2022-2023学年辽宁省鞍山市普通高中高二下学期第一次月考数学（A卷）试题含解析

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2022-2023学年辽宁省鞍山市普通高中高二下学期第一次月考数学（A卷）试题 一、单选题1．已知两点，，且直线AB的倾斜角为，则a的值为（    ）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【分析】因直线AB的倾斜角为，则A，B两点横坐标相等.【详解】因直线AB的倾斜角为，则直线AB的斜率不存在， 则A，B两点横坐标相等，故.故选：D2．在下列条件中，能使与，，一定共面的是（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据四点共面的条件逐项判断即可求得结论．【详解】解：空间向量共面定理，，若，，不共线，且，，，共面，则其充要条件是；对于A，因为，所以不能得出，，，四点共面；对于B，因为，所以不能得出，，，四点共面；对于C，，则，，为共面向量，所以与，，一定共面；对于D，因为，所以，因为，所以不能得出，，，四点共面．故选：C．3．在直三棱柱中，，且，若直线与侧面所成的角为，则异面直线与所成的角的正弦值为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】建立空间直角坐标系，设，利用线面角的向量求法求出的值，再求异面直线所成角即可.【详解】因为直三棱柱，所以底面，又因为，所以两两垂直，以为轴建立如图所示坐标系，设，则，，，，所以，，，设平面的法向量，则，解得，所以直线与侧面所成的角的正弦值，解得，所以，，设异面直线与所成的角为，则，所以异面直线与所成的角的正弦值为.故选：D4．“天问一号”是执行中国首次火星探测任务的探测器，该名称源于屈原长诗《天问》，寓意探求科学真理征途漫漫，追求科技创新永无止境．图（1）是“天问一号”探测器环绕火星的椭圆轨道示意图，火星的球心是椭圆的一个焦点．过椭圆上的点P向火星被椭圆轨道平面截得的大圆作两条切线，则就是“天问一号”在点P时对火星的观测角．图（2）所示的Q，R，S，T四个点处，对火星的观测角最大的是（    ）A．Q B．R C．S D．T【答案】A【分析】连接点P和椭圆的左焦点，由对称性和椭圆上点到焦点距离的特征得点P位于条件中点Q处，对火星的观测角最大.【详解】设火星半径为R，椭圆左焦点为，连接，则，因为，所以越小，越大，越大，所以当点P位于条件中点Q处，对火星的观测角最大.故选：A.5．如图，在三棱锥中，点分别在棱则（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据图形，结合向量的线性运算，即可求解.【详解】，所以.故选：C6．已知曲线C方程为x2+y2+|x|y＝2020，则曲线C关于（　　）对称A．x轴 B．y轴 C．原点 D．y＝x【答案】B【分析】将x换为﹣x，y不变，将y换为﹣y，x不变，将x换为﹣x，y换为﹣y，将x换为y，y换为x，判断变化后的方程与原方程的关系，从而得到结论.【详解】曲线C方程为x2+y2+|x|y＝2020，将x换为﹣x，y不变，原方程化为x2+y2+|x|y＝2020，所以曲线C关于y轴对称；将y换为﹣y，x不变，原方程化为x2+y2﹣|x|y＝2020，所以曲线C不关于x轴对称；将x换为﹣x，y换为﹣y，原方程化为x2+y2﹣|x|y＝2020，所以曲线C不关于原点对称；将x换为y，y换为x，原方程化为x2+y2+|y|x＝2020，所以曲线C不关于直线y＝x对称．故选：B．7．下列关于圆：的说法中正确的个数为（    ）①圆的圆心为，半径为②直线：与圆相交③圆与圆：相交④过点作圆的切线，切线方程为A． B． C． D．【答案】C【分析】对于①，根据圆的标准方程求出圆心坐标和半径，可知①正确；对于②，根据圆心到直线的距离小于半径，可知②正确；对于③，根据圆心距与两圆半径之间的关系，可知③正确；对于④，点在圆，可知点在圆，求出切线的斜率，根据点斜式可求出切线方程，可知④不正确.【详解】对于①，由可知，圆心为，半径为，故①正确；对于②，圆心到直线的距离，所以直线：与圆相交，故②正确；对于③，圆：的圆心，半径为，因为圆心距，且，所以圆与圆：相交，故③正确；对于④，因为点在圆：上，所以点为切点，所以切点与圆心的连线的斜率为，所以切线的斜率为，所以切线方程为：，即，故④不正确.故选：C8．已知双曲线的左、右焦点分别为、，以为直径的圆与的左支交于、两点，若，则的离心率为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】连接，求出、，利用双曲线的定义可得出关于、的齐次等式，即可解得双曲线的离心率的值.【详解】如下图所示，易知点、关于轴对称，连接，所以，，由圆的几何性质可得，所以，，，由双曲线的定义可得，因此，双曲线的离心率为.故选：C. 二、多选题9．在棱长为的正方体中，则（    ）A．平面B．直线平面所成角为45°C．三棱锥的体积是正方体体积的D．点到平面的距离为【答案】AC【分析】建立空间直角坐标系，借助空间向量解决角度距离问题.【详解】正方体中，以为坐标原点，分别以为轴，轴，轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则有，.，，，，，得，，由平面，，∴平面，A选项正确；，，设平面的一个法向量，则有，令，得，，则，，所以直线平面所成角不是45°，B选项错误；为边长为的等边三角形，， 点到平面的距离，三棱锥的体积，而棱长为的正方体的体积为，所以三棱锥的体积是正方体体积的，C选项正确；，，设平面的一个法向量，则有，令，得，，则，，点到平面的距离为，故D选项错误.故选：AC10．下列说法正确的是（    ）A．抛物线的准线方程是B．若方程表示椭圆，则实数k的取值范围是C．双曲线与椭圆的焦点相同D．M是双曲线上一点，点是双曲线的焦点，若，则【答案】ACD【分析】由椭圆，双曲线，抛物线的方程与性质求解，【详解】对于A，抛物线的准线方程是，故A正确，对于B，当即时，方程表示圆，故B错误，对于C，双曲线即，与椭圆的焦点均为，故C正确，对于D，双曲线，顶点为，焦点为，，，而，则，故D正确，故选：ACD11．已知直线与直线，则下列选项正确的是（    ）A．若，则B．若，则C．被圆截得的弦长的最小值为D．若圆上有四个点到的距离为1，则【答案】BC【分析】A选项，由直线垂直列出方程，求出；B选项，由直线平行列出方程，求出的值；C选项，求出直线过定点，确定当直线与垂直时，截得的弦长最短，求出最小值；D选项，数形结合得到圆心到的距离小于1，列出不等式，求出的取值范围.【详解】若，则，解得，故A不正确；若，则，解得或m=5．当m=5时，重合，当时，符合题意，故B正确．因为直线过定点，的圆心为，，当直线与垂直时，即当m=2时，被圆截得的弦长最短，最小值为，故C正确．因为圆的圆心，半径为2，上有四个点到的距离为1，所以圆心到的距离小于1，由，解得或，故D不正确．故选：BC12．在平面直角坐标系中，已知点在双曲线的右支上运动，平行四边形的顶点，分别在的两条渐近线上，则下列结论正确的为（    ）A．直线，的斜率之积为 B．的离心率为2C．的最小值为 D．四边形的面积可能为【答案】AC【分析】根据题意可得：双曲线为等轴双曲线，即可得到离心率为，渐近线方程为，设点的坐标，根据渐近线互相垂直可得：平行四边形为矩形，利用点到直线的距离公式和基本不等式进而进行判断即可.【详解】由题意可知：双曲线为等轴双曲线，则离心率为，故选项错误；由方程可知：双曲线的渐近线方程为，不妨设点在渐近线上，点在渐近线上.因为渐近线互相垂直，由题意可知：平行四边形为矩形，则，，所以直线，的斜率之积为，故选项正确；设点，由题意知：为矩形，则，由点到直线的距离公式可得：，，则当且仅当，也即为双曲线右顶点时取等，所以的最小值为，故选项正确；由选项的分析可知：，因为四边形为矩形，所以，故选项错误，故选：. 三、填空题13．在空间直角坐标系中，已知平面的一个法向量是，且平面过点．若是平面上任意一点，则点的坐标满足的方程是__________．【答案】【分析】利用空间向量垂直的坐标表示即得.【详解】∵，由得，，即．故答案为：.14．如图，已知在一个二面角的棱上有两个点A、B，线段AC、BD分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱AB，AB=4cm，AC=6cm，BD=8cm，CD=8cm.则这个二面角的余弦值为_____________.【答案】【分析】根据空间向量数量积的运算律求解.【详解】∵，∴，设二面角为，则，由题意可得：，则，故，整理得，即这个二面角的余弦值为.故答案为：.15．在平面直角坐标系中，设抛物线的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，过点P作，交准线l于点A．若．则________．【答案】【分析】结合抛物线的定义求得点的坐标，进而求得.【详解】设准线与y轴交于点M，则．由抛物线定义可得．又，所以是等边三角形．所以．所以．所以．因为准线l的方程是，所以点P的纵坐标为3．代入中，得，解得．所以点或．所以．故答案为：16．已知点，若圆上存在点满足（点O为坐标原点），则的取值范围为______．【答案】【分析】设，由得，点在圆上，进而结合题意圆与圆有公共点，再根据圆与圆的位置关系求解即可.【详解】解：设，因为点满足，所以，，整理得，所以，点在圆上，因为，点也在圆上所以，圆与圆有公共点，因为圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为，所以，，解得，所以，的取值范围为 故答案为： 四、解答题17．已知点和直线点是点A关于直线的对称点.(1)求点的坐标；(2)为坐标原点，且点满足.若点的轨迹与直线有公共点，求的取值范围.【答案】(1)(2) 【分析】（1）设点，根据点关于直线对称可列出方程，联立解得答案；（2）设点，根据求得P点轨迹方程，根据点的轨迹与直线有公共点，可知圆心到直线距离小于等于半径，解不等式可得答案.【详解】（1）设点，由题意知线段的中点在直线上，故：，①又直线垂直于直线，故，②联立①②式解得：，故点的坐标为；（2）设点，由题，则，故，化简得，又直线与圆有公共点，故，解得 .18．如图所示，四棱台的上､下底面均为正方形，且底面ABCD.(1)证明：；(2)若，求二面角的正弦值.【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】(1)利用线面垂直的判定定理证明线线垂直；(2)利用空间向量的坐标运算求面面角.【详解】（1）平面平面，如图，连接四边形为正方形，，又平面，平面，平面.（2）由题意知直线两两互相垂直，故以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系.由已知可得，.设平面与平面的法向量分别为.则令，则，令，则，，故二面角的正弦值为.19．已知圆C过点，圆心C在直线上，且圆C与x轴相切．(1)求圆C的标准方程；(2)过点的直线l与圆C相交于A、B两点，若为直角三角形，求直线l的方程．【答案】(1)(2)或． 【分析】(1)待定系数法求圆的方程即可；(2) 设，根据题意得到弦长，再结合垂径定理和点线距离公式可求的值，从而得到直线l的方程．【详解】（1）由题意，设圆心，由于圆C与x轴相切．半径，所以设圆C方程为又圆C过点，解得圆C方程为．（2）由圆C方程易知直线l的斜率存在，故设，即，设C到l的距离为d，则，为直角三角形，，，或，故直线l得方程为或．20．已知是抛物线：的焦点，为上一点，为坐标原点，，且的面积为．(1)求的方程；(2)已知直线与交于，两点，若点是线段的中点，求直线的方程．【答案】(1)(2) 【分析】（1）由题意写出点横坐标代入抛物线方程，求出三角形高，利用三角形求出即可得解；（2）分直线斜率是否存在讨论，当斜率不存在时不符合题意，当斜率存在时，利用点差法求出斜率即可得解.【详解】（1）由题意可知，点F的坐标为，因为，所以点P的横坐标为，不妨设，将点P坐标代入得，所以的面积，解得，所以C的方程是.（2）当直线AB的斜率不存在时，线段AB的中点在x轴上，点(1,1)显然不在x轴上，不合题意.当直线AB的斜率存在时，不妨设直线AB的斜率为k ，，则，两式相减得， 因为点(1,1)是线段AB的中点，所以，所以所以直线的方程为，即.21．如图，四边形为等腰梯形，，将沿折起，为的中点，连接.若图2中，(1)求线段的长；(2)求直线与平面所成的角的正弦值.【答案】(1)(2) 【分析】（1）作出辅助线，得到四边形为平行四边形，进而得到，证明出线面垂直，得到，由勾股定理求出的长；（2）结合第一问得到两两垂直，建立空间直角坐标系，利用空间向量求解线面角的正弦值.【详解】（1）∵为中点，，，∴在图中，且，连接CE，∴四边形为平行四边形，∴，∵AE=BE=1，∴C点落在以AB为直径的圆上，，又图2中，，平面ADC，平面，∵平面，∴，由勾股定理得；（2）取中点，连接，则，EF⊥AC，由（1）知⊥平面ACD，因为平面ACD，所以BC⊥DF，故EF⊥DF，因为AD=DC，所以DF⊥AC，易得两两垂直，以所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如图所示，∴，，设为平面的一个法向量，则，即，取，有.，∴直线与平面所成的角的正弦值为.22．已知点，点分别为椭圆的左､右顶点，直线交曲线于点是等腰直角三角形，且．(1)求的方程：(2)设过点的动直线与相交于，两点．当以为直径的圆过坐标原点时，求直线的斜率．【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用待定系数法求出椭圆的方程；（2）利用“设而不求法”直接求解.【详解】（1）由题是等腰直角三角形，所以，所以.设，由，即，解得：代入椭圆方程，即，解得：.椭圆C的方程为.（2）直线斜率不存在时，以以为直径的圆为，不经过坐标原点，不合题意；当直线斜率存在，可设的方程为.由，得，由直线和C有丙个不同的交点，，即，解得：.又又因为点在以为直径的圆上时，即.所以所以解得：，即（满足，符合题意）.存在直线的斜率，使以为直径的圆过坐标原点