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辽宁省普通高中2023-2024学年度下学期6月月考模拟试题（2） 高二数学
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这是一份辽宁省普通高中2023-2024学年度下学期6月月考模拟试题（2） 高二数学，文件包含辽宁省普通高中2023-2024学年度下学期6月月考模拟试题2原卷版docx、辽宁省普通高中2023-2024学年度下学期6月月考模拟试题2解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共19页， 欢迎下载使用。
试题考察范围：（统计概率、数列、导数） 试卷难度：中档
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
函数的导数是（ ）
A．B．C．D．
用数学归纳法证明时，第一步需要验证的不等式是（ ）
A．B．C．D．
质数(prime number)又称素数，一个大于1的自然数，除了1和它本身外，不能被其他自然数整除，则这个数为质数.数学上把相差为2的两个素数叫做“孪生素数”，如：3和5，5和，那么，如果我们在不超过30的自然数中，随机选取两个不同的数，记事件：这两个数都是素数：事件：这两个数不是孪生素数，则（ ）
A．B．C．D．
已知直线与曲线相切，则的值为（ ）
A．1B．C．D．
某校安排甲、乙、丙三个班级同时到学校礼堂参加联欢晚会，已知甲班艺术生占比8%，乙班艺术生占比6%，丙班艺术生占比5%，学生自由选择座位，先到者先选．甲、乙、丙三个班人数分别占总人数的，，．若主持人随机从场下学生中选一人参与互动，选到的学生是艺术生的概率为（ ）
A．B．C．D．
十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础，著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间均分为三段，去掉中间的区间段，记为第1次操作；再将剩下的两个区间分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第2次操作；…；每次操作都在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段；操作过程不断地进行下去，剩下的区间集合即是“康托三分集”.设第次操作去掉的区间长度为，数列满足：，则数列中的取值最大的项为（ ）
A．第3项B．第4项C．第5项D．第6项
设数列满足，且，则（ ）
A．1B．C．10D．100
若不等式对任意恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
甲盒中装有3个蓝球、2个黄球，乙盒中装有2个蓝球、3个黄球，同时从甲、乙两盒中取出个球交换，分别记交换后甲、乙两个盒子中蓝球个数的数学期望为，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
已知函数，则下列选项正确的有（ ）
A．函数极小值为，极大值为
B．函数存在3个不同的零点
C．当时，函数的最大值为
D．当时，方程恰有3个不等实根.
设正整数，其中，记．则（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
小李向银行贷款14760元，并与银行约定：每年还一次款，分4次还清所有欠款，且每年还款的钱数都相等，贷款的年利率为0.25，则小李每年所要还款的钱数是 元．
已知曲线存在过坐标原点的切线，则实数的取值范围是 ．
“布朗运动”是指微小颗粒永不停息的无规则随机运动，在如图所示的试验容器中，容器由三个仓组成，某粒子作布朗运动时每次会从所在仓的通道口中随机选择一个到达相邻仓或者容器外，一旦粒子到达容器外就会被外部捕获装置所捕获，此时试验结束．已知该粒子初始位置在1号仓，则试验结束时该粒子是从1号仓到达容器外的概率为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
（本小题满分13分）
已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）证明：当时，．
（本小题满分15分）
统计与概率主要研究现实生活中的数据和客观世界中的随机现象，通过对数据的收集、整理、分析、描述及对事件发生的可能性刻画，来帮助人们作出合理的决策.
（1）现有池塘甲，已知池塘甲里有50条鱼，其中A种鱼7条，若从池塘甲中捉了2条鱼.用表示其 中A种鱼的条数，请写出的分布列，并求的数学期望;
（2）另有池塘乙，为估计池塘乙中的鱼数，某同学先从中捉了50条鱼，做好记号后放回池塘，再从 中捉了20条鱼，发现有记号的有5条.
（ⅰ）请从分层抽样的角度估计池塘乙中的鱼数.
（ⅱ）统计学中有一种重要而普遍的求估计量的方法─最大似然估计，其原理是使用概率模型寻找 能够以较高概率产生观察数据的系统发生树，即在什么情况下最有可能发生已知的事件.请从 条件概率的角度，采用最大似然估计法估计池塘乙中的鱼数.
（本小题满分15分）
已知数列，中，是它的前n项和，并且，，．
（1）求证：是等比数列；
（2）求数列的通项公式；
（3）设，求前n项和．
（本小题满分17分）
已知函数．
（1）若函数在处的切线与轴平行，求的值；
（2）若存在,，使不等式对于,恒成立，求的取值范围；
（3）若方程有两个不等的实数根,，试证明．
（本小题满分17分）
记实数，中的较大者为，例如，，对于无穷数列，记，若对于任意的，均有，则称数列为“趋势递减数列”.
（1）已知数列的通项公式分别为，，判断数列是否为“趋势递减 数列”，并说明理由；
（2）已知首项为公比为的等比数列是“趋势递减数列”，求的取值范围；
（3）若数列满足，为正实数，且，求证：为“趋势递减数列”的充要条件为的项中没有.
试题考察范围：（统计概率、数列、导数） 试卷难度：中档
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
函数的导数是（ ）
A．B．C．D．
用数学归纳法证明时，第一步需要验证的不等式是（ ）
A．B．C．D．
质数(prime number)又称素数，一个大于1的自然数，除了1和它本身外，不能被其他自然数整除，则这个数为质数.数学上把相差为2的两个素数叫做“孪生素数”，如：3和5，5和，那么，如果我们在不超过30的自然数中，随机选取两个不同的数，记事件：这两个数都是素数：事件：这两个数不是孪生素数，则（ ）
A．B．C．D．
已知直线与曲线相切，则的值为（ ）
A．1B．C．D．
某校安排甲、乙、丙三个班级同时到学校礼堂参加联欢晚会，已知甲班艺术生占比8%，乙班艺术生占比6%，丙班艺术生占比5%，学生自由选择座位，先到者先选．甲、乙、丙三个班人数分别占总人数的，，．若主持人随机从场下学生中选一人参与互动，选到的学生是艺术生的概率为（ ）
A．B．C．D．
十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础，著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间均分为三段，去掉中间的区间段，记为第1次操作；再将剩下的两个区间分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第2次操作；…；每次操作都在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段；操作过程不断地进行下去，剩下的区间集合即是“康托三分集”.设第次操作去掉的区间长度为，数列满足：，则数列中的取值最大的项为（ ）
A．第3项B．第4项C．第5项D．第6项
设数列满足，且，则（ ）
A．1B．C．10D．100
若不等式对任意恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
甲盒中装有3个蓝球、2个黄球，乙盒中装有2个蓝球、3个黄球，同时从甲、乙两盒中取出个球交换，分别记交换后甲、乙两个盒子中蓝球个数的数学期望为，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
已知函数，则下列选项正确的有（ ）
A．函数极小值为，极大值为
B．函数存在3个不同的零点
C．当时，函数的最大值为
D．当时，方程恰有3个不等实根.
设正整数，其中，记．则（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
小李向银行贷款14760元，并与银行约定：每年还一次款，分4次还清所有欠款，且每年还款的钱数都相等，贷款的年利率为0.25，则小李每年所要还款的钱数是 元．
已知曲线存在过坐标原点的切线，则实数的取值范围是 ．
“布朗运动”是指微小颗粒永不停息的无规则随机运动，在如图所示的试验容器中，容器由三个仓组成，某粒子作布朗运动时每次会从所在仓的通道口中随机选择一个到达相邻仓或者容器外，一旦粒子到达容器外就会被外部捕获装置所捕获，此时试验结束．已知该粒子初始位置在1号仓，则试验结束时该粒子是从1号仓到达容器外的概率为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
（本小题满分13分）
已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）证明：当时，．
（本小题满分15分）
统计与概率主要研究现实生活中的数据和客观世界中的随机现象，通过对数据的收集、整理、分析、描述及对事件发生的可能性刻画，来帮助人们作出合理的决策.
（1）现有池塘甲，已知池塘甲里有50条鱼，其中A种鱼7条，若从池塘甲中捉了2条鱼.用表示其 中A种鱼的条数，请写出的分布列，并求的数学期望;
（2）另有池塘乙，为估计池塘乙中的鱼数，某同学先从中捉了50条鱼，做好记号后放回池塘，再从 中捉了20条鱼，发现有记号的有5条.
（ⅰ）请从分层抽样的角度估计池塘乙中的鱼数.
（ⅱ）统计学中有一种重要而普遍的求估计量的方法─最大似然估计，其原理是使用概率模型寻找 能够以较高概率产生观察数据的系统发生树，即在什么情况下最有可能发生已知的事件.请从 条件概率的角度，采用最大似然估计法估计池塘乙中的鱼数.
（本小题满分15分）
已知数列，中，是它的前n项和，并且，，．
（1）求证：是等比数列；
（2）求数列的通项公式；
（3）设，求前n项和．
（本小题满分17分）
已知函数．
（1）若函数在处的切线与轴平行，求的值；
（2）若存在,，使不等式对于,恒成立，求的取值范围；
（3）若方程有两个不等的实数根,，试证明．
（本小题满分17分）
记实数，中的较大者为，例如，，对于无穷数列，记，若对于任意的，均有，则称数列为“趋势递减数列”.
（1）已知数列的通项公式分别为，，判断数列是否为“趋势递减 数列”，并说明理由；
（2）已知首项为公比为的等比数列是“趋势递减数列”，求的取值范围；
（3）若数列满足，为正实数，且，求证：为“趋势递减数列”的充要条件为的项中没有.
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