2022-2023学年北京市顺义一中高一（下）月考数学试卷（5月份）（含解析）

2022-2023学年北京市顺义一中高一（下）月考数学试卷（5月份）

第I卷（选择题）

一、单选题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  复数的共轭复数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  如图，在长方体中，则下列结论正确的是(    )

A. 点平面
B. 直线平面
C. 直线与直线是相交直线
D. 直线与直线是异面直线

3.  已知点直线，又平面，则(    )

A.  B.
C.  D. 或

4.  给定空间中的直线与平面，则“直线与平面垂直”是“直线垂直于平面上无数条直线”的条件．(    )

A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要

5.  如图，在矩形中，为中点，那么向量等于(    )

A.
B.
C.
D.

6.  将函数的图象向左平移个单位，所得图象的函数表达式是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  如图，点是正六边形的中心，则下面结论正确的是(    )

A.  B.
C.  D. 向量与能构成一组基底

8.  已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题正确的是(    )

A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，，则 D. 若，，则

9.  已知向量在正方形网格中的位置，若网格纸上小正方形的边长为，如图所示．则(    )

A.  B.  C.  D.

10.  如图，在正方体中，点，分别是棱，上的动点给出下面四个命题：
若直线与直线共面，则直线与直线相交；
若直线与直线相交，则交点一定在直线上；
若直线与直线相交，则直线与平面所成角的正切值最大为；
直线与直线所成角的最大值是．
其中，所有正确命题的序号是(    )

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）

11.  已知，则______．

12.  如图，若正方体的棱长为，则异面直线与所成的角的大小是          ；直线和底面所成的角的大小是          ．

13.  已知向量，若，则______．

14.  已知半径为的球，其表面积为，体积为，若，则______．

15.  如图，某湿地为拓展旅游业务，现准备在湿地内建造一个观景台已知湿地夹在公路，之间的长度均超过，且在公路，上分别设有游客接送点，，若要求观景台建在，两点连线的右侧，并在观景台与接送点，之间建造两条观光线路与，，则观光线路与之和最长为          ．

三、解答题（本大题共6小题，共85.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.  本小题分
已知复数，．
若为实数，求的值；
若为纯虚数，求的值．

17.  本小题分
已知向量，．
Ⅰ求；
Ⅱ求与夹角的大小；
Ⅲ求

18.  本小题分
如图，在正方体中，
求证：平面；
求证：平面；

19.  本小题分
已知函数，．
请化简为正弦型函数，并求函数的单调递增区间；
求函数在区间上的最值，及取得最值时的值；
若，都有恒成立，求实数的取值范围．

20.  本小题分
在中，已知，，，为中点．
求的长；
求的长及的面积．

21.  本小题分
如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，，过点的平面与棱，，分别交于点，，三点均不在棱的端点处．
Ⅰ求证：平面平面；
Ⅱ若平面，
(ⅰ)求的值；
(ⅱ)求三棱锥的体积．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】

直接利用共轭复数的概念得答案．
本题考查复数的基本概念，是基础题．

【解答】

解：复数的共轭复数是．
故选：．

2.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查空间直线与平面位置关系的判断，根据直线和平面的关系进行判断是解决本题的关键，是中档题．
根据空间直线和平面的位置关系进行判断即可．

【解答】

解：在长方体中，直线平面，则平面，故A错误，
平面，
直线平面，故B错误，
，平面，
平面，平面，
直线与直线是不相交直线，是异面直线，故C错误，
直线与直线是异面直线，故D正确，
故本题选D．

3.【答案】 

【解析】解：点直线，又平面，
与至少有一个公共点，则或．
故选：．
由已知可得直线与平面至少有一个公共点，由此可得结论．
本题考查空间中点、线、面间的位置关系，考查平面的基本性质及推理，是基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：若：直线与平面垂直”，则“直线垂直于平面上无数条直线”，是充分条件；
若直线垂直于平面上无数条直线，则直线与平面不一定垂直，不是必要条件，
故选：．
根据充分必要条件的定义判断即可．
本题考查了充分必要条件，考查线面垂直的定义，是一道基础题．
 

5.【答案】 

【解析】解：，
故选：．
直接利用向量的线性运算化简即可．
本题查考平面向量的线性运算，属于基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解：将函数的图象向左平移个单位，
所得图象的函数表达式是
故选：．
由三角函数图象的平移变换求解即可．
本题主要考查三角函数的图象变换，属于基础题．
 

7.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了平面向量数量积的运算，重点考查了共线向量及向量的加法运算，基底的概念，属基础题．
由平面向量数量积的运算、共线向量及向量的加法运算，基底的概念，结合正六边形的性质逐一判断即可得解．

【解答】

解：对于选项A，在正六边形中，，则，即选项A正确；
对于选项B，在正六边形中，与不平行，则与不共线，即选项B错误；
对于选项C，，即选项C错误；
对于选项D，在正六边形中，，即，即向量与不能构成一组基底，即选项D错误，
故本题选A．

8.【答案】 

【解析】解：若，，则不一定成立，有可能是异面直线，故A错误，
B.根据直线平行的性质知，若，，则成立，
C.若，，则或，故C错误，
D.若，，则只有当垂直两个平面的交线时，才成立，否则不成立，
故选：．
根据空间直线和平面平行和垂直的判定和性质定理进行判断即可．
本题主要考查空间直线和平面的位置关系的判断，根据平行和垂直的判定定理和性质定理是解决本题的关键，是基础题．
 

9.【答案】 

【解析】解：网格纸上小正方形的边长为，
如图，在平面直角坐标系中，，，
，
．
故选：．
先用坐标表示三个向量，再利用向量数量积的坐标运算即可求解．
本题考查向量的坐标运算，向量数量积的坐标运算，属基础题．
 

10.【答案】 

【解析】解：在正方体中，点，分别是棱，上的动点．
如果点在，在时，满足直线与直线共面，若直线与直线是平行线，可得直线与直线共面，则直线与直线不一定相交，不正确；
若直线与直线相交，设交点为，则，，
因为平面，平面，
所以平面，平面，
又因为平面平面，
所以，即交点一定在直线上，所以正确；
若直线与直线相交，则直线与平面所成角的正切值最大值，应该是，与重合，
此时直线与平面所成角的正切值最大为，所以正确；
直线与直线所成角的最大值就是，与重合时取得，夹角是，所以正确；
故选：．
利用平面的性质，以及直线与平面所成角，判断选项的正误即可．
本题考查命题的真假的判断，空间几何体的直线与直线的位置关系的应用，直线与平面所成角的求法，考查空间想象能力，属于中档题．
 

11.【答案】 

【解析】解：因为，
则．
故答案为：．
由已知结合诱导公式进行化简即可求解．
本题主要考查了诱导公式在三角化简求值中的应用，属于基础题．
 

12.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查异面直线所成角与线面角的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是中档题．
连接，证明四边形为平行四边形，可得，得到异面直线与所成的角即为，再说明 为等边三角形，可得异面直线与所成的角的大小是；由正方体的结构特征可得为直线和底面所成的角，再由等腰直角三角形得答案．

【解答】

解：如图，

连接，，，
四边形为平行四边形，可得，
异面直线与所成的角即为．
连接，则 为等边三角形，
异面直线与所成的角的大小是；
正方体的侧棱底面，
为直线和底面所成的角，大小为．
故答案为：；．

13.【答案】 

【解析】解：因为向量，，且，
所以，解得．
故答案为：．
利用平面向量共线向量定理求解．
本题主要考查平面向量平行的性质，属于基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：因为，所以，解得．
故答案为：．
利用球的体积公式和表面积公式列方程．
本题考查球的表面积和体积公式，属于基础题．
 

15.【答案】 

【解析】

【分析】

利用余弦定理得到关于与的方程，借助基本不等式求的最大值．
本题考查了余弦定理的应用，属于中档题．

【解答】

解：在中，，
在中，设，，由余弦定理可得：，
即：，即，
因为，所以，
当且仅当时，取到最大值，即与之和最长为．
故答案为：．

16.【答案】解：若为实数，则，即；
若为纯虚数，
则，可得． 

【解析】根据复数的类型列方程或不等式求参数即可．
本题主要考查实数、纯虚数的定义，属于基础题．
 

17.【答案】解：Ⅰ向量，．
所以；
Ⅱ，，
，，
所以向量与夹角的大小为；
Ⅲ，，，，
． 

【解析】Ⅰ直接利用向量的数量积公式求解；
Ⅱ利用向量的数列数量积公式；求解向量与夹角的大小；
Ⅲ通过向量的模的议事规则求解即可．
本题考查向量的数量积的求法，向量的夹角以及向量的模的求解，是基础题．
 

18.【答案】证明：在正方体中，易知，
又平面，平面，
平面；
在正方体中，易知平面，
又平面，，
又、是正方形的对角形，，
又，且，平面，
平面． 

【解析】根据线面平行的判定定理，即可证明；
根据线面垂直的判定定理与性质，即可证明．
本题考查线面平行的证明，线面垂直的证明，属基础题．
 

19.【答案】解：因为
，
令，则，
故函数的单调递增区间为．
当时，，
由于在单调递减，在单调递增，
当，即时，，取得最小值；
当时，；
当，即时，取得最大值；
若，都有恒成立，
即，
由可知，
故，即实数的取值范围为． 

【解析】根据三角函数的二倍角公式结合辅助角公式化简可得，结合正弦函数的单调性即可求得答案；
根据时，确定的范围，结合正弦函数的性质即可求得答案；
由，都有恒成立，可得，结合的结论，即可求得答案．
本题主要考查了和差角公式，辅助角公式的应用，还考查了正弦函数性质的应用，不等式恒成立求解参数范围，属于中档题．
 

20.【答案】解：因为，，，
所以，
所以在中，由正弦定理，可得，
解得．
因为在中，，，，
所以由余弦定理可得，可得，解得，负值舍去，
又为中点，可得，
所以在中，由余弦定理可得，
可得． 

【解析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求的值，进而在中，由正弦定理可解得的值．
由已知在中利用余弦定理得，解得的值，由已知可求得，在中，由余弦定理可得的值，进而利用三角形的面积公式可求的值．
本题主要考查了同角三角函数基本关系式，正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
 

21.【答案】Ⅰ证明：因为平面，且平面，所以，
因为为正方形，所以，
又，且，平面，
所以平面，又平面，
所以平面平面．
解：Ⅱ连接，因为平面，所以，

由，及为正方形，可得，
因此，所以是的中点．所以．
由题意，可得，
从而可知为直角三角形，且，
又因为平面，可得，因此可得∽，
所以，即，所以，
设到平面的距离为，根据底面，
从而有，
所以． 

【解析】Ⅰ先用线面垂直的判定证明平面，可得平面平面．
Ⅱ由题意可得，再得是的中点，所以．
根据平面，可得，进一步可得，再求得到平面的距离，从而可得体积．
本题考查了面面垂直的证明以及几何体体积的计算，属于中档题．