甘肃省张掖市某重点校2023-2024学年高二上学期9月月考数学试题

数  学

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．共4页，总分150分，考试时间120分钟．

第Ⅰ卷（选择题  共60分）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．若点在双曲线的渐近线上，则该双曲线的离心率为（    ）

A． B． C． D．

2．已知直线：与直线：平行，则（    ）

A．0 B．0或 C． D．0或

3．著名的天文学家、数学家约翰尼斯·开普勒发现了行星运动三大定律，其中开普勒第一定律又称为轨道定律，即所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，且太阳在椭圆的一个焦点上．记地球绕太阳运动的轨道为椭圆C（太阳及地球半径忽略不计），在地球绕太阳运动的过程中，若地球与太阳的最远距离与最近距离之比为，则C的离心率为（    ）

A． B． C． D．

4．设O为坐标原点，A，B是抛物线C：与圆E：关于y轴对称的两个交点，若，则（    ）

A．4 B．2 C． D．

5．在抛物线上有一点P，则P到椭圆的左顶点的距离的最小值为（    ）

A． B． C． D．

6．已知抛物线的顶点为O，焦点为F，准线为直线l，点E在抛物线上．若E在直线l上的射影为Q，且Q在第四象限，，则直线FE的倾斜角为（    ）

A．120° B．150° C．30°或150° D．60°或120°

7．已知A，B分别为双曲线C：的左、右顶点，M，N是双曲线C上关于x轴对称的两点，直线AM，BN的斜率分别为，（）．若双曲线的离心率为2，则的最小值为（    ）

A． B．1 C． D．

8．抛物线上任意两点A，B处的切线交于点P，称为“阿基米德三角形”，当线段AB经过抛物线的焦点F时，具有以下特征：①点P必在抛物线的准线上；②．若经过抛物线的焦点的一条弦为AB，为“阿基米德三角形”，且点P的纵坐标为4，则直线AB的方程为（    ）

A． B． C． D．

二、选择题：本小题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．

9．已知点到直线l：的距离为d，则d的可能取值是（    ）

A．0 B．1 C． D．4

10．已知椭圆的左、右焦点分别为F，E，直线与椭圆相交于点A，B，则（    ）

A．当时，的面积为 B．不存在m，使为直角三角形

C．存在m，使四边形FBEA的面积最大 D．存在m，使的周长最大

11．已知O为坐标原点，，P，Q是抛物线C：上两点，F为其焦点，若F到准线的距离为2，则下列说法正确的有（    ）

A．周长的最小值为

B．若，则的最小值为4

C．若直线PQ过点F，则直线OP与OQ的斜率之积恒为－2

D．若外接圆与抛物线C的准线相切，则该圆面积为

12．十七世纪法国数学家费马在《平面与立体轨迹引论》中证明，方程表示椭圆，费马所依据的是椭圆的重要性质．若从椭圆上任意一点P（异于A，B两点）向长轴AB引垂线，垂足为Q，记．下列说法正确的是（    ）

A．M的值与点P在椭圆上的位置有关 B．M的值与点P在椭圆上的位置无关

C．M的值越大，椭圆的离心率越大 D．M的值越大，椭圆的离心率越小

第Ⅱ卷（非选择题  共90分）

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．已知，AB是圆的直径，则______．

14．抛物线的焦点为F，过抛物线上一点P作x轴的平行线交y轴于点M，抛物线的准线交x轴于点N，四边形PMNF为平行四边形，则点P到x轴的距离为______．（用含p的代数式表示）

15．已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，过点作倾斜角为的直线l交双曲线C的右支于A，B两点，其中点A在第一象限，若，且双曲线C的离心率为2，则______．

16．已知椭圆的方程为，，为椭圆的左、右焦点，P为椭圆在第一象限上的一点，I为的内心，直线PI与x轴交于点Q，椭圆的离心率为，若，则的值为______．

四、解答题：本小题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（10分）

如图，双曲线C：的左、右焦点分别为，，过作倾斜角为30°的直线l与C交于A，B两点．

（1）求的值；

（2）求的周长．

18．（12分）

已知抛物线C：上一点到焦点的距离为3．

（1）求抛物线C的方程；

（2）设P，Q为抛物线C上不同于原点O的任意两点，且满足以线段PQ为直径的圆过原点O，则直线PQ是否过定点？如果过定点，求出定点坐标；如果不过定点，请说明理由．

19．（12分）

已知椭圆：与抛物线C：有相同的焦点F，抛物线C的准线交椭圆于A，B两点，且．

（1）求椭圆与抛物线C的方程；

（2）如图，O为坐标原点，若P为椭圆上任意一点，以P为圆心，OP为半径的圆P与以椭圆的焦点F为圆心，为半径的圆F交于M，N两点，证明：为定值．

20．（12分）

已知椭圆E：的焦点到直线的距离为，离心率为，抛物线G：的焦点与椭圆E的焦点重合，斜率为k的直线l过G的焦点与E交于A，B两点，与G交于C，D两点．

（1）求椭圆E及抛物线G的方程；

（2）是否存在常数，使为常数？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

21．（12分）

设椭圆C：的左焦点为F，上顶点为B．已知C的短轴长为4，离心率为．

（1）求椭圆C的方程；

（2）点P在椭圆C上，且异于椭圆的上、下顶点，M为直线PB与x轴的交点，点N在y轴的负半轴上．若（O为原点），且，求直线PB的斜率．

22．（12分）

如图，椭圆C：的离心率是，短轴长为，左、右顶点分别为，，过椭圆与抛物线E：的公共焦点F的直线l与椭圆C相交于A，B两点，与抛物线E相交于P，Q两点，M为PQ的中点．

（1）求椭圆C和抛物线E的方程；

（2）记的面积为，的面积为，若，求直线l在y轴上截距的取值范围．

参考答案

一、选择题

1．D    2．D    3．C   4．D   5．A   6．B   7．D   8．C

二、选择题

9．AB   10．AC   11．BD   12．BD

三、填空题

13．3   14．   15．    16．4

四、解答题

17．解：（1）由题意得，l：，

设，，．联立

整理得，所以

所以．（5分）

（2）的周长．

因为，又，

所以，因为点B在双曲线的右支上，

所以．同理，因为点A在双曲线的左支上，

所以．

所以．

所以．（10分）

18．解：（1）因为点到焦点的距离为3，

所以点M到抛物线准线的距离为，解得，

所以抛物线C的方程为．（5分）

（2）设直线PQ的方程为，，，

由得，．则．

因为以线段PQ为直径的圆过原点O，所以，则，

所以，解得或（舍去）．

所以直线PQ的方程为，所以直线PQ过定点．（12分）

19．（1）解：椭圆：的焦点为，

抛物线C：的焦点为，所以①，

由可得，解得，

所以②，由①②可得，，（4分）

所以椭圆的方程为，抛物线C的方程为．（6分）

（2）证明：设，则，圆P的方程为，

圆F的方程为，所以直线MN的方程为，（9分）

设点F到直线MN的距离为d，

则，

所以，所以为定值．（12分）

20．解：（1）设椭圆E与抛物线G的公共焦点为，

所以焦点到直线的距离为，解得，

所以，，由，得，则，

所以椭圆E：，抛物线G：．（4分）

（2）由（1）知，设直线l：，，，，，

由得，

所以，，（6分）

所以，（8分）

由得，

所以，所以，（10分）

所以。

若为常数，则，所以．（12分）

21．解：（1）设椭圆C的半焦距为c，依题意，，，

又，可得，，．所以椭圆C的方程为．（4分）

（2）设，．设直线PB的斜率为，又，

则直线PB的方程为，与椭圆方程联立

整理得，解得，

代入，得，所以直线OP的斜率．

在中，令，得．

由题意得，所以直线MN的斜率为．

由，得，化简得，则．

所以直线PB的斜率为或．（12分）

22．解：（1）根据题意得解得，，，抛物线焦点F为，

所以椭圆C：，抛物线E：．（4分）

（2）设l：，，，，，

联立整理得，

则，，，

，

所以．（7分）

联立整理得，

则，，，

，

所以，（10分）

因为，所以，解得，

l在y轴上的截距或，因此直线l在y轴上的截距的取值范围是．（12分）