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    新高考数学一轮复习知识点总结与题型精练专题01 集合的概念与运算(含解析)

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    这是一份新高考数学一轮复习知识点总结与题型精练专题01 集合的概念与运算(含解析),共51页。

    专题01 集合的概念与运算
    【考纲要求】
    1.了解集合的含义、元素与集合的属于关系.
    2.能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题.
    3.理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集.
    4.在具体情境中,了解全集与空集的含义.
    5.理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单集合的并集与交集.
    6.理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集.
    7.能使用韦恩(Venn)图表达集合的关系及运算.
    一、集合的概念和表示
    【思维导图】

    【考点总结】
    一、集合的含义
    1、元素与集合的概念
    (1)元素:一般地,把研究对象统称为元素,常用小写的拉丁字母a,b,c,…表示.
    (2)集合:一些元素组成的总体,简称集,常用大写拉丁字母A,B,C,…表示.
    (3)集合相等:指构成两个集合的元素是一样的.
    (4)集合中元素的特性:确定性、互异性和无序性.
    2、元素与集合的关系
    关系
    概念
    记法
    读法
    属于
    如果a是集合A的元素,就说a属于集合A
    a∈A
    a属于集合A
    不属于
    如果a不是集合A中的元素,就说a不属于集合A
    a∉A
    a不属于集合A
    3、常用数集及表示符号
    数集
    非负整数集
    (自然数集)
    正整数集
    整数集
    有理数集
    实数集
    符号
    N
    N*或N+
    Z
    Q
    R
    二、集合的表示
    (1)列举法:
    ①定义:把集合的元素一一列举出来,并用花括号“{ }”括起来表示集合的方法叫做列举法;
    ②形式:A={a1,a2,a3,…,an}.
    (2)描述法:
    ①定义:用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法;
    ②写法:在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围,再画一条竖线,在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.
    二、集合间的基本关系
    【思维导图】

    【考点总结】
    一、子集的相关概念
    (1)Venn图
    ①定义:在数学中,经常用平面上封闭曲线的内部代表集合,这种图称为Venn图,这种表示集合的方法叫做图示法.
    ②适用范围:元素个数较少的集合.
    ③使用方法:把元素写在封闭曲线的内部.
    (2)子集、真子集、集合相等的概念
    ①子集的概念
    文字语言
    符号语言
    图形语言
    集合A中任意一个元素都是集合B中的元素,就说这两个集合有包含关系,称集合A是集合B的子集
    A⊆B(或
    B⊇A)

    ②集合相等
    如果集合A是集合B的子集(A⊆B),且集合B是集合A的子集(B⊆A),此时,集合A与集合B中的元素是一样的,因此,集合A与集合B相等,记作A=B.
    ③真子集的概念

    定义
    符号表示
    图形表示
    真子集
    如果集合A⊆B,但存在元素x∈B,且x∉A,称集合A是集合B的真子集
    AB(或BA)

    ④空集
    定义:不含任何元素的集合叫做空集.
    用符号表示为:∅.
    规定:空集是任何集合的子集.
    二、集合间关系的性质
    (1)任何一个集合都是它本身的子集,即A⊆A.
    (2)对于集合A,B,C,
    ①若A⊆B,且B⊆C,则A⊆C;
    ②若AB且BC,则AC.
    ③若AB且A≠B,则AB.
    三、集合的基本运算
    【思维导图】

    【考点总结】
    一、并集、交集
    1、并集
    (1)文字语言:由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合,称为集合A与B的并集.
    (2)符号语言:A∪B={x|x∈A或x∈B}.
    (3)图形语言:如图所示.

    2、交集
    (1)文字语言:由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合,称为A与B的交集.
    (2)符号语言:A∩B={x|x∈A且x∈B}.
    (3)图形语言:如图所示.

    二、补集及综合应用
    补集的概念
    (1)全集:
    ①定义:如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素,那么就称这个集合为全集.
    ②记法:全集通常记作U.
    (2)补集
    文字语言
    对于一个集合A,由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集,记作∁UA
    符号语言
    ∁UA={x|x∈U且x∉A}
    图形语言

    【常用结论】
    1.三种集合运用的性质
    (1)并集的性质:A∪∅=A;A∪A=A;A∪B=B∪A;A∪B=A⇔B⊆A.
    (2)交集的性质:A∩∅=∅;A∩A=A;A∩B=B∩A;A∩B=A⇔A⊆B.
    (3)补集的性质:A∪(∁UA)=U;A∩(∁UA)=∅;∁U(∁UA)=A;∁U(A∩B)=(∁UA)∪(∁UB);∁U(A∪B)=(∁UA)∩(∁UB).
    2.集合基本关系的四个结论
    (1)空集是任意一个集合的子集,是任意一个非空集合的真子集.
    (2)任何一个集合是它本身的子集,即A⊆A.空集只有一个子集,即它本身.
    (3)集合的子集和真子集具有传递性:若A⊆B,B⊆C,则A⊆C;若AB且BC,则AC.
    (4)含有n个元素的集合有2n个子集,有2n-1个非空子集,有2n-1个真子集,有2n-2个非空真子集.
    【题型汇编】
    题型一:集合的含义与表示
    题型二:集合间的基本关系
    题型三:集合的基本运算
    题型四:集合的新定义

    【题型讲解】
    题型一:集合的含义与表示
    1.(2022·全国·高考真题(理))设全集,集合M满足,则(       )
    A. B. C. D.
    【答案】A
    【解析】
    【分析】
    先写出集合,然后逐项验证即可
    【详解】
    由题知,对比选项知,正确,错误
    故选:
    2.(2022·北京·高考真题)已知正三棱锥的六条棱长均为6,S是及其内部的点构成的集合.设集合,则T表示的区域的面积为(       )
    A. B. C. D.
    【答案】B
    【解析】
    【分析】
    求出以为球心,5为半径的球与底面的截面圆的半径后可求区域的面积.
    【详解】

    设顶点在底面上的投影为,连接,则为三角形的中心,
    且,故.
    因为,故,
    故的轨迹为以为圆心,1为半径的圆,
    而三角形内切圆的圆心为,半径为,
    故的轨迹圆在三角形内部,故其面积为
    故选:B
    3.(2022·全国·模拟预测(理))已知集合,,则中元素的个数为(       )
    A.5 B.6 C.7 D.8
    【答案】B
    【解析】
    【分析】
    由集合交集的概念及集合的描述求且中n的个数即可.
    【详解】
    由且可得:,即,
    所以中的元素有6个.
    故选:B
    4.(2022·全国·模拟预测(文))已知集合,,则(       )
    A. B. C. D.
    【答案】D
    【解析】
    【分析】
    首先用列举法表示集合,再根据交集的定义计算可得;
    【详解】
    解:因为,又,
    所以;
    故选:D
    5.(2022·全国·一模(理))已知集合,,则B中所含元素的个数为(       )
    A.2 B.3 C.4 D.6
    【答案】D
    【解析】
    【分析】
    根据集合B的形式,逐个验证的值,从而可求出集合B中的元素.
    【详解】
    时,,3,4,
    时,,3,
    时,,
    时,无满足条件的值;故共6个,
    故选:D.
    6.(2022·全国·模拟预测)若集合,,则(       )
    A. B. C. D.
    【答案】C
    【解析】
    【分析】
    先解不等式求出集合A,再求出集合B,然后求两集合的交集即可
    【详解】
    解不等式,得,又,所以,
    所以,所以.
    故选:C
    7.(2022·天津·耀华中学一模)已知集合,,则(       )
    A. B. C. D.
    【答案】A
    【解析】
    【分析】
    根据集合的交运算即可求解.
    【详解】
    ,所以
    故选:A
    8.(2022·山东潍坊·三模)已知集合,,若,,则一定有(       )
    A. B. C. D.
    【答案】D
    【解析】
    【分析】
    分别分析每个选项,举出反例以否定错误选项.
    【详解】
    对于选项A,当集合时,,故此选项错误;
    对于选项B,当集合时,,故此选项错误;
    对于选项C,当集合时,,故此选项错误;
    对于选项D,因为,,且,所以,故此选项正确.
    故选:D.
    9.(2022·河北秦皇岛·三模)已知集合中所含元素的个数为(       )
    A.2 B.4 C.6 D.8
    【答案】C
    【解析】
    【分析】
    根据题意利用列举法写出集合,即可得出答案.
    【详解】
    解:因为,
    所以中含6个元素.
    故选:C.
    10.(2022·山东济南·二模)已知集合,, ,则C中元素的个数为(       )
    A.1 B.2 C.3 D.4
    【答案】C
    【解析】
    【分析】
    根据题意写出集合C的元素,可得答案.
    【详解】
    由题意,当时, ,当,时, ,
    当,时, ,
    即C中有三个元素,
    故选:C
    11.(2022·湖南·岳阳一中一模)定义集合的一种运算:,若,,则中的元素个数为(       )
    A. B. C. D.
    【答案】C
    【解析】
    【分析】
    根据集合的新定义确定集合中的元素.
    【详解】
    因为,,,
    所以,
    故集合中的元素个数为3,
    故选:C.
    12.(2022·安徽省舒城中学三模(理))已知集合,其中为虚数单位,则下列元素属于集合的是(       )
    A. B.
    C. D.
    【答案】B
    【解析】
    【分析】
    计算出集合,在利用复数的四则运算化简各选项中的复数,即可得出合适的选项.
    【详解】
    当时,,,,,则,
    ,,
    ,,
    故选:B.
    13.(2022·山东聊城·二模)已知集合,,则集合中元素个数为(       )
    A.2 B.3 C.4 D.5
    【答案】C
    【解析】
    【分析】
    由列举法列出集合的所有元素,即可判断;
    【详解】
    解:因为,,所以或或或,
    故,即集合中含有个元素;
    故选:C
    14.(2022·湖南·雅礼中学二模)已知集合,下列选项中均为A的元素的是(       )
    (1)(2)(3)(4)
    A.(1)(2) B.(1)(3) C.(2)(3) D.(2)(4)
    【答案】B
    【解析】
    【分析】
    根据元素与集合的关系判断.
    【详解】
    集合有两个元素:和,
    故选:B
    15.(2022·四川达州·二模(文))已知集合,则(       )
    A. B. C. D.
    【答案】D
    【解析】
    【分析】
    直接利用集合的交集运算求解.
    【详解】
    ∵集合,
    所以.
    故选:D.
    16.(2022·宁夏·银川一中三模(理))下面五个式子中:①;②;③{a }{a,b};④;⑤a {b,c,a};正确的有(       )
    A.②④⑤ B.②③④⑤ C.②④ D.①⑤
    【答案】A
    【解析】
    【分析】
    根据元素与集合,集合与集合之间的关系逐个分析即可得出答案.
    【详解】
    中,是集合{a}中的一个元素,,所以错误;

    空集是任一集合的子集,所以正确;
    是的子集,所以错误;
    任何集合是其本身的子集,所以正确;
    a是的元素,所以正确.
    故选:A.
    17.(2022·广西柳州·三模(理))设集合,,则(       )
    A. B. C. D.
    【答案】C
    【解析】
    【分析】
    根据集合描述列举出集合元素,再应用集合的补运算求.
    【详解】
    由题设,,,
    所以.
    故选:C
    18.(2022·湖南常德·一模)已知集合,若,则(       )
    A. B.
    C. D.
    【答案】C
    【解析】
    【分析】
    根据给定条件,求出集合A,B,再利用并集的定义计算作答.
    【详解】
    解不等式得:,于是得,
    因,即,解得,则,
    所以.
    故选:C
    19.(2022·江西赣州·一模(理))设集合,.若,则实数n的值为(       )
    A. B.0 C.1 D.2
    【答案】C
    【解析】
    【分析】
    依据集合元素互异性排除选项AB;代入验证法去判断选项CD,即可求得实数n的值.
    【详解】
    依据集合元素互异性可知,,排除选项AB;
    当时,,,
    满足.选项C判断正确;
    当时,,,
    .选项D判断错误.
    故选:C
    20.(2022·山西·一模(文))已知集合,,则(       )
    A. B.
    C. D.
    【答案】A
    【解析】
    【分析】
    根据集合M的描述,判断集合N中元素与集合M的关系,再由集合的交运算求
    【详解】
    由题设,,,
    所以.
    故选:A
    二、多选题
    1.(2021·江西·模拟预测)下列命题正确的是(       )
    A. B.集合的真子集个数是4
    C.不等式的解集是 D.的解集是或
    【答案】AC
    【解析】
    【分析】
    A. 利用集合相等判断;B.根据集合的真子集定义判断;C.利用一元二次不等式的解法判断;D.利用分式不等式的解法判断.
    【详解】
    A. ,故正确;
    B.集合的真子集个数是3,故错误;
    C.不等式的解集是,故正确;
    D. 的解集是或,
    故选:AC
    2.(2021·全国·模拟预测)设集合,若,,,则运算可能是(       )
    A.加法 B.减法 C.乘法 D.除法
    【答案】AC
    【解析】
    【分析】
    先由题意设出,,然后分别计算,,,,即可得解.
    【详解】
    由题意可设,,其中,,,,
    则,,所以加法满足条件,A正确;,当时,,所以减法不满足条件,B错误;
    ,,所以乘法满足条件,C正确;,当时,,所以出发不满足条件,D错误.
    故选:AC.
    3.(2020·江苏省宜兴中学模拟预测)给定数集M,若对于任意a,,有,且,则称集合M为闭集合,则下列说法中不正确的是(       )
    A.集合为闭集合
    B.正整数集是闭集合
    C.集合为闭集合
    D.若集合为闭集合,则为闭集合
    【答案】ABD
    【解析】
    【分析】
    根据集合M为闭集合的定义,对选项进行逐一判断,可得出答案.
    【详解】
    选项A:当集合时,,而,所以集合M不为闭集合,A选项错误;选项B:设是任意的两个正整数,则,当时,是负数,不属于正整数集,所以正整数集不为闭集合,B选项错误;
    选项C:当时,设,
    则,所以集合M是闭集合,C选项正确;
    选项D:设,由C可知,集合为闭集合,,而,故不为闭集合,D选项错误.
    故选:ABD.
    4.(2022·河北·石家庄市第十五中学高一开学考试)设,则(       )
    A. B. C. D.
    【答案】BC
    【解析】
    【分析】
    根据题意先用列举法表示出集合B,然后直接判断即可.
    【详解】
    依题意集合B的元素为集合A的子集,
    所以
    所以,,
    所以AD错误,BC正确.
    故选:BC
    5.(2022·全国·高一开学考试)已知集合,,若,则实数a的值可能是(       )
    A.−1 B.1 C.−2 D.2
    【答案】ABC
    【解析】
    【分析】
    由题意可得,从而可求出的范围,进而可求得答案
    【详解】
    因为,所以,,则,解得.
    故选:ABC
    6.(2022·新疆维吾尔自治区喀什第二中学高一开学考试)已知集合A=,集合,则下列关系正确的是(       )
    A. B. C. D.
    【答案】ACD
    【解析】
    【分析】
    由已知可求得,依次判断各选项即可得出结果.
    【详解】
    A=,,.
    ,A正确,,B错误,,C正确,,D正确.
    故选:ACD
    7.(2021·湖北省孝感市第一高级中学高一开学考试)下列说法中正确的为(       )
    A.集合,若集合有且仅有2个子集,则的值为
    B.若一元二次不等式的解集为,则的取值范围为
    C.设集合,,则“”是“”的充分不必要条件
    D.若正实数,,满足,则
    【答案】BCD
    【解析】
    【分析】
    根据各选项中的命题的条件逐一分析、推理并判断作答.
    【详解】
    对于A,因集合有且仅有2个子集,则集合中只有一个元素,于是有或,A不正确;
    对于B,因一元二次不等式的解集为,则,解得,B正确;
    对于C,当时,,当时,或,则或,所以“”是“”的充分不必要条件,C正确;
    对于D,因正实数满足,则,
    当且仅当,即时取“=”,D正确.
    故选:BCD
    题型二:集合间的基本关系
    1.(2021·全国·高考真题(理))已知集合,,则(       )
    A. B. C. D.
    【答案】C
    【解析】
    【分析】
    分析可得,由此可得出结论.
    【详解】
    任取,则,其中,所以,,故,
    因此,.
    故选:C.
    2.(2020·山东·高考真题)已知,若集合,,则“”是“”的(       )
    A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
    C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
    【答案】A
    【解析】
    【分析】
    根据充分条件和必要条件的定义即可求解.
    【详解】
    当时,集合,,可得,满足充分性,
    若,则或,不满足必要性,
    所以“”是“”的充分不必要条件,
    故选:A.
    3.(2022·全国·模拟预测)已知集合,,则的非空子集个数为(       )
    A.15 B.14 C.7 D.6
    【答案】C
    【解析】
    【分析】
    先求出的元素,再求非空子集即可.
    【详解】
    因为,又,
    所以,所以的元素个数为,其非空子集有个.
    故选:C.
    4.(2022·全国·哈师大附中模拟预测(文))已知,,则集合M、N之间的关系为(       )
    A. B.
    C. D.
    【答案】C
    【解析】
    【分析】
    解一元二次不等式求集合M,解分式不等式求集合N,即可判断M、N之间的关系.
    【详解】
    由,
    由等价于,可得,
    所以.
    故选:C
    5.(2022·全国·模拟预测(文))设,已知两个非空集合,满足,则(       )
    A. B.
    C. D.
    【答案】B
    【解析】
    【分析】
    利用韦恩图,结合集合的交集和并集运算即可求解.
    【详解】
    根据题意,作出如下图韦恩图:

    满足,即.
    故选:B.
    6.(2022·全国·模拟预测(理))已知p:“”,q:“”,若p是q的必要不充分条件,则实数m的取值范围是(       )
    A. B. C. D.
    【答案】D
    【解析】
    【分析】
    由p、q分别定义集合和,用集合法求解.
    【详解】
    由选项可判断出m≥0.
    由q:“”可得:.
    由p:“”可得:.
    因为p是q的必要不充分条件,所以ÜA.
    若m=0时,,ÜA不满足,舍去;
    若m>0时,.
    要使ÜA,只需m>1.
    综上所述:实数m的取值范围是.
    故选:D
    7.(2022·全国·模拟预测)已知集合,则的非空子集的个数为(       )
    A. B. C. D.
    【答案】B
    【解析】
    【分析】
    求出集合,利用集合的非空子集个数公式可求得结果.
    【详解】

    即集合含有个元素,则的非空子集有(个).
    故选:B.
    8.(2022·全国·模拟预测)设集合,,则(       )
    A. B. C. D.
    【答案】C
    【解析】
    【分析】
    先由对数函数的单调性化简集合,再由集合知识判断即可.
    【详解】

    A错误,B错误,C正确,D错误.
    故选:C
    9.(2022·全国·模拟预测)已知集合,,则下列结论一定正确的是(       )
    A. B. C. D.
    【答案】B
    【解析】
    【分析】
    由对数函数定义域、一元二次不等式的解法分别求得集合,进而得到结果.
    【详解】
    ,,
    ,,.
    故选:B.
    10.(2022·全国·模拟预测)已知集合,,则集合B的子集的个数是(       )
    A.3 B.4 C.8 D.16
    【答案】C
    【解析】
    【分析】
    先求出集合B,再根据子集的定义即可求解.
    【详解】
    依题意,所以集合B的子集的个数为,
    故选:C.
    11.(2022·全国·模拟预测)已知集合,,若,则实数的取值范围为(       )
    A. B.
    C. D.
    【答案】C
    【解析】
    【分析】
    根据集合的包含关系,列出参数的不等关系式,即可求得参数的取值范围.
    【详解】
    ∵集合,且,∴.
    故选:C.
    12.(2022·全国·模拟预测)已知,则的子集的个数为(       )
    A. B. C. D.
    【答案】D
    【解析】
    【分析】
    解指数不等式求集合B,根据集合的交补运算求,由所得集合中元素个数判断子集的个数.
    【详解】
    由,得:,
    ∴,
    ∴其子集个数为个.
    故选:D.
    13.(2022·全国·模拟预测)已知集合,集合,则的子集个数为(       )
    A.4 B.5 C.7 D.15
    【答案】A
    【解析】
    【分析】
    求出集合A、B,得到,再求出集合的子集个数.
    【详解】
    .

    所以,
    所以的子集个数为.
    故选:A
    14.(2022·山东聊城·三模)设集合,,则(       )
    A.⫋ B.⫋ C. D.
    【答案】A
    【解析】
    【分析】
    先求出集合,再由真子集的定义即可求出答案.
    【详解】
    ,所以,所以,
    所以,所以⫋.
    故选:A.
    15.(2022·广东广州·三模)已知集合,则的子集个数为(       )
    A.3 B. C.7 D.8
    【答案】B
    【解析】
    【分析】
    先求出,再按照子集个数公式求解即可.
    【详解】
    由题意得:,则的子集个数为个.
    故选:B.
    二、多选题
    1.(2021·河北衡水中学三模)已知集合,,则下列命题中正确的是(       )
    A.若,则 B.若,则
    C.若,则或 D.若,则
    【答案】ABC
    【解析】
    【分析】
    解一元二次不等式求集合A,根据各选项中集合的关系,列不等式或方程求参数值或范围,判断A、B、C的正误,已知参数,解一元二次不等式求集合B,应用交运算求判断正误即可.
    【详解】
    由己知得:,令
    A:若,即是方程的两个根,则,得,正确;
    B:若,则,解得,正确;
    C:当时,,解得或,正确;
    D:当时,有,所以,错误;
    故选:ABC.
    2.(2021·重庆·三模)已知全集U的两个非空真子集A,B满足,则下列关系一定正确的是(       )
    A. B.
    C. D.
    【答案】CD
    【解析】
    【分析】
    采用特值法,可设,,,根据集合之间的基本关系,对选项逐项进行检验,即可得到结果.
    【详解】
    令,,,满足,但,,故A,B均不正确;
    由,知,∴,∴,
    由,知,∴,故C,D均正确.
    故选:CD.
    3.(2021·湖南·模拟预测)已知全集,集合,,则(       )
    A. B.
    C. D.的真子集个数是7
    【答案】ACD
    【解析】
    【分析】
    求出集合,再由集合的基本运算以及真子集的概念即可求解.
    【详解】
    ,,
    ,故A正确;
    ,故B错误;
    ,所以,故C正确;
    由,则的真子集个数是,故D正确.
    故选:ACD
    4.(2021·广东湛江·二模)已知集合,,则下列命题中正确的是(       )
    A.若,则 B.若,则
    C.若,则或 D.若时,则或
    【答案】ABC
    【解析】
    【分析】
    求出集合,根据集合包含关系,集合相等的定义和集合的概念求解判断.
    【详解】
    ,若,则,且,故A正确.
    时,,故D不正确.
    若,则且,解得,故B正确.
    当时,,解得或,故C正确.
    故选:ABC.
    题型三:集合的基运算
    1.(2022·全国·高考真题)已知集合,则(       )
    A. B. C. D.
    【答案】B
    【解析】
    【分析】
    求出集合后可求.
    【详解】
    ,故,
    故选:B.
    2.(2022·全国·高考真题(文))设集合,则(       )
    A. B. C. D.
    【答案】A
    【解析】
    【分析】
    根据集合的交集运算即可解出.
    【详解】
    因为,,所以.
    故选:A.
    3.(2022·浙江·高考真题)设集合,则(       )
    A. B. C. D.
    【答案】D
    【解析】
    【分析】
    利用并集的定义可得正确的选项.
    【详解】

    故选:D.
    4.(2022·北京·高考真题)已知全集,集合,则(       )
    A. B. C. D.
    【答案】D
    【解析】
    【分析】
    利用补集的定义可得正确的选项.
    【详解】
    由补集定义可知:或,即,
    故选:D.
    5.(2022·全国·高考真题)若集合,则(       )
    A. B. C. D.
    【答案】D
    【解析】
    【分析】
    求出集合后可求.
    【详解】
    ,故,
    故选:D
    6.(2022·全国·高考真题(文))集合,则(       )
    A. B. C. D.
    【答案】A
    【解析】
    【分析】
    根据集合的交集运算即可解出.
    【详解】
    因为,,所以.
    故选:A.
    7.(2022·全国·高考真题(理))设全集,集合,则(       )
    A. B. C. D.
    【答案】D
    【解析】
    【分析】
    解方程求出集合B,再由集合的运算即可得解.
    【详解】
    由题意,,所以,
    所以.
    故选:D.
    8.(2022·全国·模拟预测)已知集合,,则(       )
    A. B. C. D.
    【答案】A
    【解析】
    【分析】
    先化简集合A、B,再去求即可
    【详解】


    则.
    故选:A.
    9.(2022·全国·模拟预测)若集合,,则(       )
    A. B. C. D.
    【答案】B
    【解析】
    【分析】
    根据集合的定义,先对集合进行化简,再利用交运算即可求解.
    【详解】
    由题意知,,所以.
    故选:B.
    10.(2022·全国·模拟预测)已知集合,,则(       )
    A. B. C. D.
    【答案】B
    【解析】
    【分析】
    通过Venn图进行直观思考,避免繁琐的集合运算,通过图解即可得到答案.
    【详解】
    根据下面的Venn图:

    I区表示;
    Ⅱ区表示;
    Ⅲ区表示;
    Ⅳ区表示.
    由题,集合对应于I区,Ⅱ区,Ⅳ区的并集,
    所以Ⅲ区对应,从而Q对应Ⅱ区,Ⅲ区的并集,故.
    故选:B
    11.(2022·全国·模拟预测(文))如图,三个圆的内部区域分别代表集合,,,全集为,则图中阴影部分的区域表示(       )


    A. B.
    C. D.
    【答案】B
    【解析】
    【分析】
    找到每一个选项对应的区域即得解.
    【详解】
    解:如图所示,


    A. 对应的是区域1;       
    B. 对应的是区域2;
    C. 对应的是区域3;       
    D. 对应的是区域4.
    故选:B
    12.(2022·全国·模拟预测)设集合,则(       )
    A. B. C. D.
    【答案】B
    【解析】
    【分析】
    由交集运算求解即可.
    【详解】
    因为是非零自然数集,所以
    故选:B
    13.(2022·全国·二模(理))已知集合,,则(       )
    A. B. C. D.
    【答案】A
    【解析】
    【分析】
    求出集合,利用交集的定义可求得结果.
    【详解】
    因为,因此,.
    故选:A.
    14.(2022·全国·模拟预测(理))已知集合,,则(       )
    A. B. C. D.
    【答案】C
    【解析】
    【分析】
    先求得集合A、B,再由集合的交集运算可得选项.
    【详解】
    因为,,
    所以.
    故选:C.
    15.(2022·全国·模拟预测)已知集合,,则(       )
    A. B.
    C. D.
    【答案】B
    【解析】
    【分析】
    根据对数的性质先求出集合,再求出集合,由集合的交集运算,即可求出结果.
    【详解】
    由题知,集合,,所以.
    故选:B.
    二、多选题
    1.(2022·湖南·长沙一中模拟预测)图中阴影部分用集合符号可以表示为(       )

    A. B.
    C. D.
    【答案】AD
    【解析】
    【分析】
    在阴影部分区域内任取一个元素,分析与集合、、的关系,即可得出结论.
    【详解】
    在阴影部分区域内任取一个元素,则或,
    故阴影部分所表示的集合为或 .
    故选:AD.
    2.(2022·江苏苏州·模拟预测)下列命题正确的是(       )
    A.若A,B,C为任意集合,则
    B.若,,为任意向量,则
    C.若,,为任意复数,则
    D.若A,B,C为任意事件,则
    【答案】AC
    【解析】
    【分析】
    根据集合运算有结合律,可判断A;根据向量的数量积不满足结合律可判断B;根据复数的乘法运算满足结合律可判断C;根据可判断D.
    【详解】
    对于A,集合运算有结合律,任意集合A,B,C都有,故A正确;
    对于B,向量的数量积不满足结合律,即 故B错误;,
    对于C,复数的乘法运算满足结合律,所以对任意复数,,,有,故C正确;
    对于D,若,,故D错误.
    故选:AC.
    3.(2022·河北秦皇岛·三模)定义:不等式的解集为,若中只有唯一整数,则称为“和谐解集”.若关于的不等式在上存在“和谐解集”,则实数的可能取值为(       )
    A. B. C. D.
    【答案】CD
    【解析】
    【分析】
    根据定义解不等式,然后验证哪些选项符合要求.
    【详解】
    本题考查新定义与三角函数,考查推理论证能力与直观想象的核心素养.
    不等式可化为.
    由函数的图像,可知只有一个整数解,这唯一整数解只能是,因为点是图像上的点,所以.因为,,,.
    故选:CD.
    4.(2022·福建泉州·模拟预测)已知集合A,B均为R的子集,若,则(       )
    A. B.
    C. D.
    【答案】AD
    【解析】
    【分析】
    根据集合图逐一判断即可得到答案
    【详解】
    如图所示
    根据图像可得,故A正确;由于 ,故B错误; ,故C错误


    故选:AD
    5.(2022·湖北武汉·二模)已知集合,若,则的取值可以是(       )
    A.2 B.3 C.4 D.5
    【答案】AB
    【解析】
    【分析】
    根据并集的结果可得Ü,即可得到的取值;
    【详解】
    解:因为,所以Ü,所以或;
    故选:AB

    题型四:集合的新定义
    一、单选题
    1.(2022·湖北·天门市教育科学研究院模拟预测)定义,设全集,则(       )
    A.或 B.或
    C. D.或
    【答案】A
    【解析】
    【分析】
    求出集合,利用定义可得答案.
    【详解】
    或,,
    则或.
    故选:A.
    2.(2022·上海黄浦·模拟预测)若集合,其中和是不同的数字,则A中所有元素的和为(       ).
    A.44 B.110 C.132 D.143
    【答案】D
    【解析】
    【分析】
    由题意得,从而表示出,再由,得的可能取值,从而得和的值,可确定的值.
    【详解】
    因为,
    所以,所以,
    所以可以为1,3,9,11,33,99,
    所以可以为
    因为和是不同的数字,所以可以为,
    此时,所以A中所有元素的和为,
    故选:D
    【点睛】
    求解本题的关键是理解是循环节长度为两位的循环纯小数,从而得,进而代入集合A化简计算.
    3.(2022·浙江省杭州学军中学模拟预测)设A是任意一个n元实数集合,令集合,记集合B中的元素个数为,则(       )
    A.若,则 B.若,则
    C.若,则 D.若,则
    【答案】B
    【解析】
    【分析】
    利用排除选项D;利用排除选项AC;举例验证选项B正确.
    【详解】
    当集合A中的元素两两互质时,.
    所以对于选项D,当时,,故选项D错误.
    当时,若,其中,有,故.
    对于选项A,,故.故选项A错误.
    对于选项C,,则.故选项C错误.
    对于选项B,,判断正确
    (事实上,当时,要使最小,,记,其中,当时,有.)
    故选:B
    4.(2022·浙江温州·三模)设集合,定义:集合,集合,集合,分别用,表示集合S,T中元素的个数,则下列结论可能成立的是(       )
    A. B. C. D.
    【答案】D
    【解析】
    【分析】
    对A、B:不妨设,可得,根据集合的定义可得Y中至少有以上5个元素,不妨设,则集合S中至少有7个元素,排除选项A,若,则集合Y中至多有6个元素,所以,排除选项B;对C:对,则与一定成对出现,根据集合的定义可判断选项C;对D:取,则,根据集合的定义可判断选项D.
    【详解】
    解:不妨设,则的值为,
    显然,,所以集合Y中至少有以上5个元素,
    不妨设,
    则显然,则集合S中至少有7个元素,
    所以不可能,故排除A选项;
    其次,若,则集合Y中至多有6个元素,则,故排除B项;
    对于集合T,取,则,此时,,故D项正确;
    对于C选项而言,,则与一定成对出现,,所以一定是偶数,故C项错误.
    故选:D.
    5.(2022·河南·二模(文))已知:,,记,则(       )
    A. B.
    C. D.
    【答案】A
    【解析】
    【分析】
    先求出集合,再按照给的定义计算即可.
    【详解】
    由题意知:或,,故.
    故选:A.
    6.(2022·北京房山·一模)已知U是非实数集,若非空集合A1,A2满足以下三个条件,则称(A1,A2)为集合U的一种真分拆,并规定(A1,A2)与(A2,A1)为集合U的同一种真分拆
    ①A1∩A2=0
    ②A1A2=U
    ③的元素个数不是中的元素.
    则集合U={1,2,3,4,5,6}的真分拆的种数是(       )
    A.5 B.6 C.10 D.15
    【答案】A
    【解析】
    【分析】
    由真分拆的定义及规定即可求解.
    【详解】
    解:由题意,集合U={1,2,3,4,5,6}的真分拆有;
    ;;;,共5种,
    故选:A.
    7.(2022·贵州·模拟预测(理))定义集合 且.已知集合,,,则中元素的个数为(       )
    A.3 B.4 C.5 D.6
    【答案】B
    【解析】
    【分析】
    首先要理解A-B的含义,然后按照集合交并补的运算规则即可.
    【详解】
    因为,,所以,
    又因为,所以.
    故选:B.
    8.(2022·贵州·模拟预测(文))定义集合且.已知集合,,则(       )
    A. B.
    C. D.
    【答案】C
    【解析】
    【分析】
    根据题中定义直接求解即可.
    【详解】
    因为,,所以,
    故选:C
    9.(2022·上海市七宝中学模拟预测)已知集合且,定义集合,若,给出下列说法:①;②;③;其中所有正确序号是(       )
    A.①② B.①③ C.②③ D.①②③
    【答案】D
    【解析】
    【分析】
    由集合的新定义结合,可得,由此即可求解
    【详解】
    因为集合且,
    若,
    则中也包含四个元素,即,
    剩下的,
    对于①:由得,故①正确;
    对于②:由得,故②正确;
    对于③:由得,故③正确;
    故选:D
    10.(2022·辽宁·育明高中一模)已知有限集X,Y,定义集合,且,表示集合X中的元素个数.若,则(       )
    A.3 B.4 C.5 D.6
    【答案】A
    【解析】
    【分析】
    利用新定义及并集运算,即可得到结果.
    【详解】

    ∴,,
    ∴,
    ∴,
    故选:A
    11.(2022·山西省运城中学校模拟预测(文))定义集合运算:,设,,则集合的所有元素之和为(       )
    A.16 B.18 C.14 D.8
    【答案】A
    【解析】
    【分析】
    由题设,列举法写出集合,根据所得集合,加总所有元素即可.
    【详解】
    由题设知:,
    ∴所有元素之和.
    故选:A.
    12.(2022·湖北·模拟预测)已知非空集合A,B满足以下两个条件:(1),;(2)A的元素个数不是A中的元素,B的元素个数不是B中的元素.则有序集合对的个数为(       )
    A.1 B.2 C.3 D.4
    【答案】B
    【解析】
    【分析】
    根据集合中元素个数分类讨论.
    【详解】
    中元素个数不能为0,否则有4个元素,不合题意,
    中元素个数不能为2,否则中有一个含有元素2,且集合中元素个数为2,不合题意,
    中元素个数只能是1或3,因此有或.共2对.
    故选:B.
    13.(2022·天津·二模)定义,若,,则A-B=(       )
    A.{9} B.{0,3,7}
    C.{1,5} D.{0,1,3,5,7}
    【答案】B
    【解析】
    【分析】
    直接利用集合的新运算求解.
    【详解】
    因为,且,,
    所以A-B={0,3,7},
    故选:B
    【点睛】
    本题主要考查集合的运算,属于基础题.
    14.(2022·安徽·合肥市第八中学模拟预测(理))已知集合,则集合的元素个数为
    A. B. C. D.
    【答案】B
    【解析】
    【详解】
    由题意得,所以集合共7个元素.故选B.
    二、多选题
    15.(2021·浙江金华第一中学高一开学考试)若非空集合G和G上的二元运算“满足:①,,;②,对,;③,使,,有;④,b,,,则称构成一个群下列选项对应的构成一个群的是(     )
    A.集合G为自然数集,“”为整数的加法运算
    B.集合G为正有理数集,“”为有理数的乘法运算
    C.集合G为整数集,“”为整数的加法运算
    D.集合,“”为求两整数之和被7除的余数
    【答案】BC
    【解析】
    【分析】
    分别分析题中的四个条件的含义,然后对四个选项中进行逐一判断即可.
    【详解】
    解:由题意可知,条件①表述了“⊕”的封闭性,
    条件②表述了“⊕”对于有单位元,
    条件③表述了“⊕”对于有逆元,
    条件④表述了“⊕”的结合律,
    对于,自然数集中的加法是封闭的,有单位元0,但无逆元,不满足条件③,故选项A错误;
    对于B,正有理数集中的乘法是封闭的,有单位元1,逆元1,满足结合律,故选项B正确;
    对于C,整数集中的加法是封闭的,有单位元0,逆元0,满足结合律,故选项C正确;
    对于D,集合中对于“求两整数之和被7除的余数”不是封闭的,如被除的余数为0,,故选项D错误.
    故选:BC.
    16.(2021·河南·林州一中高一开学考试)若集合A具有以下性质:
    (1)0∈A,1∈A;
    (2)若x∈A,y∈A;则x﹣y∈A,且x≠0时,∈A.
    则称集合A是“好集”.下列命题中正确的是(  )
    A.集合B={﹣1,0,1}是“好集”
    B.有理数集Q是“好集”
    C.整数集Z不是“好集”
    D.设集合A是“好集”,若x∈A,y∈A,则x+y∈A
    【答案】BCD
    【解析】
    【分析】
    逐一判断给定的3个集合,是否满足“好集”的定义,最后综合讨论结果,可得答案.
    【详解】
    解:对于,假设集合是“好集”,因为,,所以,这与矛盾,所以集合不是“好集”.故错误;
    对于,因为,,且对任意的,有,且时,,所以有理数集是“好集”,故正确;
    对于,因为,但,所以整数集不是“好集”.故正确;
    因为集合是“好集”,所以,又,所以,即,又,所以,即,故正确.
    故选:.
    17.(2021·广东·深圳第二外国语学校高一开学考试)若集合A具有以下性质:①集合中至少有两个元素;②若,则xy,,且当 时,,则称集合A是“紧密集合”以下说法正确的是(       )
    A.整数集是“紧密集合”
    B.实数集是“紧密集合”
    C.“紧密集合”可以是有限集
    D.若集合A是“紧密集合”,且x,,则
    【答案】BC
    【解析】
    根据“紧密集合”具有的性质逐一排除即可.
    【详解】
    A选项:若,,而,故整数集不是“紧密集合”,A错误;
    B选项:根据“紧密集合”的性质,实数集是“紧密集合”,B正确;
    C选项:集合是“紧密集合”,故“紧密集合”可以是有限集,C正确;
    D选项:集合是“紧密集合”,当,时,,D错误.
    故选:BC.
    【点睛】
    新定义题目的关键在于正确理解定义,从题意入手.

    三、填空题
    18.(2022·上海·位育中学模拟预测)已知集合 , 设 整除 或 整除 , 令 表示集合 所含元素的个数, 则 _____.
    【答案】
    【解析】
    【分析】
    根据的定义进行分析,从而确定正确答案.
    【详解】
    表示集合所含元素的个数,
    其中,,
    整除的有共个.
    整除的:
    (1)整除的有个;
    (2)整除的有个;
    (3)整除的有个.
    重复的有共个.
    所以.
    故答案为:
    19.(2022·上海·模拟预测)对于复数a、b、c、d,若集合具有性质“对任意,必有”,则当时,_________.
    【答案】
    【解析】
    【分析】
    由题意可得,,结合题意分类讨论确定集合.
    【详解】
    ∵,则,即,则
    若,则取,则
    若,则取,则,
    经检验满足题意

    故答案为:.
    三、解答题
    20.(2022·北京丰台·二模)设,,…,,,是个互不相同的闭区间,若存在实数使得,则称这个闭区间为聚合区间,为该聚合区间的聚合点.
    (1)已知,为聚合区间,求t的值;
    (2)已知,,…,,为聚合区间.
    (ⅰ)设,是该聚合区间的两个不同的聚合点.求证:存在k,,使得;
    (ⅱ)若对任意p,q(且p,),都有,互不包含.求证:存在不同的i,,使得.
    【答案】(1)
    (2)证明见解析
    【解析】
    【分析】
    (1)根据题意可得当且仅当时成立即可得;
    (2)(ⅰ)设,根据区间端点的大小关系证明所有区间都包含即可;
    (ⅱ)先分析可得个互不相同的集合的区间端点的大小关系,再设,再根据区间端点的最小距离为 ,累加即可证明
    (1)
    由可得,又,为聚合区间,由定义可得,故当且仅当时成立,故
    (2)
    (ⅰ)由,是该聚合区间的两个不同的聚合点,不妨设,因为,故,又,故,不妨设中的最大值为,中最小值为,则,即,故存在区间
    (ⅱ)若存在 则或,与已知条件矛盾
    不妨设 ,则
    否则,若,则,与已知条件矛盾
    取,设
    当时,,

    又,所以,所以,
    即,所以,
    此时取,则,
    当时,同理可取,使得,
    综上,存在不同的i,,使得
    【点睛】
    本题主要考查了新定义的集合类证明,可根据题意先画数轴分析题目中区间的关系,再凑出所需证明的不等式即可,属于难题


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