2023-2024学年辽宁省鞍山市普通高中高一（下）月考数学试卷（6月份）（A卷）（含答案）

这是一份2023-2024学年辽宁省鞍山市普通高中高一（下）月考数学试卷（6月份）（A卷）（含答案），共11页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.数列0，1，0，−1，0，1，0，−1，…的一个通项公式是an等于( )
A. (−1)n+12B. csnπ2C. csn+12πD. csn+22π
2.已知f(x)=xlnx，若f′(x0)=2，则x0=( )
A. e2B. ln22C. eD. ln2
3.等差数列{an}中，a1+a5=10，a4=7，则数列{an}的公差为( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
4.曲线y=xx+2在点(−1,−1)处的切线方程为( )
A. y=2x+1B. y=2x−1C. y=−2x−3D. y=−2x−2
5.已知Sn为数列{an}的前n项和，a1=−2，an+1=Sn，那么a6=( )
A. −64B. −32C. −16D. −8
6.已知函数f(x)=13x3−mx2+mx+9在R上无极值，则实数m的取值范围为( )
A. (−∞,0)∪(1,+∞)B. (−∞,0]∪[1,+∞)
C. (0,1)D. [0,1]
7.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯( )
A. 1盏B. 3盏C. 5盏D. 9盏
8.已知定义域为R的偶函数f(x)的导函数为f′(x)，当x<0时，xf′(x)−f(x)<0，若a=f(e)e，b=f(ln2)ln2，c=f(3)3，则a，b，c的大小关系是( )
A. c9.设{an}是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和．已知a2a4=1，S3=7，则S5=( )
A. 152B. 172C. 314D. 334
二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
10.设三次函数f(x)的导函数为f′(x)，函数y=xf′(x)的图象的一部分如图所示，则( )
A. 函数f(x)有极大值f(3)
B. 函数f(x)有极小值f(− 3)
C. 函数f(x)有极大值f( 3)
D. 函数f(x)有极小值f(−3)
11.等差数列{an}是递增数列，满足a7=3a5，前n项和为Sn，下列选择项正确的是( )
A. d>0B. a1<0
C. 当n=5时Sn最小D. Sn>0时n的最小值为8
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.函数f(x)=x3−6x2+9x−10的零点个数为______个．
13.在数列{an}中，a1=1，an+1=2an+3，则a10= ______．
14.用长度为24的材料围成一个矩形场地，中间有两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，且满足S2+a2是2a1和a4的等差中项，a1=2．
(Ⅰ)求数列{an}的通项公式；
(Ⅱ)令bn=lg2a2n+a2n，求数列{bn}的前n项和Tn．
16.(本小题15分)
已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn=n2(n∈N*).
(1)求数列{an}通项公式；
(2)求数列{1anan+1}的前n项和Tn．
17.(本小题15分)
已知函数f(x)=ex(x3−x+a)，a∈R．
(1)当a=−2时，求f(x)在[−1,2]上的最大值和最小值；
(2)若f(x)在(1,+∞)上单调，求a的取值范围．
18.(本小题17分)
已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足2Sn=3an−3，其中n∈N*．
(1)证明：数列{an}为等比数列；
(2)设bn=2n−1，cn=bnan，求数列{cn}的前n项和Tn．
19.(本小题17分)
已知函数f(x)=ax−1−lnx(a∈R)．
(1)若a=1，求f(x)在区间[1e,e]上的极值；
(2)讨论函数f(x)的单调性．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：根据题意，分析可得该数列的周期为4，连续4项依次为0，1，0，−1，
分析可得D选项符合题意；
故选：D．
根据题意，分析可得该数列的周期为4，连续4项依次为0，1，0，−1，分析选项即可得答案．
本题考查数列的表示方法，关键是分析数列变化的规律．
2.【答案】C
【解析】解：由已知可得f′(x)=lnx+1，
则f′(x0)=lnx0+1=2，解得x0=e，
故选：C．
利用导数的运算性质求出函数的导数，然后令x=x0建立方程，由此即可求解．
本题考查了导数的运算性质，属于基础题．
3.【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查等差数列的通项公式的应用，属于基础题．设数列{an}的公差为d，则由题意可得2a1+4d=10，a1+3d=7，由此解得d的值．
【解答】
解：设数列{an}的公差为d，则由a1+a5=10，a4=7，可得2a1+4d=10，a1+3d=7，解得d=2，
故选：B．
4.【答案】A
【解析】解：∵y=xx+2，
∴y′=2(x+2)2，
所以k=y′|x=−1=2，得切线的斜率为2，所以k=2；
所以曲线y=f(x)在点(−1,−1)处的切线方程为：
y+1=2×(x+1)，即y=2x+1．
故选：A．
欲求在点(−1,−1)处的切线方程，只须求出其斜率的值即可，故先利用导数求出在x=−1处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．
本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．
5.【答案】B
【解析】解：∵an+1=Sn，
∴n≥2时，an=Sn−1，
相减可得：an+1=2an．
n=1时，a2=S1=−2≠2a1，
∴数列{an}从第二项开始为等比数列，
∴a6=a2×24=−2×24=−32．
故选：B．
利用递推关系、等比数列的通项公式即可得出．
本题考查了递推关系、等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
6.【答案】D
【解析】解：若函数f(x)在R上无极值，
则f′(x)=x2−2mx+m在R上无变号零点，
故△=4m2−4m≤0，解得：0≤m≤1，
故选：D．
求出函数的导数，根据函数无极值以及二次函数的性质得到关于m的不等式，解出即可．
本题考查了函数的单调性，极值问题，考查导数的应用，是基础题．
7.【答案】B
【解析】【分析】
设塔的顶层共有a1盏灯，则数列{an}公比为2的等比数列，利用等比数列前n项和公式能求出结果．
本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
【解答】
解：设塔的顶层共有a1盏灯，
则数列{an}公比为2的等比数列，
∴S7=a1(1−27)1−2=381，
解得a1=3．
故选：B．
8.【答案】A
【解析】解：令g(x)=f(x)x，因为f(x)是偶函数，所以f(−x)=f(x)，
所以当x∈(−∞,0)∪(0,+∞)时，g(−x)=−g(x)，故g(x)=f(x)x为奇函数，
当x<0时，g′(x)=xf′(x)−f(x)x2<0，则g(x)为减函数，
由奇函数知，g(x)在(0,+∞)上为减函数，
而ln2<1故选：A．
构造函数g(x)=f(x)x，根据奇偶性及导数确定单调性，利用单调性即可求解．
本题主要考查了利用导数判定函数的单调性，奇函数的性质，属于中档题．
9.【答案】C
【解析】解：设由正数组成的等比数列{an}的公比为q，则q>0，
由题意可得a32=a2a4=1，解得a3=1，
∴S3=a1+a2+a3=1q2+1q+1=7，解得q=12，或q=−13(舍去)，
∴a1=1q2=4，
∴S5=4×(1−125)1−12=314
故选：C
由题意可得a3=1，再由S3=1q2+1q+1=7可得q=12，进而可得a1的值，由求和公式可得．
本题考查等比数列的求和公式，求出数列的公比是解决问题的关键，属基础题．
10.【答案】AD
【解析】解：依题意，三次函数f(x)的导函数为f′(x)是二次函数，
观察图象知，−3，3是函数y=f′(x)的两个零点，
当x<−3或x>3时，f′(x)<0，当−30，
所以函数f(x)有极小值f(−3)，有极大值f(3)，
则选项A、D正确，选项B、C错误．
故选：AD．
根据给定条件，结合图象求出函数f′(x)的零点，再求出f′(x)大于0、小于0的x取值区间即可判断作答．
本题考查利用导数研究函数的极值，考查运算求解能力，属于基础题．
11.【答案】ABD
【解析】解：由题意，设等差数列{an}的公差为d，
因为a7=3a5，可得a1+6d=3(a1+4d)，解得a1=−3d，
又由等差数列{an}是递增数列，可知d>0，则a1<0，故A，B正确；
因为Sn=d2n2+(a1−d2)n=d2n2−7d2n，
由n=−−7d2nd=72可知，当n=3或4时Sn最小，故C错误，
令Sn=d2n2−7d2n>0，解得n<0或n>7，即Sn>0时n的最小值为8，故D正确．
故选：ABD．
设等差数列{an}的公差为d，因为a7=3a5，求得a1=−3d，根据数列{an}是递增数列，得到A，B正确；再由前n项公式，结合二次函数和不等式的解法，即可求解．
本题考查了等差数列的通项公式求和公式及其单调性、二次函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
12.【答案】1
【解析】解：∵f(x)=x3−6x2+9x−10，
f′(x)=3x2−12x+9=3(x−1)(x−3)，
x∈(−∞,1)，(3,+∞)，f′(x)>0函数是增函数，
x∈(1,3)，f′(x)<0，函数是减函数．
由此可知函数的极大值为f(1)=−6<0，
极小值为f(3)=−10<0，
所以方程x3−6x2+9x−10=0的实根个数为1个．
故答案为：1．
求出函数的导数，判断函数的单调性，求出极大值，然后判断函数零点的个数．
本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及函数的极值的求法，考查转化思想以及计算能力．
13.【答案】2045
【解析】解：由an+1=2an+3，得
an+1+3=2(an+3)，
∵a1=1，
∴a1+3=4≠0，
∴数列{an+3}构成以4为首项，以2为公比的等比数列，
∴an+3=4⋅2n−1，
则an=4⋅2n−1−3．
∴a10=4×29−3=2045．
故答案为：2045．
由数列递推式得到数列{an+3}构成以4为首项，以2为公比的等比数列，求出其通项公式后可得a10的值．
本题考查了数列递推式，考查了等比关系的确定，是中档题．
14.【答案】3
【解析】解：如图所示，
设矩形场地的宽为x，则长为24−4x2，其面积为：
S=24−4x2⋅x=12x−2x2=−2(x2−6x+9)+18=−2(x−3)2+18
当x=3时，S有最大值，为18；所以隔墙宽应为3．
故答案为：3．
若设矩形场地的宽为x，则长为24−4x2，其面积为S=24−4x2⋅x，整理得x的二次函数，能求出函数的最值以及对应的x的值．
本题借助于矩形的周长与面积，考查了二次函数的最值问题，是基础题目．
15.【答案】解：(Ⅰ)正项等比数列{an}的前n项和为Sn，且满足S2+a2是2a1和a4的等差中项，
设公比为q，则2(S2+a2)=2a1+a4，整理得：2(a1+2a2)=2a1+a4，
由于a1=2，即2(2+4q)=4+2q3，
解得q=2(q=1,−2舍去)，
所以an=2n．
(Ⅱ)由于b=lg2a2n+a2n=2n+4n，
所以Tn=2+41+4+42+6+43+…+2n+4n=(2+4+6+…+2n)+(41+42+…+4n)=n(n+1)+4(4n−1)4−1=4n+1−43+n2+n
【解析】(Ⅰ)直接利用已知条件建立等量关系求出数列的公比，进一步求出数列的通项公式．
(Ⅱ)利用(Ⅰ)的结论，进一步利用分组法求出数列的和．
本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法，分组法的求和，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．
16.【答案】解：(1)由题意得，Sn=n2(n∈N*)，
当n=1时，a1=S1=1，
当n≥2时，an=Sn−Sn−1=n2−(n−1)2=2n−1，
当n=1时也符合上式，则an=2n−1；
(2)由(1)得，1an⋅an+1=1(2n−1)(2n+1)=12(12n−1−12n+1)，
∴Tn=1a1a2+1a2a3+…+1anan+1
=12[(1−13)+(13−15)+…+(12n−1−12n+1)]
=12(1−12n+1)=n2n+1．
【解析】(1)根据题意和an=s1,n=1sn−sn−1,n≥2，分别列出式子化简、验证后求出an；
(2)由(1)化简1anan+1，利用裂项相消法和等差数列的前n项和公式求出前n项和Tn．
本题考查了数列的通项公式与前n项和公式之间的关系式：an=s1,n=1sn−sn−1,n≥2，等差数列的前n项和公式，以及裂项相消法求数列的和，考查了方程思想，化简、变形能力．
17.【答案】解：(1)当a=−2时，f(x)=ex(x3−x−2)，
f′(x)=ex(x3+3x2−x−3)=ex(x+3)(x+1)(x−1)，
∴f(x)在[−1,1]上单调递减，在[1,2]上单调递增，
∴当x∈[−1,2]时，f(x)min=f(1)=−2e，
f(−1)=−2e−1，f(2)=4e2，
∴f(x)在[−1,2]上的最大值为4e2，最小值为−2e．
(2)f′(x)=ex(x3+3x2−x+a−1)，
若f(x)在(1,+∞)上单调，即f′(x)≥0在(1,+∞)上恒成立或f′(x)≤0在(1,+∞)上恒成立，
即a≥(−x3−3x2+x+1)max或a≤(−x3−3x2+x+1)min，(x>1)，
令h(x)=−x3−3x2+x+1，(x>1)，
h′(x)=−3x2−6x+1，显然h′(x)在(1,+∞)递减，而h′(1)=−8<0，
故h(x)在(1,+∞)递减，故h(x)maxx→+∞时，h(x)→−∞，无极小值，
故a≥−2．
【解析】(1)对f(x)求导，求得f(x)在[1,2]上的增减性和极值即可；
(2)将问题转化为a≥(−x3−3x2+x+1)max或a≤(−x3−3x2+x+1)min，(x>1)，令h(x)=−x3−3x2+x+1，(x>1)，根据函数的单调性求出a的范围即可．
本题考查了利用导数求函数的增减性与极值，函数恒成立问题，涉及转化思想，属中档题．
18.【答案】解：(1)数列{an}的前n项和为Sn，且满足2Sn=3an−3①，
当n=1时，解得a1=3．
当n≥2时，2Sn−1=3an−1−3②，
①−②得：an=3an−1，即anan−1=3(常数)，
所以数列{an}是以3为首项，3为公比的等比数列．
(2)由(1)得：an=3n，
由于bn=2n−1，
所以cn=bnan==2n−13n，
所以Tn=13+332+…+2n−13n①，
Tn=132+333+…+2n−13n+1②，
①−②得：23Tn=13+232+…+23n−2n−13n+1=13+232×(1−13n−1)1−13−2n−13n+1，
解得Tn=1−n+13n．
【解析】(1)直接利用数列的递推关系式的应用求出数列为等比数列；
(2)利用乘公比错位相减法求出数列的和．
本题考查的知识要点：数列的定义，乘公比错位相减法在求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．
19.【答案】解：(1)当a=1时，f(x)=x−1−lnx，x>0，
f′(x)=1−1x=x−1x，
由f′(x)=0，得x=1，
当1e≤x<1时，f′(x)<0，f(x)单调递减，
当10，f(x)单调递增，
∴当x=1时，f(x)在区间[1e,e]上取极小值f(1)=1−1−ln1=0，无极大值．
(2)函数f(x)=ax−1−lnx(a∈R)的定义域为(0,+∞)，
f′(x)=a−1x=ax−1x，
①当a≤0时，f′(x)<0恒成立，
此时函数f(x)在(0,+∞)内单调递减，
②当a>0时，令f′(x)≥0，解得x≥1a，
令f′(x)<0，有0此时函数的单调递增区间为[1a,+∞)，单调递减区间为(0,1a)，
综上所述，当a≤0时，函数在定义域内单调递减，
当a>0时，函数的单调递增区间为[1a,+∞)，单调递减区间为(0,1a).
【解析】(1)当a=1时，f(x)=x−1−lnx，x>0，f′(x)=1−1x=x−1x，由f′(x)=0，得x=1，当1e≤x<1时，f′(x)<0，当10，由此能求出f(x)在区间[1e,e]上的极值．
(2)求导得f′(x)=ax−1x，分两种情况：①当a≤0时，②当a>0时，讨论f′(x)的正负，进而可得f(x)的单调区间．
本题考查函数的单调性，极值问题，考查函数的性质、导数的应用以及转化思想，考查函数恒成立问题，是中档题．