江苏省南京市第五高级中学2023届高三高考热身数学试题

江苏省南京市第五高级中学2023届高三高考热身数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．设集合，集合，则（    ）

A． B． C． D．

2．如果一个复数的实部和虚部相等，则称这个复数为“等部复数”，若复数（其中）为“等部复数”，则复数在复平面内对应的点在（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

3．已知向量，满足，则在方向上的投影向量为（    ）

A． B． C． D．

4．函数的图象大致是（    ）

A． B．

C． D．

5．若数列满足，则（    ）

A．2 B． C． D．

6．住房的许多建材都会释放甲醛.甲醛是一种无色、有着刺激性气味的气体，对人体健康有着极大的危害.新房入住时，空气中甲醛浓度不能超过0.08，否则，该新房达不到安全入住的标准.若某套住房自装修完成后，通风周与室内甲醛浓度y（单位：）之间近似满足函数关系式 ，其中 ，且，，则该住房装修完成后要达到安全入住的标准，至少需要通风（    ）

A．17周 B．24周 C．28周 D．26周

7．已知A，B，C为球O的球面上的三个点，若，，球O的表面积为，则三棱锥的体积最大值为（    ）

A． B． C． D．

8．已知是函数的零点，是函数的零点，且满足，则实数的最小值是(    )

A． B． C． D．

二、多选题

9．统计学是源自对国家的资料进行分析，也就是“研究国家的科学”．一般认为其学理研究始于希腊的亚里士多德时代，迄今已有两千三百多年的历史．在两千多年的发展过程中，将社会经济现象量化的方法是近代统计学的重要特征．为此，统计学有了自己研究问题的参数，比如：均值、中位数、众数、标准差．一组数据：）记其均值为，中位数为，标准差为，则（    ）

A．

B．

C．新数据：的标准差为

D．新数据：的标准差为

10．已知圆，过点的动直线与圆相交于两点，则（    ）

A．存在直线，使得

B．使得的长为整数的直线有3条

C．存在直线，使得的面积为

D．存在直线，使得的面积为

11．已知函数的部分图象如图所示，且过点，若存在使为奇函数成立的实数，则可能取值为（    ）

A． B． C． D．

12．已知正方体的棱长为，为棱的中点，点满足，其中，，则（    ）

A．当时，平面

B．当时，

C．当时，三棱锥的体积是定值

D．当点落在以为球心，为半径的球面上时，的取值范围是

三、填空题

13．在的展开式中，的系数为          .（用数字作答）

14．2023年2月6日，土耳其发生7.8级地震，我国在第一时间派出救援队进行救援.已知某救援队共有8人，根据救灾安排，该救援队需要安排救援人员到三个地区实施救援，每个地区至少安排2人，每人只去一个地区，则共有     种安排方案.

15．设是曲线上的点，，，则的最大值等于      ．

四、双空题

16．如图所示，在平面直角坐标系中，点A，B分别在x轴，y轴的正半轴上运动，已知，，，当A，B运动时，周长的最大值为      ；M为线段AB的中点，H为直线OC上一点，若，则的最大值为      ．

五、解答题

17．已知公比大于1的等比数列满足，．

(1)求的通项公式；

(2)求．

18．设锐角的内角所对的边分别为，已知.

(1)求证：；

(2)求的取值范围；

(3)若，求面积的取值范围.

19．渔船海上外出作业受天气限制，尤其浪高对渔船安全影响最大，二月份是某海域风浪最平静的月份，浪高一般不超过3.某研究小组从前些年二月份各天的浪高数据中，随机抽取50天数据作为样本，制成频率分布直方图：（如图）

根据海浪高度将海浪划分为如下等级：

海事管理部门规定：海浪等级在“大浪”及以上禁止渔船出海作业.

(1)某渔船出海作业除受浪高限制外，还受其他因素影响，根据以往经验可知：“微浪”情况下出海作业的概率为0.9，“小浪”情况下出海作业的概率为0.8，“中浪”情况下出海作业的概率为0.6，请根据上面频率分布直方图，估计二月份的某天各种海浪等级出现的概率，并求该渔船在这天出海作业的概率；

(2)气象预报预计未来三天内会持续“中浪”或“大浪”，根据以往经验可知：若某天是“大浪”，则第二天是“大浪”的概率为，“中浪”的概率为；若某天是“中浪”，则第二天是“大浪”的概率为，“中浪”的概率为.现已知某天为“中浪”，记该天的后三天出现“大浪”的天数为X，求X的分布列和数学期望.

20．如图，四棱锥中，底面为梯形，底面，，过A作一个平面使得平面.

(1)求平面将四棱锥分成两部分几何体的体积之比；

(2)若平面与平面之间的距离为，求直线与平面所成角的正弦值.

21．在平面直角坐标系中，已知抛物线：和点.点在上，且.

(1)求的方程；

(2)若过点作两条直线，，与相交于，两点，与相交于，两点线段，中点的连线的斜率为，直线，，，的斜率分别为，，，.证明：，且为定值.

22．已知函数在点处的切线方程为．

(1)求函数在上的单调区间；

(2)当时，是否存在实数m使得恒成立，若存在，求实数m的取值集合，若不存在，说明理由（附：，）．

参考答案：

1．D

【分析】分别化简集合，利用交集定义求解即可．

【详解】集合

集合，

则 ，

故选：D

2．A

【分析】根据新定义求得a的值，代入求得复数的代数形式，可得复数所对应的点的坐标，进而可得结果.

【详解】∵，

又∵“等部复数”的实部和虚部相等，复数为“等部复数”，

∴，解得，

∴，

∴，即：，

∴复数在复平面内对应的点是，位于第一象限.

故选：A.

3．A

【分析】根据向量的数量积运算，对两边同时平方得到，再由投影向量的定义即可求解.

【详解】由已知条件得：，即，

又在方向上的投影向量为，

故选：A.

4．B

【分析】根据函数的奇偶性与时的函数值判断图象.

【详解】是奇函数，故排除C,D选项，

当时，，

，故排除A，

故选:B.

5．B

【分析】利用数列的周期性即可求得的值.

【详解】因为，所以.又因为，

所以，

所以是周期为4的数列，故.

故选：B

6．D

【分析】由已知数据求得参数，然后解不等式即可得．

【详解】，由，，得，，

两式相减得，则，所以，.

该住房装修完成后要达到安全入住的标准，则，

则，即，解得，

故至少需要通风26周.

故选：D．

7．D

【分析】利用球的表面积公式及直角三角形的外接圆的圆心在斜边的中点，结合勾股定理及重要不等式，再利用棱锥的体积公式即可求解.

【详解】设球的半径为,则，所以，

因为，，

所以的外接圆的半径为，

所以点到平面的距离为，

设，则，所以，当且仅当成立

所以三棱锥的体积为.

故选：D.

8．A

【分析】利用导数判断的单调性，求出其零点的值，根据求出的范围.令g(x)=0，参变分离，将问题转化为方程有解问题即可求解．

【详解】，

，

当时，单调递减，

当时，单调递增，

为方程的根，即﹒

故，即为，解得﹒

是函数的零点，

方程在上有解﹒

即在上有解﹒

，

在上有解﹒

令，

则，

设，

则，易知h(t)在上单调递增，在上单调递减﹒

又，

﹒

﹒故实数a的最小值是﹒

故选：A﹒

9．AD

【分析】利用中位数的定义可判断A选项；取，可判断B选项；利用方差公式可判断CD选项.

【详解】对于A选项，因为，样本数据最中间的项为，

由中位数的定义可知，A对；

对于B选项，不妨令，则，B错；

对于C选项，数据的均值为，

方差为，

所以，数据的标准差为，C错；

对于D选项，数据的均值为

，

其方差为，

所以，新数据：的标准差为，D对.

故选：AD.

10．BD

【分析】依题意可得，即可得到弦长的取值范围，即可判断A、B，再由面积公式得到，结合C、D选项条件判断即可.

【详解】因为圆的半径为，，所以，即，故A不正确.

若的长为整数，则或，且满足的直线有2条，

满足的直线有1条，故B正确.

的面积，

若，则，则，则到直线的距离为，不符合条件，故C不正确.

若，则，则或.

若，则到直线的距离为，不符合条件.

若，则到直线的距离为，符合条件，故D正确.

故选：BD

11．BD

【分析】根据图象及相关性质求得、，利用奇函数、正弦型函数的对称性可得，即可得答案.

【详解】根据函数的部分图象，可得，

再根据，则，故，

所以.

又，则，又，得，

故.

要使为奇函数，则的图象关于对称，

令，得，则时，时，B、D符合，其它选项不符合.

故选：

12．ABD

【分析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用线面平行的判定定理可判断A选项；求出点的坐标，利用空间向量垂直的坐标表示可判断B选项；利用空间向量法计算点到平面的距离，可判断C选项；分析点的轨迹，可得出，结合三角换元法可判断D选项.

【详解】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，

则、、、、、、、

、.

对于A选项，当时，，

所以，，平面，平面，平面，A对；

对于B选项，当时，，

，即点，

则，，

所以，，故，B对；

对于C选项，设平面的法向量为，，，

则，取，可得，

，

所以，点到平面的距离为不是定值，

而的面积为定值，故四面体的体积不是定值，C错；

对于D选项，因为，其中，，则点在侧面内，

平面，平面，，

所以，，

所以，点的轨迹是以为圆心，半径为的圆，

因为，，所以，，

所以，，

因为，，设，，其中，则，

所以，，D对.

故选：ABD.

【点睛】方法点睛：求点到平面的距离，方法如下：

（1）等体积法：先计算出四面体的体积，然后计算出的面积，利用锥体的体积公式可计算出点到平面的距离；

（2）空间向量法：先计算出平面的一个法向量的坐标，进而可得出点到平面的距离为.

13．1

【分析】根据题意，写出其展开式的通项公式，即可得到结果.

【详解】，令，解得，所以的系数为1，

故答案为:1.

14．2940

【分析】讨论分派人数的情形，利用排列组合知识计算即可.

【详解】人数分配有2，2，4和3，3，2两种情形，所以共有种安排方案.

故答案为：2940

15．10

【分析】作出曲线和椭圆的图象，延长交椭圆于点，可得出，由三角形三边关系得出，当且仅当点为椭圆的顶点时，等号成立，由此可得出的最大值.

【详解】由可得，

作出椭圆和曲线(去绝对值后，可得图象为四条线段)的图象如下图所示：

则点、分别为椭圆的左、右焦点，由椭圆定义得.

延长交椭圆于点，

当点不在坐标轴上时，由三角形三边关系得，

所以，；

当点为椭圆的顶点时.

综上所述，，因此，的最大值为.

故答案为：.

【点睛】本题考查曲线与方程之间的关系，同时也考查了椭圆定义的应用，建立不等关系是解题的关键，考查分析问题和解决问题的能力.

16．     /.     /.

【分析】根据已知条件求出，根据勾股定理得到，再根据不等式知识求出的最大值即可得到周长的最大值；求出和，根据求出的最大值，根据得，得的最大值，利用与取得最大值时的条件相同可得的最大值.

【详解】因为，，，所以，

所以，所以，

因为

，当且仅当时等号成立，

所以，

所以，即周长的最大值为.

连，，如图：

因为为的中点，，，所以，

在直角三角形中，，，所以，

因为，当且仅当点、、三点共线时取等，

又因为，所以，当且仅当点与点重合时取等，此时点、、三点共线，

所以，当且仅当点、、三点共线时取等，

所以的最大值为.

故答案为：；.

【点睛】关键点点睛：分别求出与的最大值，并利用与取得最大值时的条件相同进行求解是解题关键.

17．(1)

(2)

【分析】（1）先列方程组求得等比数列的首项与公比的值，进而求得的通项公式；

（2）先判定数列为等比数列，求得其前n项和，进而求得的值.

【详解】（1）设等比数列的公比为，

则，解得．∴．

（2）令，则，

又，∴数列是首项为，公比为的等比数列，

∴．

18．(1)证明见解析

(2)

(3)

【分析】（1）由正弦定理和两角差的正弦公式，化简得到，结合为锐角三角形，得到，即可求解；

（2）由（1）求得，得到，结合正弦定理，即可求解；

（3）由正弦定理和面积公式，化简得到，结合函数的单调性，即可求解.

【详解】（1）解：因为，

由正弦定理得，所以，

又因为为锐角三角形，可得，

所以，可得，即.

（2）解：因为，且为锐角三角形，且，

可得，所以

又因为，即，可得，所以，

则，即的取值范围是.

（3）解：由正弦定理得，

所以

，

又由，可得，

设在为单调递减函数，可得，

所以，故的取值范围是.

19．(1)“微浪”概率0.2，“小浪”概率0.3，“中浪”概率0.3，“大浪”概率0.2；0.6

(2)分布列见解析，

【分析】（1）根据频率分布直方图计算频率即可估计二月份的某天各种海浪等级出现的概率；根据全概率公式可求得该渔船在这天出海作业的概率；

（2）依题意可知，的所有可能取值为，求出对应的概率，即可得出分布列，根据期望公式求出期望.

【详解】（1）记这天浪级是“微浪”为事件，浪级是“小浪”为事件，浪级是“中浪”为事件，浪级是“大浪”为事件.该渔船当天出海作业为事件，则由题意可知：，

.

.

（2）依题意可知，的所有可能取值为，

，

，

，

则的分布列为

数学期望.

20．(1)或

(2)

【分析】（1）先由面面平行的性质定理得到，，进而证得分别是的中点，再根据棱锥的体积公式可得，从而可得平面将四棱锥分成两部分几何体的体积之比；

（2）建立空间直角坐标系如图2，设的长为，先由面面距离利用空间向量的数量积可求得，再利用空间向量夹角余弦公式可得直线与平面所成角的正弦值.

【详解】（1）如图1，记平面与直线的交点分别为，则面为平面，

因为面面，面面，面面，

所以，同理，

又，即，所以四边形是平行四边形，故，

又，故是的中点，

由中位线定理的推论，可知是的中点，

由条件易得，，，

由底面，得，，所以，

故平面将四棱锥分成两部分几何体的体积之比为.

.

（2）由两两垂直，建立空间直角坐标系如图2，记的长为，则，

则，，，

设平面的法向量，则有，即，得，

取得平面的法向量，

由条件易知点到平面距离为，即，解得或（负值舍去），即，

所以，

故直线与平面所成角满足.

.

【点睛】本题主要考查棱锥的体积公式以及利用空间向量线面角，空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.

21．(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）由已知，根据点坐标，借助可表示出点坐标，然后带入抛物线方程，即可完成方程的求解；

（2）由已知，分别设出，，，四点坐标，然后利用坐标分别表示出和的方程，然后将点代入方程，从而得到等量关系，然后代入到斜率的表达式中即可证明.

【详解】（1）由已知，，，则，

代入抛物线可得：.

（2）设，，，

则：，整理得，

代入，可知，则

同理可得，

则

设，的中点分别为，，则，

则

则

22．(1)在，上单调递增，在，上单调递减

(2)存在；m的取值集合为

【分析】（1）根据切线方程，结合导数的几何意义，求出的值，再由导数得出单调区间.

（2）由题意，只需，又注意到， 由题意必为的最大值点，从而为的极大值点，必有，再证明检验即可.

【详解】（1）由题意知，即，得，

因为，

所以，得，所以，

当时，令，得，令，得，

当时，令，得，令，得，

所以在，上单调递增，在，上单调递减．

（2）假设存在实数m，使在上恒成立，

即在上成立，

令，只需．

注意到，所以若在上成立，

必为的最大值点，从而为的极大值点，必有．

由，得，解得．

下面证明符合题意．

当时，，令，则．

（ⅰ）当时，，所以在上单调递增；

当时，，所以单调递减，

所以当时，，所以在上单调递增；

由在和上单调递增得，在上单调递增．

（ⅱ）当时，令，

由，得，在上单调递增，

因为，，

所以由零点存在定理知存在，使得，

当时，，即，单调递减，即单调递减；

当时，，即，单调递增，即单调递增；

因为，，

所以由零点存在定理得，存在，使得，

当时，，单调递减；

当时，，单调递增．

综合（ⅰ）（ⅱ）的结论，又，，

所以，符合题意．

综上所述：m的取值集合为．

【点睛】关键点睛：本题考查导数几何意义的应用，考查利用导数研究函数不等式恒成立问题，解本题的关键是设出，即只需．根据，结合条件得出必为的最大值点，从而为的极大值点，必有，求出参数的值，然后再证明检验属于难题.