2022-2023学年甘肃省张掖市某重点校高二上学期12月月考数学试题（解析版）

2022-2023学年甘肃省张掖市某重点校高二上学期12月月考数学试题

一、单选题

1．在数列中，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用数列的递推公式逐项计算可得的值.

【详解】由已知可得，，.

故选：C.

2．已知等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据导数与极限的定义求解．

【详解】因为，

所以

故选：D．

3．在等差数列中，若 ，则 的值等于（　  　）

A．8 B．10 C．13 D．26

【答案】C

【分析】根据等差数列的性质求出，然后根据等差数列前项和公式结合等差数列的性质即可求出答案.

【详解】因为，所以，即，

所以.

故选：C.

4．已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为（    ）

A．3 B．2 C．1 D．

【答案】A

【分析】求出原函数的导函数，设出斜率为的切线的切点为，，，由函数在时的导数等于，求出的值，舍掉定义域外的得答案．

【详解】解：函数的定义域为，

则，

设斜率为的切线的切点为，，，

所以，解得或-2（舍去），

所以切点的横坐标为3.

故选：A.

5．《吕氏春秋·音律篇》记载了利用“三分损益”制定关于“宫、商、角、徵、羽”五音的方法，以一段均匀的发声管为基数“宫”，然后将此发声管均分成三段，舍弃其中的一段保留二段，这就是“三分损一”，余下来的三分之二长度的发声管所发出的声音就是“徵”；将“徵”管均分成三份，再加上一份，即“徵”管长度的三分之四，这就是“三分益一”，于是就产生了“商”；“商”管保留分之二，“三分损一”，于是得出“羽”；羽管“三分益一”，即羽管的三分之四的长度，就是角”.如果按照三分损益律，基数“宫”发声管长度为1，则“羽”管的长度为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由三分损一、三分益一的原理，基数“宫”发声管长度为1，依次求出徵，商，羽的管长即可.

【详解】按照三分损益原理：宫：1；

徵：；

商：；

羽：；

故选：A.

【点睛】本题考查了数学文化的知识，考查了理解辨析能力、逻辑推理能力、数学运算能力、数学的应用意识和解决问题的能力，属于一般题目.

6．已知函数的导数为，且，则（    ）

A． B． C．1 D．

【答案】B

【分析】直接求导，令求出，再将带入原函数即可求解.

【详解】由得，当时，，解得，所以，.

故选：B

7．已知椭圆上存在两点，关于直线对称，且的中点在抛物线上，则实数的值为（    ）

A．0或 B． C．0或2 D．2

【答案】A

【分析】利用点差法可得，再由中点在直线，得出点在直线上，进而得出，代入抛物线方程即可求解.

【详解】设，，则，两式作差得到，

，所以，

因为点，关于直线对称，

所以直线的中点在直线，

所以点在直线上，联立可得，

又因为点在抛物线上，所以或，

故选：A.

8．若对任意的 ，，且，都有，则m的最小值是（    ）

A． B．  C．1 D．

【答案】A

【分析】已知不等式变形为，引入函数，

则其为减函数，由导数求出的减区间后可的最小值．

【详解】因为，

所以由，

可得，

，

即．

所以在上是减函数，

，

当时，，递增，

当时，，递减，

即的减区间是，

所以由题意的最小值是．

故选：A．

二、多选题

9．在公比为整数的等比数列中，是数列的前项和，若，，则下列说法正确的是（    ）

A． B．数列是等比数列

C． D．数列是公差为的等差数列

【答案】ABC

【分析】本题首先可根据得出，与联立即可求出、以及，A正确，然后通过即可判断出B正确，再然后通过等比数列求和公式即可判断出C正确，最后根据即可判断出D错误.

【详解】因为数列是等比数列，所以，

联立，解得或，

因为公比为整数，所以、、，，，A正确，

，故数列是等比数列，B正确；

，C正确；

，易知数列不是公差为的等差数列，D错误，

故选：ABC.

【点睛】关键点点睛：本题考查等差数列与等比数列的相关性质，考查判断数列是否是等差数列与等比数列，考查等比数列求和公式的应用，考查计算能力，是中档题.

10．已知函数是定义在上的可导函数，其导函数为，若，且，则使不等式成立的的值不可能为（    ）

A． B． C． D．

【答案】AB

【分析】首先根据条件构造函数，由导数判断函数的单调性，不等式转化为，利用单调性，即可求解的值.

【详解】解析：设，则.

，

，

，即函数在定义域上单调递减.

，

，

不等式等价于，即，解得.故不等式的解集为.

故选：.

11．已知O为坐标原点，抛物线的焦点为F，A，B为抛物线上的两个动点，M为弦AB的中点，对A，B，M三点分别作抛物线准线的垂线，垂足分别为C，D，N，则下列说法正确的是（    ）

A．当AB过焦点F时，为等腰三角形

B．若，则直线AB的斜率为

C．若，且，则

D．若外接圆与抛物线的准线相切，则该圆的面积为

【答案】ACD

【分析】对A，根据中位线的性质可得；对B，设出直线方程，与抛物线联立，根据向量关系求出点B，代入直线可求出斜率；对C，设，由余弦定理求出，根据抛物线性质求出即可判断；对D，求出圆心在上，即可求出半径，得出面积.

【详解】对A，因为都垂直于准线，所以，又是中点，所以是中点，则是线段的垂直平分线，所以，即为等腰三角形，故A正确.

对B，若，则在直线上，设直线AB方程为，

联立方程组可得，

设，则，

由，可得，可得，

解得，代入抛物线方程得，则，代入可得，故直线的斜率为，故B错误；

对C，由抛物线定义可得，设，则，

因为，，即，

因为是中点，所以，所以，故C正确；

对D，由外接圆性质可得，圆心一定在线段的垂直平分线上，即在直线上，又外接圆与准线相切，所以半径为，所以圆面积为，故D正确.

故选：ACD.

12．已知数列的前n项和为，前n项积为，，且（    ）

A．若数列为等差数列，则 B．若数列为等差数列，则

C．若数列为等比数列，则 D．若数列为等比数列，则

【答案】AC

【分析】由不等关系式，构造，易得在R上单调递减且为奇函数，即有，讨论为等差数列、等比数列，结合等差、等比的性质判断项、前n项和或积的符号即可.

【详解】由，得，

令，则在R上单调递减，而，

∴，即为奇函数，

∴，

当为等差数列，，即，且，故A正确，B错误；

当为等比数列，，显然同号，若，则与上述结论矛盾且，所以前2020项都为正项，则，故C正确，D错误.

故选：AC.

【点睛】关键点点睛：利用已知构造函数，并确定其单调性和奇偶性，进而得到，基于该不等关系，讨论为等差、等比数列时项、前n项和、前n项积的符号.

三、填空题

13．等差数列的前项和，等比数列的前项和，（其中、为实数）则的值为 __________.

【答案】

【分析】根据前项和与通项的关系求出数列、的通项公式，可求得、的值，即可得解.

【详解】当时，，.

当时，，

，

因为数列为等差数列，则，可得，

因为数列为等比数列，则，可得.

因此，.

故答案为：.

14．若函数在区间上恰有一个极值点，则的取值范围是___________.

【答案】

【分析】根据二次函数的对称性进行求解即可.

【详解】二次函数的对称轴为：，要想函数在区间上恰有一个极值点，只需，

故答案为：

15．已知两个等差数列和的前n项和分别为，，且，则_________.

【答案】

【分析】由与的比值可求得等差数列和的首项及公差，进而可求得，，求出其比值即可.

【详解】解：设等差数列的首项为，公差为，等差数列的首项为，公差为，

则，

故

又已知

不妨令且

解得且

故

故答案为：.

16．过双曲线的左焦点F作直线l与双曲线交于A,B两点,使得,若这样的直线有且仅有两条,则离心率e的取值范围是_______．

【答案】

【分析】根据直线与双曲线相交的情形,分两种情况讨论: 直线l与双曲线两支或者左支交于A,B两点,分别分析弦长与和通径的大小关系,列出不等式,再将代为进而解出离心率范围即可.

【详解】解:由题知过做轴垂线交双曲线于两点,如图所示:

将代入可得:

,

,

由图可知是直线与双曲线左支相交时最短的弦长,

当过左焦点的直线绕左焦点旋转至与双曲线两支交于A,B两点时,如图所示

若满足直线有且仅有两条,

只需小于,且大于即可,

即,

即,

两边同时平方,将代替,

即可得,

故;

将过左焦点的直线继续绕左焦点旋转至与双曲线左支交于A,B两点时如图所示,

此时只需大于,且小于即可,

即,

即,

两边同时平方,将代替,

即可得,

,

故,

综上,或.

故答案为:

四、解答题

17．已知函数．

(1)求f(x)的解析式；

(2)求f(x)在处的切线方程．

【答案】(1)；

(2).

【分析】(1)对函数求导，利用给定条件列式计算即可得解.

(2)利用(1)的结论求出切点坐标、切线斜率，再由直线的点斜式方程即可求出切线方程..

【详解】（1）由求导得：，

又，则，解得，

所以的解析式为.

（2）由(1)得，，则，

在处的切线方程为，即，

所以f(x)在处的切线方程是：.

18．已知抛物线的焦点为F，点在抛物线上，且的面积为 (O为坐标原点)．

(1)求抛物线的标准方程；

(2)过点的直线交抛物钱C于A，B两点，O为坐标原点，记直线OA，OB的斜率分别，，求证：为定值．

【答案】(1)抛物线方程为y2=2x；

(2)证明见解析．

【分析】（1）求出点的纵坐标，由三角形面积可求得值得抛物线方程；

（2）直线斜率显然不为0，因此设直线方程为，，

直线方程代入抛物线方程，应用韦达定理得，，再求得，计算即可证．

【详解】（1）点抛物线上，所以，，

，因为，故解得，

抛物线方程为；

（2）直线斜率显然不为0，因此设直线方程为，，

由，得，所以，，

，

所以为定值．

19．已知数列的前n项和为，，．

(1)求数列的通项公式；

(2)若，数列的前n项和为，求．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用，求出，再利用求出数列的通项公式；

（2）将（1）中的代入化简得出数列通项公式，求出数列的前n项和为，再求出，最后利用裂项相消法求解即可.

【详解】（1）因为，，

所以，，

所以数列是以4为首项，2为公比的等比数列，

所以，①，

当时，②，

①减②得：，

当时，成立，

所以．

（2）由（1）知，，

所以，

所以，

所以

20．已知椭圆：过点，离心率为.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）设分别为椭圆的左、右焦点，过的直线与椭圆交于不同两点，记的内切圆的面积为S，求当S取最大值时直线的方程，并求出最大值．

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）由题得出关系即可求出；

（2）根据题意可得，可化为求的最大值，设出直线方程，代入椭圆，利用韦达定理表示即可求出最大值.

【详解】（1）由离心率，，可得，

将代入可得，则可得，

从而得椭圆的标准方程为.

（2）设，的内切圆半径为，

则，所以要使S取最大值，只需最大.

.

设直线的方程为，代入可得，

恒成立，方程恒有解，，

所以，记，

则 在上递减，

所以当即时，，此时.

21．已知数列的前项和为，，数列满足，．

(1)求数列和的通项公式；

(2)设数列的前项和为，若不等式恒成立，求实数的取值范围．

【答案】(1)；

(2)﹒

【详解】（1）∵

∴当时，，

当时，由，

得，即，

数列是公差为2的等差数列，

由条件得，即数列是公比为2的等比数列，

；

（2）∵，

则，

，

，

，

恒成立，

则恒成立，

令，则，

，

，

，

故实数的取值范围是﹒

22．已知函数．

(1)求函数的单调区间；

(2)若关于的不等式在上恒成立．求的取值范围；

【答案】(1)的单调增区间为；单调减区间为

(2)；

【分析】（1）分情况讨论a，然后用导数法求单调区间即可；

（2）由得，令，则问题可转化为成立，利用导数法求解的最值即可求解；

【详解】（1）当时，，

则，由解得，由解得，

故的单调增区间为，单调减区间为；

当时，由，得的定义域为，

，

令解得，

由解得，由解得，

故的单调增区间为，单调减区间为；

经验证，时，的单调增区间也符合，单调减区间也符合；

综上可知：的单调增区间为，单调减区间为；

（2），

令，

则，

令，则，

由解得，由解得，

故在递增，在递减，，

，所以，

在上单调递增，

，

a的取值范围.

【点睛】导数的应用主要有：

（1）利用导函数几何意义求切线方程；

（2）利用导数研究原函数的单调性，求极值（最值）；

（3）利用导数求参数的取值范围；

（4）利用导数证明不等式