2023-2024学年江苏省无锡市惠山区锡山高级中学实验学校八年级（上）第一次月考数学试卷（含解析）

2023-2024学年江苏省无锡市惠山区锡山高级中学实验学校八年级（上）第一次月考数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.下列图形，其中是轴对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.下列说法正确的是(    )

A. 面积相等的两个图形是全等图形 B. 全等三角形的周长相等
C. 所有正方形都是全等图形 D. 全等三角形的边相等

3.等腰三角形的两边长分别为和，则该三角形的周长是(    )

A.  B.  C. 或 D.

4.到三角形三个顶点的距离相等的点是(    )

A. 三条角平分线的交点 B. 三条中线的交点
C. 三条高所在直线的交点 D. 三边的垂直平分线的交点

5.如图是由相同的小正方形组成的网格，点、、均在格点上，连接，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

6.如图，平分，于，在上，，则的大小关系是(    )

A.  B.  C.  D. 不能确定

7.如图所示，平分，，，垂足分别为、，下列结论不一定成立的是(    )

A.
B.
C. 平分
D. 垂直平分

8.如图所示，把长方形沿对折，若，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

9.如图，在中，，，，的垂直平分线交于点，交于点，的垂直平分线交于点，交于点，则的长为(    )
 

A.  B.  C.  D.

10.已知如图等腰，，，于点，点是延长线上一点，点是线段上一点，，下面的结论：；；是等边三角形；其中正确的是(    )

 

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）

11.一个三角形的三边为、、，另一个三角形的三边为、、，若这两个三角形全等，则______．

12.如图，中，，是的中点，，则______．

13.给图中的个白色小方格涂上颜色，使涂色部分成为一个轴对称图形，共有______种涂法．

14.如图，已知是等边三角形，是中线，在上，，则 ______ ．

 

15.如图，，且，，且，请按照图中所标注的数据计算的长为______ ．

16.如图，，若和分别垂直平分和，则的度数是______．

17.如图，在中，与的平分线交于点过点作，分别交、于、，若，，则的周长是______ ．

18.如图，的平分线与的垂直平分线相交于点，，延长线，垂足分别为、，，，则______．

 

三、解答题（本大题共9小题，共76.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19.本小题分
如图，在正方形网格上有一个作关于直线的对称图形不写作法．
若网格上的最小正方形的边长为，则的面积 ______ ．
在直线找一点，使最短．

20.本小题分

如图，校园有两条路和，在交叉口附近有两块宣传牌、，学校准备在这里安装一盏路灯，要求灯柱的位置离两块宣传牌一样远，并且到两条路的距离也一样远，请你帮助画出灯柱的位置保留作图痕迹．

21.本小题分

如图，，，，求证：．

22.本小题分

如图，是中的角平分线，于点，，，，求长．

23.本小题分

如图，在中，，为的角平分线以点圆心，长为半径画弧，与，分别交于点，，连接，．
求证：≌；
若，，求的面积．

24.本小题分

如图，在中，，，
若，，则 ______ ．
若，求的度数．

25.本小题分

已知，如图，，，分别是，的中点．
求证：；．

26.本小题分

我们规定：有两组边相等，且它们所夹的角互补的两个三角形叫兄弟三角形．如图，，，，回答下列问题：
求证：和是兄弟三角形．
“取的中点，连接，试说明”聪明的小王同学根据所要求的结论，想起了老师上课讲的“中线倍长”的辅助线构造方法，解决了这个问题，按照这个思路回答下列问题．
请在图中通过作辅助线构造≌，并证明；
求证：．

27.本小题分
如图，在四边形中，，，分别是，上的点，且探究图中，，之间的数量关系小王同学探究此问题的方法：延长到点，使连接先证明≌，再证≌，可得出结论，他的结论应是______ ．

如图，在四边形中，，，分别是，上的点，且，上述结论是否仍然成立？请说明理由．
如图，在四边形中，，若点在的延长线上，点在的延长线上，仍然满足，请写出与的数量关系．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】【分析】
此题考查轴对称图形问题，掌握轴对称图形的概念．
轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
【解答】
解：、不是轴对称图形，故错误；
B、不是轴对称图形，故错误；
C、是轴对称图形，故正确；
D、不是轴对称图形，故错误．
故选：．

2.【答案】 

【解析】解：、面积相等，但图形不一定能完全重合，错不符合题意；
B、全等三角形的周长相等，正确符合题意；
C、正方形的面积不相等，也不是全等形，错不符合题意；
D、全等三角形的对应边相等，错不符合题意．
故选：．
全等图形指的是完全重合的图形，包括边长、角度、面积、周长等，但面积、周长相等的图形不一定全等，要具体进行验证分析．
本题考查了全等形的概念，正确掌握全等图形的性质是解题关键．

3.【答案】 

【解析】解：若为腰，则三角形三边为：，，，
，
，，不能构成三角形，
故舍去，
若为腰，则三角形三边为：，，，

，，能构成三角形，
三角形的周长为：，
故选：．
分两种情况讨论，由等腰三角形的性质和三角形三边关系可求解．
本题考查等腰三角形的性质，三角形三边关系，利用分类讨论思想解决问题是本题关键．

4.【答案】 

【解析】解：线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等
到三角形三个顶点的距离相等的点是三角形三边垂直平分线的交点．
故选：．
根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等解答．
本题考查的是线段垂直平分线的性质、角平分线的定义，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．

5.【答案】 

【解析】解：根据题意得：≌，
，
，
，
故选：．
得到≌，利用全等三角形的对应角相等得到答案即可．
本题考查了全等图形的知识，解题的关键是根据题意得到全等的三角形，难度不大．

6.【答案】 

【解析】解：如图，过点作于，
平分，，
，
在上，
，
．
故选A．
过点作于，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，再根据垂线段最短解答．
本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，垂线段最短的性质，熟记性质是解题的关键，作出辅助线更形象直观．

7.【答案】 

【解析】解：平分，，，
，故A正确；
，
，，
，
，故B正确；
平分；故C正确；
，，
点在的垂直平分线上，点在的垂直平分线上，
垂直平分，故D错误．
故选：．
由平分，，，根据角平分线的性质，可证得，又由等腰三角形的判定，可证得，即可判定平分，根据线段垂直平分线的判定，可得垂直平分．
此题考查了线段垂直平分线的性质以及角平分线的性质．注意掌握线段垂直平分线的判定的应用是关键．

8.【答案】 

【解析】解：设的对应点为点，如图，

根据折叠的性质有：，即，
，
，
四边形是长方形，
，
，
．
故选：．
设的对应点为点，根据折叠的性质及可求出的度数，再由平行线的性质即可得到的度数．
本题考查的是平行线的性质及图形翻折变换的性质，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等，熟练掌握知识点是解题的关键．

9.【答案】 

【解析】【分析】
本题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质；正确作出辅助线是解答本题的关键。此类题要通过作辅助线来联系各角之间的关系，证明为等边三角形即可。
连接，，由垂直平分线的性质得到，，再通过等腰三角形的性质得到，进而得到是等边三角形，再通过线段间的关系转化，得到，即可解答。
【解答】
解：连接，，

的垂直平分线交于，交于，的垂直平分线交于，交于，
，．
，
，


，，

是等边三角形，

，




故选C。

10.【答案】 

【解析】解：如图，连接，
，，
，，
，
，
，
，，
；
故正确；
由知：，，
点是线段上一点，
与不一定相等，则与不一定相等，
故不正确；
，
，
，
，
，
，
是等边三角形；
故正确；
如图，在上截取，连接，
，
是等边三角形，
，，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
；
故正确；
本题正确的结论有：
故选：．
利用等边对等角，即可证得：，，则，据此即可求解；
因为点是线段上一点，所以不一定是的角平分线，可作判断；
证明且，即可证得是等边三角形；
首先证明≌，则，．
本题主要考查了等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解决问题的关键．

11.【答案】 

【解析】解：两个三角形全等，
，，
，
故答案为：．
根据全等三角形的对应边相等分别求出、，计算即可．
本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键．

12.【答案】 

【解析】解：在中，，是的中点，
线段是斜边上的中线；
又，
．
故答案是：．
根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答．
本题考查了直角三角形斜边上的中线．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．

13.【答案】 

【解析】解：如图所示，共有种涂法．

故答案为：．
依据轴对称图形的概念，给图中的个白色小方格涂上颜色，使涂色部分成为一个轴对称图形即可．
本题主要考查了利用轴对称设计图案，关键是要熟悉轴对称的性质，利用轴对称的作图方法来作图，通过变换对称轴来得到不同的图案．

14.【答案】 

【解析】解：是等边的中线，
，，
，
，
，
．
故答案为：．
由是等边的中线，根据等边三角形中：三线合一的性质，即可求得，，又由，根据等边对等角与三角形内角和定理，即可求得的度数，继而求得答案．
此题考查了等边三角形的性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理．此题难度不大，解题的关键是注意数形结合思想的应用．

15.【答案】 

【解析】解：，，，
，
，，
，
在和中，
，
≌，
，．
同理≌，
，．
，
故答案为：．
证≌，得，同理≌，得，即可解决问题．
本题考查的是全等三角形的判定与性质以及直角三角形的性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．

16.【答案】 

【解析】解：，
，
和分别垂直平分和，
，，
，，
，
，
故答案为：．
根据三角形内角和定理求出的度数，根据线段的垂直平分线的性质得到，，得到，，结合图形计算即可．
本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．

17.【答案】 

【解析】解：平分，
，
，
，
，
，
同理，
的周长．
故答案为：．
先根据角平分线的定义及平行线的性质证明和是等腰三角形，再由等腰三角形的性质得，，则的周长，从而得出答案．
本题考查等腰三角形的性质，平行线的性质及角平分线的性质．有效的进行线段的等量代换是正确解答本题的关键．

18.【答案】 

【解析】【分析】
此题考查了线段垂直平分线的性质、角平分线的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法、数形结合思想的应用．
连接，，根据角平分线的性质与线段垂直平分线的性质，易得，，证明≌，可得；证明≌，可得，进而可得，即可求得答案．
【解答】
解：连接，，

是的平分线，，，
，，
又，
≌，
，
是的垂直平分线，
，
在和中，

≌，
，
，
，，
．
故答案为．

19.【答案】 

【解析】解：分别作、、关于的对称点，，，顺次连接，如图即为所求作；
此三角形面积为：；
故答案为：；
如图：点即为所求作．
分别作、、关于的对称点，顺次连接即可；
可在所在的的网格中求面积；
直接利用轴对称求最短路线的方法得出答案．
此题考查轴对称图形的作法、动手操作、面积的计算，对综合能力考查比较到位，学生需要学会触类旁通，举一反三．

20.【答案】解：如图，连接，作的垂直平分线，和的角平分线，两线交于，点为所求灯柱的位置．
 

【解析】分别作线段的垂直平分线和的角平分线，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等，线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，可知它们的交点即为点．
本题考查了作图应用与设计作图，熟知角平分线的性质与线段垂直平分线的性质是解题的关键．角平分线上的点到角的两边的距离相等，线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等．

21.【答案】证明：，
，
，
在与中，
，
≌，
，
． 

【解析】证明≌，由全等三角形的性质得出，由平行线的判定可得出结论．
本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的判定，证明≌是解题的关键．

22.【答案】解：
过作于，
是中的角平分线，于点，，
，
，
，
，
，
解得：． 

【解析】过作于，根据角平分线性质求出，根据和三角形面积公式求出即可．
本题考查了角的平分线性质，三角形面积公式的应用，能正确作出辅助线是解此题的关键，注意：角平分线上的点到角两边的距离相等．

23.【答案】证明：是的角平分线，
．
由作图知：．
在和中，
，
≌；
解：，为的角平分线，
，，
，
，
． 

【解析】由角平分线定义得出由作图知：由可证明≌；
利用三角形面积公式求解．
本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．

24.【答案】 

【解析】解：，，
．
，，
．
．
故答案为：．
设，，
，
，
．
根据等三角形的性质和三角形内角和定理，分别计算出和，再由三角形内角和定理进行求解即可；
设，，得，再根据三角形内角和定理得到与的数量关系，从而求得的度数．
本题考查等腰三角形的性质，灵活运用它是正确解答本题的关键．

25.【答案】证明：如图，连接、，
，是的中点，
，
；

在中，
点是的中点，，
． 

【解析】连接、，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得；
根据等腰三角形三线合一的性质证明即可．
本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形三线合一的性质，熟记性质并连接辅助线是解题的关键．

26.【答案】证明：，
，
又，，
和是兄弟三角形；
证明：延长至，使，

为的中点，
，
又，，
≌，
；
证明：≌，
，
，
，
又，
，
，，
，
又，
≌，
，
又，
． 

【解析】证出，由兄弟三角形的定义可得出结论；
延长至，使，证明≌，由全等三角形的性质得出；
证明≌，由全等三角形的性质得出，则可得出结论．
本题是三角形综合题，考查了新定义兄弟三角形，全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解题的关键．

27.【答案】 

【解析】解：结论：．
理由：如图，延长到点，使，连接，

在和中，
，
≌，
，，
，
，
在和中，
，
≌，
．
故答案为：；

仍成立，理由：
如图，延长到点，使，连接，

，，
，
在和中，
，
≌，
，，
在和中，
，
≌，
；

结论：．
理由：如图，在延长线上取一点，使得，连接，

，，
，
在和中，
，
≌，
，，
在和中，
，
≌，
，
，
，
，
即，
．
延长到点，使，连接，可判定≌，进而得出，，再判定≌，可得出，据此得出结论；
延长到点，使，连接，先判定≌，进而得出，，再判定≌，可得出；
在延长线上取一点，使得，连接，先判定≌，再判定≌，得出，最后根据，推导得到，即可得出结论．
本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定以及全等三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应角相等进行推导变形．解题时注意：同角的补角相等．