江西省赣州市寻乌县2022-2023学年八年级下学期期末考试数学试卷(含解析)

2022-2023学年江西省赣州市寻乌县八年级（下）期末

数学试卷

一、选择题（本大题共6小题，共18.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  若有意义，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列各组数中，不是勾股数的一组是(    )

A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，

3.  在一次统计调查中，小明得到以下一组数据：，，，，，若这组数据的众数是，则这组数据中的的值为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  一次函数的图象如图所示，则、的值为(    )

 

A. ， B. ， C. ， D. ，

5.  如图，在矩形中，对角线、相交于点，点、分别是、的中点，连接，若，，则的长是(    )

A.
B.
C.
D.

6.  在学校开展的节约用水活动中，从八年级名同学中随机调查了名同学的家庭一个月的节水量，数据均为正整数整理如表：

请你估计这名同学的家庭一个月节约用水的总量大约是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

7.  若函数是正比例函数，则的值是______ ．

8.  若与最简二次根式是同类二次根式，则 ______ ．

9.  学校组织一分钟跳绳比赛八班准备从甲、乙两人中挑选一名成绩比较稳定的同学参赛两人最近四次的跳绳测试的成绩单位：个为：甲：，，，；乙：，，，，而这两人平均成绩相同，根据信息，应该选______ 参加比赛．

10.  九章算术卷九“勾股”中记载：今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽，问索长几何？译文：今有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有尺．牵着绳索绳索头与地面接触退行，在距木根部尺处时绳索用尽．问绳索长是多少？设绳索长为尺，可列方程为______．

11.  如图，一次函数的图象经过点，与正比例函数的图象交于点，则不等式的解集为______ ．

12.  小亮在一张长为，宽为的矩形纸片上，剪了一个腰长为的等腰三角形要求等腰三角形的一个顶点与矩形的一个顶点重合，其余两个顶点在矩形的边上，则这个等腰三角形的底边为______ ．

三、解答题（本大题共12小题，共84.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

13.  本小题分
计算：．

14.  本小题分
已知小玲的饭卡里存有元钱，她每餐吃饭的费用为元设吃饭的餐数为餐，饭卡里剩下的钱为元．
与之间的函数关系式是：______ ；不用写自变量的取值范围
求当时，的值．

15.  本小题分
数学老师在计算学生的学期综合成绩时，从平时作业、期中考试、期末考试三个方面进行考核，各项满分均为分按平时作业占，期中考试占，期末考试占小华和小强两位同学的成绩如下表所示，则：
这两人中综合成绩更高的同学是______ ，他的综合成绩是______ 分；
若对平时作业、期中考试、期末考试的成绩分别赋予它们，和的权，请计算小华的综合成绩．

16.  本小题分
为了绿化校园学校计划在如图所示的一块四边形的空地图中阴影部分上种植草皮，经测量，，，，，请求出空地的面积．

17.  本小题分
如图是的矩形网格，每个小正方形的顶点称为格点，请仅用无刻度直尺按下列要求作图，所作图形的顶点均在格点上保留作图痕迹．

在图中，作一个以为一边而且面积为的平行四边形；
在图中，作一个以为其中一条对角线的正方形．

18.  本小题分
已知小王家、体育中心、新华书店在同一直线上如图所示的图象反映的过程是：小王骑电动车从家出发去体育中心锻炼身体当他骑了一段路时，突然想起要帮弟弟买书，于是原路返回到刚才经过的新华书店不考虑电动车掉头的时间，买到书后继续前进并到达体育中心请根据图象回答下列问题：
体育中心到小王家的距离是______ 米
第分钟时，他在______ 地点，他在这个地方停留了______ 分钟．
买到书后，小王从新华书店到体育中心骑车的平均速度是多少？

19.  本小题分
如图，，，是的中点．

求证：；
连接、，在不添加辅助线的情况下，请直接写出与面积相等的所有三角形．

20.  本小题分
一本好书往往能改变人的一生，在学校组织的“读书周”活动期间，同学们掀起了读书的热潮各班读书的同学越来越多了，同学们的阅读量也增加了不少下面是小欢同学调查的八班全体同学在“读书周”活动期间阅读图书的册数情况统计图：

请你根据以上统计图中的信息，解答下列问题：
该班有学生______ 人
请补全条形统计图；
这组数据的中位数是多少？
若该校共有名学生，请你估计这个学校阅读了册图书的学生人数．

21.  本小题分
观察下列含有规律的式子：，，，根据你发现的规律，完成下面各题：
按照这个规律，写出第个式子：______ ；
若式子、为正整数符合以上规律，则 ______ ；
请你用含有正整数的式子，表示出你所发现的规律：______ ；
请你通过计算，验证：当时，对应的式子是正确的．

22.  本小题分
如图，是一种学生双肩背包，其背带由固定带、活动带和调节扣构成使用时，可以通过调节调节扣使背带的总长度固定带与活动带使用部分的长度总和，其中调节扣所占的长度忽略不计加长或缩短设活动带未使用部分的长度为，背带的总长度为，经测量，得到如下数据：说明：本题只讨论一条背带

根据表中数据的规律，填空： ______ ， ______ ；
当时，求关于的函数解析式；
在下面的平面直角坐标系中，请直接画出中的函数图象；
根据小敏的身高和习惯，背带的总长度为时，背起来最合适，请求出此时活动带未使用部分的长度．

 

23.  本小题分
如图，直线交两坐标轴于点，求直线的解析式；
点的坐标为，连接证明：，且线段；
在的条件下，点为平面直角坐标系内一点，当四边形为正方形时，请直接写出点的坐标．

24.  本小题分
【问题背景】在学完菱形的知识之后，小彬对菱形进行了研究：如图，在菱形中，，是射线上一点，是的延长线上一点，且，连接，．

【问题发现】如图，当是对角线的中点时，小彬发现有：请你证明他的发现是正确的．
【类比探究】如图，若是对角线上任意一点时，问题中的结论是否还成立？请说明理由．
【拓展应用】如图，若是线段延长线上任意一点，连接，其他条件不变，，，请求出的长度．

答案

1.【答案】 

解析：解：若有意义，则，
解得：．
故选：．
直接利用二次根式有意义的条件分析得出答案．
此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握二次根式的定义是解题关键．
 

2.【答案】 

解析：解：、，能构成直角三角形，是整数，故是勾股数，此选项不符合题意；
B、，三边是整数，同时能构成直角三角形，故是勾股数，此选项不符合题意；
C、，是正整数，同时能构成直角三角形，故是勾股数，此选项不符合题意．
D、，不是勾股数，此选项符合题意；
故选：．
欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方．
此题主要考查了勾股数，解答此题要用到勾股数的定义，及勾股定理的逆定理：已知的三边满足，则是直角三角形．
 

3.【答案】 

解析：解：这组数据、、、、的众数是，
．
故选：．
根据众数的定义即可确定的值．
本题考查众数的定义，一组数据中出现次数最多的数据为众数．
 

4.【答案】 

解析：解：一次函数的图象过一、三象限，
，
函数的图象与轴的正半轴相交，
．
故选：．
先根据一次函数的图象过一、三象限可知，由函数的图象与轴的正半轴相交可知，进而可得出结论．
本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，即一次函数中，当时，函数图象过一、三象限，当时，函数图象与轴的正半轴相交．
 

5.【答案】 

解析：解：四边形是矩形，
．
在中，．
．
又点、分别是、的中点，
是的中位线，
．
故选：．
先根据四边形是矩形可知；然后在中由勾股定理求出的长度，再得到的长度．最后在中运用三角形中位线定理得出的长度即可．
本题主要考查了矩形的性质、勾股定理、三角形中位线等知识点，灵活运用相关性质、定理是解答本题的关键．
 

6.【答案】 

解析：解：根据表中信息可知各小组数据的组中值，月节水量的组中值为：，，，
于是样本平均节水量吨，
户家庭的总节水量吨，
故选：．
先确定各组数据的组中值，再利用样本平均节水量来估计户家庭的节水总量．
本题考查样本估计总体思想和用频数分布组中值求加权平均数．
 

7.【答案】 

解析：解：函数是正比例函数，
，解得：，
则的值是：．
故答案为：．
直接利用正比例函数的定义分析得出即可．
此题主要考查了正比例函数的定义，正确得出关于的等式是解题关键．
 

8.【答案】 

解析：解：与是同类二次根式，．
．
．
故答案为：．
根据最简二次根式与同类二次根式的定义解题即可．
本题考查最简二次根式与同类二次根式，掌握同类二次根式的定义是解题的关键．
 

9.【答案】乙 

解析：解：，，
，
；
，
乙的跳绳成绩波动较小，而两人的平均成绩又相同，
选乙参加比赛更合适．
故答案为：乙．
观察两人的数据可以判断出两人跳绳成绩波动的大小，再结合两人的平均成绩相同，最后根据数据的波动越小，成绩就越稳定．解题即可．
本题考查方差的理解与应用，熟知方差越小，一组数据波动越小，这组数据就越稳定是解题关键．
 

10.【答案】 

解析：解：设绳索长为尺，可列方程为，
故答案为：
设绳索长为尺，根据勾股定理列出方程解答即可．
本题考查了勾股定理的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

11.【答案】 

解析：解：点在直线上，当时，得．

由图象可得：不等式的解集为，

故答案为：．
先根据点在直线上，求出点的坐标．再根据两直线相交于点并结合点的坐标观察图象可得：当不等式时，其图象在直线的右侧．即可解题．
本题考查一元一次不等式与函数图象之间的关系，掌握一次函数图象的性质，利用数形结合思想解题是关键．
 

12.【答案】或或 

解析：解：设，．
如图所示，当时，为底边．
．

如图所示，当时，为底边．
根据题意可知．
．
．

如图所示，当时，为底边．
根据题意可知．
．
．

综上所述，等腰三角形的底边为或或．
故答案为：或或．
等腰三角形腰的位置不明确，需要根据勾股定理分三种情况分别计算底边的长度：两腰在矩形相邻的两边上；一腰在矩形的宽上；一腰在矩形的长上．
本题主要考查勾股定理，能够根据题意进行分类讨论是解题的关键．
 

13.【答案】解：



． 

解析：利用二次根式的除法法则进行计算，即可解答．
本题考查了二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
 

14.【答案】 

解析：解：每餐吃饭的费用为元．设吃饭的餐数为餐，饭卡里剩下的钱，
故答案为：．
当时，元．
根据销题意小玲的饭卡里存有元钱，她每餐吃饭的费用为元．设吃饭的餐数为餐，饭卡里剩下的钱为元，列出与的解析式；
把代入解析式，求出的值即可．
本题考查一次函数的应用、待定系数法等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
 

15.【答案】小强   

解析：解：小华的综合成绩为分，
小强的综合成绩为分，
，
这两人中综合成绩更高的同学是小强，他的综合成绩是分．
故答案为：小强，；
分．
即小华的综合成绩为分．
根据加权平均数的定义分别求出这两人的综合成绩，即可求解；
根据加权平均数的定义即可求出小华的综合成绩．
本题考查了加权平均数的概念，牢记公式是解答本题的关键，难度不大．
 

16.【答案】解：，

在中，有．
在中，，，
．
是直角三角形，且．

答：空地的面积是． 

解析：先在中利用勾股定理求得的长，再由、、的长度关系利用勾股定理的逆定理可证得为，且为斜边．最后根据四边形由和构成，即可求解．
本题考查勾股定理及其逆定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键．
 

17.【答案】解：如图所示，四边形即为所求；
，，
四边形是平行四边形，
；
如图所示，四边形即为所求；
，，
，，
，
四边形是正方形． 

解析：根据平行四边形的判定以及面积计算公式解题即可；
根据正方形的对角线的判定定理，勾股定理和勾股定理的逆定理求解即可．
本题主要考查了平行四边形的性质与判定，正方形的判定，勾股定理和勾股定理的逆定理，灵活运用所学知识是解题的关键．
 

18.【答案】  新华书店或书店   

解析：解：根据图象可知：小王家离体育中心的距离是米；
由图象可知：第分钟时，他在新华书店；
他在新华书店停留的时间是分钟；
小王从新华书店到体育中心的路程为米，
所用时间为分钟，故其平均速度是：米分．
根据函数图象可直接得出答案；
由函数图象可知：第分钟，小王在新华书店买书；
找到对应时段的函数图象，根据速度路程时间，即可解答．
本题主要考查学生对函数图象的读图能力，仔细观察函数图象是关键．
 

19.【答案】证明：是的中点，
．
，
．
又，
四边形是平行四边形．
．
解：与面积相等的有，，，．
理由：四边形是平行四边形，
与的面积相等．
又，，
与、的面积相等，与的面积相等．
与面积相等的有，，，四个． 

解析：证明四边形是平行四边形即可；
根据同底等高的三角形面积相等可得结论．
本题考查平行四边形的性质和判定、等高模型、两平行线之间的距离等知识，掌握平行四边形的性质是解题的关键．
 

20.【答案】 

解析：解：阅读册的人数有人，占，
该班学生人数为人，
故答案为：．
根据题意可知，阅读册的人数为：人，
补全统计图后如答题图所示：

该班总人数为人，
中位数排在第位与第位，对应数据分别为和，
中位数为：；
人．
答：估计阅读册的人数有人．
由阅读册人数及其所占百分比可得；
由总人数以及其他四项人数可得；
由中位数的定义可得；
用乘以阅读册人数的占比可得．
本题考查统计图的识图、作图能力，以及求样本总数，中位数，样本估计总体，掌握从图表中提取有用信息进行计算是解题的关键．
 

21.【答案】    

解析：解：由规律可得第个式子为：．
由并结合规律，得到、．
原式．
总结一般性规律得到：
．
当时，有．
左边，右边．
左边右边．
当时，对应的式子是正确的．
观察、、三个式子，我们可以发现：等式左边根号里面是一个整数加上一个分数，而且这个整数与等式的序号相同，分数的分子是，分母比整数多；等式右边根号外面的整数比等式的序号多，根号里面的分数就是等式左边的分数．
根据以上规律，可得第个式子；
利用得出的规律求出与的值，代入原式计算即可；
归纳总结得到一般性规律，写出即可；
先把代入中的等式，再将等式左右两边的式子化简即可验证．
本题考查数字变化类的规律探索问题以及二次根式的运算．
 

22.【答案】   

解析：解：观察表格可知，是的一次函数，设，
则有，
解得，
．
当时，，当时，；
故答案为：，；
当时，关于的函数解析式为；
图象如下图：


由题意当，
，
，
活动带未使用部分的长度为．
观察表格可知，是的一次函数，设，利用待定系数法即可解决问题；
列出方程组即可解决问题；
由题意当，，当时，，可得．
本题考查一次函数的应用、待定系数法等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
 

23.【答案】解：直线经过点，，
解得．
直线的解析式为．
方法一：如图，过点作轴于．
可得与都是，．
，，
，．
，
．
．
≌．
．
，即．


方法二：如图，连接．
，，
；
；
．
，．
是等腰直角三角形．
，且．


方法三：由方法一可知：．
设直线的解析式为，可得
．
直线的解析式为．
又直线与的解析式的一次项系数的积．
．
方法一：如图．
四边形为正方形，
，；，．
将点向右平移个单位，
再向下平移个单位
可得到点．
将同样平移
可得点．

也可以根据点平移到点的平移方式，由点平移得出点的坐标．
方法二：如图四边形为正方形．
，．
直线的解析式为．
设直线的解析式为．
又直线经过点．
．
直线的解析式为．
同理可得，直线的解析式为．
点是直线与直线的交点，
有解得点．
也可以用类似的垂直法得出点的坐标．

方法三：如图连接、，两线交于点
四边形为正方形．
点是的中点，也是的中点．
，，
点．
即点．
又点．

方法四：如图过点作轴于点．
可证得≌．
得到，．
．
点在轴的正半轴．
点在第四象限．
点．
 

解析：待定系数法求直线解析式即可求解；
如图，过点，作轴于，得出≌，解答即可；
根据一次函数的平移可得的解析式，同理可得，直线的解析式，组成方程组即可求解．
本题考查一次函数的综合运用．待定系数法求解析式，正方形的性质，勾股定理及其逆定理，全等三角形的性质与判定，两直线平行、垂直、交点坐标等知识．
 

24.【答案】解：证明：
四边形是菱形，

．
又．
是等边三角形，
．
是的中点，
．
又，
．

．
．
结论依然成立．理由如下：
方法一：如答题图所示，过点作交于点，

四边形是菱形，
．
又
是等边三角形．
．
．
．
与是等边三角形．
，，．
即．
又，
，
≌．
．
方法二：如答题图所示，连接、．

为菱形的对角线，，
，对称性
又，．
≌．
，．

，即．
为等边三角形．
．
．
法一：如答题图所示，过点作交的延长线于点．
与同理有：、是等边三角形．

．

．
．
．
．
．
在中，．
．
．
又与同理可得．
，
在中，
．
方法二：也可再过点作于点如答题图在中，

求得，
．
再由是等边三角形，与同理证得≌．
．
．
在中，．
方法三：如答题图

四边形是菱形，．
是等边三角形，
，
又．
．
．
在中，
．
．
．
．
又．
．
又，
≌．
．
在中，
． 

解析：由菱形的性质和得出是等边三角形，得出由等边三角形的性质和是的中点，，得出，由等腰三角形的性质和三角形的外角性质得出，即可得出结论．
过点作交于点由中的是等边三角形，可证得是等边三角形，得出，然后由证得≌，即可得出结论．
法一：过点作交的延长线于点与同理有：、是等边三角形，再结合，可得，在中，可得，又由可知≌得到，最后，在中由勾股定理可得的长度．法二：在法一辅助线基础上，再过点作于点如答题图在中，求得，与同理证得≌在中，方法三：如答题图，四边形是菱形，可证得，中，，得，可证≌，得中，．
本题是四边形综合题，主要考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、含角直角三角形的性质、勾股定理、平行线的性质、三角形内角和定理、三角形外角性质等知识．