【期中单元重点题型】（苏科版）2023-2024学年八年级数学上册 第一章 一元二次方程（知识拓展）试卷

第一章 一元二次方程 知识扩展

拓展知识 换元法

换元法解一元二次方程，换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理．

拓展1 换元法解方程

典例1

【例1】已知实数x满足（x2﹣2x+1）2+2（x2﹣2x+1）﹣3＝0，那么x2﹣2x+1的值为（　　）

A．﹣1或3 B．﹣3或1 C．3 D．1

【答案】D

【解析】解：设x2﹣2x+1＝a，

∵（x2﹣2x+1）2+2（x2﹣2x+1）﹣3＝0，

∴a2+2a﹣3＝0，

解得：a＝﹣3或1，

当a＝﹣3时，x2﹣2x+1＝﹣3，

即（x﹣1）2＝﹣3，此方程无解；

当a＝1时，x2﹣2x+1＝1，

此时方程有解，

故选：D．

跟踪训练1

1．阅读材料，解答问题：

【材料1】

为了解方程，如果我们把看作一个整体，然后设，则原方程可化为，经过运算，原方程的解为，．我们把以上这种解决问题的方法通常叫做换元法．

【材料2】

已知实数，满足，，且，显然，是方程的两个不相等的实数根，由韦达定理可知，．

根据上述材料，解决以下问题：

(1)直接应用：

方程的解为 ；

(2)间接应用：

已知实数，满足：，且，求的值．

【答案】(1)，，，

(2)或或

【解析】（1）解：，

设，则原方程可化为，

解得：，，

当时，，解得：，，

当时，，解得：，，

∴原方程的解为，，，，

故答案为：，，，；

（2）解：∵实数，满足：，且，

当时，，解关于的一元二次方程，

得：，

∴；

当时，则、是方程的两不相等的实数根，

∴，，

∴；

∴的值为或或．

拓展2   转化思想解方程

典例2

阅读材料：各类方程的解法：

求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为x=a的形式，求解二元一次方程组，把它转化为一元一次方程来解；类似的，三元一次方程组，把它转化为解二元一次方程组．求解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程来解．求解分式方程，把它转化为整式方程来解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验．各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想——转化，把未知转化为已知．

用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如，一元三次方程x3+x2-2x=0，可以通过因式分解把它转化为，解方程x=0和x2+x-2=0，可得方程x3+x2-2x=0的解．

（1）问题：方程的解是：=0，=______，=_______；

（2）拓展：用“转化”思想求方程的解；

（3）应用：如图，已知矩形草坪ABCD的长AD=21m，宽AB=8m，点P在AD上（AP＞PD），小华把一根长为27m的绳子一段固定在点B，把长绳PB段拉直并固定在点P，再拉直，长绳的另一端恰好落在点C，求AP的长．

【答案】（1）；；（2）x=3；（3）15

【解析】（1）

∴或或

故答案为：-3，；

（2）=x，

方程的两边平方，得2x+3=x2，

即x2-2x-3=0，

（x-3）（x+1）=0，

∴x-3=0或x+1=0，

∴x1=3，x2=-1，

当x=-1时，，

所以-1不是原方程的解．

所以方程=x的解是x=3；

（3）因为四边形ABCD是矩形，

所以∠A=∠D=90°，AB=CD=8m，

设AP=xm，则PD=（21-x）m，

因为BP+CP=27，

BP=，CP=，

∴，

∴，

两边平方，得

整理，得

两边平方并整理，得

解得或6（不合题意，舍去此时AP<PD）

经检验，x=15是方程的解．

答：AP的长为15m．

跟踪训练2

我们知道，解一元二次方程，可以把它转化为两个一元一次方程来解，其实用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程，例如一元三次方程，可以通过因式分解把它转化为，解方程和，可得方程的解．

（1）方程的解是，______，_______；

（2）用“转化”思想求方程的解；

（3）如图，已知矩形草坪的长，宽，小华把一根长为的绳子的一端固定在点处，沿草坪边沿、走到点处，把长绳段拉直并固定在点处，然后沿草坪边沿、走到点处，把长绳剩下的一段拉直，长绳的另一端恰好落在点处，求的长．

【答案】（1）；；（2）；（3）或．

【解析】解：（1），

．

，

则或或，

解得：、、．

故答案为：；；

（2），

，即，

，

则或，

解得：，，

又∵，

∴；

（3）设，则，

，，

，，

，

，

两边平方，整理可得：

再两边平方，整理可得：，

解得、，

则的长为或．

拓展3   一次函数与一元二次方程综合

典例3

如图1，为美化校园环境，某校计划在一块长为60米，宽为40米的长方形空地上修建一个长方形花圃，并将花圃四周余下的空地修建成同样宽的通道，设通道宽为a米.

（1）花圃的面积为  （用含a的式子表示）；

（2）如果通道所占面积是整个长方形空地面积的，求出此时通道的宽；

（3）已知某园林公司修建通道、花圃的造价y1（元）、y2（元）与修建面积之间的函数关系如图2所示，如果学校决定由该公司承建此项目，并要求修建的通道的宽度不少于2米且不超过10米，那么通道宽为多少时，修建的通道和花圃的总造价为105920元

【答案】(1)（40-2a）（60-2a）；（2）通道的宽为5米；（3）通道宽为2米时，修建的通道和花圃的总造价为105920元．

【解析】（1）用a表示出花圃的长和宽，然后用矩形的面积公式计算出花圃的面积即可；（2）根据通道所占面积是整个长方形空地面积的，列出一元二次方程，解方程即可；（3）根据图象所给的信息，求出、与x之间的函数关系式，根据（1）中花圃的面积求得通道的面积，再由修建的通道和花圃的总造价为105920元，列出方程求解即可．

(1)由图可知，花圃的面积为（40-2a）（60-2a）；

（2）由已知可列式：60×40-（40-2a）（60-2a）=×60×40，

解以上式子可得：a1=5，a2=45（舍去），

答：所以通道的宽为5米；

（3）当a=10时，花圃面积为（60﹣2×10）×（40﹣2×10）=800（平方米）

即此时花圃面积最少为800（平方米）．

根据图象可设y1=mx，y2=kx+b，

将点（1200，48000），（800，48000），（1200，62000）代入，则有

1200m=48000，解得：m=40

∴y1=40x且有 ， 解得：，

∴y2=35x+20000．

∵花圃面积为：（40﹣2a）（60﹣2a）=4a2﹣200a+2400，

∴通道面积为：2400﹣（4a2﹣200a+2400）=﹣4a2+200a

∴35（4a2﹣200a+2400）+20000+40（﹣4a2+200a）=105920

解得a1=2，a2=48（舍去）．

答：通道宽为2米时，修建的通道和花圃的总造价为105920元．

拓展4   整数解问题

典例4

1．要使关于x的一元二次方程有两个实数根，且使关于x的分式方程的解为非负数的所有整数的个数为（    ）

A．5个 B．6个 C．7个 D．8个

【答案】B

【解析】解：关于x的一元二次方程有两个实数根

则

且

关于x的分式方程

去分母得：

解得：

分式方程的解为非负数

且即且

且

满足题意的整数的值为

故答案为：B．

跟踪训练4

1．方程的整数解个数为（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】D

【解析】，由①得

当时，可得或

当时，③，

设，则，

整理得，

，

∴

∵x，y为整数，

∴k可能的取值为

当时，即，

∴，

又由③可得，

∴或（舍去）

当时，即，

∴，

又由③可得

此时方程组无整数解，

同理可得当时，方程组无整数解；

当时，可得

综上所述，方程组有4组整数解

故选D

跟踪训练5

2、关于x的方程kx2+（k+1）x+k﹣1＝0的根为整数，则实数k=        ．

【答案】0或1或

【解析】解：若，则是方程的根，

若，根据根与系数的关系，得，，

两式相减得，则，

不妨设，

若，，解得，，此时，，

若，，解得，，此时，，

综上：k的值为0或1或．

故答案是：0或1或．

1．阅读理解以下内容，解决问题：

解方程：．

解：，

方程即为：，

设，原方程转化为：

解得，，，

当时，即，，；

当时，即，不成立．

综上所述，原方程的解是，．

以上解方程的过程中，将其中作为一个整体设成一个新未知数，从而将原方程化为关于的一元二次方程，像这样解决问题的方法叫做“换元法”（“元”即未知数）．

(1)已知方程：，若设，则利用“换元法”可将原方程化为关于的方程是______；

(2)仿照上述方法，解方程：．

【答案】(1)

(2)

【解析】（1）设，

则，

可化为：，

即，

故答案为：；

（2）设，则，

原方程可化为：，

整理得，

，

或，

或，

当时，，

解得，

当时，无解，

检验，当时，左边右边，

是原方程的解，

故原方程的解为：．

2．阅读下面内容：我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，聪明的你可以发现：当，时，，，当且仅当时取等号．

请利用上述结论解决以下问题：

(1)当时，的最小值为__________．

(2)当时，求的最小值．

(3)请解答以下问题：

如图所示，某园艺公司准备围建一个矩形花圃，其中一边靠墙（墙足够长），另外三边用篱笆围成，设垂直于墙的一边长为米．若要围成面积为200平方米的花圃，需要用的篱笆最少是多少米？

【答案】(1)2

(2)

(3)需要用的篱笆最少是40米

【解析】（1）解：当x＞0时，

又∵

∴，即的最小值为2

故答案为：2；

（2）解：由

∵m＞0，∴

又∵

∴，即

∴的最小值为；

（3）解：设所需的篱笆长为L米，由题意得L＝2x+，

由题意可知：2x+

又∵∴2x+≥40

∴需要用的篱笆最少是40米．

3、已知实数x满足（x2﹣x）2﹣2（x2﹣x）﹣3＝0，则代数式x2﹣x+2020的值为　  　．

【答案】2023

【解析】解：令x2﹣x＝t，

∴t＝x2﹣x＝（x）2，

∴t2﹣2t﹣3＝0，

解得：t＝3或t＝﹣1（舍去），

∴t＝3，

即x2﹣x＝3，

∴原式＝3+2020＝2023，

故答案为：2023．

4．关于的方程的所有根都是比小的正实数，则实数的取值范围是               ．

【答案】或

【解析】解：当 则

当时，方程化为

解得 不符合题意；

当时，方程化为

解得 此时符合题意；

当时，即

由可得 

解得：

得：

得：

综上：的取值范围为：或

5．已知关于的方程的解都是整数，则整数的值为      ．

【答案】0或1或

【解析】由题意，分以下两种情况：

（1）当时，

方程为，解得，满足解是整数；

（2）当时，

方程为一元二次方程，

因式分解，得，

解得，

方程的解都是整数，k也是整数，

一定是整数，

整数或；

综上，整数的值为0或1或，

故答案为：0或1或．