高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册8.1 成对数据的相关关系精练

A级　基础巩固

1.在一组样本数据为(x1, y1), (x2, y2),…,(xn, yn)(n≥2)的散点图中,若所有样本点(xi, yi)(i=1,2,…,n)都在直线y=-x+2上,则这组数据的样本相关系数为(　　)

A.-　　　　　　　　

B.

C.1 

D.-1

解析:因为所有样本点均在直线y=-x+2上,y随着 x的增大而减小,所以这两个变量是负相关,即这组样本数据的样本相关系数为负值.因为所有样本点(xi,yi)(i=1,2,…,n)都在一条直线上,所以|r|=1,故样本相关系数r=-1.故选D.

答案:D

2.(2023·天津卷)调查某种群花萼长度和花瓣长度,所得数据如图所示,其中相关系数r=0.824 5,下列说法正确的是              (　　)

A.花瓣长度和花萼长度没有相关性

B.花瓣长度和花萼长度呈现负相关

C.花瓣长度和花萼长度呈现正相关

D.若从样本中抽取一部分,则这部分的相关系数一定是0.824 5

解析:根据散点的集中程度可知,花瓣长度和花萼长度有相关性,A选项错误;散点的分布是从左下到右上,可知花瓣长度和花萼长度呈现正相关性,B选项错误,C选项正确;由于r=0.824 5是全部数据的相关系数,取出来一部分数据,相关性可能变强,也可能变弱,即取出的数据的相关系数不一定是0.824 5,D选项错误.

答案:C

3.某10个工业企业生产性固定资产价值x(单位:百万元)与工业增加值y(单位:百万元)资料如下表:

根据上表资料计算得样本相关系数r≈0.991 8,则固定资产价值与工业增加值之间的线性相关程度较强(填“较强”或“较弱”).

解析:由于样本相关系数r≈0.991 8接近于1,故固定资产价值与工业增加值之间的线性相关程度较强.

B级　能力提升

4.已知两个变量的样本数据如下表,则这两个变量线性相关程度              (　　)

A.较强 

B.较弱 

C.不相关 

D.不确定

解析:由题意,得=1 375,xiyi=8 285,

=59 051,=15,=108.6.

所以r=

=

≈0.982 6.

故两个变量间的线性相关程度较强.

答案:A

5.已知变量x, y的散点图如图所示,现用两种方案对这两个变量进行线性相关分析.方案一:根据图中所有数据,得到样本相关系数为r1;方案二:剔除点(10, 21),根据剩下的点对应的数据得到样本相关系数为r2,则              (　　)

A.0<r1<r2<1 

B.0<r2<r1<1

C.-1<r1<r2<0 

D.-1<r2 <r1<0

解析:由散点图得变量x与y呈现负相关,所以r1<0, r2<0.因为剔除点(10, 21)后,剩下的点对应的数据具有更强的线性相关性,|r2|更接近1,所以-1< r2 <r1<0.故选D.

答案:D

6.已知变量x与y的样本相关系数为0.857,若设 y1=100y,x1=

1 000x,则y1与x1的样本相关系数为0.857.

解析:当新变量是原变量的正比例函数(系数大于0)时,样本相关系数不变.

C级　挑战创新

7.多空题在钢铁碳含量对于电阻的效应研究中,得到如下数据表:

则样本相关系数r≈0.996,说明钢铁碳含量与电阻之间具有较强的线性相关关系(填“较强”或“较弱”).

解析:由表中数据,

得≈0.543,≈20.743,=2.595,=3 094.72,xiyi=85.45,

所以r≈≈0.996.

由于r接近于1,故钢铁碳含量与电阻之间的线性相关关系较强.

8.(2022·全国乙卷)某地经过多年的环境治理,已将荒山改造成了绿水青山.为估计一林区某种树木的总材积量,随机选取了10棵这种树木,测量每棵树的根部横截面积x(单位:m2)和材积量y(单位:m3),得到如下数据.并计算得=0.038,=1.615 8,xiyi=0.247 4.

(1)估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量;

(2)求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数(精确到0.01);

(3)现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积,并得到所有这种树木的根部横截面积总和为186 m2.已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比.利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值.

附:相关系数r=,≈1.377.

解:(1)设这种树木平均一棵的根部横截面积为,平均一棵的材积量为,则根据题中数据得==0.06 m2,==0.39 m3.

(2)由题可知,r=

=

==

≈

≈0.97;

(3)设总根部面积和X,总材积量为Y,

则=,故Y=×186=1 209(m3).