江苏省南京市第五高级中学2022-2023学年高一上学期期末学情自测数学试题(含答案)

南京五中高一上数学学情自测

第I卷（选择题共60分）

一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.

1.已知集合，则（    ）

A.    B.    C.    D.

2.命题“”的否定是（    ）

A.    B.

C.    D.

3.已知弧长为的弧所对的圆心角为，则该弧所在的扇形面积为（    ）

A.    B.    C.    D.

4.，不等式恒成立，则的取值范围为（    ）

A.    B.或

C.    D.

5.已知，则（    ）

A.    B.

C.    D.

6.已知函数是定义在上的奇函数，，且，则（    ）

A.    B.0    C.1    D.2

7.已知函数的零点分别为，则的大小顺序为（    ）

A.    B.

C.    D.

8.已知函数的图象的一部分如图1所示，则图2中的函数图象对应的函数解析式为（    ）

A.    B.

C.    D.

二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分）

9.下列函数中，既是偶函数又在区间上是增函数的是（    ）

A.    B.

C.    D.

10.若，则下列不等式正确的是（    ）

A.    B.

C.    D.

11.若函数，则下列选项正确的是（    ）

A.最小正周期是

B.图象关于点对称

C.在区间上单调递增

D.图象关于直线对称

12.设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，也叫取整函数.令，以下结论正确的是（    ）

A.

B.为偶函数

C.最小正周期为

D.的值域为

第II卷（非选择题共90分）

三､填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置）

13.__________.

14.请写出一个同时满足下列两个条件的函数：__________.

（1），若则

（2）

15.在平面直角坐标系中，以轴为始边作两个锐角，它们的终边分别与单位圆相交于，两点，的纵坐标分别为.则的终边与单位圆交点的纵坐标为__________.

16.已知函数，使方程有4个不同的解：，则的取值范围是__________；的取值范围是__________.

四､解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17.（本小题10.0分）

求值：

（1）

（2）

18.（本小题12.0分）

已知全集，集合，集合.

（1）当时，求；

（2）若，求实数的取值范围.

19.已知函数的部分图象如图.

（1）求函数的解析式；

（2）将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，再将所得图象向左平移个单位，得到函数的图象，当时，求值域.

20.（本小题12.0分）

已知函数

（1）化简；

（2）若，求的值.

21.（本小题12.0分）

某市近郊有一块大约的接近正方形的荒地，地方政府准备在此建一个综合性休闲广场，首先要建设如图所示的一个矩形场地，其中总面积为3000平方米，其中阴影部分为通道，通道宽度为2米，中间的三个矩形区域将铺设塑胶地面作为运动场地（其中两个小场地形状相同），塑胶运动场地占地面积为平方米.

（1）分别用表示和的函数关系式，并给出定义域；

（2）怎样设计能使取得最大值，并求出最大值.

22.（本小题12.0分）

已知函数.

（1）求证：是奇函数；

（2）若对于任意都有成立，求的取值范围；

（3）若存在，且，使得函数在区间上的值域为，求实数的取值范围.

高一上数学学情自测（参考答案）

第I卷（选择题共60分）

一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.

1.【答案】B

【解析】

【分析】先求出集合，再求.

【详解】因为，所以.

故选：B

2.【答案】D

【解析】

【分析】直接利用全称命题的否定为特称命题进行求解.

【详解】命题“”为全称命题，

按照改量词否结论的法则，

所以否定为：，

故选：D

3.【答案】B

【解析】

【分析】先求得扇形的半径，由此求得扇形面积.

【详解】依题意，扇形的半径为，所以扇形面积为.

故选：B

4.【答案】A

【解析】

【分析】先讨论系数为0的情况，再结合二次函数的图像特征列不等式即可.

【详解】，不等式恒成立，

当时，显然不恒成立，

所以，解得：.

故选：A.

5.【答案】A

【解析】

【分析】借助指对函数的单调性，利用中间量0或1比较即可.

【详解】因为，

所以，

故选：A.

6.【答案】C

【解析】

【分析】由得函数的周期性，由周期性变形自变量的值，最后由奇函数性质求得值.

【详解】是奇函数，，

又是周期函数，周期为4.

.

故选：C.

7.【答案】C

【解析】

【分析】利用数形结合，画出函数的图象，判断函数的零点的大小即可.

【详解】函数的零点转化为与的图象的交点的横坐标，因为零点分别为，

在坐标系中画出与的图象如图：

可知，

满足.

故选：C.

8.【答案】B

【解析】

【分析】利用三角函数的图象变换规律可求得结果.

【详解】观察图象可知，右方图象是由左方图象向左移动一个长度单位后得到的图象，再把的图象上所有点的横坐标缩小为原来的（纵坐标不变）得到的，

所以如图的图象所对应的解析式为.

故选：B

二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分）

9.【答案】AC

【解析】

【分析】利用函数的奇偶性和单调性的概念进行判断.

【详解】对于A：

函数是偶函数，在上是增函数，故A正确；

对于：

函数是奇函数，故错误；

对于：

是偶函数，在上是增函数，故C正确；

对于：

是偶函数，在上是减函数，故错误.

故选：AC

10.【答案】BCD

【解析】

【分析】利用不等式的基本性质求解即可

【详解】由于，则，故错误；

正确；正确；，正确

故选：BCD.

11.【答案】BC

【解析】

【分析】利用正切函数的周期，对称中心，函数的单调性，判断选项即可.

【详解】函数，函数的最小正周期为：错误；

令，

当时，，所以图象关于点对称，正确；

因为，解得，当时，，所

以在区间上单调递增，C正确；又正切函数不具有对称轴，所以D错误

故选：BC.

12.【答案】AC

【解析】

【分析】根据高斯函数的定义逐项检验即可，对于，直接求解即可，对于，取，检验可得反

例，对于，直接求解即可；对于，要求的值域，只需求时的值域即可.

【详解】对于A，，故A正确.

对于，取，则，而，

故，所以函数不偶函数，故B错误.

对于，则，故C正确.

对于，由的判断可知，为周期函数，且周期为，

要求的值域，只需求时的值域即可.

当时，则，

当时，，

故当时，则有，故函数的值域为，故错误.

故选：AC.

第II卷（非选择题共90分）

三､填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置）

13.【答案】6

【解析】

【分析】利用根式性质与对数运算进行化简.

【详解】，

故答案为：6

14.【解析】

【分析】由条件（1），若则.可知函数为上增函数；

由条件（2）.可知函数可能为指数型函数.

【详解】令，

则为上增函数，满足条件（1）.

又

故

即成立.

故答案为：等均满足题意

15.【答案】1

【解析】

【分析】根据任意角三角函数的定义可得，再由展开求解即可.

【详解】以轴为始边作两个锐角，它们的终边分别与单位圆相交于两点，的纵坐标分别为

所以是锐角，可得，

因为锐角的终边与单位圆相交于点，且纵坐标为，

所以是锐角，可得，

所以，

所以的终边与单位圆交点的纵坐标为1.

故答案为：1.

16.【答案】①.②.

【解析】

【分析】先画出分段函数的图像，依据图像得到之间的关系式以及之间的关系式，分别把和转化成只有一个自变量的代数式，再去求取值范围即可.

【详解】做出函数的图像如下：

在单调递减：最小值在单调递增：最小值0，最大值2；

在上是部分余弦型曲线：最小值，最大值2.

若方程有4个不同的解：，则

不妨设四个解依次增大，则

是方程的解，则，即；

是方程的解，则由余弦型函数的对称性可知.

故，

由得即

当时，单调递减，

则

故答案为：①；②

四､解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17.（1）解：；

（2）解：

.

18.解：（1）集合，

当时，或，

所以或；

（2）由题可知或，

由可得或，

解得或，

故的取值范围为或.

19.（1）由图象可知，的最大值为2，最小值为，又，故，

周期，则，

从而，代入点，得，

则，即，

又，则.

.

（2）将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，

故可得；

再将所得图象向左平移个单位，得到函数的图象

故可得；

，

的值域为.

20.解（1）

，

故；

（2）由，

平方可得，

即.

所以，

因为，

又，所以，

所以，

所以.

21.解：（1）由已知，其定义域是.

，

，

，其定义域是.

（2），

当且仅当，即时，上述不等式等号成立，

此时，.

答：设计时，运动场地面积最大，最大值为2430平方米.

22.（1）证明：由函数，可得，

即，解得，故函数的定义域为，关于原点对称.

再根据，可得是奇函数.

（2）由（1）知，其定义域为.

.因为在上为增函数，

在上为增函数，当，时，

对任意都有成立，，即，

的取值范围是.

（3）由（2）知在上为增函数，

又因为函数在上的值域为.

所以，且，

所以

则是方程的两实根，

问题等价于放程在上有两个不等实根，

令，对称轴

则，即解得.