甘肃省张掖市某重点校2023-2024学年高二上学期10月月考数学试题

2023年秋学期10月月考

高二数学试卷

2023年9月26日

第I卷（选择题）

一、单选题（每小题5分）

1．数列{an}：1，， ， ，…，的一个通项公式是（    ）

A．           B．

C．          D．

2．在数列{an}中，a1＝1，an＝2an－1＋1，则a5的值为（    ）

A．30     B．31       C．32     D．33

3．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a4＝18－a5，则S8＝（    ）

A．18     B．36    C．54     D．72

4．已知数列{an}的前n项和Sn＝3n－2，n∈N*，则    （    ）．

A．{an}是递增的等比数列

B．{an}是递增数列，但不是等比数列

C．{an}是递减的等比数列

D．{an}不是等比数列，也不单调

5．等差数列{an}中，已知a5>0，a4＋a7<0，则{an}的前n项和Sn的最大值为（    ）

A．S7     B．S6        C．S5     D．S4

6．设等比数列{an}中，前n项和为Sn，已知S3＝8，S6＝7，则a7＋a8＋a9＝（    ）

A．          B．        C．         D．

7．在等比数列{an}中，a3＝7，前3项之和S3＝21，则公比q的值为    （    ）．

A．1           B．          C．1或     D．－1或

8．数列{an}的前n项和为Sn，已知Sn＝1－2＋3－4＋…＋（－1）n－1·n，则S17＝（    ）．

A．9      B．8              C．17      D．16

二、多选题（每小题5分，多选或漏选不得分）

9．已知等比数列{an}前n项和为Sn，则下列不成立的是（    ）

A．若a3 0，则a2015<0；    B．若a40，则a2014 <0 ；

C．若a30，则a20150；     D．若a40，则S20140．

10．设数列{an}是以d为公差的等差数列， 是其前n项的和，，且则下列结论正确的是 （    ）

A．d<0     B．   C．     D．或为的最大值

11．已知数列{an}满足a1＝1，，则下列结论正确的是（    ）

A．为等比数列         B．{an}的通项公式为

C．{an}为递增数列            D．的前n项和

12．下列命题中错误的是（    ）

A．若 a，b，c 是等差数列，则log2a ，log2b ，log2c 是等比数列

B．若 a，b，c 是等比数列，则log2a ，log2b ，log2c 是等差数列

C．若 a，b，c 是等差数列，则2a ，2b  ，2c是等比数列

D．若 a，b，c 是等比数列，则2a ，2b  ，2c是等差数列

第II卷（非选择题）

三、填空题（每小题5分）

13．在等差数列{an}中，a15＝33，a25＝66，则a35＝________．

14．若等比数列{an}满足：a2＋a4＝20，a3＋a5＝40，则公比q＝________；前n项和Sn＝________．

15．数列{an}的前n项和Sn＝2n－1，则____．

16．在各项为正的等比数列{an}中，a4与a14的等比中项为，则2a7＋a11的最小值是________．

四、解答题

17．（10分）等差数列{an}中，a2＝4，a4＋a7＝15．

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）设bn＝2an－2＋n，求b1＋b2＋b3＋…＋b10的值．

18．（12分）已知在等差数列{an}中，a1＝31，Sn是它的前n项的和，S10＝S22．

（1）求Sn；

（2）这个数列前多少项的和最大？并求出这个最大值．

19．（12分）已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＋1＝4an＋2．

（1）设bn＝an＋1－2an，证明：数列{bn}是等比数列；

（2）求数列{an}的通项公式．

20．（12分）已知数列{an}是递增的等比数列，且a1＋a4＝9，a2a3＝8．

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）设Sn为数列{an}的前n项和，，求数列{bn}的前n项和Tn．

21．（12分）已知数列{an}是首项为正数的等差数列，数列的前n项和为．

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）设，求数列{bn}的前n项和Tn．

22．（12分）已知公差大于零的等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足a3·a4＝117，a2＋a5＝22．

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）若数列{bn}满足，是否存在非零实数c使得{bn}为等差数列？若存在，求出c的值；若不存在，请说明理由．

参考答案

1．解析：观察数列{an}各项，可写成：，故选D．

答案：D

2．解析：a5＝2a4＋1＝2（2a3＋1）＋1＝22a3＋2＋1＝23a2＋22＋2＋1＝24a1＋23＋22＋2＋1＝31．

答案：B

3．解析：由，

又a4＋a5＝a1＋a8＝18，∴．

答案：D

4．解析  ∵Sn＝3n－2，∴Sn－1＝3n－1－2，

∴an＝Sn－Sn－1＝3n－2－（3n－1－2）＝2×3n－1（n≥2），

当n＝1时，a1＝S1＝1不适合上式，但a1＜a2＜a3＜…．

答案  B

5．解析：，∴

∴Sn的最大值为S5．

答案：C

6．[解析]  因为a7＋a8＋a9＝S9－S6，

在等比数列中S3，S6－S3，

S9－S6也成等比，

即8，－1，S9－S6成等比，

所以有，

即．

[答案]  A

答案：B

7．解析  根据已知条件

得.整理得，解得或.

答案  C

8．解析  S17＝1－2＋3－4＋5－6＋…＋15－16＋17＝1＋（－2＋3）＋（－4＋5）＋（－6＋7）＋…＋（－14＋15）＋（－16＋17）＝1＋1＋1＋…＋1＝9．

答案  A

9．略    10．略   11．略    12．略

13．解析  a25－a15＝10d＝66－33＝33，∴a35＝a25＋10d＝66＋33＝99．

答案  99

14．解析：由a2＋a4＝20，a3＋a5＝40，得.

即

解得q＝2，a1＝2，

．

15．解析  当n＝1时，a1＝S1＝1，

当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－1－（2n－1－1）＝2n－1，

又∵a1＝1适合上式．．

∴数列是以为首项，以4为公比的等比数列．

．

答案

16．解析：由题意知，即．设公比为q（q＞0），所以，当且仅当，即时取等号，其最小值为8．

17．[解]  （1）设等差数列{an}的公差为d．

由已知得

解得所以an＝a1＋（n－1）d＝n＋2．

（2）由（1）可得bn＝2n＋n，

所以b1＋b2＋b3＋…＋b10＝（2＋1）＋（22＋2）＋（23＋3）＋…＋（210＋10）

＝（2＋22＋23＋…＋210）＋（1＋2＋3＋…＋10）

．

18．[解]  ①∵S10＝a1＋a2＋…＋a10，

S22＝a1＋a2＋…＋a22，

又S10＝S22，∴a11＋a12＋…＋a22＝0，

即，即a11＋a22＝2a1＋31d＝0．

又a1＝31，∴d＝－2．

．

②法一：由①知，Sn＝32n－n2＝－（n－16）2＋256，

∴当n＝16时，Sn有最大值256．

法二：由①知，

令，

解得，

∵n∈N*，∴n＝16时，Sn有最大值256．

19．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＋1＝4an＋2．

（1）设bn＝an＋1－2an，证明：数列{bn}是等比数列；

（2）求数列{an}的通项公式．

解：（1）证明：∵Sn＋1＝4an＋2，

∴S2＝4a1＋2，即a1＋a2＝4a1＋2，

∴a2＝3a1＋2＝5，

∴b1＝a2－2a1＝3．

又an＋1＝Sn＋1－Sn＝4an＋2－（4an－1＋2）＝4an－4an－1（n≥2），

∴an＋1－2an＝2（an－2an－1）（n≥2），

即bn＝2bn－1（n≥2），

又b1＝3，则bn≠0，．

从而数列{bn}是以3为首项，以2为公比的等比数列．

（2）由（1）知bn＝3·2n－1，即an＋1－2an＝3·2n－1

且，

∴数列是首项为2，公差为3的等差数列，

，

∴an＝（3n－1）·2n－2．

20．[解]  （1）由题设知a1a4＝a2a3＝8，

又，可解得或（舍去）．

设等比数列{an}的公比为q，由a4＝a1q3得q＝2，故an＝a1qn－1＝2n－1．

（2），又，所以

．

21．

[解]  （1）设数列{an}的公差为d．

令n＝1，得，所以a1a2＝3，①

令n＝2，得，所以a2a3＝15，②

由①②解得a1＝1，d＝2，所以an＝2n－1．经验验，符合题意．

（2）由（1）知bn＝2n·22n－1＝n·4n，

所以Tn＝1· 41＋2·42＋…＋n·4n，

所以4Tn＝1· 42＋2·43＋…＋n·4n＋1，

两式相减，得－3Tn＝41＋42＋…＋4n－n·4n＋1

，

所以．

22．解  （1）设等差数列{an}的公差为d，且d＞0，由等差数列的性质，得a2＋a5＝a3＋a4＝22，

所以a3，a4是关于x 的方程x2－22x＋117＝0的解，所以a3＝9，a4＝13，易知a1＝1，d＝4，故通项为an＝1＋（n－1）×4＝4n－3．

（2）由（1）知，所以．

法一  所以．

令2b2＝b1＋b3，解得．

当时，，

当n≥2时，bn－bn－1＝2．

故当时，数列{bn}为等差数列．

法二  由，

∵c≠0，

∴可令，得到bn＝2n．

∵bn＋1－bn＝2（n＋1）－2n＝2（n∈N*），

∴数列{bn}是公差为2的等差数列．

即存在一个非零常数，使数列{bn}也为等差数列．