湖南省长沙市四校联考2023-2024学年九年级上学期10月月考数学试题

四校联考2021级初三第一次月考

 数学 试卷

注意事项：

1.本卷考查内容为第1章至第23章，试卷总分：120分，考试时间：120分钟；

2.请将答案正确填写在答题卡上，否则无效。

一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）

1.下列几何图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是(     ).

A.          B.       C.        D.

2.据统计，国庆小长假全国各大景点共接待游客约为82600000人次，数据82600000用科学记数法表示为（　　）

A. 0.826×106 B. 8.26×107 C. 82.6×106 D. 8.26×108

3.已知一组数据 5，4，3，6，7，则这组数据的平均数与中位数分别为(     ).

A.7，5              B.5，7            C.5，6            D.5，5

4.如图，DE是△ABC的中位线，若BC=8，则DE的长是（    ）  

A.3                 B.4  C.5               D.6

5.直线过点，若＜0，则与大小关系为(     ).

A.y1＞y2             B.y1<y2            C.y1=y2            D.不能确定    

6.已知点A(a,1)与B(5，b)关于原点对称，则a，b的值分别为(     ).

A.5, -1               B.5，1            C.-5，1            D.-5，-1        

7.已知关于的一元二次方程，则该方程根的情况是(     ).

A.有两个相等的实数根                   B.有两个不相等的实数根  

C.有一个实数根                         D.无实数根

8.如图，已知，将线段OA绕原点O顺时针旋转90°后得到OA′，则OA′的长度是(     ).

A.               B.               C.             D.1

9.参加一次足球联赛的每两队之间都进行一场比赛，共比赛50场比赛，设参加

比赛共有个队，根据题意，所列方程为(     ).

A.      B.       C.     D.

10.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，顶点为(－1，0)，下列结论：

①abc＜0；②b2－4ac＝0；③2a－b=0；④4a－2b＋c＞0．

其中正确结论的个数是(　　)

A．1   B．2      C．3         D．4

第4题图                             第8题图                  第10题图                    

二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）

11.因式分解：               .

12.一次函数的图象不经过第         象限.

13.一个等腰三角形的两边长分别为方程的两根，则该等腰三角形的周长为            .

14.二次函数的图象向右平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度所得图象对应函数解析式为            .

15.如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O ，过点A作AH⊥BC，垂直为H点，已知 BD=8，S菱形ABCD=24，则AH             .

16.如图，在正方形ABCD中，点E是边BC上的一点，点F在边CD的延长线上，且BE=DF，连接EF交边AD于点G．过点A作AN⊥EF，垂足为点M，交边CD于点N．若BE=5，CN=8，则线段AB的长为                ．

第15题图                                          第16题图    

三、简答题（本题共9小题，共72分）

17.(6分)计算：

18.(6分)解方程：

(1)2x2－4x＝0;                     (2)x2－6x－6＝0

19.(6分)如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为

A(﹣2，1)，B(﹣4，5)，C(﹣5，2)．

(1)已知△ABC与△A1B1C1关于原点O成中心对称，请画出△A1B1C1，并写出

A1、B1、C1三点的坐标；

(2)求出△A1B1C1的面积．

20.(8分)为了解学校九年级男生的体能情况，体育老师随机抽取部分男生进行引体向上测试，并对成绩进行了统计，绘制成图1和图2尚不完整的统计图.

(1)本次抽测的男生共有________人，抽测成绩的众数是_________；

(2)请你将图(2)的统计图补充完整；

(3)求这组数据的平均数和中位数；

(4)若规定引体向上5次以上（含5次）为体能达标，则该校600名九年级男生中，估计有多少人体能达标？

21.(8分)已知抛物线的顶点为 A (1,﹣4)，且过点 B(3，0)．

(1)求二次函数解析式；

(2)当y>0时，求x的范围；

(3)当 -1<x<2时，求y的范围.

22.(9分)随旅游业的快速发展，外来游客对住宿的需求明显增大，某宾馆拥有的床位数不断增加．

(1)该宾馆床位数从2021年底的200个增长到2023年底的288个，求该宾馆这两年（从2021年底到2023年底）拥有的床位数的年平均增长率；

(2)该宾馆打算向游客出售了一款纪念工艺品，每件成本50元，为了合理定价，现投放市场进行试销．据市场调查，销售单价是100元时，每天的销售量是50件，若销售单价每降低1元，每天就可多售出5件。若该馆想要每天的销售利润达到4000元，且销量尽可能大，应该如何定价？

23.(9分)在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，将△ABC绕点C顺时针旋转一定的角度α得到△DEC，点A、B的对应点分别是D、E．

(1)当点E恰好在AC上时，如图1，求∠ADE的大小；

(2)若α＝60°时，点F是AC中点，如图2，求证：四边形BEDF是平行四边形．

24.(10分)定义：当取任意实数，函数值始终不小于一个常数时，称这个函数为“恒心函数”，这个常数称为“恒心值”.

(1)判断：函数是否为“恒心函数”，如果是，求出此时的“恒心值”，如果不是，请说明理由；

(2)已知“恒心函数”

①当时，此时的恒心值为             ；

②若三个整数的和为12，且，求的最大值与最小值，并求出此时相应的的值；

(3)“恒心函数”的恒心值为0，且恒成立，求的取值范围.

25.(10分)已知抛物线与x轴交于A(-1，0)、C(3，0)，与轴交于点B（0，-3）.

(1)求抛物线对应的函数解析式；

(2)在轴上是否存在点P，使△PBC为等腰三角形？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由；

(3)点M为抛物线上一动点，在直线BC上是否存在点Q，使以点O、B、Q、M为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由.

                                        备用图    

九年级第一次月考数学答案

一、选择题

1-5 BBDBA   6-10 DBADC

二、填空题

11.(a+3)(a-3)    12.三      13.11或13     14.

15.         16.20

三、简答题

17.解：原式=2+1+5-3

=5

18.(1) x1=0，x2=2；

   (2) x1=3+，x2=3

19.(1) A(2，﹣1），B(4，﹣5) ，C(5，﹣2)

(2) △A1B1C1的面积

20.(1)50 ; 5      (2)画到16，图略

(3)平均数：5.16  中位数：5

(4) 432人

21.解：（1）∵二次函数图象的顶点为A（1，-4），

∴设二次函数解析式为y=a（x-1)2 -4，

把点B（3，0）代入二次函数解析式，得：

0=4a-4，解得a=1，∴二次函数解析式为y=（x-1）2-4

(2) x<-1或x>3

(3) -40

22.(1)设增长率为x，则可列方程为200（1+x）2=288，解得x1=0.2，x2=-2.2（舍增长率为20%

(2)设降价a元，则可列方程(100-a-50)(50+5a)=4000，化简得a2-40a+300=0，解得a1=30，a2=10，因为销量要尽可能大，所以降价30元，故应定价为70元。

23.（1）解：如图1，∵△ABC绕点C顺时针旋转α得到△DEC，点E恰好在AC上，∴CA＝CD，∠ECD＝∠BCA＝30°，∠DEC＝∠ABC＝90°，

∵CA＝CD，

∴∠CAD＝∠CDA＝（180°- 30°）＝75°，

∴∠ADE＝90°- 75°＝15°；

（2）证明：如图2，

∵点F是边AC中点，

∴BF＝AC，

∵∠ACB＝30°，

∴AB＝AC，∠CAB＝60°                                       

∴BF＝AB，

∴△BAF为等边三角形，

∵△ABC绕点C顺时针旋转60°得到△DEC，

∴∠BCE＝∠ACD＝60°，CB＝CE，DE＝AB，

∴DE＝BF，△BCE为等边三角形，

∴BE＝CB，

易证得△CFD≌△ABC，

∴DF＝BC，

∴DF＝BE，

而BF＝DE，

∴四边形BEDF是平行四边形．

24.(1)解：

函数为“恒心函数”，“恒心值”为1.

(2)解：①当时

设

则

存在使得

恒心值为2.

②由题可知

设为方程的两根

经验证，“”、“”和“”符合条件

综上，

或

（3）解：由题可知，

即

25. (1) y=x2-2x-3

(2)设P (p,0)，当△PBC为等腰三角形时，可分为以下几类：

①　当PB=PC时，p2+9=(p-3)2, 解得p=0，此时P的坐标为 (0,0)

②　当PB=BC时,p2+9=18，解得p=，不能和C重合，故此时P的坐标为 (-3,0)

③　当PC=BC时,(p-3)2=18，解得p=或，此时P的坐标为     

(,0)或(,0)

综上，P的坐标为 (-3,0)或(,0)或(,0)或 (0,0)

（3）存在Q：

Q1(,)，Q2(,)，Q3(,)，Q4(,)