2023-2024学年海南省重点中学八年级（上）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年海南省重点中学八年级（上）期中数学试卷（含解析），共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列美术字中可以看作是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.点(−3,2)关于x轴的对称点是( )
A. (−3,−2)B. (3,2)C. (−3,2)D. (3,−2)
3.计算2x3÷x2的结果是( )
A. xB. 2xC. 2x5D. 2x6
4.下列式子变形是因式分解的是( )
A. x2−2x−3=x(x−2)−3B. x2−2x−3=(x−1)2−4
C. (x+1)(x−3)=x2−2x−3D. x2−2x−3=(x+1)(x−3)
5.下列算式计算结果为x2−x−12的是( )
A. (x+3)(x−4)B. (x−3)(x+4)C. (x−3)(x−4)D. (x+3)(x+4)
6.下列计算正确的是( )
A. a2+a3=a5B. a2⋅a3=a5C. a6÷a2=a3D. (a3)2=a9
7.下列各式中，能够成立的等式是( )
A. (x+y)2=x2+y2B. (a−b)2=(b−a)2
C. (x−2y)2=x2−2xy+y2D. (12a−b)2=14a2+ab+b2
8.如图，DE是△ABC中AC边的垂直平分线，若BC=6cm，AB=8cm，AC=7cm，则△EBC的周长为( )
A. 13cm
B. 14cm
C. 15cm
D. 21cm
9.已知a2+Nab+64b2是一个完全平方式，则N等于( )
A. 8B. ±8C. ±16D. ±32
10.△ABC中，AB=AC，AB边的中垂线与直线AC所成的角为50°，则∠B等于( )
A. 70°B. 20°或70°C. 40°或70°D. 40°或20°
11.如图，AC=AD，BC=BD，则有( )
A. CD平分∠ACBB. CD垂直平分AB
C. AB与CD互相垂直平分D. AB垂直平分CD
12.如图，等腰三角形ABC的底边BC长为6，面积是24，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点.若点D为BC边的中点，点G为线段EF上一动点，则△CDG周长的最小值为( )
A. 11B. 12C. 13D. 14
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
13.小明现在有两根5cm，10cm的木棒，他想以这两根木棒为边做一个等腰三角形，还需再选一根______长的木棒．
14.如图，△ABC为等边三角形，BD⊥AB，BD=AB，则∠DCB=______．
15.计算：(3a+2b)(3a−2b)= ______ ．
16.有一轮船由东向西航行，在A处测得西偏北15°有一灯塔P.继续航行20海里后到B处，又测得灯塔P在西偏北30°.如果轮船航向不变，则灯塔与船之间的最近距离是______ 海里．
三、解答题：本题共7小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题20分)
(1)计算：−12022−(π−3.14)0+(−3)2；
(2)20232−2022×2024(用简便方法计算)；
(3)分解因式：4a2b−8ab2+2ab；
(4)分解因式：3a2−27．
18.(本小题10分)
计算：
(1)(ab2)2⋅(−a3b)3÷(−5ab)；
(2)(3x−2y)2−(3x−y)(3x+y)．
19.(本小题7分)
先化简，再求值：(x−5)(x+2)−(x−3)(x+3)，其中x=−12．
20.(本小题7分)
如图，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(4,3)，B(2,1)，C(5,−1)．
(1)画出△ABC关于y轴对称的图形△A′B′C′，并写出A′，B′，C′的坐标；
(2)直接写出△A′B′C′的面积为______ ．
21.(本小题8分)
如图，△ABC中，∠A=80°，BD=BE，CD=CF.求∠EDF的度数．
22.(本小题8分)
如图，在△AOB中，已知∠AOB=90°，OA=OB，点P、D分别在AB、OB上，且PO=PD，∠OPD=45°．
(1)求证：△BOP是等腰三角形；
(2)求证：PB=OD+AP．
23.(本小题12分)
如图，点O是等边△ABC内一点，D是△ABC外的一点，∠AOB=110°，∠BOC=α，△BOC≌△ADC，连接OD．
(1)求证：△OCD是等边三角形；
(2)当α=150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；
(3)探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形，直接写出答案．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：A、图形是轴对称图形，故A符合题意；
B、C、D中的图形不是轴对称图形，故B、C、D不符合题意．
故选：A．
如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，由此即可判断．
本题考查轴对称图形，关键是掌握轴对称图形的定义．
2.【答案】A
【解析】解：点(−3,2)关于x轴的对称点的坐标是：(−3,−2)．
故选：A．
直接利用关于x轴对称点的性质，进而得出答案．
此题主要考查了关于x轴对称点的性质，正确掌握横纵坐标的关系是解题关键．
3.【答案】B
【解析】解：2x3÷x2=2x．
故选B．
根据单项式除单项式的法则，同底数幂相除，底数不变指数相减的性质，对各选项计算后选取答案．
本题比较容易，考查整式的除法和同底数幂的除法法则，熟练掌握运算法则是解题的关键．
4.【答案】D
【解析】【分析】
根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案．
本题考查了因式分解的意义，因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，注意因式分解与整式乘法的区别．
【解答】
解：A、没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故A错误；
B、没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故B错误；
C、是整式的乘法，故C错误；
D、把一个多项式转化成几个整式积的形式，故D正确；
故选：D．
5.【答案】A
【解析】解：x2−x−12=(x+3)(x−4)，
则(x+3)(x−4)=x2−x−12．
故选：A．
利用十字相乘法分解因式即可得到结果．
此题考查了多项式乘多项式，熟练掌握十字相乘法是解本题的关键．
6.【答案】B
【解析】解：A.a2和a3不能合并，故本选项不符合题意；
B.a2⋅a3=a5，故本选项符合题意；
C.a6÷a2=a4，故本选项不符合题意；
D.(a3)2=a6，故本选项不符合题意；
故选：B．
根据合并同类项法则，同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方与积的乘方进行计算，再得出选项即可．
本题考查了合并同类项法则，同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方与积的乘方等知识点，能熟记合并同类项法则、同底数幂的乘法、同底数幂的除法和幂的乘方与积的乘方是解此题的关键．
7.【答案】B
【解析】解：A、应为(x+y)2=x2+y2+2xy，故本选项错误；
B、(a−b)2=(b−a)2，正确；
C、应为(x−2y)2=x2−4xy+4y2，故本选项错误；
D、应为(12a−b)2=14a2−ab+b2，故本选项错误．
故选：B．
依据题意，由完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b2，对各个选项计算后利用排除法求解即可．
本题主要考查完全平方公式，解题时要熟练掌握并灵活运用是关键．
8.【答案】B
【解析】解：∵DE是AC边的垂直平分线，
∴EA=EC，
∵BC=6cm，AB=8cm，
∴△EBC的周长=EC+EB+BC
=AE+EB+BC
=AB+BC
=14(cm)，
故选：B．
利用线段垂直平分线的性质可得EA=EC，然后利用等量代换可得△EBC的周长=AB+BC，进行计算即可解答．
本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．
9.【答案】C
【解析】解：∵a2+Nab+64b2是一个完全平方式，
∴N=±16．
故选：C．
利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出N．
此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
10.【答案】B
【解析】解：如图①，当AB的中垂线与线段AC相交时，则可得∠ADE=50°，
∵∠AED=90°，
∴∠A=90°−50°=40°，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C=180°−∠A2=70°；
如图②，当AB的中垂线与线段CA的延长线相交时，则可得∠ADE=50°，
∵∠AED=90°，
∴∠DAE=90°−50°=40°，
∴∠BAC=140°，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C=180°−∠A2=20°．
∴底角B为70°或20°．
故选：B．
由于△ABC的形状不能确定，故应分△ABC是锐角三角形与钝角三角形两种情况进行讨论．
本题考查的是线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解答此题的关键．
11.【答案】D
【解析】解：在△ABC与△ABD中，
AC=ADBC=BDAB=AB，
∴△ABC≌△ABD(SSS)，
∴∠CBE=∠DBE，
在△CBE与△DBE中，
BC=BD∠CBE=∠DBEBE=BE，
∴△CBE≌△DBE(SAS)，
∴CE=DE，
∴AB垂直平分CD，选项D正确；
不能判断选项A、B、C是否正确，
故选：D．
先根据全等三角形的判定定理得出△ABC≌△ABD，进而得出△CBE≌△DBE，据此得出结论．
本题考查了全等三角形的判定与性质，熟知全等三角形的判定定理是解题的关键．
12.【答案】A
【解析】解：连接AD，GA．
∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，
∴S△ABC=12BC⋅AD=12×6×AD=24，解得AD=8，
∵EF是线段AC的垂直平分线，
∴点A关于直线EF的对称点为点C，GA=GC，
∴GC+DG=GA+DG≥AD，
∴AD的长为CG+GD的最小值，
∴△CDG的周长最短=(CG+GD)+CD=AD+12BC=8+12×6=8+3=11．
故选：A．
连接AD，AM，由于△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，故AD⊥BC，再根据三角形的面积公式求出AD的长，再根据EF是线段AC的垂直平分线可知，点A关于直线EF的对称点为点C，MA=MC，推出MC+DM=MA+DM≥AD，故AD的长为BM+MD的最小值，由此即可得出结论．
本题考查的是轴对称−最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．
13.【答案】10cm
【解析】解：①5cm是腰长时，三角形的三边长分别为5cm、5cm、10cm，
∵5+5=10，
∴5cm、5cm、10cm不能组成三角形；
②5cm是底边时，三角形的三边长分别为5cm、10cm、10cm，
能够组成三角形，
综上所述，还需再选一根10cm长的木棒．
故答案为：10cm．
题目给出以长为5cm和10cm的两根木棒为边做一个等腰三角形，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
本题主要考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
14.【答案】15°
【解析】解：∵△ABC为等边三角形，BD⊥AB，
∴∠DBC=90°+60°=150°，
∵BD=AB，
∴DB=CB，
∴∠DCB=12(180°−150°)=15°，
故答案为：15°．
首先根据等边三角形和等腰直角三角形求得∠DBC的度数，然后利用等腰三角形的性质求得∠DCB的度数即可．
本题考查了等腰三角形及等边三角形的性质，解题的关键是求得∠DBC的度数．
15.【答案】9a2−4b2
【解析】解：原式=(3a)2−(2b)2=9a2−4b2．
故答案为：9a2−4b2
原式利用平方差公式化简即可得到结果．
此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．
16.【答案】10
【解析】解：如图：
过P作PD⊥AB于D，则PD的长就是灯塔与船之间的最近距离，
∴∠PDB=90°，
∵∠PBD=30°，∠PAB=15°，
∴∠APB=∠PBD−∠PAB=15°=∠PAB，
∴PB=AB=20，
在Rt△PBD中，PB=20，∠PBD=30°，
∴PD=12PB=10，
故答案为：10．
过P作PD⊥AB于D，则PD的长就是灯塔与船之间的最近距离，求出∠APB=∠PAB，推出PA=PB=20，根据含30度角的直角三角形性质求出PD=12PB，代入求出即可．
本题考查了含30度角的直角三角形，等腰三角形的性质和判定，三角形的外角性质等知识点的应用，关键是求出PB的长和得出PD=12PB，题目比较典型，是一道比较好的题目，主要考查学生的理解能力和计算能力．
17.【答案】解：(1)原式=−1−1+9
=7；
(2)原式=20232−(2023−1)(2023+1)
=20232−(20232−12)
=20232−20232+1
=1；
(3)原式=2ab(2a−4b+1)；
(4)原式=3(a2−9)
=3(a+3)(a−3)．
【解析】(1)先根据乘方、零指数幂的意义计算，然后进行有理数的加减运算；
(2)把2022和2024分别化为(2023−1)与(2023+1)，然后录用平方差公式计算；
(3)提公因式2ab即可；
(4)先提公因数3，然后利用平方差公式分解因式．
本题考查了平方差公式：灵活运用平方差公式是解决问题的关键．也考查了实数的运算．
18.【答案】解：(1)(ab2)2⋅(−a3b)3÷(−5ab)
=a2b4⋅(−a9b3)÷(−5ab)
=15a10b6；
(2)(3x−2y)2−(3x−y)(3x+y)
=9x2−12xy+4y2−9x2+y2
=−12xy+5y2．
【解析】(1)根据积的乘方、同底数幂的乘除法可以解答本题；
(2)根据平方差公式和合并同类项、可以解答本题．
本题考查整式的混合运算，解题的关键是明确整式的混合运算的计算方法．
19.【答案】解：(x−5)(x+2)−(x+3)(x−3)
=x2−3x−10−x2+9
=−3x−1，
当x=−12时，原式=−3×(−12)−5=−132．
【解析】先算乘法，再合并同类项，最后代入求出即可．
本题考查了整式的混合运算和求值的应用，主要考查学生的计算能力和化简能力，题目比较好，难度适中．
20.【答案】5
【解析】解：(1)△A′B′C′为所求作的三角形，如图所示：
A′(−4,3)，B′(−2,1)，C′(−5,−1)；
(2)△A′B′C′的面积=(2+3)×42−12×2×2−12×3×2=5．
故答案为：5．
(1)先作出点A、B、C关于y轴对称的点A′，B′，C′，然后顺次连接即可；根据图形写出A′，B′，C′的坐标即可；
(2)利用割补法求出△A′B′C′的面积即可．
本题主要考查了轴对称作图，求三角形的面积，解题的关键是数形结合，作出对应点的位置．
21.【答案】解：∵∠A+∠B+∠C=180°，∠A=80°，
∴∠B+∠C=100°，
∵BD=BE，CD=CF，
∴∠1=∠2∠3=∠4，
∵∠B+∠1+∠2=180°，∠C+∠3+∠4=180°，
∴∠2=12(180°−∠B)，∠4=12(180°−∠C)，
∵∠2+∠EDF+∠4=180°，
∴∠EDF=180°−∠2−∠4
=180°−12(180°−∠B)−12(180°−∠C)
=50°．
【解析】如图，根据等腰三角形的性质可求得∠1=∠2∠3=∠4，再结合三角形内角和定理，可用∠B和∠C分别表示出∠2和∠4，结合平角的定义，可找到∠2+∠EDF+∠4=180°，可求得∠EDF的大小．
本题主要考查等腰三角形的性质和三角形内角和定理，根据等边对等角和三角形内角和定理，找到∠B、∠C和∠EDF的关系是解题的关键．
22.【答案】证明：(1)∵∠AOB=90°，OA=OB，
∴∠A=∠B=45°，
∵PO=PD，∠OPD=45°，
∴∠POD=∠PDO=12(180°−∠OPD)=12×(180°−45°)=67.5°，
∴∠OPB=180°−∠POB−∠B=180°−67.5°−45°=67.5°，
∴∠POD=∠OPB，
∴PB=OB，
∴△BOP是等腰三角形；
(2)由(1)可知，∠POD=∠PDO=∠OPB=67.5°，PB=OB，
∵OA=OB，
∴OA=PB=OB，
∵∠BDP=180°−∠PDO，∠APO=180°−∠OPB，
∴∠BDP=∠APO，
在△BDP和△APO中，
∠BDP=∠APO∠B=∠APB=OA，
∴△BDP≌△APO(AAS)，
∴BD=AP，
∵OB=OD+BD，
∴OB=OD+AP，
∴PB=OD+AP．
【解析】(1)由等腰直角三角形的性质得∠A=∠B=45°，再由等腰三角形的性质和三角形内角和定理得∠POD=∠PDO=67.5°，然后证∠POD=∠OPB，则PB=OB，即可得出结论；
(2)证△BDP≌△APO(AAS)，得BD=AP，再由OB=OD+BD，即可解决问题．
本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质以及等腰直角三角形的性质等知识，熟练掌握等腰三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．
23.【答案】(1)证明：∵△BOC≌△ADC，
∴∠BCO=∠ACD，OC=OD，
∵等边△ABC，
∴∠ACB=60°，
∴△OCD是等边三角形．
(2)解：△AOD是直角三角形．
理由如下：
∵△OCD是等边三角形，
∴∠ODC=60°，
∵△BOC≌△ADC，α=150°，
∴∠ADC=∠BOC=α=150°，
∴∠ADO=∠ADC−∠ODC=150°−60°=90°，
∴△AOD是直角三角形．
(3)解：∵△OCD是等边三角形，
∴∠COD=∠ODC=60°．
∵∠AOB=110°，∠ADC=∠BOC=α，
∴∠AOD=360°−∠AOB−∠BOC−∠COD=360°−110°−α−60°=190°−α，
∠ADO=∠ADC−∠ODC=α−60°，
∴∠OAD=180°−∠AOD−∠ADO=180°−(190°−α)−(α−60°)=50°．
①当∠AOD=∠ADO时，190°−α=α−60°，
∴α=125°．
②当∠AOD=∠OAD时，190°−α=50°，
∴α=140°．
③当∠ADO=∠OAD时，
α−60°=50°，
∴α=110°．
综上所述：当α=110°或125°或140°时，△AOD是等腰三角形．
【解析】(1)根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形可得证；
(2)根据全等易得∠ADC=∠BOC=α=150°，结合(1)中的结论可得∠ADO为90°，那么可得所求三角形的形状；
(3)根据题中所给的全等及∠AOB的度数可得∠AOD的度数，根据等腰三角形的两底角相等分类探讨即可．
综合考查了全等三角形的性质及等腰三角形的判定；注意应分类探讨三角形为等腰三角形的各种情况．