r＝3，
因为圆C上有且仅有两个点到直线bx－ay＝0的距离为1，
所以圆心(0，5)到直线bx－ay＝0的距离d的范围为2