2024张掖某重点校高二上学期9月月考数学试题含解析

数学

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．共4页，总分150分，考试时间120分钟．

第Ⅰ卷（选择题  共60分）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 若点在双曲线的渐近线上，则该双曲线的离心率为（    ）

A.  B.  C.  D.

2. 已知直线：与直线：平行，则（    ）

A  B. 或 C.  D. 或

3. 著名的天文学家、数学家约翰尼斯·开普勒（Johannes  Kepler）发现了行星运动三大定律，其中开普勒第一定律又称为轨道定律，即所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，且太阳处在椭圆的一个焦点上.记地球绕太阳运动的轨道为椭圆C，在地球绕太阳运动的过程中，若地球与太阳的最远距离与最近距离之比为，则C的离心率为（    ）

A.  B.  C.  D.

4. 设为坐标原点，，是抛物线与圆关于轴对称两个交点，若，则（    ）

A. 4 B. 2

C.  D.

5. 在抛物线上有一点P，P到椭圆左顶点的距离最小，这个最小值为（    ）

A.  B.  C.  D.

6. 已知抛物线的顶点为O，焦点为F，准线为直线l，点E在抛物线上．若E在直线l上的射影为Q，且Q在第四象限，，则直线FE的倾斜角为（    ）

A.  B.  C. 或 D. 或

7. 已知A，B是双曲线实轴的两个端点，M，N是双曲线上关于x轴对称的两点，直线的斜率分别为．若双曲线的离心率为2，则的最小值为（    ）

A  B. 1 C.  D.

8. 抛物线上任意两点，处的切线交于点，称为“阿基米德三角形”，当线段经过抛物线的焦点时，具有以下特征：

①点必在抛物线的准线上；②．

若经过抛物线焦点的一条弦为，“阿基米德三角形”为，且点的纵坐标为4，则直线的方程为（    ）

A.  B.

C.  D.

二、选择题：本小题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．

9. 已知点到直线l：的距离为d，则d的可能取值是（    ）

A. 0 B. 1 C.  D. 4

10. （多选）已知椭圆的左，右焦点分别为直线与椭圆相交于，则（    ）

A. 当时，的面积为

B. 不存在使为直角三角形

C. 存在使四边形面积最大

D. 存在使周长最大

11. 已知O为坐标原点，是抛物线上两点，F为其焦点，若F到准线的距离为2，则下列说法正确的有（    ）

A. 周长的最小值为

B. 若，则最小值为4

C. 若直线过点F，则直线的斜率之积恒为

D. 若外接圆与抛物线C的准线相切，则该圆面积为

12. 十七世纪法国数学家费马在《平面与立体轨迹引论》中证明，方程表示椭圆，费马所依据的是椭圆的重要性质：若从椭圆上任意一点P（异于A，B两点）向长轴AB引垂线，垂足为Q，记.下列说法正确的是（    ）

A. M的值与Р点在椭圆上的位置有关 B. M的值与Р点在椭圆上的位置无关

C. M的值越大，椭圆的离心率越大 D. M的值越大，椭圆的离心率越小

第Ⅱ卷（非选择题  共90分）

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 已知点P(－2，0)，AB是圆x2＋y2＝1的直径，则＝____________.

14. 抛物线的焦点为F，过抛物线上一点P作x轴的平行线交y轴于M点，抛物线的准线交x轴于点N，四边形PMNF为平行四边形，则点P到x轴的距离为___________.（用含P的代数式表示）

15. 已知双曲线的左，右焦点分别为、，过点作倾斜角为的直线l交双曲线C的右支于A，B两点，其中点A在第一象限，若，且双曲线C的离心率为2，则___________．

16. 已知椭圆的方程为，，为椭圆的左右焦点，P为椭圆上在第一象限的一点，I为的内心，直线PI与x轴交于点Q，椭圆的离心率为，若，则的值为___________.

四、解答题：本小题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，过作倾斜角为的弦AB．求：

（1）AB的长；

（2）的周长．

18. 设曲线上一点到焦点的距离为3．

（1）求曲线C方程；

（2）设P，Q为曲线C上不同于原点O的任意两点，且满足以线段PQ为直径的圆过原点O，试问直线PQ是否恒过定点？若恒过定点，求出定点坐标；若不恒过定点，说明理由．

19. 已知椭圆与抛物线有相同的焦点，抛物线的准线交椭圆于两点，且.

（1）求椭圆与抛物线的方程；

（2）为坐标原点，若为椭圆上任意一点，以为圆心，为半径的圆与椭圆的焦点为圆心，以为半径的圆交于两点，求证：为定值.

20. 椭圆的焦点到直线的距离为，离心率为，抛物线的焦点与椭圆的焦点重合，斜率为的直线过的焦点与交于两点，与交于两点﹒

（1）求椭圆及抛物线的方程；

（2）是否存在常数，使得为常数？若存在，求出值；若不存在，请说明理由．

21. 设椭圆的左焦点为，上顶点为.已知椭圆的短轴长为4，离心率为.

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设点在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点为直线与轴的交点，点在轴的负半轴上.若（为原点），且，求直线的斜率.

22. 如图，椭圆：的离心率是，短轴长为，椭圆的左、右顶点分别为、，过椭圆与抛物线的公共焦点的直线与椭圆相交于两点，与抛物线相交于两点，点为的中点．

（1）求椭圆和抛物线的方程；

（2）记的面积为，的面积为，若，求直线在轴上截距的范围．