2024年中考数学复习热搜题速递之图形的相似

这是一份2024年中考数学复习热搜题速递之图形的相似，共37页。
2024年中考数学复习热搜题速递之图形的相似（2023年7月）
一．选择题（共10小题）
1．（2015•株洲）如图，已知AB、CD、EF都与BD垂直，垂足分别是B、D、F，且AB＝1，CD＝3，那么EF的长是（　　）

A．13 B．23 C．34 D．45
2．（2023•阿瓦提县校级模拟）如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：EC＝3：1，连接AE交BD于点F，则△DEF的面积与△BAF的面积之比为（　　）

A．3：4 B．9：16 C．9：1 D．3：1
3．（2015•武威）如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，DE∥AC，若S△BDE：S△CDE＝1：3，则S△DOE：S△AOC的值为（　　）

A．13 B．14 C．19 D．116
4．（2015•荆州）如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件，不正确的是（　　）

A．∠ABP＝∠C B．∠APB＝∠ABC C．APAB=ABAC D．ABBP=ACCB
5．（2015•东营）若yx=34，则x+yx的值为（　　）
A．1 B．47 C．54 D．74
6．（2014•泸州）如图，在直角梯形ABCD中，DC∥AB，∠DAB＝90°，AC⊥BC，AC＝BC，∠ABC的平分线分别交AD、AC于点E，F，则BFEF的值是（　　）

A．2-1 B．2+2 C．2+1 D．2
7．（2015•成都）如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝6，DB＝3，AE＝4，则EC的长为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
8．（2016•深圳）如图，CB＝CA，∠ACB＝90°，点D在边BC上（与B、C不重合），四边形ADEF为正方形，过点F作FG⊥CA，交CA的延长线于点G，连接FB，交DE于点Q，给出以下结论：
①AC＝FG；②S△FAB：S四边形CBFG＝1：2；③∠ABC＝∠ABF；④AD2＝FQ•AC，
其中正确的结论的个数是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
9．（2021•武进区校级自主招生）如图，△ABC中，D、E是BC边上的点，BD：DE：EC＝3：2：1，M在AC边上，CM：MA＝1：2，BM交AD，AE于H，G，则BH：HG：GM等于（　　）

A．3：2：1 B．5：3：1 C．25：12：5 D．51：24：10
10．（2016•淄博）如图，直线l1∥l2∥l3，一等腰直角三角形ABC的三个顶点A，B，C分别在l1，l2，l3上，∠ACB＝90°，AC交l2于点D，已知l1与l2的距离为1，l2与l3的距离为3，则ABBD的值为（　　）

A．425 B．345 C．528 D．20223
二．填空题（共5小题）
11．（2017•深圳）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，Rt△MPN，∠MPN＝90°，点P在AC上，PM交AB于点E，PN交BC于点F，当PE＝2PF时，AP＝　 　．

12．（2015•柳州）如图，矩形EFGH内接于△ABC，且边FG落在BC上．若BC＝3，AD＝2，EF=23EH，AD⊥BC，那么EH的长为 　 　．

13．（2019•沈阳）如图，正方形ABCD的对角线AC上有一点E，且CE＝4AE，点F在DC的延长线上，连接EF，过点E作EG⊥EF，交CB的延长线于点G，连接GF并延长，交AC的延长线于点P，若AB＝5，CF＝2，则线段EP的长是　 　．

14．（2015•南通）如图，矩形ABCD中，F是DC上一点，BF⊥AC，垂足为E，ADAB=12，△CEF的面积为S1，△AEB的面积为S2，则S1S2的值等于　 　．

15．（2020•无锡）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4，点D，E分别在边AB，AC上，且DB＝2AD，AE＝3EC，连接BE，CD，相交于点O，则△ABO面积最大值为　 　．

三．解答题（共5小题）
16．（2015•岳阳）如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，F是AM的中点，EF⊥AM，垂足为F，交AD的延长线于点E，交DC于点N．
（1）求证：△ABM∽△EFA；
（2）若AB＝12，BM＝5，求DE的长．

17．（2015•泰安）如图，在△ABC中，AB＝AC，点P、D分别是BC、AC边上的点，且∠APD＝∠B．
（1）求证：AC•CD＝CP•BP；
（2）若AB＝10，BC＝12，当PD∥AB时，求BP的长．

18．（2015•抚顺）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，过点B的直线MN∥AC，D为BC边上一点，连接AD，作DE⊥AD交MN于点E，连接AE．
（1）如图①，当∠ABC＝45°时，求证：AD＝DE；
（2）如图②，当∠ABC＝30°时，线段AD与DE有何数量关系？并请说明理由；
（3）当∠ABC＝α时，请直接写出线段AD与DE的数量关系．（用含α的三角函数表示）

19．（2016•丹东模拟）已知点E在△ABC内，∠ABC＝∠EBD＝α，∠ACB＝∠EDB＝60°，∠AEB＝150°，∠BEC＝90°．
（1）当α＝60°时（如图1），
①判断△ABC的形状，并说明理由；
②求证：BD=3AE；
（2）当α＝90°时（如图2），求BDAE的值．

20．（2017•宿迁）如图，在△ABC中，AB＝AC，点E在边BC上移动（点E不与点B，C重合），满足∠DEF＝∠B，且点D、F分别在边AB、AC上．
（1）求证：△BDE∽△CEF；
（2）当点E移动到BC的中点时，求证：FE平分∠DFC．


2024年中考数学复习热搜题速递之图形的相似（2023年7月）
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2015•株洲）如图，已知AB、CD、EF都与BD垂直，垂足分别是B、D、F，且AB＝1，CD＝3，那么EF的长是（　　）

A．13 B．23 C．34 D．45
【考点】相似三角形的判定与性质．菁优网版权所有
【答案】C
【分析】易证△DEF∽△DAB，△BEF∽△BCD，根据相似三角形的性质可得EFAB=DFDB，EFCD=BFBD，从而可得EFAB+EFCD=DFDB+BFBD=1．然后把AB＝1，CD＝3代入即可求出EF的值．
【解答】解：方法一、∵AB、CD、EF都与BD垂直，
∴AB∥CD∥EF，
∴△DEF∽△DAB，△BEF∽△BCD，
∴EFAB=DFDB，EFCD=BFBD，
∴EFAB+EFCD=DFDB+BFBD=BDBD=1．
∵AB＝1，CD＝3，
∴EF1+EF3=1，
∴EF=34．
方法二、∵AB、CD、EF都与BD垂直，
∴AB∥CD∥EF，
∴△ABE∽△DCE，
∴ABCD=BEEC=13，
∴BEBC=14，
∵EF∥CD，
∴△BEF∽△BCD，
∴EFCD=BEBC=14，
∴EF=14CD=34，
故选：C．
【点评】本题主要考查的是相似三角形的判定与性质，发现DFDB+BFBD=1是解决本题的关键．
2．（2023•阿瓦提县校级模拟）如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：EC＝3：1，连接AE交BD于点F，则△DEF的面积与△BAF的面积之比为（　　）

A．3：4 B．9：16 C．9：1 D．3：1
【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．菁优网版权所有
【答案】B
【分析】可证明△DFE∽△BFA，根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方即可得出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴DC∥AB，
∴△DFE∽△BFA，
∵DE：EC＝3：1，
∴DE：DC＝3：4，
∴DE：AB＝3：4，
∴S△DFE：S△BFA＝9：16．
故选：B．

【点评】本题考查了平行四边形的性质以及相似三角形的判定和性质，注：相似三角形的面积之比等于相似比的平方．
3．（2015•武威）如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，DE∥AC，若S△BDE：S△CDE＝1：3，则S△DOE：S△AOC的值为（　　）

A．13 B．14 C．19 D．116
【考点】相似三角形的判定与性质．菁优网版权所有
【答案】D
【分析】证明BE：EC＝1：3，进而证明BE：BC＝1：4；证明△DOE∽△AOC，得到DEAC=BEBC=14，借助相似三角形的性质即可解决问题．
【解答】解：∵S△BDE：S△CDE＝1：3，
∴BE：EC＝1：3；
∴BE：BC＝1：4；
∵DE∥AC，
∴△DOE∽△AOC，
∴DEAC=BEBC=14，
∴S△DOE：S△AOC=(DEAC)2=116，
故选：D．
【点评】本题主要考查了相似三角形的判定及其性质的应用问题；解题的关键是灵活运用相似三角形的判定及其性质来分析、判断、推理或解答．
4．（2015•荆州）如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件，不正确的是（　　）

A．∠ABP＝∠C B．∠APB＝∠ABC C．APAB=ABAC D．ABBP=ACCB
【考点】相似三角形的判定．菁优网版权所有
【答案】D
【分析】分别利用相似三角形的判定方法判断得出即可．
【解答】解：A、当∠ABP＝∠C时，又∵∠A＝∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项不符合题意；
B、当∠APB＝∠ABC时，又∵∠A＝∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项不符合题意；
C、当APAB=ABAC时，又∵∠A＝∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项不符合题意；
D、无法得到△ABP∽△ACB，故此选项符合题意．
故选：D．
【点评】此题主要考查了相似三角形的判定，正确把握判定方法是解题关键．
5．（2015•东营）若yx=34，则x+yx的值为（　　）
A．1 B．47 C．54 D．74
【考点】比例的性质．菁优网版权所有
【专题】计算题．
【答案】D
【分析】根据合分比性质求解．
【解答】解：∵yx=34，
∴x+yx=4+34=74．
故选：D．
【点评】考查了比例性质：常见比例的性质有内项之积等于外项之积；合比性质；分比性质；合分比性质；等比性质．
6．（2014•泸州）如图，在直角梯形ABCD中，DC∥AB，∠DAB＝90°，AC⊥BC，AC＝BC，∠ABC的平分线分别交AD、AC于点E，F，则BFEF的值是（　　）

A．2-1 B．2+2 C．2+1 D．2
【考点】平行线分线段成比例；角平分线的性质；等腰直角三角形．菁优网版权所有
【专题】计算题．
【答案】C
【分析】作FG⊥AB于点G，由AE∥FG，得出BFEF=BGGA，求出Rt△BGF≌Rt△BCF，再由AB=2BC求解．
【解答】解：作FG⊥AB于点G，
∵∠DAB＝90°，
∴AE∥FG，
∴BFEF=BGGA，
∵AC⊥BC，
∴∠ACB＝90°，
又∵BE是∠ABC的平分线，
∴FG＝FC，
在Rt△BGF和Rt△BCF中，
BF=BFCF=GF
∴Rt△BGF≌Rt△BCF（HL），
∴CB＝GB，
∵AC＝BC，
∴∠CBA＝45°，
∴AB=2BC，
∴BFEF=BGGA=BC2BC-BC=12-1=2+1．
故选：C．

【点评】本题主要考查了平行线分线段成比例，全等三角形及角平分线的知识，解题的关键是找出线段之间的关系，CB＝GB，AB=2BC再利用比例式求解．
7．（2015•成都）如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝6，DB＝3，AE＝4，则EC的长为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】平行线分线段成比例．菁优网版权所有
【答案】B
【分析】根据平行线分线段成比例可得ADDB=AEEC，代入计算即可解答．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴ADDB=AEEC，
即63=4EC，
解得：EC＝2，
故选：B．
【点评】本题主要考查平行线分线段成比例，掌握平行线分线段所得线段对应成比例是解题的关键．
8．（2016•深圳）如图，CB＝CA，∠ACB＝90°，点D在边BC上（与B、C不重合），四边形ADEF为正方形，过点F作FG⊥CA，交CA的延长线于点G，连接FB，交DE于点Q，给出以下结论：
①AC＝FG；②S△FAB：S四边形CBFG＝1：2；③∠ABC＝∠ABF；④AD2＝FQ•AC，
其中正确的结论的个数是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；正方形的性质．菁优网版权所有
【答案】D
【分析】由正方形的性质得出∠FAD＝90°，AD＝AF＝EF，证出∠CAD＝∠AFG，由AAS证明△FGA≌△ACD，得出AC＝FG，①正确；
证明四边形CBFG是矩形，得出S△FAB=12FB•FG=12S四边形CBFG，②正确；
由等腰直角三角形的性质和矩形的性质得出∠ABC＝∠ABF＝45°，③正确；
证出△ACD∽△FEQ，得出对应边成比例，得出AD•FE＝AD2＝FQ•AC，④正确．
【解答】解：∵四边形ADEF为正方形，
∴∠FAD＝90°，AD＝AF＝EF，
∴∠CAD+∠FAG＝90°，
∵FG⊥CA，
∴∠GAF+∠AFG＝90°，
∴∠CAD＝∠AFG，
在△FGA和△ACD中，∠G=∠C∠AFG=∠CADAF=AD，
∴△FGA≌△ACD（AAS），
∴AC＝FG，①正确；
∵BC＝AC，
∴FG＝BC，
∵∠ACB＝90°，FG⊥CA，
∴FG∥BC，
∴四边形CBFG是矩形，
∴∠CBF＝90°，S△FAB=12FB•FG=12S四边形CBFG，②正确；
∵CA＝CB，∠C＝∠CBF＝90°，
∴∠ABC＝∠ABF＝45°，③正确；
∵四边形ADEF为正方形，
∴∠ADE＝∠QBD＝∠E＝90°，
∴∠ADC+∠QDB＝90°，
∵∠QDB+∠DQB＝90°，
∴∠FQE＝∠DQB＝∠ADC，
∵∠E＝∠C＝90°，
∴△ACD∽△FEQ，
∴AC：AD＝FE：FQ，
∴AD•FE＝AD2＝FQ•AC，④正确；
或：AD2表示正方形的面积；连接AQ，FQ×AC＝FQ×BC＝FQ×GF＝△AFQ面积的2倍（FQ为底，GF为高）＝△AFQ面积的2倍（AF为底，AD为高）＝正方形的面积，所以结论4是对的；
故选：D．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、正方形的性质、矩形的判定与性质、等腰直角三角形的性质；熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等和三角形相似是解决问题的关键．
9．（2021•武进区校级自主招生）如图，△ABC中，D、E是BC边上的点，BD：DE：EC＝3：2：1，M在AC边上，CM：MA＝1：2，BM交AD，AE于H，G，则BH：HG：GM等于（　　）

A．3：2：1 B．5：3：1 C．25：12：5 D．51：24：10
【考点】相似三角形的判定与性质．菁优网版权所有
【专题】计算题．
【答案】D
【分析】连接EM，根据已知可得△BHD∽△BME，△CEM∽△CDA，根据相似比从而不难得到答案．
【解答】解：连接EM，
CE：CD＝CM：CA＝1：3
∴EM平行于AD
∴△BHD∽△BME，△CEM∽△CDA
∴HD：ME＝BD：BE＝3：5，ME：AD＝CM：AC＝1：3
∴AH＝（3-35）ME，
∴AH：ME＝12：5
∴HG：GM＝AH：EM＝12：5
设GM＝5k，GH＝12k，
∵BH：HM＝3：2＝BH：17k
∴BH=512K，
∴BH：HG：GM=512k：12k：5k＝51：24：10
故选：D．

【点评】此题主要考查相似三角形的性质的理解及运用．
10．（2016•淄博）如图，直线l1∥l2∥l3，一等腰直角三角形ABC的三个顶点A，B，C分别在l1，l2，l3上，∠ACB＝90°，AC交l2于点D，已知l1与l2的距离为1，l2与l3的距离为3，则ABBD的值为（　　）

A．425 B．345 C．528 D．20223
【考点】平行线分线段成比例．菁优网版权所有
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【答案】A
【分析】方法1、先作出作BF⊥l3，AE⊥l3，再判断△ACE≌△CBF，求出CE＝BF＝3，CF＝AE＝4，然后由l2∥l3，求出DG，即可．
方法2、先利用平行线分线段成比例定理得出AC＝4AD，进而得出CD＝3AD，利用勾股定理得出BD＝5a，AB＝42a，即可得出结论．
【解答】解：方法1，如图，作BF⊥l3，AE⊥l3，

∵∠ACB＝90°，
∴∠BCF+∠ACE＝90°，
∵∠BCF+∠CBF＝90°，
∴∠ACE＝∠CBF，
在△ACE和△CBF中，
∠BFC=∠CEA∠CBF=∠ACEBC=AC，
∴△ACE≌△CBF，
∴CE＝BF＝3，CF＝AE＝4，
∵l1与l2的距离为1，l2与l3的距离为3，
∴AG＝1，BG＝EF＝CF+CE＝7
∴AB=BG2+AG2=52，
∵l2∥l3，
∴DGCE=AGAE=14
∴DG=14CE=34，
∴BD＝BG﹣DG＝7-34=254，
∴ABBD=52254=425．

方法2、
过点A作AE⊥l3于E，交l2于G，
∵l1∥l2∥l3，
∴ADCD=AGEG=13，
∴CD＝3AD，
设AD＝a，则CD＝3a，AC＝CD+AD＝4a，
∵BC＝AC，
∴BC＝4a，
在Rt△BCD中，根据勾股定理得，BD=BC2+CD2=5a，
在Rt△ABC中，AB=2AC＝42a，
∴ABBD=425，
故选：A．

【点评】此题是平行线分线段成比例试题，主要考查了全等三角形的性质和判定，平行线分线段成比例定理，勾股定理，解本题的关键是构造全等三角形．
二．填空题（共5小题）
11．（2017•深圳）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，Rt△MPN，∠MPN＝90°，点P在AC上，PM交AB于点E，PN交BC于点F，当PE＝2PF时，AP＝　3　．

【考点】相似三角形的判定与性质．菁优网版权所有
【答案】见试题解答内容
【分析】如图作PQ⊥AB于Q，PR⊥BC于R．由△QPE∽△RPF，推出PQPR=PEPF=2，可得PQ＝2PR＝2BQ，由PQ∥BC，可得AQ：QP：AP＝AB：BC：AC＝3：4：5，设PQ＝4x，则AQ＝3x，AP＝5x，BQ＝2x，可得2x+3x＝3，求出x即可解决问题．
【解答】解：如图作PQ⊥AB于Q，PR⊥BC于R．

∵∠PQB＝∠QBR＝∠BRP＝90°，
∴四边形PQBR是矩形，
∴∠QPR＝90°＝∠MPN，
∴∠QPE＝∠RPF，
∴△QPE∽△RPF，
∴PQPR=PEPF=2，
∴PQ＝2PR＝2BQ，
∵PQ∥BC，
∴AQ：QP：AP＝AB：BC：AC＝3：4：5，设PQ＝4x，则AQ＝3x，AP＝5x，BQ＝2x，
∴2x+3x＝3，
∴x=35，
∴AP＝5x＝3．
故答案为3．
【点评】本题考查相似三角形的判定和性质、勾股定理、矩形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考常考题型．
12．（2015•柳州）如图，矩形EFGH内接于△ABC，且边FG落在BC上．若BC＝3，AD＝2，EF=23EH，AD⊥BC，那么EH的长为 　32　．

【考点】相似三角形的判定与性质；矩形的性质．菁优网版权所有
【专题】应用题；压轴题．
【答案】见试题解答内容
【分析】设EH＝3x，表示出EF，由AD﹣EF表示出三角形AEH的边EH上的高，根据三角形AEH与三角形ABC相似，利用相似三角形对应边上的高之比等于相似比求出x的值，即为EH的长．
【解答】解：∵四边形EFGH是矩形，
∴EH∥BC，
∴△AEH∽△ABC，
∵AM⊥EH，AD⊥BC，
∴AMAD=EHBC，
设EH＝3x，则有EF＝2x，AM＝AD﹣EF＝2﹣2x，
∴2-2x2=3x3，
解得：x=12，
则EH=32．
故答案为：32．

【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，以及矩形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．
13．（2019•沈阳）如图，正方形ABCD的对角线AC上有一点E，且CE＝4AE，点F在DC的延长线上，连接EF，过点E作EG⊥EF，交CB的延长线于点G，连接GF并延长，交AC的延长线于点P，若AB＝5，CF＝2，则线段EP的长是　1322　．

【考点】相似三角形的应用；正方形的性质．菁优网版权所有
【专题】矩形 菱形 正方形．
【答案】见试题解答内容
【分析】如图，作FH⊥PE于H．利用勾股定理求出EF，再证明△CEF∽△FEP，可得EF2＝EC•EP，由此即可解决问题．
【解答】解：如图，作FH⊥PE于H．

∵四边形ABCD是正方形，AB＝5，
∴AC＝52，∠ACD＝∠FCH＝45°，
∵∠FHC＝90°，CF＝2，
∴CH＝HF=2，
∵CE＝4AE，
∴EC＝42，AE=2，
∴EH＝52，
在Rt△EFH中，EF2＝EH2+FH2＝（52）2+（2）2＝52，
∵∠GEF＝∠GCF＝90°，
∴E，G，F，C四点共圆，
∴∠EFG＝∠ECG＝45°，
∴∠ECF＝∠EFP＝135°，
∵∠CEF＝∠FEP，
∴△CEF∽△FEP，
∴EFEP=ECEF，
∴EF2＝EC•EP，
∴EP=5242=1322．
故答案为1322．
【点评】本题考查正方形的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
14．（2015•南通）如图，矩形ABCD中，F是DC上一点，BF⊥AC，垂足为E，ADAB=12，△CEF的面积为S1，△AEB的面积为S2，则S1S2的值等于　116　．

【考点】相似三角形的判定与性质；矩形的性质．菁优网版权所有
【专题】压轴题．
【答案】见试题解答内容
【分析】首先根据ADAB=12设AD＝BC＝a，则AB＝CD＝2a，然后利用勾股定理得到AC=5a，然后根据射影定理得到BC2＝CE•CA，AB2＝AE•AC从而求得CE=5a5，AE=45a5，得到CEAE=14，利用△CEF∽△AEB，求得S1S2=（CEAE）2=116．
【解答】解：∵ADAB=12，
∴设AD＝BC＝a，则AB＝CD＝2a，
∴AC=5a，
∵BF⊥AC，
∴△CBE∽△CAB，△AEB∽△ABC，
∴BC2＝CE•CA，AB2＝AE•AC
∴a2＝CE•5a，2a2＝AE•5a，
∴CE=5a5，AE=45a5，
∴CEAE=14，
∵△CEF∽△AEB，
∴S1S2=（CEAE）2=116，
故答案为：116．
【点评】本题考查了矩形的性质及相似三角形的判定，能够牢记射影定理的内容对解决本题起到至关重要的作用，难度不大．
15．（2020•无锡）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4，点D，E分别在边AB，AC上，且DB＝2AD，AE＝3EC，连接BE，CD，相交于点O，则△ABO面积最大值为　83　．

【考点】平行线分线段成比例．菁优网版权所有
【专题】推理填空题；图形的相似；运算能力；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】过点D作DF∥AE，根据平行线分线段成比例定理可得则DFAE=BDBA=23，根据已知ECAE=13，可得DO＝2OC，C在以AB为直径的圆上，设圆心为G，当CG⊥AB时，△ABC的面积最大为：12×4×2＝4，即可求出此时△ABO的最大面积．
【解答】解：如图，过点D作DF∥AE，

则DFAE=BDBA=23，
∵ECAE=13，
∴DF＝2EC，
∴DO＝2OC，
∴DO=23DC，
∴S△ADO=23S△ADC，S△BDO=23S△BDC，
∴S△ABO=23S△ABC，
∵∠ACB＝90°，
∴C在以AB为直径的圆上，设圆心为G，
当CG⊥AB时，△ABC的面积最大为：12×4×2＝4，
此时△ABO的面积最大为：23×4=83．
故答案为：83．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理，解决本题的关键是掌握平行线分线段成比例定理．
三．解答题（共5小题）
16．（2015•岳阳）如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，F是AM的中点，EF⊥AM，垂足为F，交AD的延长线于点E，交DC于点N．
（1）求证：△ABM∽△EFA；
（2）若AB＝12，BM＝5，求DE的长．

【考点】相似三角形的判定与性质；正方形的性质．菁优网版权所有
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）由正方形的性质得出AB＝AD，∠B＝90°，AD∥BC，得出∠AMB＝∠EAF，再由∠B＝∠AFE，即可得出结论；
（2）由勾股定理求出AM，得出AF，由△ABM∽△EFA得出比例式，求出AE，即可得出DE的长．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠B＝90°，AD∥BC，
∴∠AMB＝∠EAF，
又∵EF⊥AM，
∴∠AFE＝90°，
∴∠B＝∠AFE，
∴△ABM∽△EFA；
（2）解：∵∠B＝90°，AB＝12，BM＝5，
∴AM=122+52=13，AD＝12，
∵F是AM的中点，
∴AF=12AM＝6.5，
∵△ABM∽△EFA，
∴BMAF=AMAE，
即56.5=13AE，
∴AE＝16.9，
∴DE＝AE﹣AD＝4.9．
【点评】本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理；熟练掌握正方形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．
17．（2015•泰安）如图，在△ABC中，AB＝AC，点P、D分别是BC、AC边上的点，且∠APD＝∠B．
（1）求证：AC•CD＝CP•BP；
（2）若AB＝10，BC＝12，当PD∥AB时，求BP的长．

【考点】相似三角形的判定与性质．菁优网版权所有
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）易证∠APD＝∠B＝∠C，从而可证到△ABP∽△PCD，即可得到BPCD=ABCP，即AB•CD＝CP•BP，由AB＝AC即可得到AC•CD＝CP•BP；
（2）由PD∥AB可得∠APD＝∠BAP，即可得到∠BAP＝∠C，从而可证到△BAP∽△BCA，然后运用相似三角形的性质即可求出BP的长．
【解答】解：（1）∵AB＝AC，∴∠B＝∠C．
∵∠APD＝∠B，∴∠APD＝∠B＝∠C．
∵∠APC＝∠BAP+∠B，∠APC＝∠APD+∠DPC，
∴∠BAP＝∠DPC，
∴△ABP∽△PCD，
∴BPCD=ABCP，
∴AB•CD＝CP•BP．
∵AB＝AC，
∴AC•CD＝CP•BP；

（2）如图，∵PD∥AB，
∴∠APD＝∠BAP．
∵∠APD＝∠C，
∴∠BAP＝∠C．
∵∠B＝∠B，
∴△BAP∽△BCA，
∴BABC=BPBA．
∵AB＝10，BC＝12，
∴1012=BP10，
∴BP=253．

【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、平行线的性质、三角形外角的性质等知识，把证明AC•CD＝CP•BP转化为证明AB•CD＝CP•BP是解决第（1）小题的关键，证到∠BAP＝∠C进而得到△BAP∽△BCA是解决第（2）小题的关键．
18．（2015•抚顺）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，过点B的直线MN∥AC，D为BC边上一点，连接AD，作DE⊥AD交MN于点E，连接AE．
（1）如图①，当∠ABC＝45°时，求证：AD＝DE；
（2）如图②，当∠ABC＝30°时，线段AD与DE有何数量关系？并请说明理由；
（3）当∠ABC＝α时，请直接写出线段AD与DE的数量关系．（用含α的三角函数表示）

【考点】相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质．菁优网版权所有
【专题】压轴题．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）首先过点D作DF⊥BC，交AB于点F，得出∠BDE＝∠ADF，以及∠EBD＝∠AFD，再得出△BDE≌△FDA（ASA），求出即可；
（2）首先过点D作DG⊥BC，交AB于点G，进而得出∠EBD＝∠AGD，证出△BDE∽△GDA即可得出答案；
（3）首先过点D作DG⊥BC，交AB于点G，进而得出∠EBD＝∠AGD，证出△BDE∽△GDA即可得出答案．
【解答】（1）证明：如图1，过点D作DF⊥BC，交AB于点F，
则∠BDE+∠FDE＝90°，
∵DE⊥AD，
∴∠FDE+∠ADF＝90°，
∴∠BDE＝∠ADF，
∵∠BAC＝90°，∠ABC＝45°，
∴∠C＝45°，
∵MN∥AC，
∴∠EBD＝180°﹣∠C＝135°，
∵∠BFD＝45°，DF⊥BC，
∴∠BFD＝45°，BD＝DF，
∴∠AFD＝135°，
∴∠EBD＝∠AFD，
在△BDE和△FDA中
∠EBD=∠AFDBD=DF∠BDE=∠ADF，
∴△BDE≌△FDA（ASA），
∴AD＝DE；

（2）解：DE=3AD，
理由：如图2，过点D作DG⊥BC，交AB于点G，
则∠BDE+∠GDE＝90°，
∵DE⊥AD，
∴∠GDE+∠ADG＝90°，
∴∠BDE＝∠ADG，
∵∠BAC＝90°，∠ABC＝30°，
∴∠C＝60°，
∵MN∥AC，
∴∠EBD＝180°﹣∠C＝120°，
∵∠ABC＝30°，DG⊥BC，
∴∠BGD＝60°，
∴∠AGD＝120°，
∴∠EBD＝∠AGD，
∴△BDE∽△GDA，
∴ADDE=DGBD，
在Rt△BDG中，
DGBD=tan30°=33，
∴DE=3AD；

（3）AD＝DE•tanα；
理由：如图2，∠BDE+∠GDE＝90°，
∵DE⊥AD，
∴∠GDE+∠ADG＝90°，
∴∠BDE＝∠ADG，
∵∠EBD＝90°+α，∠AGD＝90°+α，
∴∠EBD＝∠AGD，
∴△EBD∽△AGD，
∴ADDE=DGBD，
在Rt△BDG中，
DGBD=tanα，则ADDE=tanα，
∴AD＝DE•tanα．


【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质，得出△EBD∽△AGD是解题关键．
19．（2016•丹东模拟）已知点E在△ABC内，∠ABC＝∠EBD＝α，∠ACB＝∠EDB＝60°，∠AEB＝150°，∠BEC＝90°．
（1）当α＝60°时（如图1），
①判断△ABC的形状，并说明理由；
②求证：BD=3AE；
（2）当α＝90°时（如图2），求BDAE的值．

【考点】相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质．菁优网版权所有
【专题】压轴题．
【答案】见试题解答内容
【分析】①由三角形ABC中有两个60°而求得它为等边三角形；②由△EBD也是等边三角形，连接DC，证得△ABE≌△CBD，在直角三角形中很容易证得结论．（2）连接DC，证得△ABC∽△EBD，设BD＝x在Rt△EBD中DE＝2x由相似比即得到比值．
【解答】解：（1）①判断：△ABC是等边三角形．
理由：∵∠ABC＝∠ACB＝60°
∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝60°＝∠ABC＝∠ACB
∴△ABC是等边三角形
②证明：同理△EBD也是等边三角形
连接DC，
则AB＝BC，BE＝BD，∠ABE＝60°﹣∠EBC＝∠CBD
∴△ABE≌△CBD
∴AE＝CD，∠AEB＝∠CDB＝150°
∴∠EDC＝150°﹣∠BDE＝90°∠CED＝∠BEC﹣∠BED＝90°﹣60°＝30°
在Rt△EDC中CDED=tan30°=33，
∴AEBD=33，即BD=3AE．

（2）连接DC，
∵∠ABC＝∠EBD＝90°，∠ACB＝∠EDB＝60°
∴△ABC∽△EBD
∴ABEB=BCBD，即ABBC=EBBD
又∵∠ABE＝90°﹣∠EBC＝∠CBD
∴△ABE∽△CBD，∠AEB＝∠CDB＝150°，AECD=BEBD
∴∠EDC＝150°﹣∠BDE＝90°，∠CED＝∠BEC﹣∠BED＝90°﹣（90°﹣∠BDE）＝60°
设BD＝x在Rt△EBD中DE＝2x，BE=3x
在Rt△EDC中CD=DE⋅tan60°=23x
∴AE=CD⋅BEBD=23x⋅3xx=6x=6BD，即BDAE=16．

【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，①中知道三角形中有两个60°角即证，②利用①的结论并证得△ABE≌△CBD，在Rt△EDC中很容易证得，（2）连接DC，证得△ABC∽△EBD，设BD＝x在Rt△EBD中DE＝2x由相似比即得到比值．
20．（2017•宿迁）如图，在△ABC中，AB＝AC，点E在边BC上移动（点E不与点B，C重合），满足∠DEF＝∠B，且点D、F分别在边AB、AC上．
（1）求证：△BDE∽△CEF；
（2）当点E移动到BC的中点时，求证：FE平分∠DFC．

【考点】相似三角形的判定与性质；等腰三角形的性质．菁优网版权所有
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠B＝∠C，根据三角形的内角和和平角的定义得到∠BDE＝∠CEF，于是得到结论；
（2）根据相似三角形的性质得到BECF=DEEF，等量代换得到CECF=DEEF，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：（1）证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵∠BDE＝180°﹣∠B﹣∠DEB，
∠CEF＝180°﹣∠DEF﹣∠DEB，
∵∠DEF＝∠B，
∴∠BDE＝∠CEF，
∴△BDE∽△CEF；

（2）∵△BDE∽△CEF，
∴BECF=DEEF，
∵点E是BC的中点，
∴BE＝CE，
∴CECF=DEEF，
∵∠DEF＝∠B＝∠C，
∴△DEF∽△ECF，
∴∠DFE＝∠CFE，
∴FE平分∠DFC．

【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．

考点卡片
1．全等三角形的判定与性质
（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
2．角平分线的性质
角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE

3．等腰三角形的性质
（1）等腰三角形的概念
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．
（2）等腰三角形的性质
①等腰三角形的两腰相等
②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】
③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】
（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．
4．等边三角形的判定与性质
（1）等边三角形是一个非常特殊的几何图形，它的角的特殊性给有关角的计算奠定了基础，它的边角性质为证明线段、角相等提供了便利条件．同是等边三角形又是特殊的等腰三角形，同样具备三线合一的性质，解题时要善于挖掘图形中的隐含条件广泛应用．
（2）等边三角形的特性如：三边相等、有三条对称轴、一边上的高可以把等边三角形分成含有30°角的直角三角形、连接三边中点可以把等边三角形分成四个全等的小等边三角形等．
（3）等边三角形判定最复杂，在应用时要抓住已知条件的特点，选取恰当的判定方法，一般地，若从一般三角形出发可以通过三条边相等判定、通过三个角相等判定；若从等腰三角形出发，则想法获取一个60°的角判定．
5．等腰直角三角形
（1）两条直角边相等的直角三角形叫做等腰直角三角形．
（2）等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和直角三角形的所有性质．即：两个锐角都是45°，斜边上中线、角平分线、斜边上的高，三线合一，等腰直角三角形斜边上的高为外接圆的半径R，而高又为内切圆的直径（因为等腰直角三角形的两个小角均为45°，高又垂直于斜边，所以两个小三角形均为等腰直角三角形，则两腰相等）；
（3）若设等腰直角三角形内切圆的半径r＝1，则外接圆的半径R=2+1，所以r：R＝1：2+1．
6．平行四边形的性质
（1）平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．
（2）平行四边形的性质：
①边：平行四边形的对边相等．
②角：平行四边形的对角相等．
③对角线：平行四边形的对角线互相平分．
（3）平行线间的距离处处相等．
（4）平行四边形的面积：
①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积．
②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等．
7．矩形的性质
（1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．
（2）矩形的性质
①平行四边形的性质矩形都具有；
②角：矩形的四个角都是直角；
③边：邻边垂直；
④对角线：矩形的对角线相等；
⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点．
（3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
8．正方形的性质
（1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．
（2）正方形的性质
①正方形的四条边都相等，四个角都是直角；
②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；
③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．
④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴．
9．比例的性质
（1）比例的基本性质：组成比例的四个数，叫做比例的项．两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项．
（2）常用的性质有：
①内项之积等于外项之积．若ab=cd，则ad＝bc．
②合比性质．若ab=cd，则a+bb=c+dd．
③分比性质．若ab=cd，则a-bb=c-dd．
④合分比性质．若ab=cd，则a+ba-b=c+dc-d．
⑤等比性质．若ab=cd=⋯=mn（b+d+…+n≠0），则a+c+⋯⋯+mb+d+⋯⋯+n=mn．
10．平行线分线段成比例
（1）定理1：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．
（2）推论1：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．
（3）推论2：平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例．
11．相似三角形的判定
（1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；
这是判定三角形相似的一种基本方法．相似的基本图形可分别记为“A”型和“X”型，如图所示在应用时要善于从复杂的图形中抽象出这些基本图形．
（2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；
（3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；
（4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．
12．相似三角形的判定与性质
（1）相似三角形是相似多边形的特殊情形，它沿袭相似多边形的定义，从对应边的比相等和对应角相等两方面下定义；反过来，两个三角形相似也有对应角相等，对应边的比相等．
（2）三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有事可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可．
13．相似三角形的应用
（1）利用影长测量物体的高度．①测量原理：测量不能到达顶部的物体的高度，通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决．②测量方法：在同一时刻测量出参照物和被测量物体的影长来，再计算出被测量物的长度．
（2）利用相似测量河的宽度（测量距离）．①测量原理：测量不能直接到达的两点间的距离，常常构造“A”型或“X”型相似图，三点应在一条直线上．必须保证在一条直线上，为了使问题简便，尽量构造直角三角形．②测量方法：通过测量便于测量的线段，利用三角形相似，对应边成比例可求出河的宽度．
（3）借助标杆或直尺测量物体的高度．利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高（长）作为三角形的边，利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度．