广东省深圳市北大附中南山分校2022-2023学年八年级上学期月考数学试题

广东省深圳市北大附中南山分校八年级（上）月考

数学试卷

一、选择题

1．（3分）若一直角三角形两边长分别为12和5，则第三边长为（    ）．

A．13或 B．13或19 C．13或15 D．15

2．（3分）若二次根式有意义，则x应满足（    ）．

A． B． C． D．

3．（3分）如图，四个实数m，n，p，q在数轴上对应的点分别为M，N，P，Q，若，则m，n，p，q四个实数中，绝对值最大的一个是（    ）．

A．p B．q C．m D．n

4．（3分）设n为正整数，且，则n的值为（    ）．

A．5 B．6 C．7 D．8

5．（3分）若点在第二象限，则点在（    ）．

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

6．（3分）设路程为，速度为，时间为，当时，，在这个函数关系式中（    ）．

A．路程是常量，t是s的函数 B．速度是常量，t是v的函数

C．时间是常量，v是t的函数 D．是常量，v是自变量，t是v的函数

7．（3分）①；②；③；④；⑤，一定是一次函数的个数有（    ）．

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个

8．（3分）下列说法不正确的是（    ）．

A．的平方根是  B．

C．的算术平方根是 D．

9．（3分）下列各数中是无理数的是（    ）．

A．3.5 B． C． D．

10．（3分）甲、乙两同学骑自行车从A地沿同一条路到B地，已知乙比甲先出发他们离出发地的距离和骑行时间之间的函数关系如图所示．根据图象信息，以下说法错误的是（    ）．

A．他们都骑了  B．两人在各自出发后半小时内的速度相同

C．甲和乙两人同时到达目的地 D．相遇后，甲的速度大于乙的速度

11．（3分）一次函数与，在同一平面直角坐标系的图象是（    ）．

A．B．C．D．

12．（3分）如图，平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，，当直线与有交点时，b的取值范围是（    ）．

A． B． C． D．

二、填空题

13．（3分）如图，直线与直线交于点，则方程组的解为__________．

14．（3分）若，则__________．

15．（3分）当__________时，关于x的一次函数又是正比例函数．

16．（3分）已知点在一次函数的图象上，则代数式的值等于__________．

三、解答题

17．计算

（1）； （2）；

（3）； （4）．

18．解下列方程组

（1）；  （2）．

19．如图，在中，，，，，求的面积．

20．已知点，分别根据下列条件求出点P的坐标．

（1）点P在轴上；

（2）点P在y轴上；

（3）点Q的坐标为，直线；

（4）点P到x轴、y轴的距离相等．

21．随着人民环保意识的增强，低碳出行越来越为人们所倡导，小李要从家乡到宁波工作，若乘飞机需要3小时，乘汽车需要9小时，这两种交通工具每小时排放的二氧化碳总量为80千克，已知飞机每小时二氧化碳的排放量比汽车多46千克，小李若乘汽车来宁波，那么他此行与乘飞机相比将减少二氧化碳排放量多少千克？

22．如图，在平面直角坐标系中，直线经过点，，以为边，作等腰直角，且，点C在第一象限．

（1）求直线的解析式；

（2）求点C的坐标；

（3）若点D在直线上，，求出符合条件的所有点D的坐标．

23．阅读下列两则材料，回答问题，

材料一：定义直线与直线互为“互助直线”，例如，直线与直线互为“互助直线”；

材料二：对于平面直角坐标系中的任意两点、，、两点间的直角距离．如：、两点间的直角距离为；

材料三：设为一个定点，是直线上的动点，我们把的最小值叫做到直线的直角距离．

（1）计算，两点间的直角距离__________；

（2）直线上的一点又是它的“互助直线”上的点，求点H的坐标．

（3）对于直线上的任意一点，都有点在它的“互助直线”上，试求点到直线的直角距离．

广东省深圳市北大附中南山分校八年级（上）月考数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题

1．【分析】本题已知直角三角形的两边长，但未明确这两条边是直角边还是斜边，因此两条边中的较长边12既可以是直角边，也可以是斜边，所以求第三边的长必须分类讨论，即12是斜边或直角边的两种情况，然后利用勾股定理求解．

【解答】解：当12是斜边时，第三边是；

当12是直角边时，第三边是．

故选：A．

【点评】本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键．

2．【分析】根据二次根式有意义的条件得到：．

【解答】解：由题意知，．解得．

故选：B．

【点评】考查了二次根式的意义和性质．概念：式子叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．

3．【分析】根据可以得到n、q的关系，从而可以判定原点的位置，从而可以得到哪个数的绝对值最大，本题得以解决．

【解答】解：∵，∴n和q互为相反数，0在线段的中点处，

∴绝对值最大的点P表示的数p．

故选：A．

【点评】本题考查实数与数轴，解题的关键是明确数轴的特点，利用数形结合的思想解答．

4．【分析】首先得出，进而求出的取值范围，即可得出n的值．

【解答】解：∵，∴．

∵，∴．

故选：D．

【点评】此题主要考查了估算无理数，得出是解题关键．

5．【分析】根据第二象限内的点的横坐标小于零，纵坐标大于零，可得关于a、b的不等式，再根据不等式的性质，可得B点的坐标符号．

【解答】解：由在第二象限，得

，．解得，．

由不等式的性质，得，，点在第一象限．

故选：A．

【点评】本题考查了点的坐标，利用第二象限内点的横坐标小于零，纵坐标大于零得出不等式，又利用不等式的性质得出B点的坐标符号是解题关键．

6．【分析】利用函数的概念对各选项进行判断．

【解答】解：在函数关系式中，v为自变量，t为v的函数，50为常量．

故选：D．

【点评】本题考查了函数关系式：用来表示函数关系的等式叫做函数解析式，也称为函数关系式；函数解析式是等式．函数解析式中，通常等式的右边的式子中的变量是自变量，等式左边的那个字母表示自变量的函数．

7．【分析】根据一次函数的定义条件解答即可．

【解答】解：①，当时原式不是函数；

②是一次函数；

③由于，则是一次函数；

④自变量次数不为1，故不是一次函数；

⑤是一次函数．

故选：B．

【点评】本题主要考查了一次函数的定义，一次函数的定义条件是：k、b为常数，，自变量次数为1．

8．【分析】根据平方根与立方根进行判断即可．

【解答】解：A．的平方根是，正确；

B．，错误；

C．的算术平方根是，正确；

D．，正确；

故选：B．

【点评】此题主要考查了平方根与立方根，正确把握相关定义是解题关键．

9．【分析】根据无理数是无限不循环小数解答即可．

【解答】解：A．3.5是小数，属于有理数，不符合题意；

B．是分数，属于有理数，不符合题意；

C．是无理数，符合题意；

D．，是整数，属于有理数，不符合题意．

故选：C．

【点评】本题考查的是无理数的识别，掌握无理数的定义是关键．

10．【分析】根据函数图象和图象中的数据可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．

【解答】解：由函数图象可得，他们都骑了，故选项A不合题意；

两人在各自出发后半小时内的速度相同，故选项B不合题意；

甲先到达目的地，故选项C符合题意；

相遇后，甲的速度大于乙的速度，故选项D不合题意．

故选：C．

【点评】本题考查函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．

11．【分析】由于m、n的符号不确定，故应先讨论m、n的符号，再根据一次函数的性质进行选择．

【解答】解：（1）当，时，，

一次函数的图象一、二、三象限，

正比例函数的图象过一、三象限，无符合项；

（2）当，时，，

一次函数的图象一、三、四象限，

正比例函数的图象过二、四象限，C选项符合；

（3）当，时，，

一次函数的图象二、三、四象限，

正比例函数的图象过一、三象限，无符合项；

（4）当，时，，

一次函数的图象一、二、四象限，

正比例函数的图象过二、四象限，无符合项．

故选：C．

【点评】一次函数的图象有四种情况：

①当，，函数的图象经过第一、二、三象限；

②当，，函数的图象经过第一、三、四象限；

③当，时，函数的图象经过第一、二、四象限；

④当，时，函数的图象经过第二、三、四象限．

12．【分析】将，，的坐标分别代入直线中求得b的值，再根据一次函数的增减性即可得到b的取值范围．

【解答】解：直线经过点B时，将代入直线中，可得，解得；

直线经过点A时：将代入直线中，可得，解得；

直线经过点C时：将代入直线中，可得，解得．

故b的取值范围是．

故选：B．

【点评】考查了一次函数的性质：，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；，y随x的增大而减小，函数从左到右下降．

二、填空题

13．【分析】根据一次函数与二元一次方程组的关系解答即可．

【解答】解：∵直线与直线交于点，

∴方程组，即的解是．

故答案为：．

【点评】本题主要考查一次函数函数与二元一次方程组的关系，函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解．

14．【分析】根据二次根式有意义的条件得出，，求出x，代入求出y即可．

【解答】解：有意义，

必须，，解得：，

代入得：，∴．

故答案为：9．

【点评】本题主要考查对二次根式有意义的条件的理解和掌握，能求出的值是解此题的关键．

15．【分析】根据一次函数和正比例函数的定义可知，，从而可解得k的值．

【解答】解：∵关于x的一次函数又是正比例函数，

∴，．解得：．

故答案为：．

【点评】本题主要考查的是一次函数和正比例函数的定义，掌握定义是解题的关键．

16．【分析】把点P的坐标代入一次函数解析式可以求得a、b间的数量关系，所以易求代数式的值．

【解答】解：∵点在一次函数的图象上，

∴，∴，

即代数式的值等于．

故答案为：．

【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，函数图象上的点的坐标满足图象的解析式．

三、解答题

17．【分析】（1）先化简每一个绝对值，然后再进行计算即可解答；

（2）先算乘方，再算乘法，后算加减，即可解答；

（3）先化简各式，然后再进行计算即可解答；

（4）先计算二次根式的乘法，再算加减，即可解答．

【解答】解：（1）；

（2）；

（3）；

（4）．

【点评】本题考查了二次根式的混合运算，实数的运算，负整数指数幂，准确熟练地进行计算是解题的关键．

18．【分析】（1）利用将①代入②求出x，再将x代入①，求解即可；

（2）①＋②求出x，再求y即可．

【解答】解：（1），

将①代入②，，解得，，

将代入①，，

所以方程组的解是．

（2），

①＋②得，，∴，

将代入①，解得．

所以方程组的解是．

【点评】本题考查解二元一次方程组，解题的关键是掌握解方程的方法．

19．【分析】根据，，，利用勾股定理的逆定理求证是直角三角形，然后利用三角形面积公式即可得出答案．

【解答】解：∵，，，

∴，

∴是直角三角形，

∴，

答：的面积是24．

【点评】此题主要考查学生对勾股定理和勾股定理的逆定理的理解和掌握，解答此题的关键是利用勾股定理的逆定理求证是直角三角形．

20．【分析】（1）利用x轴上点的坐标性质纵坐标为0，进而得出a的值，即可得出答案；

（2）利用y轴上点的坐标性质横坐标为0，进而得出a的值，即可得出答案；

（3）利用平行于y轴直线的性质，横坐标相等，进而得出a的值，进而得出答案；

（4）利用点P到x轴、y轴的距离相等，得出横纵坐标相等或相反数进而得出答案．

【解答】解：（1）∵点，在x轴上，

∴，解得：，故，则．

（2））∵点，在y轴上，

∴，解得：，故，则．

（3）∵点Q的坐标为，直线轴，

∴，解得：，故，则．

（4）∵点P到x轴、y轴的距离相等，

∴或，解得：，，

故当则：，，则；

故当则：，，则．

综上所述：，．

【点评】此题主要考查了点的坐标性质，用到的知识点为：点到坐标轴的距离相等，那么点的横纵坐标相等或互为相反数以及在坐标轴上的点的性质．

21．【分析】设飞机每小时二氧化碳的排放量为x千克，汽车每小时二氧化碳的排放量为y千克，根据“这两种交通工具每小时排放的二氧化碳总量为80千克，飞机每小时二氧化碳的排放量比汽车多46千克”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出x，y的值，再将其代入中即可求出结论．

【解答】解：设飞机每小时二氧化碳的排放量为x千克，汽车每小时二氧化碳的排放量为y千克，

依题意，得：，解得：，∴．

答：他此行与乘飞机相比将减少二氧化碳排放量36千克．

【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．

22．【分析】（1）直接将点A，B坐标代入，解方程组，即可得出结论；

（2）先判断出≌（AAS），设，进而得出，，进而得出方程，即可得出结论；

（2）先求出三角形的面积，设出点D的坐标，用建立方程求解即可得出结论．

【解答】解：（1）∵直线经过点\，

∴，∴，∴直线的解析式为．

（2）如图，过点C作轴于E，作轴于F，

∴，

∴四边形是矩形，∴，

∵是等腰直角三角形，∴，，

∴，∴≌（AAS），

∴，．

∵点C在第一象限内，∴设．

∵、，

∴，，∴，∴，

∴．

（3）如图，设直线与直线的交点为G，

∵直线的解析式为，∴，

∵，∴，

∴，

∵，∴，

设，∴，

∴（此时点D与点C重合，所以舍去）或，

∴．

【点评】此题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法，三角形的面积的计算，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，求出点C的坐标是解本题的关键．

23．【分析】（1），即可求解；

（2）设点，将点H坐标代入得：，即可求解；

（3）在上则，点N在“互助直线”上，则，联立①②并整理得：，对于任意一点都等式均成立，故：，，解得：，，即可求解．

【解答】解：（1），故答案为4．

（2）直线上的“互助直线”为：，

设点，将点H坐标代入得：，解得：，

故点．

（3）在上，则…①，

点N在“互助直线”上，则…②，

联立①②并整理得：，

对于任意一点都等式均成立，故：，，

解得：，，故函数的表达式为：，

设点是函数上的点，，

则的最小值为．

【点评】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到绝对值的计算，这种新定义类题目，关键弄懂新定义的含义，再按照题设顺序，逐次求解比较容易．