高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第二章 一元二次函数、方程和不等式2.3 二次函数与一元二次方程、不等式随堂练习题

2.3二次函数与一元二次方程、不等式

一．选择题（共4小题）

1．已知函数有两个零点和，若存在实数，使得，则实数的值可能是　　

A． B． C． D．

2．已知，关于的一元二次不等式的解集中有且仅有5个整数，则所有符合条件的的值之和是　　

A．36 B．48 C．50 D．87

3．已知二次函数，若方程的根与满足，，则实数的取值范围是　　

A．或 B．或 

C．或 D．或

4．已知和是定义在上的函数，对任意的，存在常数，使，且，则在上的最大值为　　

A． B． C．5 D．

二．填空题（共4小题）

5．已知二次函数，且，若不等式恒成立，则的取值范围是　　．

6．若不存在整数使不等式成立，则实数的取值范围是　　．

7．已知二次函数，且（1），又，则的取值范围是　　．

8．已知函数，给出以下三个条件：

（1）存在，使得；

（2）（3）成立；

（3）在区间，上是增函数．若同时满足条件　　和　　（填入两个条件的编号），则的一个可能的解析式为　　．

三．解答题（共4小题）

9．已知二次函数满足条件和．

（1）求；

（2）求在区间，上的最小值（a）．

10．已知函数在区间，上的最大值为9，最小值为1，记．

（1）求实数、的值．

（2）定义在，上的函数，，对于任意大于等于2的自然数，、、都将区间，任意划分成个小区间，如果存在一个常数，使得和式恒成立，则称函数为在，上的有界变差函数．试求函数是否为在，上的有界变差函数？若是，求的最小值；若不是，请说明理由．

11．已知函数．

（1）若值域为，，且恒成立，求的解析式；

（2）若的值域为，，

①当时，求的值；

②求关于的函数关系（a）．

12．已知二次函数，若不等式的解集为．

（1）解关于的不等式；

（2）已知实数，且关于的函数的最小值为，求的值．

高中数学人教版高一2.3二次函数与一元二次方程、不等式

参考答案与试题解析

一．选择题（共4小题）

1．已知函数有两个零点和，若存在实数，使得，则实数的值可能是　　

A． B． C． D．

【分析】由题意可得，则，，依题意可得：，然后结合根的对称性分析得答案．

【解答】解：是函数的一个零点，

，

，则，，

，．

由，，得①，由，得，即②，

由①②得：．

函数的图象是开口向下的抛物线，其对称轴方程为，则．

零点到对称轴的距离，，

另一零点为，，，

因为，所以，

故，

，

综合四个选项，实数的值可能是．

故选：．

【点评】本题考查根的存在性及根的个数判断，考查等价转化思想及分类讨论的数学思想，特别考查逻辑思维能力，是难题．

2．已知，关于的一元二次不等式的解集中有且仅有5个整数，则所有符合条件的的值之和是　　

A．36 B．48 C．50 D．87

【分析】设，利用二次函数的对称性可得，从而解出所有符合条件的的值之和．

【解答】解：设，图象开口向上，对称轴为，

因为解集中有且仅有5个整数，即为6，7，8，9，10，

，，

解得，又，

所以，29，30，

所以符合题意的的值之和为，

故选：．

【点评】本题考查了有特殊要求的一元二次不等式的解法，考查了二次函数的对称性，属于难题．

3．已知二次函数，若方程的根与满足，，则实数的取值范围是　　

A．或 B．或 

C．或 D．或

【分析】构造函数，根据函数与方程的关系和根与系数的关系，讨论和，得出对应的取值范围，根据函数零点的定义列出不等式组，从而求出的取值范围．

【解答】解：令，

则，知，，与同号；

，化简得；

由求根公式求出方程的两个实数根为，；

①，则由得，

又，即；

，解得；

②若，则由得，

又，即；

，解得；

综上知，的取值范围是或．

故选：．

【点评】本题考查了函数与方程的应用问题，也考查了根与系数的应用问题，是综合题．

4．已知和是定义在上的函数，对任意的，存在常数，使，且，则在上的最大值为　　

A． B． C．5 D．

【分析】由已知很容易得到函数在区间，上的最小值为（2），于是函数也在处取到最小值（2），下面只需代入数值即可求解．

【解答】解：由已知函数和在区间，上都有最小值，，

又因为在区间，上的最小值为（2），

（2）（2），

所以得：，

即：，

所以得：（1）．

故选：．

【点评】本题考查函数的单调性，利用单调性求解函数在区间上最值的方法，考查二次函数，对勾函数等函数型的性质；考查函数与方程，转化与化归等数学思想方法．

二．填空题（共4小题）

5．已知二次函数，且，若不等式恒成立，则的取值范围是　，，　．

【分析】若不等式恒成立，则，设，，则，则，令，则表示区域内的点与连线的斜率，结合图象利用和的斜率可得．

【解答】解：若不等式恒成立，则，

又由，

设，，则，

则，

令，则表示区域内的点与连线的斜率，

因为，所以，

设直线，联立得，

△，，

由图可知，，，，

故答案为，，．

【点评】本题考查了二次函数的性质与图象，属难题．

6．若不存在整数使不等式成立，则实数的取值范围是　　．

【分析】设原不等式的解集为，然后分大于0且不等于2，等于2，小于0和等于0四种情况考虑，当等于0时，代入不等式得到关于的一元一次不等式，求出不等式的解集即为原不等式的解集；当大于0且不等于2时，不等式两边除以把不等式变形后，根据基本不等式判断与4的大小即可得到原不等式的解集；当等于2时，代入不等式，根据完全平方式大于0，得到不等于4，进而得到原不等式的解集；当小于0时，不等式两边都除以把不等式变形后，根据小于4，得到原不等式的解集，综上，得到原不等式的解集；

【解答】解：设原不等式的解集为，

当时，则，不合题意，

当且时，原不等式化为，

，

，要使不存在整数使不等式成立，

须，解得：；

当时，，合题意，

当时，原不等式化为，

，，，不合题意，

故答案为：．

【点评】此题考查了一元二次不等式的解法，考查了分类讨论的数学思想，同时考查了运算能力，是一道中档题．

7．已知二次函数，且（1），又，则的取值范围是　，　．

【分析】由（1）得，结合题意，先判定，再代入中，得到的取值范围．

【解答】解：在二次函数中，（1），

即，

，

即；

又，

，

即，

；

又，

即，

即，

；

，

，

即，

，

；

；

即的取值范围是：，．

故答案为：，．

【点评】本题考查了二次函数的图象与性质以及不等式的性质应用问题，是易错题．

8．已知函数，给出以下三个条件：

（1）存在，使得；

（2）（3）成立；

（3）在区间，上是增函数．若同时满足条件　（1）（2）　和　　（填入两个条件的编号），则的一个可能的解析式为　　．

【分析】本题考查的是二次函数的性质问题．在解答时，应充分对（1）（2）、（1）（3）、（2）（3）进行逐一分析，分析时对（1）注意从函数奇偶性上考虑；对（2）从对称轴知识上考虑；对（3）利用数形结合找出满足条件的必要条件，进而即可寻找出相应适合的函数表达式．

【解答】解：满足条件（1）（2）时，由（1）知，且：

由知：，所以函数的可能解析式为：等；

满足条件（1）（3）时，由（1）知，又在区间，上是增函数，

所以：，，所以函数的可能解析式为：等；

故答案为：（1）（2）；（1）（3）；或．

【点评】本题考查的是利用二次函数的性质进行探索的问题．在解答的过程当中充分体现了函数的奇偶性知识、二次函数的对称轴知识以及数形结合的思想．值得同学们体会和反思．

三．解答题（共4小题）

9．已知二次函数满足条件和．

（1）求；

（2）求在区间，上的最小值（a）．

【分析】（1）先设出函数的表达式，由得方程组求出，的值即可；（2）通过讨论的范围，根据函数的单调性，从而求出函数的最小值．

【解答】解：（1），

设，

，

，解得：，，

．

（2），

当时，即时，（1）

，

综上所述，．

【点评】本题考查了求函数的表达式，考查二次函数的性质，函数的单调性，考查分类讨论思想，是一道中档题．

10．已知函数在区间，上的最大值为9，最小值为1，记．

（1）求实数、的值．

（2）定义在，上的函数，，对于任意大于等于2的自然数，、、都将区间，任意划分成个小区间，如果存在一个常数，使得和式恒成立，则称函数为在，上的有界变差函数．试求函数是否为在，上的有界变差函数？若是，求的最小值；若不是，请说明理由．

【分析】（1）由已知中在区间，的最大值为9，最小值为1，结合函数的单调性及最值，我们易构造出关于，的方程组，解得，的值；

（2）根据有界变差函数的定义，我们先将区间，进行划分，分成，，，两个区间进行分别判断，进而判断是否恒成立，从而求出结论．

【解答】解：（1）函数，

对称轴为，开口向上，则在区间，上是增函数，

又函数故在区间，上的最大值为9，最小值为1，

，解得．

（2）函数为，上的有界变差函数．

由（1）知，，当时，，

函数在，上单调递减，在，上的单调递增函数，

且对任意划分，

有（1）

（1）恒成立，①

且对任意划分，

有（1）（4），

（4）（1）恒成立，②

由①②可得，

存在常数，使得恒成立，的最小值为10．

【点评】本题考查的知识点是函数恒成立问题，二次函数在闭区间上的最值，新定义，解题的关键是分析出函数的单调性，理解新定义的含义，属于难题．

11．已知函数．

（1）若值域为，，且恒成立，求的解析式；

（2）若的值域为，，

①当时，求的值；

②求关于的函数关系（a）．

【分析】（1）由知的对称轴是，从而可求得值，由值域为，，可得△，可求得值，从而可得的解析式；

（2）①设，，则，，，利用二次函数的性质及最小值为0即可求得值；

②，记，设，，，利用二次函数的性质及最小值为0即可求得关于的函数关系（a）．

【解答】解：函数的对称轴为，在，上单调递减，在，上单调递增．

（1）因为恒成立，

所以的对称轴是，故，

因为值域为，，可得△，解得，

所以．

（2）①，，设，，

则，，，

当，即时，的最小值，舍去；

当时，的最小值，

解得（舍或，

综上所述，．

②，记，

设，，，

若，（a），所以；

反之，若，只能，

否则若，则与最小值为0矛盾．

若，则（a）与最小值为0矛盾．

故时，，即．

若，由上述解答过程知（否则由，

在，上单调递增，，

所以，△，

所以（若，则与矛盾），

所以，即．

综上所述，（a）．

【点评】本题主要考查二次函数解析式的求法，二次函数的最值，二次函数图象与性质，属于难题．

12．已知二次函数，若不等式的解集为．

（1）解关于的不等式；

（2）已知实数，且关于的函数的最小值为，求的值．

【分析】（1）根据一元二次不等式与一元二次方程之间的关系，结合根与系数的关系，求出与的值，再求不等式的解集；

（2）用换元法，得函数，求出最小值为时的的值即可．

【解答】解：（1），且的解集为，

方程的两个实数根是，，且；

，

解得；

原不等式可化为，

解得解集为，，；

（2）设，且，

，时，，；

函数，

对称轴是，

，

解得或（舍去）；

存在实数．

【点评】本题考查了函数的性质与应用问题，也考查了不等式的解法与应用问题，考查了换元法的应用问题，是中档题．