辽宁省鞍山市普通高中2023-2024学年高二上学期10月月考数学（A卷）试题

2023—2024学年度十月月考

高二数学（A）

时间：120分钟  分数：150分

命题范围：选择性必修一第一章，第二章到2.3结束

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知点，，则线段AB的中点坐标为（    ）

A． B． C． D．

2．已知向量，，则下列结论正确的是（    ）

A． B．

C．  D．

3．直线的倾斜角是（    ）

A．30° B．60° C．120° D．150°

4．已知圆与圆，求两圆的公共弦所在的直线方程（    ）

A． B． C． D．

5．在平行六面体中，M为与的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（    ）

A． B． C． D．

6．已知，，，，则点O到平面ABC的距离是（    ）

A． B． C． D．

7．方程表示的曲线是以为圆心，4为半径的圆，则D，E，F的值分别为（    ）

A．4，，3 B．，6，3 C．，6， D．4，，

8．已知点P为直线上的动点，过点P作圆的切线PA，PB，切点为A，B，当最小时，直线AB的方程为（    ）

A． B． C． D．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．

9．在下列四个命题中，正确的是（    ）

A．若直线的倾斜角为锐角，则其斜率一定大于0

B．任意直线都有倾斜角，且当时，斜率为

C．若一条直线的斜率为，则此直线的倾斜角为

D．直线的倾斜角越大，则其斜率越大

10．设向量可构成空间一个基底，下列选项中正确的是（    ）

A．若，，则

B．则两两共面，但不可能共面

C．对空间任一向量，总存在有序实数组，使

D．则，，一定能构成空间的一个基底

11．已知某圆圆心C在x轴上，半径为5，且在y轴上截得线段AB的长为8，则圆的标准方程为（    ）

A． B．

C．  D．

12．如图，正方体中，E为的中点，P为棱BC上的动点，则下列结论正确的是（    ）

A．存在点P，使平面

B．存在点P，使

C．四面体的体积为定值

D．二面角的余弦值取值范围是

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．已知空间向量，，若，则______．

14．两条平行直线与之间的距离为______．

15．过点作圆的切线l，切线l的方程为______．

16．已知的顶点，AB边上的中线CM所在的直线方程为，的平分线BH所在直线方程为，直线BC的方程为______．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（10分）四边形ABCD为菱形，平面ABCD，，，．

（1）设BC中点为G，证明：平面ADE；

（2）求平面AFE与平面BFC的夹角的大小．

18．（12分）已知的顶点坐标为，，．

（1）试判断的形状；

（2）求AC边上的高所在直线的方程．

19．（12分）已知圆，直线．

（1）证明：不论m取什么实数，直线l与圆恒交于两点；

（2）求直线被圆C截得的弦长最小时l的方程．

20．（12分）已知点，______，从条件①、条件②、条件③中选择一个作为已知条件补充在横线处，并作答．

（1）求直线的方程：

（2）求直线关于直线的对称直线的方程．

条件①：点A关于直线的对称点B的坐标为；

条件②：点B的坐标为，直线过点且与直线AB垂直；

条件③：点C的坐标为，直线过点且与直线AC平行．

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

21．（12分）已知圆C经过坐标原点O，圆心在x轴正半轴上，且与直线相切．

（1）求圆C的标准方程；

（2）直线与圆C交于A，B两点．

①求k的取值范围；

②证明：直线OA与直线OB的斜率之和为定值．

22．（12分）如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为2的菱形，为等边三角形，平面平面ABCD，．

（1）求点A到平面PBC的距离；

（2）E为线段PC上一点，若直线AE与平面ABCD所成的角的正弦值为，求平面ADE与平面ABCD夹角的余弦值．

高二数学A参考答案

1．A   2．D   3．A   4．D   5．B   6．A   7．D   8．A

9．AB   10．BCD    11．AB   12．BC

13．1    14．    15．    16．．

17．（1）四边形ABCD为菱形，且，BC中点为G，所以．

因为，所以，

因为平面ABCD，平面ABCD，所以．

又，ED，平面ADE，

所以平面ADE；

（2）设BD交AC于点O，取EF中点H，连接OH，所以，底面ABCD．

以O为原点，以，，分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，

因为，所以，

所以，，，，，，

所以，，

设平面EFA的一个法向量为，则，

令，得；

，，平面BFC的一个法向量为，

则，令得；

所以，

所以平面AFE与平面BFC的夹角的大小为．

18．解：（1）∵，，

∴，∴，∴为直角三角形

（2）因为，所以，AC边上高线所在直线的斜率为

∴直线的方程是，即

19．（1）直线化为，

则，解得，所以直线l恒过定点，

圆心，半径，又因，

所以点在圆C内，所以不论m取什么实数，直线l与圆恒交于两点；

（2）当直线l所过的定点为弦的中点，即时，直线l被圆截得的弦长最短，

最短弦长为，，所以直线l的斜率为2，

即，解得，

所以直线l的方程为．

20．（1）选择条件①：

因为点A关于直线的对称点B的坐标为，所以是线段AB的垂直平分线．

因为，所以直线的斜率为1，又线段AB的中点坐标为，

所以直线的方程为，即．

选择条件②：

因为，直线与直线AB垂直，所以直线的斜率为1，

又直线过点，所以直线的方程为，即．

选择条件③，

因为，直线与直线AC平行，所以直线的斜率为1，

又直线过点，所以直线的方程为，即．

（2），解得，故，的交点坐标为，

因为在直线：上，设关于对称的点为，

则，解得，

直线关于直线对称的直线经过点，，代入两点式方程得，即，

所以：关于直线的对称直线的方程为．

21．（1）由题意，设圆心为，因为圆C过原点，所以半径，

又圆C与直线相切，所以圆心C到直线的距离（负值舍去），

所以圆C的标准方程为：．

（2）（i）将直线l代入圆的方程可得：，因为有两个交点，

所以，即k的取值范围是．

（ii）设，，由根与系数的关系：，

所以．

即直线OA，OB斜率之和为定值．

22．（1）取AD中点O，连接OB，OP．

∵为等边三角形，∴，，．

又∵平面平面ABCD，平面平面，

平面PAD，∴平面ABC．

又∵平面ABCD，∴．

∵，∴，∴．

又∵，平面POB，

平面POB，，∴平面POB．

又∵平面POB，∴．∴，

设点A到平面PBC的距离为h，

则即，∴；

（2）由（1），分别以OA，OB，OP为x轴，y轴，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系．

则，，，，，，．

设，则，．

得，则．

又平面ABC，则取平面ABCD的法向量．

设AE与平面ABCD所成的角为，则

，解得．

则，．

设平面ADE的法向量，则．

令，则取平面ADE的法向量，又平面ABCD的法向量．

故平面ADE与平面ABCD夹角的余弦值为．