广东省封开县江口中学2024届高三数学上学期第二次月考试题（Word版附解析）

封开县江口中学高三数学第二次月考试题

一、单选题

1. 如图，已知全集，集合，，，图中阴影部分表示集合，则（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】由题求解即可得答案.

【详解】解：∵全集，

∴由韦恩图可知，.

故选：D.

2. 复数，，则复数在复平面内所对应的点在

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

【答案】B

【解析】

【分析】先利用复数的乘法求得复数z,进而可得其在复平面内对应点的坐标.

【详解】，复数在复平面内所对应的点的坐标为，

故选:B.

3. 若，则（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据对数函数及指数函数的单调性判断与0，1的大小关系，即得.

【详解】∵，

∴.

故选：A.

4. 已知是公差为2的等差数列，且，，成等比数列，则等于（    ）

A. 44 B. 48 C. 64 D. 108

【答案】C

【解析】

【分析】由，，成等比数列，公差为2，解出的值，再根据等差数的求和公式求解即可.

【详解】解：因为是公差为2的等差数列，

所以， ，

又，，成等比数列，

所以，即，

解得，

所以.

故选：C.

 

5. 已知复数，则（    ）

A.  B. 2 C.  D. 5

【答案】A

【解析】

【分析】利用复数的除法法则和复数的减法法则，结合复数的模公式即可求解.

【详解】由题意知，，

所以，

所以.

故选：A.

6. 下列选项正确的是（    ）

A. 是的必要不充分条件

B. 在中，是的充要条件

C. 是的充要条件

D. 命题“，”的否定是：“，”

【答案】B

【解析】

【分析】由可判断A；由或，结合可判断B；由，可判断C；根据全称命题的否定可判断D.

【详解】选项A，若，则，若，则，∴是的充要条件，故A错误；

选项B，若，则或（显然不成立），若，则，∴是的充要条件，故B正确；

选项C，若，则，若，则，∴是的充分不必要条件，故C错误；

选项D，命题“，”的否定是：“，”，故D错误.

故选：B

7. 已知是第二象限的角，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】有诱导公式与同角三角函数基本关系求解即可

【详解】

故选：A

8. 在中，内角，，所对的边分别为，，，，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据正弦定理进行角化边，再由余弦定理可解.

【详解】根据题意，，利用正弦定理得：，

再结合，可得，

由余弦定理：，所以D选项正确.

故选：D

二、多选题

9. 设a，b，c是实数，且，则下列不等式恒成立的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】AD

【解析】

【分析】根据不等式性质，结合指数函数和对数函数的单调性，即可判断和选择.

【详解】对A：若，故，则，即，故A正确；

对B：当时，，故B错误；

对C：是上的单调增函数，但大小关系不确定，故无法判断，C错误；

对D：，故，为上的单调增函数，故，D正确.

故选：AD.

10. 在单位圆中，已知角的终边与单位圆的交点为，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】AB

【解析】

【分析】先利用三角函数定义求得，进而求得的值判断选项A；求得的值判断选项B；求得的值判断选项C；求得的值判断选项D.

【详解】角的终边与单位圆的交点为

则，则选项A判断正确；

所以，则选项B判断正确；

，则选项C判断错误；

，则选项D判断错误.

故选：AB

11. 已知向量，则（    ）

A.  B. 向量的夹角为

C.  D. 在方向上的投影向量是

【答案】BD

【解析】

【分析】根据向量的加法求出，由两个向量垂直，数量积为零，求出，然后逐一判断各选项，在方向上的投影向量为.

【详解】已知则，

，，，，故A错误；

，所以向量的夹角为，故B正确；

，，故错误；

在方向上的投影向量为，故D正确.

故选：BD.

12. 把函数的图象向左平移个单位长度，得到的函数图象恰好关于轴对称，则下列说法正确的是（    ）

A. 的最小正周期为

B. 关于点对称

C. 在上单调递增

D. 若在区间上存在最大值，则实数的取值范围为

【答案】ACD

【解析】

【分析】先利用辅助角公式化简，再通过图像平移求得新的函数，从而利用关于轴对称求得，由此得到的解析式，最后结合三角函数的性质即可对选项逐一判断.

【详解】因为，

所以把的图像向左平移个单位长度得到函数的图像，

因为关于轴对称，所以，，即，，

又因为，所以，，

对于A，，故A正确；

对于B，，故B错误；

对于C，由，得，

所以当时，的单调递增区间为，

又因为，所以在上单调递增，故C正确；

对于D，若函数在上存在最大值，

由选项C可知，在上单调递增，且，即在时取得最大值，

所以，即实数的取值范围为，故D正确.

故选：ACD.

三、填空题

13. 等比数列中，公比q=2， S4=1，则S8=___________.

【答案】17

【解析】

【分析】根据等比数列的性质得到，

进而求出的值.

【详解】因为，即，

又，

所以.

故答案为：17

14. 已知向量、不共线，且向量与平行，则实数________.

【答案】

【解析】

【分析】设，根据平面向量的基本定理可得出关于、的方程组，即可解得实数的值.

【详解】因为向量与平行，设，其中，

因为向量、不共线，则，解得.

故答案为：.

15. 曲线在点处切线的斜率为___________.

【答案】2

【解析】

【分析】首先求导得到，再利用导数的几何意义求解即可.

【详解】，，

.

故答案为：2

16. 已知函数且，则_____.

【答案】1或

【解析】

【分析】分类讨论，代入不同函数解析式，即可求得参数值.

【详解】若，则，解得或（舍去）；

若，则，解得（舍去），

综上，或.

故答案为：1或.

【点睛】本题考查由分段函数的函数值求自变量，属于简单题目.

四、解答题

17. 已知是等差数列，，．

（1）求的通项公式；

（2）求数列的前n项和．

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】

（1）先利用已知条件求出公差，再利用等差数列的通项公式求解即可；（2）先由（1）知，再利用等差和等比数列的前项和公式求解即可.

【详解】解：（1）因为，，

所以公差，

则的通项公式为．

（2）由（1）知，

所以

．

18. 已知函数在时有极值．

（1）求函数的解析式及单调区间；

（2）求函数在区间的最大值与最小值．

【答案】（1）；的单调增区间为和，单调减区间为；（2）最大值为20，最小值为0.

【解析】

【分析】（1）先依题列式解得参数，再检验参数否满足题意，即得解析式和单调区间；

（2）利用（1）中函数的单调性，计算极值和区间端点处的函数值，并比较大小，即得结果.

【详解】解：（1）在时有极值且，

，即，解得，

此时，，，  

令解得，令解得，

上单调递增，在上单调递减，上单调递增，

即函数确实在时取得极值，

 故的解析式为，的单调增区间为和，单调减区间为.

（2）由（1）知在上单调递增，单调递减，在单调递增，

极大值为，又，；

极小值为，，；

所以在区间最大值为20，最小值为0.

【点睛】思路点睛：

利用导数研究函数的最值的步骤：

①写定义域，对函数求导；②在定义域内，解不等式和得到单调性；③利用单调性判断极值点，比较极值和端点值得到最值即可.

19. 在中，角所对的边分别为，且，.

（1）若，求的值；

（2）若的面积是，求的值.

【答案】（1）（2）.

【解析】

【分析】（1）先由，得到，根据两角和的余弦公式可求出，再由正弦定理可得，求出，进而可得出结果；

（2）先由三角形面积公式求出，再根据余弦定理即可求出结果.

【详解】（1），.

，

由正弦定理得，，即，解得.

.

（2），，

由余弦定理得，，

，

，.

【点睛】本题主要考查解三角形，熟记正弦定理和余弦定理即可，属于常考题型.

20. 已知正项等比数列，其中，，分别是下表第一、二、三行中的某一个数，令．

（1）求数列和的通项公式；

（2）设数列的前项和为，证明：．

【答案】（1）；；（2）证明见解析.

【解析】

【分析】（1）由表格数据可确定，由此可得等比数列公比，由等比数列通项公式可得；由对数运算可得；

（2）由（1）可得，采用裂项相消法可求得，由可推导证得结论.

【详解】（1）由题意得：，，，

等比数列的公比，．

又，.

（2）由（1）知：，

，

，，，.

【点睛】方法点睛：本题重点考查了裂项相消法求解数列的前项和的问题，裂项相消法适用于通项公式为形式的数列，即，进而前后相消求得结果.

21. 在△ABC中，已知，.

（1）求的值；

（2）若的面积为，求边的长.

【答案】（1）；（2）

【解析】

【分析】

（1）先根据已知条件求出，再由求出，从而求出角；

（2）设，利用正弦定理得求出，再利用求出，所以的面积为：，所以，即．

【详解】解：（1）在中，，，，，

，故，

所以，

，所以；

（2）由（1）知，设，

利用正弦定理： 得：，

又，解得，

所以的面积为：，

所以，即．

【点睛】本题主要考查了正弦定理，以及同角三角函数间的基本关系，属于中档题．

22. 已知函数，.

（1）讨论函数的单调性；

（2）当时，，求的取值范围.

【答案】（1）在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增   

（2）

【解析】

【分析】（1）利用导函数与单调性的关系求解；

（2）利用导数与单调性和最值的关系分类讨论求解即可.

【小问1详解】

因为，

令，解得或，

令，解得，

所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.

【小问2详解】

设，注意到.

有，注意到.

设，

有.

①当时，

对于，有，所以在区间上单调递增，

所以对于，有，从而在区间上单调递增，

故对于，有.符合题意.

②当时，

因，所以存在，使得对于，有.

从而在区间上单调递减，

故对于，有.不符合题意.

综上，的取值范围是.