新高考数学一轮复习知识点总结与题型精练专题23 圆锥曲线（含解析）

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专题23 圆锥曲线
【考纲要求】
1、掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程，掌握椭圆的简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率)．
2、掌握双曲线定义、几何图形和标准方程，知道双曲线简单(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线)．
3、掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质.
一、椭圆及相关问题
【思维导图】

【考点总结】
一、椭圆的定义及标准方程
1．定义
平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．
集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c为常数}。
(1)若a＞c，则M点的轨迹为椭圆。
(2)若a＝c，则M点的轨迹为线段F1F2。
(3)若a＜c，则M点不存在。
2．标准方程
中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆的标准方程为：＋＝1(a>b>0)；
中心在坐标原点，焦点在y轴上的椭圆的标准方程为：＋＝1(a>b>0)．
二、椭圆的标准方程和几何性质
标准方程
＋＝1(a＞b＞0)
＋＝1(a＞b＞0)
图形


性质
范围
－a≤x≤a
－b≤y≤b
－b≤x≤b
－a≤y≤a
对称性
对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点
A1(－a,0)，A2(a,0)
B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)
B1(－b,0)，B2(b,0)
轴
长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b
焦距
|F1F2|＝2c
离心率
e＝∈(0,1)
a，b，c
的关系
c2＝a2－b2


二、双曲线及相关问题
【思维导图】

【考点总结】
一、双曲线的定义及标准方程
1．定义
在平面内到两定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|且大于零)的点的轨迹(或集合)叫做双曲线．定点F1，F2叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做焦距．
集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a，|F1F2|＝2c，其中a、c为常数且a＞0，c＞0}。
(1)当a＜c时，M点的轨迹是双曲线。
(2)当a＝c时，M点的轨迹是两条射线。
(3)当a＞c时，M点不存在。
2．标准方程
中心在坐标原点，焦点在x轴上的双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)；
中心在坐标原点，焦点在y轴上的双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)．
二、双曲线的标准方程和几何性质
标准方程
－＝1
(a＞0，b＞0)
－＝1
(a＞0，b＞0)
图形


性质
范围
x≥a或x≤－a，y∈R
x∈R，y≤－a或y≥a
对称性
对称轴：坐标轴
对称中心：原点
对称轴：坐标轴
对称中心：原点
顶点
顶点坐标：
A1(－a,0)，A2(a,0)
顶点坐标：
A1(0，－a)，A2(0，a)
渐近线
y＝±x
y＝±x
离心率
e＝，e∈(1，＋∞)，其中c＝
性质
实虚轴
线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长
三、抛物线及相关问题
【思维导图】

【考点总结】
一、抛物线的定义及标准方程
1．定义
平面内与一个定点F和一条定直线l(F∉l)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线。
2．标准方程
顶点在坐标原点，焦点在x轴正半轴上的抛物线的标准方程为：y2＝2px(p>0)；
顶点在坐标原点，焦点在x轴负半轴上的抛物线的标准方程为：y2＝－2px(p>0)；
顶点在坐标原点，焦点在y轴正半轴上的抛物线的标准方程为：x2＝2py(p>0)；
顶点在坐标原点，焦点在y轴负半轴上的抛物线的标准方程为：x2＝－2py(p>0)．
二、抛物线的标准方程与几何性质
标准
方程
y2＝2px
(p＞0)
y2＝－2px
(p＞0)
x2＝2py
(p＞0)
x2＝－2py
(p＞0)
p的几何意义：焦点F到准线l的距离
图形




顶点
O(0,0)
对称轴
y＝0
x＝0
焦点
F
F
F
F
离心率
e＝1
准线方程
x＝－
x＝
y＝－
y＝
范围
x≥0，y∈R
x≤0，y∈R
y≥0，x∈R
y≤0，x∈R
开口方向
向右
向左
向上
向下
焦半径
|PF|＝x0＋
|PF|＝－x0＋
|PF|＝y0＋
|PF|＝－y0＋
【题型汇编】
题型一：椭圆
题型二：双曲线
题型三：抛物线
【题型讲解】
题型一：椭圆
一、单选题
1．（2022·全国·一模（理））已知椭圆C：上的动点P到右焦点距离的最小值为，则（       ）
A．1 B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据椭圆的性质可得椭圆上的点到右焦点距离最小值为，即可求出，再根据，即可得解；
【详解】
解：根据椭圆的性质，椭圆上的点到右焦点距离最小值为，
即 ，又，所以，
由，所以；
故选：A
2．（2022·山西大附中三模（文））已知椭圆C：的右焦点为，右顶点为A，O为坐标原点，过OA的中点且与坐标轴垂直的直线交椭圆C于M，N两点，若四边形OMAN是正方形，则C的方程为（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
待定系数法去求椭圆C的方程
【详解】
由椭圆方程可知，由四边形OMAN是正方形可知，
又点M在椭圆C上，则有，解得，
又椭圆C的右焦点为，则，
结合椭圆中，解得，，则椭圆C的方程为.
故选：A
3．（2022·湖南湘潭·三模）椭圆的左､右焦点分别为F1，F2，过点F1的直线l与E交于A，B两点，若△ABF2的周长为12，则E的离心率为（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
由椭圆的定义，求得，再由，求得的值，结合离心率的定义，即可求解.
【详解】
因为的周长为，根据椭圆的定义可得，解得，
则，所以，则椭圆的离心率为.
故选：A.
4．（2022·宁夏·银川一中二模（文））椭圆的一个焦点坐标为，则实数m的值为（       ）
A．2 B．4 C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由焦点坐标得到，求解即可.
【详解】
根据焦点坐标可知，椭圆焦点在y轴上，所以有，解得．
故选：C.
5．（2022·陕西西安·二模（文））已知椭圆的两焦点为，以为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的另两条边，则椭圆的离心率为（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
椭圆的正三角形另两边的交点分别为，易得，，由此建立的齐次式，进而可的结果.
【详解】
解：由题意得：

设椭圆的正三角形另两边的交点分别为，易得，



故选：A
6．（2022·湖南·长沙市明德中学二模）已知分别是椭圆的左、右焦点，点，点在椭圆上，，分别是的中点，且的周长为，则椭圆的方程为（       ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
因为，所以三点共线，且，根据椭圆的定义求得，
设，根据，求得，代入椭圆的方程，求得的值，即可求解.
【详解】
因为，所以三点共线，且，
因为分别为和的中点，
所以，所以，
设，，，
由，可得，
求得，，所以，
因为点在椭圆上，所以，求得，，
所以椭圆的方程为.
故选：B.

二、多选题
7．（2022·江苏江苏·一模）若椭圆的左，右焦点分别为，则下列的值，能使以为直径的圆与椭圆有公共点的有（       ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【解析】
【分析】
依题意可得，再根据，即可取出的取值范围，即可得解；
【详解】
解：以为直径的圆的方程为，因为圆与椭圆有公共点，所以，即，所以，即，满足条件的有A、B、C；
故选：ABC
2．（2022·湖北·黄冈中学二模）已知点，，是椭圆上的动点，当取下列哪些值时，可以使 （       ）
A．3 B．6 C．9 D．12
【答案】ABC
【解析】
【分析】
设，利用求得的最大值和最小值即可得．
【详解】
设，且.
因为，
将点坐标代入椭圆，得，所以代入上式可得
.
所以，.对照选项可以取ABC.
故选：ABC．
三、解答题
1．（2022·北京·北大附中三模）已知椭圆经过点.
(1)求椭圆的方程及其离心率；
(2)若为椭圆上第一象限的点，直线交轴于点，直线交轴于点，且有，求点的坐标.
【答案】(1)，离心率为；
(2)
【解析】
【分析】
（1）由题意可得，继而求出，即可得方程和离心率；
（2）设，则，又由可得，继而得到，联立即可解得，的值.
(1)
依题知：，所以.
所以椭圆方程为，离心率.
(2)
如图：

设，第一象限有，①；
由得：，
又，，
因此②，
联立①②解得，故.
2．（2022·海南海口·二模）已知椭圆的离心率为，且经过点．
(1)求C的方程；
(2)动直线l与圆相切，与C交于M，N两点，求O到线段MN的中垂线的最大距离．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）首先根据题意列出方程组，再解方程组即可.
（2）当的斜率不存在时，到中垂线的距离为0．当的斜率存在时，设，，．根据直线与圆相切得到，求出中垂线得到到中垂线的距离为，再利用基本不等式即可得到答案.
(1)
由题知：，解得.
所以的方程为．
(2)
当的斜率不存在时，线段MN的中垂线为轴，此时到中垂线的距离为0．
当的斜率存在时，设，，．
因为与圆相切，则到的距离为，所以．
联立方程，得，
则，可得的中点为．
则MN的中垂线方程为，即．
因此到中垂线的距离为
（当且仅当，时等号成立）．
综上所述，到线段MN的中垂线的最大距离为．
题型二：双曲线
一、单选题
1．（2022·浙江·三模）双曲线的实轴长度是（       ）
A．1 B．2 C． D．4
【答案】D
【解析】
【分析】
由双曲线的几何性质即可得出答案.
【详解】
的，所以.
故双曲线的实轴长度是.
故选：D.
2．（2022·安徽省舒城中学三模（理））若双曲线(a＞0，b＞0)的离心率为2，则其两条渐近线所成的锐角为（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据离心率可求出两条渐近线的倾斜角，从而解出．
【详解】
因为双曲线的渐近线方程为，而，所以，
故两条渐近线中一条的倾斜角为，一条的倾斜角为，它们所成的锐角为．
故选：A．
3．（2022·黑龙江·哈九中三模（文））双曲线的渐近线方程为（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由双曲线方程可判断双曲线的焦点位置并同时求出，，由此可求其渐近线方程.
【详解】
由双曲线得，所以渐近线方程为，
故选：B
4．（2022·北京·二模）已知双曲线的一条渐近线方程为，则C的离心率为（       ）
A． B． C．2 D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据已知渐近线确定双曲线参数，进而求其离心率.
【详解】
由题设双曲线渐近线为，而其中一条为，
所以，则，故C的离心率为.
故选：A
5．（2022·北京房山·二模）双曲线的焦点坐标为（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据双曲线焦点坐标公式求解即可
【详解】
双曲线的焦点在轴上，坐标为，即
故选：C
6．（2022·山东烟台·三模）过双曲线：（，）的焦点且斜率不为0的直线交于A，两点，为中点，若，则的离心率为（       ）
A． B．2 C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
先设出直线AB的方程，并与双曲线的方程联立，利用设而不求的方法及条件得到关于的关系，进而求得双曲线的离心率
【详解】
不妨设过双曲线的焦点且斜率不为0的直线为，令
由，整理得
则，
则，由，可得
则有，即，则双曲线的离心率
故选：D
二、多选题
1．（2022·河北唐山·三模）已知为双曲线的两个焦点，为双曲线上任意一点，则（       ）
A． B．双曲线的渐近线方程为
C．双曲线的离心率为 D．
【答案】CD
【解析】
【分析】
对于A，用定义即可判断，对于B，根据焦点位置即可判断，对于C，直接计算即可，对于D，因为为的中点，所以，设可求出的取值范围，即可判断
【详解】
双曲线：焦点在轴上，，，
对于A选项，，而点在哪支上并不确定，故A错误
对于B选项，焦点在轴上的双曲线渐近线方程为，故B错误
对于C选项，，故C正确
对于D选项，
设，则（时取等号）
因为为的中点，所以，故D正确
故选：CD
三、解答题
1．（2022·河北秦皇岛·二模）已知双曲线的左､右焦点分别为，，虚轴长为，离心率为，过的直线与双曲线的右支交于，两点.
(1)求双曲线的方程；
(2)已知，若的外心的横坐标为0，求直线的方程.
【答案】(1)
(2)或
【解析】
【分析】
（1）根据虚轴长为，离心率为，由求解；
（2）当直线的斜率不存在时，直线的方程为，根据外接圆的圆心的横坐标为0，得到判断.当直线的斜率存在时，设直线的方程为，与双曲线方程联立，根据直线与双曲线的右支交于，两点，求得k的范围，设线段的中点为M，利用弦长公式和求解.
(1)
由题知
因为，所以，
故双曲线的方程为.
(2)
由（1）知.
当直线的斜率不存在时，直线的方程为，则，.
因为为等腰三角形，且外接圆的圆心的横坐标为0，
所以.
因为，，所以，故此时不合题意.
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
联立方程组得，
由
解得，即或.
设，，则，，
因为，
所以线段的中点为，
且.
设，因为在线段的垂直平分线上，所以，
得，即，故.
因为，且，
所以，
化简得，
得或（舍去），
所以直线的方程为，
即直线的方程为或.
2．（2022·宁夏·银川一中二模（理））已知双曲线的离心率等于，且点在双曲线上.
(1)求双曲线的方程；
(2)若双曲线的左顶点为，右焦点为，P为双曲线右支上任意一点，求的最小值.
【答案】(1)
(2)-4
【解析】
【分析】
（1）直接由离心率和点代入双曲线求得即可；
（2）先表示出，再通过点P横坐标的范围求出最小值.
(1)
依题又，
所以，，故双曲线的方程为.
(2)
由已知得，，设，
于是，，
因此，
由于，所以当时，取得最小值，为.
题型三：抛物线
一、单选题
1．（2022·湖北十堰·三模）下列四个抛物线中，开口朝左的是（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
直接由抛物线的标准方程判断开口方向即可.
【详解】
抛物线的开口朝右，抛物线的开口朝下，抛物线的开口朝左，抛物线的开口朝上.
故选：C.
2．（2022·广东惠州·一模）若抛物线（）上一点P（2，）到其焦点的距离为4，则抛物线的标准方程为（       ）
A．y2=2x B．y2=4x C．y2=6x D．y2=8x
【答案】D
【解析】
【分析】
由抛物线的定义可解答.
【详解】
抛物线上一点到焦点的距离等于到其准线的距离，即为4，∴，解得，∴抛物线的标准方程为.
故选：D.
3．（2022·陕西渭南·二模（理））抛物线的焦点为F，点P是C上一点，若，则点P到y轴的距离为（       ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【解析】
【分析】
设出，由抛物线定义得到方程，求出，从而得到答案.
【详解】
设，由抛物线定义知：，
所以，
即点P到y轴的距离为4
故选：C
4．（2022·江西九江·二模）已知点M为抛物线上的动点，过点M向圆引切线，切点分别为P，Q，则的最小值为（       ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【解析】
【分析】
由四边形的面积可知，即可求解.
【详解】
如图，圆心为抛物线的焦点，
四边形的面积，
∴，
∴当最小时，即点M到准线的距离最小值为2，
∴，

故选:.
5．（2022·安徽马鞍山·一模（理））已知抛物线过点，则其准线方程为（       ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据抛物准线方程定义即可求解．
【详解】
抛物线过点，则
所以
由抛物线的标准方程可得，抛物线的焦点位于轴负半轴，
准线方程为.
故选：D
6．（2022·重庆·一模）已知抛物线的焦点为，准线为，点在上，直线与轴交于点，且，则点到准线的距离为（       ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【解析】
【分析】
过点作轴的垂线，垂足为，进而根据得，再结合抛物线定义即可得答案.
【详解】
解：如图，过点作轴的垂线，垂足为，由题知，即
因为，所以
所以，所以点到准线的距离为.
故选：B

7．（2022·天津南开·二模）设抛物线的焦点到双曲线的一条渐近线的距离为，到双曲线左顶点的距离为，则该双曲线的离心率是（       ）
A． B． C．2 D．
【答案】C
【解析】
【分析】
先得到抛物线的焦点坐标，然后根据题意，利用点到直线的距离和两点间的距离求解.
【详解】
解：抛物线的焦点为，
设双曲线的一条渐近线方程为，
由题意得，解得，
双曲线左顶点为，
由题意得，即，
解得，
所以该双曲线的离心率是，
故选：C
8．（2022·陕西西安·三模（理））已知抛物线上一点，为其焦点，直线交抛物线的准线于点.且线段的中点为，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
设点，利用中点坐标公式求出的值，可得出抛物线的方程，再将点的坐标代入抛物线的方程，可求得的值.
【详解】
抛物线的焦点为，准线方程为，
设点，由题意可得，解得，
所以抛物线的方程为，所以，，解得.
故选：D.
二、多选题
1．（2022·湖南常德·一模）已知抛物线的焦点到准线的距离为2，则（       ）
A．焦点的坐标为
B．过点恰有2条直线与抛物线有且只有一个公共点
C．直线与抛物线相交所得弦长为8
D．抛物线与圆交于两点，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】
先求出抛物线方程，对选项逐一判断即可.
【详解】
由题可知抛物线方程为
对于A，焦点的坐标为，故A正确
对于B，过点有抛物线的2条切线，还有，共3条直线与抛物线有且只有一个交点，故B错误
对于C，，弦长为，故C正确
对于D，，解得（舍去），交点为，有，故D正确
故选：ACD
2．（2022·湖南·雅礼中学二模）在平面直角坐标系中，点在抛物线上，抛物线的焦点为，延长与抛物线相交于点，则下列结论正确的是（       ）
A．抛物线的准线方程为 B．
C．的面积为 D．
【答案】AD
【解析】
根据条件求出，再联立直线与抛物线求出，进而求出结论．
【详解】
解：点在抛物线上，
，
，焦点为，准线为，对，
因为，
故，
故直线为：，
联立或，
，，
，，
，错，
，对，
的面积为．故错，
故选：．

三、解答题
1．（2022·江西萍乡·三模（理））已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点与圆的圆心重合，为上一动点，点.若的最小值为.
(1)求抛物线的标准方程；
(2)过焦点的直线与抛物线和圆从左向右依次交于四点，且满足，求直线的方程．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）由圆的方程可确定焦点坐标，设抛物线为；过作抛物线准线的垂线，由抛物线定义知的最小值即为到准线的距离，由此构造方程求得即可；
（2）结合抛物线焦半径公式可化简为，设直线，与抛物线方程联立可得韦达定理的形式，并推导得到，代入整理可构造方程求得，由此可得直线方程.
(1)
由圆的方程知：，则抛物线方程可设为：，
，在抛物线开口内部，
过作抛物线准线的垂线，垂足为，由抛物线定义知：，

（当且仅当三点共线时取等号），
，解得：，
抛物线的标准方程为：.
(2)

为圆直径，，又，，，；
由题意知：直线斜率存在，可设，，，
由得：，则，
，，，；
，，
，
解得：，直线的方程为.
【点睛】
思路点睛：本题考查直线与抛物线的综合应用问题，解题基本思路是能够利用抛物线定义，将已知中的距离平方和转化为直线与抛物线交点坐标之间的关系，从而利用韦达定理构造方程求得变量.
2．（2022·河北秦皇岛·三模）已知抛物线上的点与焦点的距离为9，点到轴的距离为．
(1)求抛物线的方程．
(2)经过点的直线与抛物线交于两点，为直线上任意一点，证明：直线的斜率成等差数列．
【答案】(1)；
(2)证明见解析.
【解析】
【分析】
(1)由条件结合抛物线的定义列方程求即可；(2)联立方程组，利用设而不求的方法证明即可.
(1)
设点，由题意可知，
所以，解得．
因为，所以．
所以抛物线的方程为．
(2)
设直线的方程为，
联立方程组消去得，
所以．
设，则
，
又因为，
所以，即直线的斜率成等差数列．
【点睛】
解决直线与抛物线的综合问题的一般方法为设而不求法，要证明直线的斜率成等差数列只需证明即可.