2023-2024学年湖南省长沙实验中学教育集团九年级（上）第一次月考数学试卷（含解析）

2023-2024学年湖南省长沙实验中学教育集团九年级（上）第一次月考数学试卷

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.下列几何图形中，是中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.抛物线的顶点坐标是(    )

A.  B.  C.  D.

3.将抛物线向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，所得抛物线的解析式是(    )

A.  B.  C.  D.

4.如图，四边形内接于，，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

5.如图，，是的两条半径，点在上，若，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

6.如图，是的直径，点在上，若，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

7.如图，将木条，与钉在一起，，，要使木条与平行，木条旋转的度数至少是(    )

 

A.  B.  C.  D.

8.已知二次函数的图象如图所示，则下列结论正确的是(    )

A.
B.
C.
D.

9.已知函数的图象如图，那么关于的方程的根的情况是(    )

 

A. 无实数根 B. 有两个相等实数根
C. 有两个同号不等实数根 D. 有两个异号实数根

10.设，，是抛物线上的三点，则，，的大小关系为(    )

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11.二次函数的最小值为______ ．

12.关于原点对称的点的坐标是______ ．

13.抛物线与轴的交点个数是______ 个

14.已知弦把圆周分成：的两部分，则弦所对的圆心角的度数为______．

15.如图，以点为旋转中心，旋转后得到，已知，，，则 ______ ．

16.如图，在中，弦的长为，圆心到弦的距离为，则的度数为______ ．

三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.本小题分
已知二次函数的图象顶点是，且经过，求这个二次函数的表达式．

18.本小题分
已知二次函数的图象经过点、和求此二次函数的解析式．

19.本小题分
在平面直角坐标系中的位置如图所示，，，的坐标分别是，，．
作关于原点对称的，并写出点的坐标；
求的面积．

20.本小题分
已知二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点，求：
点、、的坐标；
的面积．

21.本小题分
如图，四边形内接于，为的直径，．
试判断的形状，并给出证明；
若，，求的长度．
 

22.本小题分

如图，是的直径，弦于点，点在上，恰好过圆心，连接．
若，，求的半径．
若，求的度数．

23.本小题分
长沙市政府出台了一系列“乡村振兴战略”优惠政策，使广大农户收入大幅度增加某农户生产经销一种农产品，已知这种农产品的成本价为每千克元，经市场调查发现，该农产品每天的销售量千克与销售价元千克有如下关系：设这种农产品每天的销售利润为元．
求与之间的函数关系式；
若物价部门规定这种农产品的销售价不得高于元千克，该农户想要每天获得元的销售利润，则销售价应定为多少元千克？

24.本小题分
在平面直角坐标系中，我们将形如，这样，纵坐标与横坐标互为相反数的点称之为“互补点”．
直线上的“互补点”的坐标为______ ；
直线上是否有“互补点”，若有，请求出点的坐标，若没有请说明理由；
若函数的图象上存在唯一的一个“互补点”，且当时，的最小值为，求的值．

25.本小题分

如图，为已知抛物线经过，两点，与轴的另一个交点为，顶点为，连结．
求该抛物线的表达式；
点为该抛物线上一动点与点、不重合，设点的横坐标为．
当时，求的值；
该抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出所有点的坐标；若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B.不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C.是中心对称图形，故本选项符合题意；
D.不是中心对称图形，故本选项不合题意；
故选：．
根据中心对称图形的概念求解．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图重合．

2.【答案】 

【解析】解：抛物线的顶点坐标是，
故选：．
直接根据二次函数的顶点坐标式进行解答即可．
本题考查的是二次函数的性质，熟知二次函数的顶点式是解答此题的关键．

3.【答案】 

【解析】解：将抛物线向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度所得的抛物线解析式为．
故选：．
根据“左加右减，上加下减”的法则进行解答即可．
本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知二次函数图象平移的法则是解答此题的关键．

4.【答案】 

【解析】解：四边形内接于，，
，
故选：．
根据圆内接四边形的性质即可得到结论．
本题考查了圆内接四边形的性质，熟练掌握圆内接四边形的性质是解题的关键．

5.【答案】 

【解析】解：，，
．
故选：．
根据圆周角定理，即可求解．
本题考查了圆周角定理，即同弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半，熟记该定理是解题的关键．

6.【答案】 

【解析】解：是的直径，
，
，
．
故选C．
由是的直径，根据直径所对的圆周角是直角，即可求得，又由直角三角形中两锐角互余，即可求得答案．
本题考查了圆周角定理与直角三角形的性质．

7.【答案】 

【解析】【分析】
根据同位角相等两直线平行，求出旋转后的同位角的度数，然后用减去即可得到木条旋转的度数．
本题考查了旋转的性质，平行线的判定，根据同位角相等两直线平行求出旋转后的同位角的度数是解题的关键．
【解答】
解：如图：

时，，
要使木条与平行，木条旋转的度数至少是．
故选：．

8.【答案】 

【解析】解：抛物线与轴的交点在轴正半轴，
，
故A错误；
，
，
抛物线开口向下，
，
，
故B错误；
由图象可知，当时，，
故C错误；
抛物线与轴有两个交点，
，
故D正确．
故选：．
利用抛物线开口方向得，利用对称轴方程得，利用抛物线与轴的交点位置得，利用抛物线与轴的交点可以得再根据当时，等可以判断出答案．
本题考查了二次函数图象与系数的关系以及二次函数图象上点的坐标特征，观察函数图象，逐一分析四个选项的正误是解题的关键．

9.【答案】 

【解析】解：的图象与轴有两个交点，顶点坐标的纵坐标是，
方程，
时，即是求的值，
由图象可知：有两个同号不等实数根．
故选：．
根据抛物线的顶点坐标的纵坐标为，判断方程的根的情况即是判断时的值．
此题主要考查了方程的根的情况，先看函数的图象的顶点坐标纵坐标，再通过图象可得到答案．

10.【答案】 

【解析】解：
，，是抛物线上的三点，
，，，
，
故选：．
把点的坐标分别代入可求得，，的值，比较大小可求得答案．
本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，掌握函数图象上点的坐标满足函数解析式是解题的关键．

11.【答案】 

【解析】解：由二次函数的解析式为得，
其图象是一条开口向上的抛物线，
对称轴为直线，且顶点坐标为．
所以当时，函数有最小值，且最小值为．
故答案为：．
根据所给二次函数表达式的特征即可解决问题．
本题考查二次函数的最值，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．

12.【答案】 

【解析】【分析】
平面直角坐标系中任意一点，关于原点的对称点是，即：关于原点对称的点横、纵坐标都互为相反数．据此解答即可．
【解答】
解：关于原点对称的点横、纵坐标都互为相反数，
关于原点对称的点的坐标为．
故答案为．
【点评】
本题考查关于原点对称的点的坐标特征，掌握关于原点对称的点的坐标特征是解题关键．

13.【答案】 

【解析】解：，
无实数解，
抛物线与轴没有交点，
故答案为：．
根据一元二次方程与二次函数的关系求解．
本题考查了抛物线与轴的交点，掌握一元二次方程与二次函数的关系是解题的关键．

14.【答案】 

【解析】解：弦把圆周分成：的两部分，
弦所对的圆心角的度数．
故答案为．
由于弦把圆周分成：的两部分，根据圆心角、弧、弦的关系得到弦所对的圆心角为周角的．
本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．

15.【答案】 

【解析】解：以点为旋转中心，旋转后得到，
；
故答案为：．
根据旋转的性质，对应边相等，即可得解．
本题考查旋转的性质，解题的关键是找准对应边．

16.【答案】 

【解析】解：，
，
，
为等腰直角三角形，
，
故答案为：．
利用垂径定理可得，由可得为等腰直角三角形，易得结果．
本题主要考查了垂径定理和等腰直角三角形的性质，熟练掌握垂径定理是解答此题的关键．

17.【答案】解：把顶点代入得：，
把代入得：，
解得：，
则二次函数的表达式为，即． 

【解析】根据二次函数顶点坐标设出顶点式，把已知点坐标代入计算即可求出解析式．
此题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，以及二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．

18.【答案】解：二次函数的图象经过点和．
设抛物线解析式为：，
在抛物线上，
，即，
二次函数解析式为：，
即． 

【解析】根据题意可设交点式为，将点代入解出值即可．
本题考查了待定系数法求二次函数解析式，根据条件选择恰当的解析式是解答本题的关键．

19.【答案】解：如图，即为所求；
点的坐标为；

的面积． 

【解析】根据网格结构找出点、、关于原点对称的对应点、、的位置，然后顺次连接即可；
利用割补法即可求的面积．
本题考查了作图旋转变换，三角形的面积，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．

20.【答案】解：令，则，
，
令，则，
解得：，，
；；
，，，
，，
． 

【解析】根据题意得出求出图象与轴以及轴交点坐标；
根据，，的坐标求出，长，即可求出的值．
本题主要考查了求二次函数与坐标轴的交点坐标，三角形面积的计算，熟练进行计算是解题的关键．

21.【答案】解：是等腰直角三角形，证明过程如下：
为的直径，
，
，
，
，
又，
是等腰直角三角形．
在中，，
，
在中，，，
．
即的长为：． 

【解析】根据圆周角定理，等腰直角三角形的判定定理解答即可；
根据勾股定理解答即可．
本题主要考查了圆周角定理，等腰直角三角形，勾股定理，熟练掌握相关性质定理是解答本题的关键．

22.【答案】解：设．
，是直径，
，
在中，，
，
，
的半径为；

，
，
，，
，
，
． 

【解析】设利用勾股定理构建方程求解；
证明，可得结论．
本题考查圆周角定理，垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．

23.【答案】解：根据题意得：，
；
根据题意得：，
整理得：，
解得：，不符合题意，舍去．
答：销售价应定为元千克． 

【解析】利用这种农产品每天的销售利润每千克的销售利润每天的销售量，即可找出与之间的函数关系式；
根据该农户每天获得元的销售利润，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用以及二次函数的应用，解题的关键是：找准等量关系，找出关于的函数关系式；找准等量关系，正确列出一元二次方程．

24.【答案】 

【解析】解：设直线上的“互补点”的坐标为，
，解得，
直线上的“互补点”的坐标为，
故答案为：；
假设直线上存在“互补点”，
则由题意得：，
解得：，
时，无意义，不存在互补点，
直线上有“互补点”，点的坐标为；
设“互补点”的坐标为，
由题意可知，方程有唯一解，
整理得：，且．
即，
整理得：．
当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大；当时，取得最小函数值．
当时，此时当时，取得最小值，
由题意得，解得；
当时，此时当时，取得最小值，
由题意得，
整理得：，显然无解；
当时，此时当时，取得最小值，
由题意得，
整理得：，
解得，．
，
．
综上所述，的值为或．
根据“互补点”的定义即可求解；
假设直线上存在“互补点”，由题意可列出关于的方程，解这个方程即可；
根据题意列出关于的一元二次方程有唯一解，利用根的判别式可得关于的二次函数，将此函数化为顶点式再由二次函数的增减性进行分类讨论即可求解．
此题是二次函数综合题，主要考查了新定义、解方程、一元二次方程根的判别式、一元二次方程的根与系数的关系以及二次函数的增减性，对“互补点”的理解以及分类讨论的运用是解决本题的关键．

25.【答案】解：将点、坐标代入二次函数表达式得：，
解得：，
故抛物线的表达式为：，
令，则或，
即点；
如图，过点作轴的平行线交于点，

将点、的坐标代入一次函数表达式并解得：
直线的表达式为：，
设点，则点，
，
或，
解得或或或；
设直线与交于点，

当点在直线下方时，
，
点在的中垂线上，
线段的中点坐标为，
过该点与垂直的直线的值为，
设中垂线的表达式为：，将点代入上式并解得：直线中垂线的表达式为：，
同理直线的表达式为：，
联立并解得：，即点，
同理可得直线的表达式为：，
联立并解得：或舍去，
故点；
当点在直线上方时，
，
，
则直线的表达式为：，将点坐标代入上式并解得：，
即直线的表达式为：，
联立并解得：或舍去，
故点；
故点的坐标为或． 

【解析】将点、坐标代入二次函数表达式，即可求解；
，即可求解；分点在直线下方、上方两种情况，分别求解即可．
本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、等腰三角形性质、图形的面积计算等，其中，要注意分类求解，避免遗漏．