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广东殊开县2024届高三数学上学期第二次月考试题含解析
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这是一份广东殊开县2024届高三数学上学期第二次月考试题含解析，共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 如图，已知全集，集合，，，图中阴影部分表示集合，则（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由题求解即可得答案.
【详解】解：∵全集，
∴由韦恩图可知，.
故选：D.
2. 复数，，则复数在复平面内所对应的点在
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】B
【解析】
【分析】先利用复数的乘法求得复数z,进而可得其在复平面内对应点的坐标.
【详解】，复数在复平面内所对应的点的坐标为，
故选:B.
3. 若，则（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据对数函数及指数函数的单调性判断与0，1的大小关系，即得.
【详解】∵，
∴.
故选：A.
4. 已知是公差为2的等差数列，且，，成等比数列，则等于（）
A. 44B. 48C. 64D. 108
【答案】C
【解析】
【分析】由，，成等比数列，公差为2，解出的值，再根据等差数的求和公式求解即可.
【详解】解：因为是公差为2的等差数列，
所以，，
又，，成等比数列，
所以，即，
解得，
所以.
故选：C.
5. 已知复数，则（）
A. B. 2C. D. 5
【答案】A
【解析】
【分析】利用复数的除法法则和复数的减法法则，结合复数的模公式即可求解.
【详解】由题意知，，
所以，
所以.
故选：A.
6. 下列选项正确的是（）
A. 是的必要不充分条件
B. 在中，是的充要条件
C. 是的充要条件
D. 命题“，”的否定是：“，”
【答案】B
【解析】
【分析】由可判断A；由或，结合可判断B；由，可判断C；根据全称命题的否定可判断D.
【详解】选项A，若，则，若，则，∴是的充要条件，故A错误；
选项B，若，则或（显然不成立），若，则，∴是的充要条件，故B正确；
选项C，若，则，若，则，∴是的充分不必要条件，故C错误；
选项D，命题“，”的否定是：“，”，故D错误.
故选：B
7. 已知是第二象限的角，，则（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】有诱导公式与同角三角函数基本关系求解即可
【详解】
故选：A
8. 在中，内角，，所对的边分别为，，，，，则（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据正弦定理进行角化边，再由余弦定理可解.
【详解】根据题意，，利用正弦定理得：，
再结合，可得，
由余弦定理：，所以D选项正确.
故选：D
二、多选题
9. 设a，b，c是实数，且，则下列不等式恒成立的是（）
A. B. C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】根据不等式性质，结合指数函数和对数函数的单调性，即可判断和选择.
【详解】对A：若，故，则，即，故A正确；
对B：当时，，故B错误；
对C：是上的单调增函数，但大小关系不确定，故无法判断，C错误；
对D：，故，为上的单调增函数，故，D正确.
故选：AD.
10. 在单位圆中，已知角的终边与单位圆的交点为，则（）
A. B. C. D.
【答案】AB
【解析】
【分析】先利用三角函数定义求得，进而求得的值判断选项A；求得的值判断选项B；求得的值判断选项C；求得的值判断选项D.
【详解】角的终边与单位圆的交点为
则，则选项A判断正确；
所以，则选项B判断正确；
，则选项C判断错误；
，则选项D判断错误.
故选：AB
11. 已知向量，则（）
A. B. 向量的夹角为
C. D. 在方向上的投影向量是
【答案】BD
【解析】
【分析】根据向量的加法求出，由两个向量垂直，数量积为零，求出，然后逐一判断各选项，在方向上的投影向量为.
【详解】已知则，
，，，，故A错误；
，所以向量的夹角为，故B正确；
，，故错误；
在方向上的投影向量为，故D正确.
故选：BD.
12. 把函数的图象向左平移个单位长度，得到的函数图象恰好关于轴对称，则下列说法正确的是（）
A. 的最小正周期为
B. 关于点对称
C. 在上单调递增
D. 若在区间上存在最大值，则实数的取值范围为
【答案】ACD
【解析】
【分析】先利用辅助角公式化简，再通过图像平移求得新的函数，从而利用关于轴对称求得，由此得到的解析式，最后结合三角函数的性质即可对选项逐一判断.
【详解】因为，
所以把的图像向左平移个单位长度得到函数的图像，
因为关于轴对称，所以，，即，，
又因为，所以，，
对于A，，故A正确；
对于B，，故B错误；
对于C，由，得，
所以当时，的单调递增区间为，
又因为，所以在上单调递增，故C正确；
对于D，若函数在上存在最大值，
由选项C可知，在上单调递增，且，即在时取得最大值，
所以，即实数的取值范围为，故D正确.
故选：ACD.
三、填空题
13. 等比数列中，公比q=2，S4=1，则S8=___________.
【答案】17
【解析】
【分析】根据等比数列的性质得到，
进而求出的值.
【详解】因为，即，
又，
所以.
故答案为：17
14. 已知向量、不共线，且向量与平行，则实数________.
【答案】
【解析】
【分析】设，根据平面向量的基本定理可得出关于、的方程组，即可解得实数的值.
【详解】因为向量与平行，设，其中，
因为向量、不共线，则，解得.
故答案为：.
15. 曲线在点处切线的斜率为___________.
【答案】2
【解析】
【分析】首先求导得到，再利用导数的几何意义求解即可.
【详解】，，
.
故答案为：2
16. 已知函数且，则_____.
【答案】1或
【解析】
【分析】分类讨论，代入不同函数解析式，即可求得参数值.
【详解】若，则，解得或（舍去）；
若，则，解得（舍去），
综上，或.
故答案为：1或.
【点睛】本题考查由分段函数的函数值求自变量，属于简单题目.
四、解答题
17. 已知是等差数列，，．
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前n项和．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）先利用已知条件求出公差，再利用等差数列的通项公式求解即可；（2）先由（1）知，再利用等差和等比数列的前项和公式求解即可.
【详解】解：（1）因为，，
所以公差，
则的通项公式为．
（2）由（1）知，
所以
．
18. 已知函数在时有极值．
（1）求函数的解析式及单调区间；
（2）求函数在区间的最大值与最小值．
【答案】（1）；的单调增区间为和，单调减区间为；（2）最大值为20，最小值为0.
【解析】
【分析】（1）先依题列式解得参数，再检验参数否满足题意，即得解析式和单调区间；
（2）利用（1）中函数的单调性，计算极值和区间端点处的函数值，并比较大小，即得结果.
【详解】解：（1）在时有极值且，
，即，解得，
此时，，，
令解得，令解得，
上单调递增，在上单调递减，上单调递增，
即函数确实在时取得极值，
故的解析式为，的单调增区间为和，单调减区间为.
（2）由（1）知在上单调递增，单调递减，在单调递增，
极大值为，又，；
极小值为，，；
所以在区间最大值为20，最小值为0.
【点睛】思路点睛：
利用导数研究函数的最值的步骤：
①写定义域，对函数求导；②在定义域内，解不等式和得到单调性；③利用单调性判断极值点，比较极值和端点值得到最值即可.
19. 在中，角所对的边分别为，且，.
（1）若，求的值；
（2）若的面积是，求的值.
【答案】（1）（2）.
【解析】
【分析】（1）先由，得到，根据两角和的余弦公式可求出，再由正弦定理可得，求出，进而可得出结果；
（2）先由三角形面积公式求出，再根据余弦定理即可求出结果.
【详解】（1），.
，
由正弦定理得，，即，解得.
.
（2），，
由余弦定理得，，
，
，.
【点睛】本题主要考查解三角形，熟记正弦定理和余弦定理即可，属于常考题型.
20. 已知正项等比数列，其中，，分别是下表第一、二、三行中的某一个数，令．
（1）求数列和的通项公式；
（2）设数列的前项和为，证明：．
【答案】（1）；；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）由表格数据可确定，由此可得等比数列公比，由等比数列通项公式可得；由对数运算可得；
（2）由（1）可得，采用裂项相消法可求得，由可推导证得结论.
【详解】（1）由题意得：，，，
等比数列的公比，．
又，.
（2）由（1）知：，
，
，，，.
【点睛】方法点睛：本题重点考查了裂项相消法求解数列的前项和的问题，裂项相消法适用于通项公式为形式的数列，即，进而前后相消求得结果.
21. 在△ABC中，已知，.
（1）求的值；
（2）若的面积为，求边的长.
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）先根据已知条件求出，再由求出，从而求出角；
（2）设，利用正弦定理得求出，再利用求出，所以的面积为：，所以，即．
【详解】解：（1）在中，，，，，
，故，
所以，
，所以；
（2）由（1）知，设，
利用正弦定理：得：，
又，解得，
所以的面积为：，
所以，即．
【点睛】本题主要考查了正弦定理，以及同角三角函数间的基本关系，属于中档题．
22. 已知函数，.
（1）讨论函数的单调性；
（2）当时，，求的取值范围.
【答案】（1）在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增
（2）
【解析】
【分析】（1）利用导函数与单调性的关系求解；
（2）利用导数与单调性和最值的关系分类讨论求解即可.
【小问1详解】
因为，
令，解得或，
令，解得，
所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.
【小问2详解】
设，注意到.
有，注意到.
设，
有.
①当时，
对于，有，所以在区间上单调递增，
所以对于，有，从而在区间上单调递增，
故对于，有.符合题意.
②当时，
因，所以存在，使得对于，有.
从而在区间上单调递减，
故对于，有.不符合题意.
综上，的取值范围是.
第一列
第二列
第三列
第一行
第二行
第三行
1. 如图，已知全集，集合，，，图中阴影部分表示集合，则（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由题求解即可得答案.
【详解】解：∵全集，
∴由韦恩图可知，.
故选：D.
2. 复数，，则复数在复平面内所对应的点在
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】B
【解析】
【分析】先利用复数的乘法求得复数z,进而可得其在复平面内对应点的坐标.
【详解】，复数在复平面内所对应的点的坐标为，
故选:B.
3. 若，则（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据对数函数及指数函数的单调性判断与0，1的大小关系，即得.
【详解】∵，
∴.
故选：A.
4. 已知是公差为2的等差数列，且，，成等比数列，则等于（）
A. 44B. 48C. 64D. 108
【答案】C
【解析】
【分析】由，，成等比数列，公差为2，解出的值，再根据等差数的求和公式求解即可.
【详解】解：因为是公差为2的等差数列，
所以，，
又，，成等比数列，
所以，即，
解得，
所以.
故选：C.
5. 已知复数，则（）
A. B. 2C. D. 5
【答案】A
【解析】
【分析】利用复数的除法法则和复数的减法法则，结合复数的模公式即可求解.
【详解】由题意知，，
所以，
所以.
故选：A.
6. 下列选项正确的是（）
A. 是的必要不充分条件
B. 在中，是的充要条件
C. 是的充要条件
D. 命题“，”的否定是：“，”
【答案】B
【解析】
【分析】由可判断A；由或，结合可判断B；由，可判断C；根据全称命题的否定可判断D.
【详解】选项A，若，则，若，则，∴是的充要条件，故A错误；
选项B，若，则或（显然不成立），若，则，∴是的充要条件，故B正确；
选项C，若，则，若，则，∴是的充分不必要条件，故C错误；
选项D，命题“，”的否定是：“，”，故D错误.
故选：B
7. 已知是第二象限的角，，则（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】有诱导公式与同角三角函数基本关系求解即可
【详解】
故选：A
8. 在中，内角，，所对的边分别为，，，，，则（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据正弦定理进行角化边，再由余弦定理可解.
【详解】根据题意，，利用正弦定理得：，
再结合，可得，
由余弦定理：，所以D选项正确.
故选：D
二、多选题
9. 设a，b，c是实数，且，则下列不等式恒成立的是（）
A. B. C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】根据不等式性质，结合指数函数和对数函数的单调性，即可判断和选择.
【详解】对A：若，故，则，即，故A正确；
对B：当时，，故B错误；
对C：是上的单调增函数，但大小关系不确定，故无法判断，C错误；
对D：，故，为上的单调增函数，故，D正确.
故选：AD.
10. 在单位圆中，已知角的终边与单位圆的交点为，则（）
A. B. C. D.
【答案】AB
【解析】
【分析】先利用三角函数定义求得，进而求得的值判断选项A；求得的值判断选项B；求得的值判断选项C；求得的值判断选项D.
【详解】角的终边与单位圆的交点为
则，则选项A判断正确；
所以，则选项B判断正确；
，则选项C判断错误；
，则选项D判断错误.
故选：AB
11. 已知向量，则（）
A. B. 向量的夹角为
C. D. 在方向上的投影向量是
【答案】BD
【解析】
【分析】根据向量的加法求出，由两个向量垂直，数量积为零，求出，然后逐一判断各选项，在方向上的投影向量为.
【详解】已知则，
，，，，故A错误；
，所以向量的夹角为，故B正确；
，，故错误；
在方向上的投影向量为，故D正确.
故选：BD.
12. 把函数的图象向左平移个单位长度，得到的函数图象恰好关于轴对称，则下列说法正确的是（）
A. 的最小正周期为
B. 关于点对称
C. 在上单调递增
D. 若在区间上存在最大值，则实数的取值范围为
【答案】ACD
【解析】
【分析】先利用辅助角公式化简，再通过图像平移求得新的函数，从而利用关于轴对称求得，由此得到的解析式，最后结合三角函数的性质即可对选项逐一判断.
【详解】因为，
所以把的图像向左平移个单位长度得到函数的图像，
因为关于轴对称，所以，，即，，
又因为，所以，，
对于A，，故A正确；
对于B，，故B错误；
对于C，由，得，
所以当时，的单调递增区间为，
又因为，所以在上单调递增，故C正确；
对于D，若函数在上存在最大值，
由选项C可知，在上单调递增，且，即在时取得最大值，
所以，即实数的取值范围为，故D正确.
故选：ACD.
三、填空题
13. 等比数列中，公比q=2，S4=1，则S8=___________.
【答案】17
【解析】
【分析】根据等比数列的性质得到，
进而求出的值.
【详解】因为，即，
又，
所以.
故答案为：17
14. 已知向量、不共线，且向量与平行，则实数________.
【答案】
【解析】
【分析】设，根据平面向量的基本定理可得出关于、的方程组，即可解得实数的值.
【详解】因为向量与平行，设，其中，
因为向量、不共线，则，解得.
故答案为：.
15. 曲线在点处切线的斜率为___________.
【答案】2
【解析】
【分析】首先求导得到，再利用导数的几何意义求解即可.
【详解】，，
.
故答案为：2
16. 已知函数且，则_____.
【答案】1或
【解析】
【分析】分类讨论，代入不同函数解析式，即可求得参数值.
【详解】若，则，解得或（舍去）；
若，则，解得（舍去），
综上，或.
故答案为：1或.
【点睛】本题考查由分段函数的函数值求自变量，属于简单题目.
四、解答题
17. 已知是等差数列，，．
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前n项和．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）先利用已知条件求出公差，再利用等差数列的通项公式求解即可；（2）先由（1）知，再利用等差和等比数列的前项和公式求解即可.
【详解】解：（1）因为，，
所以公差，
则的通项公式为．
（2）由（1）知，
所以
．
18. 已知函数在时有极值．
（1）求函数的解析式及单调区间；
（2）求函数在区间的最大值与最小值．
【答案】（1）；的单调增区间为和，单调减区间为；（2）最大值为20，最小值为0.
【解析】
【分析】（1）先依题列式解得参数，再检验参数否满足题意，即得解析式和单调区间；
（2）利用（1）中函数的单调性，计算极值和区间端点处的函数值，并比较大小，即得结果.
【详解】解：（1）在时有极值且，
，即，解得，
此时，，，
令解得，令解得，
上单调递增，在上单调递减，上单调递增，
即函数确实在时取得极值，
故的解析式为，的单调增区间为和，单调减区间为.
（2）由（1）知在上单调递增，单调递减，在单调递增，
极大值为，又，；
极小值为，，；
所以在区间最大值为20，最小值为0.
【点睛】思路点睛：
利用导数研究函数的最值的步骤：
①写定义域，对函数求导；②在定义域内，解不等式和得到单调性；③利用单调性判断极值点，比较极值和端点值得到最值即可.
19. 在中，角所对的边分别为，且，.
（1）若，求的值；
（2）若的面积是，求的值.
【答案】（1）（2）.
【解析】
【分析】（1）先由，得到，根据两角和的余弦公式可求出，再由正弦定理可得，求出，进而可得出结果；
（2）先由三角形面积公式求出，再根据余弦定理即可求出结果.
【详解】（1），.
，
由正弦定理得，，即，解得.
.
（2），，
由余弦定理得，，
，
，.
【点睛】本题主要考查解三角形，熟记正弦定理和余弦定理即可，属于常考题型.
20. 已知正项等比数列，其中，，分别是下表第一、二、三行中的某一个数，令．
（1）求数列和的通项公式；
（2）设数列的前项和为，证明：．
【答案】（1）；；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）由表格数据可确定，由此可得等比数列公比，由等比数列通项公式可得；由对数运算可得；
（2）由（1）可得，采用裂项相消法可求得，由可推导证得结论.
【详解】（1）由题意得：，，，
等比数列的公比，．
又，.
（2）由（1）知：，
，
，，，.
【点睛】方法点睛：本题重点考查了裂项相消法求解数列的前项和的问题，裂项相消法适用于通项公式为形式的数列，即，进而前后相消求得结果.
21. 在△ABC中，已知，.
（1）求的值；
（2）若的面积为，求边的长.
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）先根据已知条件求出，再由求出，从而求出角；
（2）设，利用正弦定理得求出，再利用求出，所以的面积为：，所以，即．
【详解】解：（1）在中，，，，，
，故，
所以，
，所以；
（2）由（1）知，设，
利用正弦定理：得：，
又，解得，
所以的面积为：，
所以，即．
【点睛】本题主要考查了正弦定理，以及同角三角函数间的基本关系，属于中档题．
22. 已知函数，.
（1）讨论函数的单调性；
（2）当时，，求的取值范围.
【答案】（1）在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增
（2）
【解析】
【分析】（1）利用导函数与单调性的关系求解；
（2）利用导数与单调性和最值的关系分类讨论求解即可.
【小问1详解】
因为，
令，解得或，
令，解得，
所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.
【小问2详解】
设，注意到.
有，注意到.
设，
有.
①当时，
对于，有，所以在区间上单调递增，
所以对于，有，从而在区间上单调递增，
故对于，有.符合题意.
②当时，
因，所以存在，使得对于，有.
从而在区间上单调递减，
故对于，有.不符合题意.
综上，的取值范围是.
第一列
第二列
第三列
第一行
第二行
第三行
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