2024年中考数学复习热搜题速递之图形的初步认识

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2024年中考数学复习热搜题速递之图形的初步认识（2023年7月）
一．选择题（共10小题）
1．（2015•无锡）如图的正方体盒子的外表面上画有3条粗黑线，将这个正方体盒子的表面展开（外表面朝上），展开图可能是（　　）

A． B．
C． D．
2．（2022秋•滨城区校级期末）如图，将一副三角板叠放在一起，使直角的顶点重合于O，则∠AOC+∠DOB＝（　　）

A．90° B．120° C．160° D．180°
3．（2014•徐州）点A、B、C在同一条数轴上，其中点A、B表示的数分别为﹣3、1，若BC＝2，则AC等于（　　）
A．3 B．2 C．3或5 D．2或6
4．（2022秋•密山市校级期末）已知线段AB＝10cm，点C是直线AB上一点，BC＝4cm，若M是AC的中点，N是BC的中点，则线段MN的长度是（　　）
A．7cm B．3cm C．7cm或3cm D．5cm
5．（2014•义乌市）如图，经过刨平的木板上的两个点，能弹出一条笔直的墨线，而且只能弹出一条墨线，能解释这一实际应用的数学知识是（　　）

A．两点确定一条直线
B．两点之间线段最短
C．垂线段最短
D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
6．（2014•滨州）如图，OB是∠AOC的角平分线，OD是∠COE的角平分线，如果∠AOB＝40°，∠COE＝60°，则∠BOD的度数为（　　）

A．50° B．60° C．65° D．70°
7．（2021•商河县校级模拟）如图，对于直线AB，线段CD，射线EF，其中能相交的图是（　　）
A． B．
C． D．
8．（2021•零陵区校级自主招生）平面内的9条直线任两条都相交，交点数最多有m个，最少有n个，则m+n等于（　　）
A．36 B．37 C．38 D．39
9．（2017秋•沂水县期末）已知∠AOB＝60°，其角平分线为OM，∠BOC＝20°，其角平分线为ON，则∠MON的大小为（　　）
A．20° B．40° C．20°或40° D．30°或10°
10．（2018•邵阳县模拟）如图，下列图形全部属于柱体的是（　　）
A． B．
C． D．
二．填空题（共5小题）
11．（2021秋•乾安县期末）长度12cm的线段AB的中点为M，C点将线段MB分成MC：CB＝1：2，则线段AC的长度为 　 　．

12．（2022秋•平原县校级期末）将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，BD、BE为折痕．若∠ABE＝30°，则∠DBC为 　 　度．

13．（2008•株洲）已知A、B、C三点在同一条直线上，M、N分别为线段AB、BC的中点，且AB＝60，BC＝40，则MN的长为 　 　．
14．（2023春•澄迈县月考）如图，将一副直角三角板叠在一起，使直角顶点重合于点O，则∠AOB+∠DOC＝　 　度．

15．（2022秋•湖北期末）如图，点C是线段AB上一点，点M、N、P分别是线段AC，BC，AB的中点．AC＝3cm，CP＝1cm，线段PN＝　 　cm．

三．解答题（共5小题）
16．（2021秋•峨边县期末）如图，已知线段AB和CD的公共部分BD=13AB=14CD，线段AB、CD的中点E、F之间距离是10cm，求AB，CD的长．

17．（2019秋•五华县期末）如图，OM是∠AOC的平分线，ON是∠BOC的平分线．
（1）如图1，当∠AOB是直角，∠BOC＝60°时，∠MON的度数是多少？
（2）如图2，当∠AOB＝α，∠BOC＝60°时，猜想∠MON与α的数量关系；
（3）如图3，当∠AOB＝α，∠BOC＝β时，猜想∠MON与α、β有数量关系吗？如果有，指出结论并说明理由．
18．（2023春•环翠区期中）如图已知点C为AB上一点，AC＝12cm，CB=23AC，D、E分别为AC、AB的中点，求DE的长．

19．（2022秋•五莲县期末）【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，则A，B两点之间的距离AB＝|a﹣b|，线段AB的中点表示的数为a+b2．
【问题情境】如图，数轴上点A表示的数为﹣2，点B表示的数为8，点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为t秒（t＞0）．
【综合运用】
（1）填空：
①A、B两点间的距离AB＝　 　，线段AB的中点表示的数为 　 　；
②用含t的代数式表示：t秒后，点P表示的数为 　 　；点Q表示的数为 　 　．
（2）求当t为何值时，P、Q两点相遇，并写出相遇点所表示的数；
（3）求当t为何值时，PQ=12AB；
（4）若点M为PA的中点，点N为PB的中点，点P在运动过程中，线段MN的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段MN的长．

20．（2022秋•广宗县期末）如图所示，点C在线段AB上，AC＝8cm，CB＝6cm，点M、N分别是AC、BC的中点．
（1）求线段MN的长．
（2）若C为线段AB上任意一点，满足AC+CB＝acm，其他条件不变，你能猜想出MN的长度吗？并说明理由．
（3）若C在线段AB的延长线上，且满足AC﹣CB＝bcm，M、N分别为AC、BC的中点，你能猜想出MN的长度吗？请画出图形，写出你的结论，并说明理由．


2024年中考数学复习热搜题速递之图形的初步认识（2023年7月）
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2015•无锡）如图的正方体盒子的外表面上画有3条粗黑线，将这个正方体盒子的表面展开（外表面朝上），展开图可能是（　　）

A． B．
C． D．
【考点】几何体的展开图．菁优网版权所有
【答案】D
【分析】根据正方体的表面展开图进行分析解答即可．
【解答】解：根据正方体的表面展开图，两条黑线在一列，故A错误，且两条相邻成直角，故B错误，正视图的斜线方向相反，故C错误，只有D选项符合条件，
故选：D．
【点评】本题主要考查了几何体的展开图，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．
2．（2022秋•滨城区校级期末）如图，将一副三角板叠放在一起，使直角的顶点重合于O，则∠AOC+∠DOB＝（　　）

A．90° B．120° C．160° D．180°
【考点】角的计算．菁优网版权所有
【答案】D
【分析】因为本题中∠AOC始终在变化，因此可以采用“设而不求”的解题技巧进行求解．
【解答】解：设∠AOD＝a，∠AOC＝90°+a，∠BOD＝90°﹣a，
所以∠AOC+∠BOD＝90°+a+90°﹣a＝180°．
故选：D．
【点评】本题考查了角度的计算问题，在本题中要注意∠AOC始终在变化，因此可以采用“设而不求”的解题技巧进行求解．
3．（2014•徐州）点A、B、C在同一条数轴上，其中点A、B表示的数分别为﹣3、1，若BC＝2，则AC等于（　　）
A．3 B．2 C．3或5 D．2或6
【考点】两点间的距离；数轴．菁优网版权所有
【专题】压轴题．
【答案】D
【分析】要求学生分情况讨论A，B，C三点的位置关系，即点C在线段AB内，点C在线段AB外．
【解答】解：此题画图时会出现两种情况，即点C在线段AB内，点C在线段AB外，所以要分两种情况计算．
点A、B表示的数分别为﹣3、1，
AB＝4．
第一种情况：在线段AB外，

AC＝4+2＝6；
第二种情况：在线段AB内，

AC＝4﹣2＝2．
故选：D．
【点评】在未画图类问题中，正确画图很重要．本题渗透了分类讨论的思想，体现了思维的严密性，在今后解决类似的问题时，要防止漏解．
4．（2022秋•密山市校级期末）已知线段AB＝10cm，点C是直线AB上一点，BC＝4cm，若M是AC的中点，N是BC的中点，则线段MN的长度是（　　）
A．7cm B．3cm C．7cm或3cm D．5cm
【考点】比较线段的长短．菁优网版权所有
【专题】分类讨论；推理能力．
【答案】D
【分析】本题应考虑到A、B、C三点之间的位置关系的多种可能，即当点C在线段AB上时和当点C在线段AB的延长线上时．
【解答】解：（1）当点C在线段AB上时，则MN=12AC+12BC=12AB＝5cm；
（2）当点C在线段AB的延长线上时，则MN=12AC-12BC＝7﹣2＝5cm．
综合上述情况，线段MN的长度是5cm．
故选：D．

【点评】首先要根据题意，考虑所有可能情况，画出正确图形．再根据中点的概念，进行线段的计算．
5．（2014•义乌市）如图，经过刨平的木板上的两个点，能弹出一条笔直的墨线，而且只能弹出一条墨线，能解释这一实际应用的数学知识是（　　）

A．两点确定一条直线
B．两点之间线段最短
C．垂线段最短
D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
【考点】直线的性质：两点确定一条直线．菁优网版权所有
【专题】应用题．
【答案】A
【分析】根据公理“两点确定一条直线”来解答即可．
【解答】解：经过刨平的木板上的两个点，能弹出一条笔直的墨线，此操作的依据是两点确定一条直线．
故选：A．
【点评】此题考查的是直线的性质在实际生活中的运用，此类题目有利于培养学生生活联系实际的能力．
6．（2014•滨州）如图，OB是∠AOC的角平分线，OD是∠COE的角平分线，如果∠AOB＝40°，∠COE＝60°，则∠BOD的度数为（　　）

A．50° B．60° C．65° D．70°
【考点】角的计算；角平分线的定义．菁优网版权所有
【专题】计算题．
【答案】D
【分析】先根据OB是∠AOC的角平分线，OD是∠COE的角平分线，∠AOB＝40°，∠COE＝60°求出∠BOC与∠COD的度数，再根据∠BOD＝∠BOC+∠COD即可得出结论．
【解答】解：∵OB是∠AOC的角平分线，OD是∠COE的角平分线，∠AOB＝40°，∠COE＝60°，
∴∠BOC＝∠AOB＝40°，∠COD=12∠COE=12×60°＝30°，
∴∠BOD＝∠BOC+∠COD＝40°+30°＝70°．
故选：D．
【点评】本题考查的是角的计算，熟知角平分线的定义是解答此题的关键．
7．（2021•商河县校级模拟）如图，对于直线AB，线段CD，射线EF，其中能相交的图是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】直线、射线、线段．菁优网版权所有
【答案】B
【分析】根据直线、射线、线段的定义对各选项分析判断利用排除法求解．
【解答】解：A、直线AB与线段CD不能相交，故本选项错误；
B、直线AB与射线EF能够相交，故本选项正确；
C、射线EF与线段CD不能相交，故本选项错误；
D、直线AB与射线EF不能相交，故本选项错误．
故选：B．
【点评】本题考查了直线、射线、线段，熟记定义并准确识图是解题的关键．
8．（2021•零陵区校级自主招生）平面内的9条直线任两条都相交，交点数最多有m个，最少有n个，则m+n等于（　　）
A．36 B．37 C．38 D．39
【考点】直线、射线、线段．菁优网版权所有
【专题】压轴题；规律型．
【答案】B
【分析】求出平面内的9条直线任两条都相交，交点数最多的个数，再求得最少的个数；则即可求得m+n的值．
【解答】解：三条最多交点数的情况．就是第三条与前面两条都相交：1+2
四条最多交点数的情况．就是第四条与前面三条都相交：1+2+3
五条最多交点数的情况．就是第五条与前面四条都相交：1+2+3+4
六条最多交点数的情况．就是第六条与前面五条都相交：1+2+3+4+5
七条最多交点数的情况．就是第七条与前面六条都相交：1+2+3+4+5+6
八条最多交点数的情况．就是第八条与前面七条都相交：1+2+3+4+5+6+7
九条最多交点数的情况．就是第九条与前面八条都相交：1+2+3+4+5+6+7+8＝36
当平面内的9条直线相交于同一点时，交点数最少，即n＝1
则m+n＝1+36＝37

故选：B．
【点评】此题考查了平面图形，主要培养学生的观察能力和几何想象能力．
9．（2017秋•沂水县期末）已知∠AOB＝60°，其角平分线为OM，∠BOC＝20°，其角平分线为ON，则∠MON的大小为（　　）
A．20° B．40° C．20°或40° D．30°或10°
【考点】角平分线的定义．菁优网版权所有
【专题】分类讨论．
【答案】C
【分析】根据题意，画出图形，分两种情况讨论：∠BOC在∠AOB内部和外部．
【解答】
解：∠BOC在∠AOB内部
∵∠AOB＝60°，其角平分线为OM
∴∠MOB＝30°
∵∠BOC＝20°，其角平分线为ON
∴∠BON＝10°
∴∠MON＝∠MOB﹣∠BON＝30°﹣10°＝20°；
∠BOC在∠AOB外部
∵∠AOB＝60°，其角平分线为OM
∴∠MOB＝30°
∵∠BOC＝20°，其角平分线为ON
∴∠BON＝10°
∴∠MON＝∠MOB+∠BON＝30°+10°＝40°．
故选：C．
【点评】本题主要考查平分线的性质，知道∠BOC在∠AOB内部和外部两种情况是解题的关键．
10．（2018•邵阳县模拟）如图，下列图形全部属于柱体的是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】认识立体图形．菁优网版权所有
【专题】常规题型．
【答案】C
【分析】根据柱体的定义，结合图形即可作出判断．
【解答】解：A、左边的图形属于锥体，故本选项错误；
B、上面的图形是圆锥，属于锥体，故本选项错误；
C、三个图形都属于柱体，故本选项正确；
D、上面的图形不属于柱体，故本选项错误．
故选：C．
【点评】此题考查了认识立体图形的知识，属于基础题，解答本题的关键是掌握柱体和锥体的定义和特点，难度一般．
二．填空题（共5小题）
11．（2021秋•乾安县期末）长度12cm的线段AB的中点为M，C点将线段MB分成MC：CB＝1：2，则线段AC的长度为 　8cm　．

【考点】比较线段的长短．菁优网版权所有
【专题】计算题．
【答案】见试题解答内容
【分析】先由中点的定义求出AM，BM的长，再根据MC：CB＝1：2的关系，求MC的长，最后利用AC＝AM+MC得其长度．
【解答】解：∵线段AB的中点为M，
∴AM＝BM＝6cm
设MC＝x，则CB＝2x，
∴x+2x＝6，解得x＝2
即MC＝2cm．
∴AC＝AM+MC＝6+2＝8cm．
【点评】利用中点性质转化线段之间的倍分关系是解题的关键，同时灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系也是十分关键的一点．
12．（2022秋•平原县校级期末）将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，BD、BE为折痕．若∠ABE＝30°，则∠DBC为 　60　度．

【考点】角的计算．菁优网版权所有
【专题】推理填空题；线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据折叠思想，通过角的和差计算即可求解．
【解答】解：∵BD、BE为折痕，∴BD、BE分别平分∠CBC′、∠ABA′
∴∠A′BE＝∠ABE＝30°，
∠DBC＝∠DBC′
∵∠A′BE+∠ABE+∠DBC+∠DBC′＝180°
∴∠ABE+∠DBC＝90°
∴∠DBC＝60°．
故答案为：60．
【点评】本题考查了角的计算，用正确角分线是解决本题的关键．
13．（2008•株洲）已知A、B、C三点在同一条直线上，M、N分别为线段AB、BC的中点，且AB＝60，BC＝40，则MN的长为 　10或50　．
【考点】比较线段的长短．菁优网版权所有
【专题】压轴题；分类讨论．
【答案】见试题解答内容
【分析】画出图形后结合图形求解．
【解答】解：（1）当C在线段AB延长线上时，
∵M、N分别为AB、BC的中点，
∴BM=12AB＝30，BN=12BC＝20；
∴MN＝50．

（2）当C在AB上时，同理可知BM＝30，BN＝20，
∴MN＝10；
所以MN＝50或10．

【点评】本题考查线段中点的定义，比较简单，注意有两种可能的情况；解答这类题目，应考虑周全，避免漏掉其中一种情况．
14．（2023春•澄迈县月考）如图，将一副直角三角板叠在一起，使直角顶点重合于点O，则∠AOB+∠DOC＝　180　度．

【考点】角的计算．菁优网版权所有
【专题】计算题．
【答案】见试题解答内容
【分析】先利用∠AOD+∠COD＝90°，∠COD+∠BOC＝90°，可得∠AOD+∠COD+∠COD+∠BOC＝180°，而∠BOD＝∠COD+∠BOC，∠AOD+∠BOD＝∠AOB，于是有∠AOB+∠COD＝180°．
【解答】解：如右图所示，
∵∠AOD+∠COD＝90°，∠COD+∠BOC＝90°，
∠BOD＝∠COD+∠BOC，∠AOD+∠BOD＝∠AOB，
∴∠AOD+∠COD+∠COD+∠BOC＝180°，
∴∠AOD+2∠COD+∠BOC＝180°，
∴∠AOB+∠COD＝180°．
故答案是180．

【点评】本题考查了角的计算、三角板的度数，注意分清角之间的关系．
15．（2022秋•湖北期末）如图，点C是线段AB上一点，点M、N、P分别是线段AC，BC，AB的中点．AC＝3cm，CP＝1cm，线段PN＝　32　cm．

【考点】两点间的距离．菁优网版权所有
【专题】线段、角、相交线与平行线．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据线段中点的性质计算即可CB的长，结合图形、根据线段中点的性质可得CN的长，进而得出PN的长．
【解答】解：∵AP＝AC+CP，CP＝1cm，
∴AP＝3+1＝4cm，
∵P为AB的中点，
∴AB＝2AP＝8cm，
∵CB＝AB﹣AC，AC＝3cm，
∴CB＝5cm，
∵N为CB的中点，
∴CN=12BC=52cm，
∴PN＝CN﹣CP=32cm．
故答案为：32．

【点评】本题考查的是两点间的距离的计算，掌握线段的中点的性质、灵活运用数形结合思想是解题的关键．
三．解答题（共5小题）
16．（2021秋•峨边县期末）如图，已知线段AB和CD的公共部分BD=13AB=14CD，线段AB、CD的中点E、F之间距离是10cm，求AB，CD的长．

【考点】两点间的距离．菁优网版权所有
【专题】方程思想．
【答案】见试题解答内容
【分析】先设BD＝xcm，由题意得AB＝3xcm，CD＝4xcm，AC＝6xcm，再根据中点的定义，用含x的式子表示出AE和CF，再根据EF＝AC﹣AE﹣CF＝2.5x，且E、F之间距离是10cm，所以2.5x＝10，解方程求得x的值，即可求AB，CD的长．
【解答】解：设BD＝xcm，则AB＝3xcm，CD＝4xcm，AC＝6xcm．
∵点E、点F分别为AB、CD的中点，∴AE=12AB＝1.5xcm，CF=12CD＝2xcm．
∴EF＝AC﹣AE﹣CF＝6x﹣1.5x﹣2x＝2.5xcm．∵EF＝10cm，∴2.5x＝10，解得：x＝4．
∴AB＝12cm，CD＝16cm．
【点评】本题主要考查了两点间的距离和中点的定义，注意运用数形结合思想和方程思想．
17．（2019秋•五华县期末）如图，OM是∠AOC的平分线，ON是∠BOC的平分线．
（1）如图1，当∠AOB是直角，∠BOC＝60°时，∠MON的度数是多少？
（2）如图2，当∠AOB＝α，∠BOC＝60°时，猜想∠MON与α的数量关系；
（3）如图3，当∠AOB＝α，∠BOC＝β时，猜想∠MON与α、β有数量关系吗？如果有，指出结论并说明理由．
【考点】角的计算；角平分线的定义．菁优网版权所有
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）求出∠AOC度数，求出∠MOC和∠NOC的度数，代入∠MON＝∠MOC﹣∠NOC求出即可；
（2）求出∠AOC度数，求出∠MOC和∠NOC的度数，代入∠MON＝∠MOC﹣∠NOC求出即可；
（3）求出∠AOC度数，求出∠MOC和∠NOC的度数，代入∠MON＝∠MOC﹣∠NOC求出即可．
【解答】解：（1）如图1，∵∠AOB＝90°，∠BOC＝60°，
∴∠AOC＝90°+60°＝150°，
∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，
∴∠MOC=12∠AOC＝75°，∠NOC=12∠BOC＝30°
∴∠MON＝∠MOC﹣∠NOC＝45°．

（2）如图2，∠MON=12α，
理由是：∵∠AOB＝α，∠BOC＝60°，
∴∠AOC＝α+60°，
∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，
∴∠MOC=12∠AOC=12α+30°，∠NOC=12∠BOC＝30°
∴∠MON＝∠MOC﹣∠NOC＝（12α+30°）﹣30°=12α．

（3）如图3，∠MON=12α，与β的大小无关．
理由：∵∠AOB＝α，∠BOC＝β，
∴∠AOC＝α+β．
∵OM是∠AOC的平分线，ON是∠BOC的平分线，
∴∠MOC=12∠AOC=12（α+β），
∠NOC=12∠BOC=12β，
∴∠MON＝∠MOC﹣∠NOC
=12（α+β）-12β
=12α
即∠MON=12α．
【点评】本题考查了角平分线定义和角的有关计算，关键是求出∠AOC、∠MOC、∠NOC的度数和得出∠MON＝∠MOC﹣∠NOC．
18．（2023春•环翠区期中）如图已知点C为AB上一点，AC＝12cm，CB=23AC，D、E分别为AC、AB的中点，求DE的长．

【考点】比较线段的长短．菁优网版权所有
【答案】见试题解答内容
【分析】求DE的长度，即求出AD和AE的长度．因为D、E分别为AC、AB的中点，故DE=12(AB-AC)，又AC＝12cm，CB=23AC，可求出CB，即可求出CB，代入上述代数式，即可求出DE的长度．
【解答】解：根据题意，AC＝12cm，CB=23AC，
所以CB＝8cm，
所以AB＝AC+CB＝20cm，
又D、E分别为AC、AB的中点，
所以DE＝AE﹣AD=12（AB﹣AC）＝4cm．
即DE＝4cm．
故答案为4cm．
【点评】此题要求学生灵活运用线段的和、差、倍、分之间的数量关系，熟练掌握．
19．（2022秋•五莲县期末）【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，则A，B两点之间的距离AB＝|a﹣b|，线段AB的中点表示的数为a+b2．
【问题情境】如图，数轴上点A表示的数为﹣2，点B表示的数为8，点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为t秒（t＞0）．
【综合运用】
（1）填空：
①A、B两点间的距离AB＝　10　，线段AB的中点表示的数为 　3　；
②用含t的代数式表示：t秒后，点P表示的数为 　﹣2+3t　；点Q表示的数为 　8﹣2t　．
（2）求当t为何值时，P、Q两点相遇，并写出相遇点所表示的数；
（3）求当t为何值时，PQ=12AB；
（4）若点M为PA的中点，点N为PB的中点，点P在运动过程中，线段MN的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段MN的长．

【考点】两点间的距离；数轴；绝对值；一元一次方程的应用．菁优网版权所有
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据题意即可得到结论；
（2）当P、Q两点相遇时，P、Q表示的数相等列方程得到t＝2，于是得到当t＝2时，P、Q相遇，即可得到结论；
（3）由t秒后，点P表示的数﹣2+3t，点Q表示的数为8﹣2t，于是得到PQ＝|（﹣2+3t）﹣（8﹣2t）|＝|5t﹣10|，列方程即可得到结论；
（4）由点M表示的数为 -2+(-2+3t)2=3t2-2，点N表示的数为 8+(-2+3t)2=3t2+3，即可得到结论．
【解答】解：（1）①10，3；
②﹣2+3t，8﹣2t；
（2）∵当P、Q两点相遇时，P、Q表示的数相等
∴﹣2+3t＝8﹣2t，
解得：t＝2，
∴当t＝2时，P、Q相遇，
此时，﹣2+3t＝﹣2+3×2＝4，
∴相遇点表示的数为4；
（3）∵t秒后，点P表示的数﹣2+3t，点Q表示的数为8﹣2t，
∴PQ＝|（﹣2+3t）﹣（8﹣2t）|＝|5t﹣10|，
又PQ=12AB=12×10＝5，
∴|5t﹣10|＝5，
解得：t＝1或3，
∴当：t＝1或3时，PQ=12AB；
（4）∵点M表示的数为 -2+(-2+3t)2=3t2-2，
点N表示的数为 8+(-2+3t)2=3t2+3，
∴MN＝|（3t2-2）﹣（3t2+3）|＝|3t2-2-3t2-3|＝5．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用和数轴，解题的关键是掌握点的移动与点所表示的数之间的关系，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．
20．（2022秋•广宗县期末）如图所示，点C在线段AB上，AC＝8cm，CB＝6cm，点M、N分别是AC、BC的中点．
（1）求线段MN的长．
（2）若C为线段AB上任意一点，满足AC+CB＝acm，其他条件不变，你能猜想出MN的长度吗？并说明理由．
（3）若C在线段AB的延长线上，且满足AC﹣CB＝bcm，M、N分别为AC、BC的中点，你能猜想出MN的长度吗？请画出图形，写出你的结论，并说明理由．

【考点】两点间的距离．菁优网版权所有
【专题】计算题．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据线段中点的定义得到MC=12AC＝4cm，NC=12BC＝3cm，然后利用MN＝MC+NC进行计算；
（2）根据线段中点的定义得到MC=12AC，NC=12BC，然后利用MN＝MC+NC得到MN=12acm；
（3）先画图，再根据线段中点的定义得MC=12AC，NC=12BC，然后利用MN＝MC﹣NC得到MN=12bcm．
【解答】解：（1）∵点M、N分别是AC、BC的中点，
∴MC=12AC=12×8cm＝4cm，NC=12BC=12×6cm＝3cm，
∴MN＝MC+NC＝4cm+3cm＝7cm；
（2）MN=12acm．理由如下：
∵点M、N分别是AC、BC的中点，
∴MC=12AC，NC=12BC，
∴MN＝MC+NC=12AC+12BC=12AB=12acm；
（3）解：如图，
∵点M、N分别是AC、BC的中点，
∴MC=12AC，NC=12BC，
∴MN＝MC﹣NC=12AC-12BC=12（AC﹣BC）=12bcm．

【点评】本题考查了两点间的距离：连接两点间的线段的长度叫两点间的距离．

考点卡片
1．数轴
（1）数轴的概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴．
数轴的三要素：原点，单位长度，正方向．
（2）数轴上的点：所有的有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不都表示有理数．（一般取右方向为正方向，数轴上的点对应任意实数，包括无理数．）
（3）用数轴比较大小：一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大．
2．绝对值
（1）概念：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值．
①互为相反数的两个数绝对值相等；
②绝对值等于一个正数的数有两个，绝对值等于0的数有一个，没有绝对值等于负数的数．
③有理数的绝对值都是非负数．
（2）如果用字母a表示有理数，则数a 绝对值要由字母a本身的取值来确定：
①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；
②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a；
③当a是零时，a的绝对值是零．
即|a|＝{a（a＞0）0（a＝0）﹣a（a＜0）
3．一元一次方程的应用
（一）一元一次方程解应用题的类型有：
（1）探索规律型问题；
（2）数字问题；
（3）销售问题（利润＝售价﹣进价，利润率=利润进价×100%）；（4）工程问题（①工作量＝人均效率×人数×时间；②如果一件工作分几个阶段完成，那么各阶段的工作量的和＝工作总量）；
（5）行程问题（路程＝速度×时间）；
（6）等值变换问题；
（7）和，差，倍，分问题；
（8）分配问题；
（9）比赛积分问题；
（10）水流航行问题（顺水速度＝静水速度+水流速度；逆水速度＝静水速度﹣水流速度）．
（二）利用方程解决实际问题的基本思路如下：首先审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程、求解、作答，即设、列、解、答．
列一元一次方程解应用题的五个步骤
1．审：仔细审题，确定已知量和未知量，找出它们之间的等量关系．
2．设：设未知数（x），根据实际情况，可设直接未知数（问什么设什么），也可设间接未知数．
3．列：根据等量关系列出方程．
4．解：解方程，求得未知数的值．
5．答：检验未知数的值是否正确，是否符合题意，完整地写出答句．
4．认识立体图形
（1）几何图形：从实物中抽象出的各种图形叫几何图形．几何图形分为立体图形和平面图形．
（2）立体图形：有些几何图形（如长方体、正方体、圆柱、圆锥、球等）的各部分不都在同一个平面内，这就是立体图形．
（3）重点和难点突破：
结合实物，认识常见的立体图形，如：长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等．能区分立体图形与平面图形，立体图形占有一定空间，各部分不都在同一平面内．
5．几何体的展开图
（1）多数立体图形是由平面图形围成的．沿着棱剪开就得到平面图形，这样的平面图形就是相应立体图形的展开图．同一个立体图形按不同的方式展开，得到的平面展开图是不一样的，同时也可看出，立体图形的展开图是平面图形．
（2）常见几何体的侧面展开图：
①圆柱的侧面展开图是长方形．②圆锥的侧面展开图是扇形．③正方体的侧面展开图是长方形．④三棱柱的侧面展开图是长方形．
（3）立体图形的侧面展开图，体现了平面图形与立体图形的联系．立体图形问题可以转化为平面图形问题解决．
从实物出发，结合具体的问题，辨析几何体的展开图，通过结合立体图形与平面图形的转化，建立空间观念，是解决此类问题的关键．
6．直线、射线、线段
（1）直线、射线、线段的表示方法
①直线：用一个小写字母表示，如：直线l，或用两个大写字母（直线上的）表示，如直线AB．
②射线：是直线的一部分，用一个小写字母表示，如：射线l；用两个大写字母表示，端点在前，如：射线OA．注意：用两个字母表示时，端点的字母放在前边．
③线段：线段是直线的一部分，用一个小写字母表示，如线段a；用两个表示端点的字母表示，如：线段AB（或线段BA）．

（2）点与直线的位置关系：①点经过直线，说明点在直线上；②点不经过直线，说明点在直线外．
7．直线的性质：两点确定一条直线
（1）直线公理：经过两点有且只有一条直线．
简称：两点确定一条直线．
（2）经过一点的直线有无数条，过两点就唯一确定，过三点就不一定了．
8．两点间的距离
（1）两点间的距离
连接两点间的线段的长度叫两点间的距离．
（2）平面上任意两点间都有一定距离，它指的是连接这两点的线段的长度，学习此概念时，注意强调最后的两个字“长度”，也就是说，它是一个量，有大小，区别于线段，线段是图形．线段的长度才是两点的距离．可以说画线段，但不能说画距离．
9．比较线段的长短
（1）比较两条线段长短的方法有两种：度量比较法、重合比较法．
就结果而言有三种结果：AB＞CD、AB＝CD、AB＜CD．
（2）线段的中点：把一条线段分成两条相等的线段的点．
（3）线段的和、差、倍、分及计算
做一条线段等于已知线段，可以通过度量的方法，先量出已知线段的长度，再利用刻度尺画条等于这个长度的线段，也可以利用圆规在射线上截取一条线段等于已知线段．
如图，AC＝BC，C为AB中点，AC=12AB，AB＝2AC，D 为CB中点，则CD＝DB=12CB=14AB，AB＝4CD，这就是线段的和、差、倍、分．
10．角平分线的定义
（1）角平分线的定义
从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线．
（2）性质：若OC是∠AOB的平分线
则∠AOC＝∠BOC=12∠AOB或∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC．

（3）平分角的方法有很多，如度量法、折叠法、尺规作图法等，要注意积累，多动手实践．
11．角的计算
（1）角的和差倍分
①∠AOB是∠AOC和∠BOC的和，记作：∠AOB＝∠AOC+∠BOC．∠AOC是∠AOB和∠BOC的差，记作：∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC．②若射线OC是∠AOB的三等分线，则∠AOB＝3∠BOC或∠BOC=13∠AOB．
（2）度、分、秒的加减运算．在进行度分秒的加减时，要将度与度，分与分，秒与秒相加减，分秒相加，逢60要进位，相减时，要借1化60．
（3）度、分、秒的乘除运算．①乘法：度、分、秒分别相乘，结果逢60要进位．②除法：度、分、秒分别去除，把每一次的余数化作下一级单位进一步去除．