2022-2023学年江苏省南京市第五高级中学高一下学期4月期中数学试题含解析

2022-2023学年江苏省南京市第五高级中学高一下学期4月期中数学试题

一、单选题

1．（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】用和差角的余弦公式计算即可.

【详解】

.

故选：D.

2．如图，已知，用，表示，则等于（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据向量加法和减法的三角形法则即可求解.

【详解】解：，

，

故选：C.

3．已知，，则（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】A

【解析】根据两角差的正切公式，由题中条件，直接得出结果.

【详解】因为，，

则

.

故选：A.

4．已知向量、的夹角为，，，则（    ）

A．4 B．5 C． D．

【答案】B

【分析】根据平面向量的数量积公式可得，再根据可求得结果.

【详解】因为，

所以.

故选：B

5．在中，内角，，所对的边分别为，，，且满足，若，则的值为（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据正弦定理，结合余弦定理进行求解即可.

【详解】因为，

由正弦定理可得，

又，

所以，

故选：A

6．已知，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用两角和差余弦公式和辅助角公式可求得，结合二倍角余弦公式可求得结果.

【详解】，，

.

故选：A.

7．在中，已知，，D为BC的中点，则线段AD长度的最大值为（    ）

A．1 B． C． D．2

【答案】C

【分析】由余弦定理得到，再利用基本不等式得到，然后由求解.

【详解】解：由余弦定理得，

即，即，

所以，

∴，当且仅当b=c时等号成立.

因为，

所以，

，

∴，

故选：C．

8．任何一个复数z=a+bi（其中a，b∈R，i为虚数单位）都可以表示成z=r（cosθ+isinθ）（其中r≥0，θ∈R）的形式，通常称之为复数z的三角形式，法国数学家棣莫弗发现：[r（cosθ＋isinθ）]n=rn（cosnθ+isinnθ）（n∈N*），我们称这个结论为棣莫弗定理.由棣莫弗定理可知，若复数为纯虚数，则正整数m的最小值为（    ）

A．2 B．4

C．6 D．8

【答案】B

【分析】由棣莫弗定理可得，再由此复数为纯虚数，可得，从而可求出m的值

【详解】解：由棣莫弗定理可得，

因为复数为纯虚数，

所以且，

所以，

得，

因为，所以正整数m的最小值为4，

故选：B

二、多选题

9．设z为复数，则下列命题中正确的是（　　）

A．z2＝|z|2 B． C．若|z|＝1，则|z+i|的最大值为2 D．若|z﹣1|＝1，则0<|z|<2

【答案】BC

【分析】设，则，通过计算可证明选项A错误选项B正确；利用数形结合可以证明选项C正确选项D错误.

【详解】解：设，则，

对A：，故A错误；

对B：，故B正确；

对C：若，则该复数对应点为以原点为圆心，半径为1的圆上的点，

而表示复数对应点到的距离，

故当且仅当对应点为时，取得最大值2，故C正确；

对D：若，其表示复数对应的点是以为圆心，为半径的圆上的点，

又表示复数对应点到原点的距离，显然，故D错误.

故选：BC.

10．下列说法中，正确的是（    ）

A．存在，的值，使

B．不存在无穷多个，的值，使

C．对于任意的，，都有

D．不存在，的值，使

【答案】AD

【分析】根据两角和的余弦公式，结合特值法判断即可.

【详解】令，则，，此时，故A正确；

令，，，此时，故B错误；

由两角和的余弦公式可知，对于任意的和，，故C错误；

不存在，的值，使，若存在和，则与两角和的余弦公式矛盾，故D正确.

故选：AD.

11．已知O为坐标原点，点A(1，0)，P1(cosα，sinα)，P2(cosβ，-sinβ)，P3(cos（α + β）， sin（α + β）)，则（    ）

A．OP1 = OP2 B．AP1= AP2 C．P1P2 = AP3 D．P2P3 = AP1

【答案】AC

【分析】利用向量的坐标公式，结合同角三角函数的平方关系及三角恒等变换求各选项线段对应向量的模长，判断是否相等即可.

【详解】A：，，则，正确；

B：，，则，，所以、不一定相等，错误；

C：，，则，，所以，正确；

D：，，则，，所以、不一定相等，错误；

故选：AC

12．在中，已知，则以下四个结论正确的是（    ）

A．最大值

B．最小值1

C．的取值范围是

D．为定值

【答案】ACD

【分析】根据可判断是以为直角的直角三角三角形，进而根据三角函数的性质以及恒等变换和诱导公式即可逐一求解.

【详解】由得，

因为，所以，故，

对于A;，当,所以，最大值为，故A正确，

对于B;，

因为,故，故取不到1，故B错误，

对于C;，由选项A可知，故C正确，

对于D;,故D正确，

故选：ACD

三、填空题

13．若复数 满足 ， 则 ________．

【答案】

【分析】根据复数的运算法则，化简复数为，结合复数模的运算公式，即可求解.

【详解】由复数的运算法则，可得，

则.

故答案为：.

14．如图，在中，是线段上的一点，若，则实数_________．

【答案】

【分析】设，根据向量的运算关系可求得，再结合已知建立关系即可求出.

【详解】设，

则

，

，

，解得.

故答案为：.

【点睛】关键点睛：本题考查平面向量基本定理的应用，解题的关键是设出，利用向量关系将表示出来.

15．在中，角A，B，C的对边a，b，c为三个连续偶数，且，则______.

【答案】8

【解析】根据大边对大角，可得, 可设,由已知条件，利用正弦的二倍角公式和正余弦定理得到关于的方程求解即可.

【详解】由题意可得,,又角A，B，C的对边a，b，c为三个连续偶数，

故可设

由

,,

由余弦定理得.

所以,即

解得,故.

故答案为：.

【点睛】本题考查正余弦定理在解三角形中的综合运用，关键是熟练使用二倍角公式，正弦定理角化边，正余弦定理联立得到方程求解.

四、双空题

16．如图所示，在等腰直角中，为的中点，，分别为线段上的动点，且.

（1）当时，则的值为__________.

（2）的最大值为__________.

【答案】         

【分析】第一个空：过点作于点，在Rt中，可求出，从而在中，根据余弦定理即可求出答案；第二空需要选择恰当的角度表示出的值，再利用三角恒等变换以及三角函数的性质求解出最值.

【详解】当时，，过点作于点，

在Rt中，，，，

在中，由余弦定理，得.

（2）设，则，

过点分别作的垂线于两点，则，

在与中，，，

所以，

所以当时，.

故答案为：；.

五、解答题

17．已知复数，其中．

(1)若z为纯虚数，求m的值；

(2)若z在复平面内对应的点关于虚轴对称得到的点在第一象限，求m的取值范围．

【答案】(1)6

(2)

【分析】（1）由z为纯虚数，列方程组，求出m；

（2）由题意列不等式组，即可求出m的范围．

【详解】（1）因为复数，其中，

所以，解得：m=6.

（2）因为在复平面内对应的点为，

所以z在复平面内对应的点关于虚轴对称得到的点.

由题意得：，解得：.

即m的取值范围为.

18．已知向量＝（1，2），＝（－3，k）．

(1)若∥，求 的值；

(2)若⊥（＋2），求实数k的值；

(3)若与的夹角是钝角，求实数k的取值范围．

【答案】(1)3；

(2)k＝；

(3)k＜且k≠－6.

【分析】（1）解方程1×k－2×＝0即得解；

（2）解方程1×＋2×＝0即得解；

（3）解不等式1×＋2×k＜0且k≠－6，即得解.

【详解】（1）解：因为向量＝（1，2），＝（－3，k），且∥，

所以1×k－2×＝0，解得k＝－6，

所以＝＝3．

（2）解：因为＋2＝，且⊥，

所以1×＋2×＝0，解得k＝．

（3）解：因为与的夹角是钝角，则＜0且与不共线．

即1×＋2×k＜0且k≠－6，所以k＜且k≠－6．

19．已知．

（1）求的值；

（2）若，求的值．

【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）根据化简原式的分子分母，然后分式上下同除，将原式变形为的表示形式，由此计算出原式的值；

（2）先根据正切的二倍角公式计算出的值，然后根据角的关系：，结合两角和的正切公式求解出的值.

【详解】（1）因为，所以且，

所以；

（2）因为，所以，

.

【点睛】关键点点睛：解答本题的第二问的关键是找到与的之间的关系，从而借助正切的两角和公式、二倍角公式完成求解.

20．在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且．

（1）求的值；

（2）若cosB，△ABC的面积为，求△ABC的周长．

【答案】（1）2（2）5

【分析】（1）利用正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式即可求解；

（2）由（1）利用正弦定理可得，利用同角三角函数基本关系式可求的值，结合三角形的面积公式可求，联立解得，的值，根据余弦定理可求的值，即可得解三角形的周长．

【详解】（1）∵，

∴sinBcosA﹣2sinBcosC＝2sinCcosB﹣sinAcosB，sinBcosA+sinAcosB＝2sinCcosB+2sinBcosC，

可得sin（A+B）＝2sin（B+C），即sinC＝2sinA，

∴2．

（2）∵由（1）可得sinC＝2sinA，

∴由正弦定理可得c＝2a，①

∵cosB，△ABC的面积为，

∴sinB，由acsinBac•，解得ac＝2，②

∴由①②可得a＝1，c＝2，

∴由余弦定理可得b2，

∴△ABC的周长a+b+c＝1+2+2＝5．

【点睛】本题主要考查了正弦定理、两角和的正弦函数公式、同角三角函数基本关系式，考查了三角形的面积公式、余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．

21．已知，其中，．

(1)求的最小正周期和最小值；

(2)在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若，，求的值．

【答案】(1)最小正周期为，最小值为

(2)

【分析】（1）向量内积展开后利用倍角公式和辅助角公式整理成正弦型函数，并根据正弦函数图像性质得解；

（2）根据函数值先求出，利用正弦定理将边化角，结合，以及两角和的正弦公式和诱导公式解出答案.

【详解】（1）

∴的最小正周期为，

∵，

∴的最小值为，

∴函数的最小值为．

（2），

∴，

∴或，

∴或（舍去)

∵，

∴．

∴

22．在锐角中，内角的对边分别为，且满足.

(1)证明：.

(2)求的取值范围.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）在锐角中，利用正余弦定理和三角形内角和定理进行恒等变换，化简成，由角度的范围判断即得.

（2）边角转换得，，即将用关于B的函数表示，根据B的范围即可求得的范围.

【详解】（1）由得

，由正弦定理得

故，可得

即，

因为，

所以，即；

（2）

，

在锐角中，，

所以.