备战2024新高考-高中数学二轮重难点专题32-圆锥曲线中圆的问题

2024高考数学二轮复习

重难点专题32

圆锥曲线中圆的问题

【方法技巧与总结】

1、曲线的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是圆：．

2、双曲线的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是圆．

3、抛物线的两条互相垂直的切线的交点在该抛物线的准线上．

4、证明四点共圆的方法：

方法一：从被证共圆的四点中先选出三点作一圆，然后证另一点也在这个圆上，若能证明这一点，则可肯定这四点共圆．

方法二：把被证共圆的四个点连成共底边的两个三角形，且两三角形都在这底边的同侧，若能证明其顶角相等，则可肯定这四点共圆（根据圆的性质一一同弧所对的圆周角相等证）．

方法三：把被证共圆的四点连成四边形，若能证明其对角互补或能证明其中一个外角等于其内对角时，则可肯定这四点共圆（根据圆的性质一一圆内接四边形的对角和为，并且任何一个外角都等于它的内对角）．

方法四：证明被证共圆的四点到某一定点的距离都相等，或证明被证四点连成的四边形其中三边中垂线有交点），则可肯定这四点共圆（根据圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹为圆）．

【题型归纳目录】

题型一：蒙日圆问题

题型二：内圆与外圆问题

题型三：直径为圆问题

题型四：四点共圆问题

【典例例题】

题型一：蒙日圆问题

例1．在学习数学的过程中，我们通常运用类比猜想的方法研究问题．

（1）已知动点为圆外一点，过引圆的两条切线、，、为切点，若，求动点的轨迹方程；

（2）若动点为椭圆外一点，过引椭圆的两条切线、，、为切点，若，求出动点的轨迹方程；

（3）在（2）问中若椭圆方程为，其余条件都不变，那么动点的轨迹方程是什么（直接写出答案即可，无需过程）．

【解析】解：（1）由切线的性质及可知，四边形为正方形，

所以点在以为圆心，长为半径的圆上，且，

进而动点的轨迹方程为（3分）

（2）设两切线为，，

①当与轴不垂直且不平行时，设点的坐标为，则，

设的斜率为，则，的斜率为，

的方程为，联立，

得，（5分）

因为直线与椭圆相切，所以△，得，

化简，，

进而，

所以（7分）

所以是方程的一个根，

同理是方程的另一个根，

，得，其中，（9分）

②当与轴垂直或平行时，与轴平行或垂直，

可知：点坐标为：，

点坐标也满足，

综上所述，点的轨迹方程为：．（10分）

（3）动点的轨迹方程是（12分）

例2．给定椭圆，称圆心在原点，半径为的圆是椭圆的“准圆”．若椭圆的一个焦点为，其短轴上的一个端点到的距离为．

（1）求椭圆的方程和其“准圆”方程；

（2）点是椭圆的“准圆”上的动点，过点作椭圆的切线，交“准圆”于点，．

①当点为“准圆”与轴正半轴的交点时，求直线，的方程并证明；

②求证：线段的长为定值．

【解析】（1）解：，

椭圆方程为，

准圆方程为．

（2）证明：（ⅰ）因为准圆与轴正半轴的交点为，

设过点且与椭圆相切的直线为，

所以由得．

因为直线与椭圆相切，

所以△，解得，

所以，方程为，．

，．

（ⅱ）①当直线，中有一条斜率不存在时，不妨设直线斜率不存在，

则，

当时，与准圆交于点，

此时为（或，显然直线，垂直；

同理可证当时，直线，垂直，

②当，斜率存在时，设点，，其中．

设经过点，与椭圆相切的直线为，

所以由，

得，

由△化简整理得

因为，所以有．

设，的斜率分别为，，因为，与椭圆相切，

所以，满足上述方程，

所以，即，垂直．

综合①②知：因为，经过点，，又分别交其准圆于点，，且，垂直．

所以线段为准圆的直径，，

所以线段的长为定值6．

题型二：内圆与外圆问题

例3．已知椭圆和圆，，分别是椭圆的左、右两焦点，过且倾斜角为的动直线交椭圆于，两点，交圆于，两点（如图所示，点在轴上方）．当时，弦的长为．

（1）求圆与椭圆的方程；

（2）若，，依次成等差数列，求直线的方程．

【解析】解：（1），直线的倾斜角为，

直线的方程为，则到直线的距离．

，，

即，

，从而，

椭圆的方程为：，圆的方程为；

（2）设，，

，，

又，，依次成等差数列，，则．

设，，由，解得，即，，

，则．

例4．已知椭圆和圆，，分别是椭圆的左、右两焦点，过且倾斜角为的动直线交椭圆于，两点，交圆于，两点（如图所示，点在轴上方）．当时，弦的长为．

（1）求圆与椭圆的方程；

（2）若，求直线的方程．

【解析】解：（1）取的中点，连接，，

由，，可得，

弦的长为，

，

，，

圆的方程为，

椭圆的方程为；

（2）由（1）知，，，

又，得，

，

设，，则，，

代入，得，解得，

代入，得．

，

则直线的方程为：，即．

题型三：直径为圆问题

例5．已知椭圆的右焦点为，上下顶点分别为，，以点为圆心为半径作圆，与轴交于点．

（1）求椭圆的方程；

（2）已知点，点，为椭圆上异于点且关于原点对称的两点，直线，与轴分别交于点，，记以为直径的圆为，试判断是否存在直线截的弦长为定值，若存在请求出该直线的方程，若不存在，请说明理由．

【解析】解：（1）以点为圆心为半径的圆的方程为．

因为该圆经过点，即可得，

所以．

从而可得椭圆的方程为；

（2）解：设点、的坐标分别为，、，，

则直线的方程为，可得点的坐标为．

同理可得点的坐标为．

取圆上任意一点，

则，，

由圆的几何性质可知，

则，

则以为直径的圆的方程为．

化简可得：，

结合椭圆的方程可得，

代入上式可得：．

令，可得恒成立．

据此可知存在直线，该直线截的弦长为定值．

例6．已知抛物线的焦点为，过的直线与抛物线交于，两点，过，分别向抛物线的准线作垂线，设交点分别为，，为准线上一点．

（Ⅰ）若，求的值；

（Ⅱ）若点为线段的中点，设以线段为直径的圆为圆，判断点与圆的位置关系．

【解析】解（Ⅰ）  设的方程为．，，，，

  可得    

由 得，可知，．

可知，，，

，直线的方程为，

令可得，

点是的中点，；

（Ⅱ）点为线段的中点，以线段为直径的圆为圆，．

由抛物线定义可得．

点在圆上．

题型四：四点共圆问题

例7．已知椭圆的右顶点为点，直线交于，两点，为坐标原点．当四边形为菱形时，其面积为．

（1）求的方程；

（2）若，是否存在直线，使得，，，四点共圆？若存在，求出直线的方程，若不存在，请说明理由．

【解析】解：（1）因为四边形为菱形，所以垂直平分，

不妨设为轴上方的点，则点的横坐标为，

代入椭圆方程可得的纵坐标为，

根据菱形的面积为，解得，

所以的方程为；

（2）设直线，，，，，

联立方程，

得，则，，

且△，

因为，，，四点共圆，所以，

则有，即，

所以，即，

由得，即，

由得，

即，

联立，

解得，（此时直线过点，舍去），

将代入，解得，即，

所以直线的方程为．

例8．已知双曲线与点．

（1）是否存在过点的弦，使得的中点为；

（2）如果线段的垂直平分线与双曲线交于、两点，证明：、、、四点共圆．

【解析】解：（1）双曲线的标准方程为，

，，

设存在过点的弦，使得的中点为，

设，，，，

，，

两式相减得，

即得：，，

这时直线的方程为，

由消去并整理得：，△，

从而得直线与双曲线相交，

所以以为中点的双曲线的弦所在直线的方程为；

证明：（2）设直线方程为，则点在直线上，

则，直线的方程为，

设，，，，的中点为，，

，，

两式相减得，则，则，

又因为，在直线上有，解得，

，解得，，

，整理得，则，

则，

由距离公式得，

所以、、、四点共圆．

例9．已知抛物线，是上位于第一象限内的动点，它到点距离的最小值为．直线与交于另一点，线段的垂直平分线交于，两点．

（1）求的值；

（2）若中，证明，，，四点共圆，并求该圆的方程．

【解析】解：（1）设，，则，

令，，则，

对于二次函数，其对称轴为，

当时，在，上单调递增，其最小值为9，

即的最小值为3，不满足题意，

当时，，所以当时取得最小值，

即所以，解得或（舍，

所以；

（2）由（1）可得，当时，，点，

所以，直线的方程为，

由可得，解得或，所以，

所以的中点为，所以直线的方程为，即，

设，，，，由可得，所以，，

所以线段的中点为，

因为，所以，，，四点共圆，圆心为，半径为8，

所以该圆的方程为．