还剩21页未读，
继续阅读
2022-2023学年江苏省徐州市云龙区东苑中学五校联盟九年级（上）学情检测数学试卷（含解析）
展开
这是一份2022-2023学年江苏省徐州市云龙区东苑中学五校联盟九年级（上）学情检测数学试卷（含解析），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年江苏省徐州市云龙区东苑中学五校联盟九年级第一学期学情检测数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共计24分）
1．关于一元二次方程x2﹣4x+4＝0根的情况，下列判断正确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．有且只有一个实数根 D．没有实数根
2．将二次函数y＝（x+3）2﹣1图象沿x轴向右平移2个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为（ ）
A．y＝（x+5）2﹣1 B．y＝（x+3）2+1 C．y＝（x+1）2﹣1 D．y＝（x﹣1）2﹣3
3．已知＝，那么的值为（ ）
A． B． C． D．
4．三角形三边的长度之比为3：5：7，与它相似的三角形的最长边是21cm，另两边的长度之和是（ ）
A．15 cm B．18 cm C．21 cm D．24 cm
5．如图中△ABC外接圆的圆心坐标是（ ）
A．（2，5） B．（5，2） C．（2，6） D．（6，2）
6．如图，BD是⊙O的直径，∠CBD＝30°，则∠A的度数为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．75°
7．如图，每个小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（ ）
A． B．
C． D．
8．抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝﹣1，部分，下列判断中：①abc＞0；②b2﹣4ac＞0；③9a﹣3b+c＝0；④若点（﹣0.5，y1）（﹣2，y2）均在抛物线上，则y1＞y2；⑤当﹣3＜x＜1时，y＜0．其中正确的个数有（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共计30分）
9．在比例尺是1：4000徐州市地图上，民主南路的长度约为25cm它的实际长度为 m．
10．某商品经过连续两次提价售价由原来的每件16元提到每件25元，平均每次提价的百分率为x，根据题意可列方程为 ．
11．已知圆锥的底面圆半径为3cm，其母线长为6cm，则它的侧面积等于 cm2．
12．如图，在⊙O中，直径AB＝10，弦CD⊥AB，垂足为E，弦CD＝6，则弦BE＝ ．
13．拦水坝横断面如图所示，迎水坡AB的坡比是1：，坝高BC＝10m，则坡面AB的长度是 m．
14．如图，∠1＝∠2，要使△ABC∽△ADE，还需要添加一个条件 ．
15．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，则sinA的值为 ．
16．如图，若B是线段AC的黄金分割点（AB＞BC），AC＝20cm，则AB的长为 cm．
17．如图，在▱ABCD中，点E在BC上，AE与BD相交于点F，若＝，则＝ ．
18．如图，矩形ABCD中，BC＝4，CD＝2，以AD为直径的半圆O与BC相切于点E，连接BD，则阴影部分的面积为 ．（结果保留π）
三、解答题（大题共7小题，共86分）
19．（1）计算：；
（2）解方程：x2﹣2x﹣1＝0．
20．如图、在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（﹣2，2）、B（﹣4，0）、C（﹣4，﹣4）．
（1）在y轴右侧，以O为位似中心，将△ABC按相似比为1：2缩小，画出△A′B′C′；
（2）写出△A′B′C′各顶点的坐标；
（3）若△ABC内部一点M的坐标为（a，b），则点M的对应点M′的坐标是 ．
21．如图，是上海世博园内的一个矩形花园，花园长为100米，宽为50米，在它的四角各建有一个同样大小的正方形观光休息亭，四周建有与观光休息亭等宽的观光大道，其余部分（图中阴影部分）种植的是不同花草．已知种植花草部分的面积为3600米2，那么矩形花园各角处的正方形观光休息亭的边长为多少米？
22．如图，为了测量某山的高度、甲在山顶测得C处的俯角为45°，D处的俯角为30°，乙在山下测得C，D之间的距离为100米，已B，C，D在同一水平面的同一直线上，求山高AB（结果保留根号）．
23．如图，△ABC中，以AB为直径作⊙O，交BC于点D，E为弧BD上一点，连接AD、DE、AE，交BD于点F．
（1）若∠CAD＝∠AED，求证：AC为⊙O的切线；
（2）若DE2＝EF•EA，求证：AE平分∠BAD．
24．如图（1），△ABC中，AC＝b，AB＝c，CD⊥AB于点D．由直角三角形边角关系，可将三角形的面积公式变形为S△ABC＝bc•sinA①，即三角形的面积等于两边之长与夹角正弦值之积的一半．
如图（2），在△ABC中，CD⊥AB于点D，∠ACD＝α，∠DCB＝β，∵S△ABC＝S△ADC+S△BDC，由公式①，得AC•BCsin（α+β）＝AC•CDsinα+BC•CDsinβ，即：AC•BC•sin（α+β）＝AC•CD•sinα+BC•CD•sinβ②．
（1）请证明等式：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ；
（2）请利用结论求出sin75°的值．
25．（16分）在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+x+c的图象经过点C（0，2）和点D（4，﹣2），点E是直线y＝﹣x+2的图象与二次函数图象在第一象限内的交点．
（1）求二次函数的解析式；
（2）如图①，若点M是二次函数图象上的点，且在直线CE的上方，连接MC，OE，ME，求四边形COEM面积的最大值；
（3）如图②，经过A、B、C三点的圆交y轴于点F（点F与点C不重合），请直接写出点F的坐标．
参考答案
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共计24分）
1．关于一元二次方程x2﹣4x+4＝0根的情况，下列判断正确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．有且只有一个实数根 D．没有实数根
【分析】把a＝1，b＝﹣4，c＝4代入判别式Δ＝b2﹣4ac进行计算，然后根据计算结果判断方程根的情况．
解：∵一元二次方程x2﹣4x+4＝0，
∴Δ＝（﹣4）2﹣4×1×4＝0，
∴方程有两个相等的实数根．
故选：B．
【点评】本题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；（2）Δ＝0，方程有两个相等的实数根；（3）Δ＜0，方程没有实数根．
2．将二次函数y＝（x+3）2﹣1图象沿x轴向右平移2个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为（ ）
A．y＝（x+5）2﹣1 B．y＝（x+3）2+1 C．y＝（x+1）2﹣1 D．y＝（x﹣1）2﹣3
【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．
解：把函数y＝（x+3）2﹣1图象沿x轴向右平移2个单位长度，平移后图象的函数解析式为：y＝（x+3﹣2）2﹣1，即y＝（x+1）2﹣1．
故选：C．
【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．
3．已知＝，那么的值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据＝，可设a＝2k，则b＝3k，代入所求的式子即可求解．
解：∵＝，
∴设a＝2k，则b＝3k，
则原式＝＝．
故选：B．
【点评】本题考查了比例的性质，根据＝，正确设出未知数是本题的关键．
4．三角形三边的长度之比为3：5：7，与它相似的三角形的最长边是21cm，另两边的长度之和是（ ）
A．15 cm B．18 cm C．21 cm D．24 cm
【分析】由三角形三边的长度之比为3：5：7，与它相似的三角形的最长边是21cm，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得答案．
解：∵三角形三边的长度之比为3：5：7，与它相似的三角形的最长边是21cm，
∴另两边的长分别为：9cm，15cm，
∴另两边的长度之和是：24cm．
故选：D．
【点评】此题考查了相似三角形的性质．注意掌握相似三角形的对应边成比例定理的应用是解此题的关键．
5．如图中△ABC外接圆的圆心坐标是（ ）
A．（2，5） B．（5，2） C．（2，6） D．（6，2）
【分析】本题可先设圆心坐标为（x，y），再根据“三角形外接圆的圆心到三角形三顶点的距离相等”列出等式，化简即可得出圆心的坐标．
解：设圆心坐标为（x，y）；
依题意得：A（3，6）、B（1，4）、C（1，0），
则有：＝＝；
即（3﹣x）2+（6﹣y）2＝（1﹣x）2+（4﹣y）2＝（1﹣x）2+y2，
化简后得：x＝5，y＝2；
因此圆心坐标为：（5，2）．
故选：B．
【点评】本题考查了三角形外接圆的性质和坐标系中两点间的距离公式．解此类题目时要注意运用三角形的外接圆圆心到三角形三点的距离相等这一性质．
6．如图，BD是⊙O的直径，∠CBD＝30°，则∠A的度数为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．75°
【分析】根据直径所对的圆周角是直角，得∠BCD＝90°，可求∠D＝60°，即可求∠A＝∠D＝60°．
解：∵BD是⊙O的直径，
∴∠BCD＝90°，
∵∠CBD＝30°，
∴∠D＝60°，
∴∠A＝∠D＝60°．
故选：C．
【点评】本题重点考查了同弧所对的圆周角相等、直径所对的圆周角为直角的知识．
7．如图，每个小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据网格中的数据求出AB，AC，BC的长，求出三边之比，利用三边对应成比例的两三角形相似判断即可．
解：根据勾股定理，得AC＝＝，AB＝＝，
又∵BC＝2，
∴△ABC的三边之比为：2：＝1：：，
A选项中，三角形三边之比为1：：，
∴图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似，
故A选项符合题意；
B选项中，三角形三边之比为：：3，
∴图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似，
故B不符合题意；
C选项中，三角形三边之比为1：：2，
∴图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似，
故C不符合题意；
D选项中，三角形三边之比为2：：，
∴图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似，
故D不符合题意，
故选：A．
【点评】此题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解本题的关键．
8．抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝﹣1，部分，下列判断中：①abc＞0；②b2﹣4ac＞0；③9a﹣3b+c＝0；④若点（﹣0.5，y1）（﹣2，y2）均在抛物线上，则y1＞y2；⑤当﹣3＜x＜1时，y＜0．其中正确的个数有（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】利用抛物线开口方向得到a＞0，利用抛物线的对称轴方程得到b＝2a＞0，利用抛物线与y轴的交点位置得到c＜0，则可对①进行判断；利用抛物线与x轴交点个数可对②进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点坐标为（﹣3，0），则可对③进行判断；根据二次函数的性质，通过比较两点到对称轴的距离可对④进行判断；利用由图可知另一个交点为（﹣3，0），则可对⑤进行判断．
解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣1，
∴b＝2a＞0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，
∴c＜0，
∴abc＜0，所以①错误；
∵抛物线与x轴有2个交点，
∴Δ＝b2﹣4ac＞0，所以②正确；
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，抛物线与x轴的一个交点坐标为（1，0），
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（﹣3，0），
∴9a﹣3b+c＝0，所以③正确；
∵点（﹣0.5，y1）到直线x＝﹣1的距离比点（﹣2，y2）到直线x＝﹣1的距离小，
而抛物线开口向上，
∴y1＜y2；所以④错误；
∵由图可知另一个交点为（﹣3，0），当﹣3＜x＜1时，y＜0
∴所以⑤正确．
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时，对称轴在y轴左；当a与b异号时，对称轴在y轴右．常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）．抛物线与x轴交点个数由判别式确定：Δ＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；Δ＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；Δ＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共计30分）
9．在比例尺是1：4000徐州市地图上，民主南路的长度约为25cm它的实际长度为 1000 m．
【分析】首先设它的实际距离是xcm，然后根据比例尺的定义，即可得方程：＝，解此方程即可求得答案，注意统一单位．
解：设它的实际长度为xcm，
根据题意得：＝，
解得：x＝100000，
∵100000cm＝1000m，
∴它的实际长度为1000m．
故答案为：1000．
【点评】此题考查了比例尺．此题难度不大，解题的关键是理解题意，根据比例尺的定义列方程，注意统一单位．
10．某商品经过连续两次提价售价由原来的每件16元提到每件25元，平均每次提价的百分率为x，根据题意可列方程为 16（1+x）2＝25 ．
【分析】利用基本数量关系：商品原价×（1+平均每次提价的百分率）＝现在的价格，列方程即可．
解：由题意可列方程是：16（1+x）2＝25．
故答案为：16（1+x）2＝25．
【点评】此题考查了由实际问题一元二次方程抽象出一元二次方程，最基本数量关系：商品原价×（1+平均每次提价的百分率）＝现在的价格．
11．已知圆锥的底面圆半径为3cm，其母线长为6cm，则它的侧面积等于 18π cm2．
【分析】根据圆锥的侧面积公式计算即可．
解：底面圆的半径为3cm，则底面周长＝2π×3＝6πcm，
侧面面积＝（cm2）．
故答案为：18π．
【点评】本题考查了圆锥计算，正确记忆圆锥的侧面积＝底面周长×母线长÷2是解题关键．
12．如图，在⊙O中，直径AB＝10，弦CD⊥AB，垂足为E，弦CD＝6，则弦BE＝ 1或9 ．
【分析】首先设BE＝x，则AE＝10﹣x，根据垂径定理得CE＝DE＝3，然后根据相交弦定理得：CE•DE＝AE•BE，即3×3＝x（10﹣x），由此解出x即可得出答案．
解：设BE＝x，
∵AB＝10，
∴AE＝AB﹣BE＝10﹣x，
∵AB为⊙O的直径，且弦CD⊥AB，
∴CE＝DE，
∵CD＝6，
∴CE＝DE＝3，
由相交弦定理得：CE•DE＝AE•BE，
∴3×3＝x（10﹣x），
整理得：x2﹣10+9＝0，
解得：x＝1或x＝9，
当AE＞BE时，BE＝1，
当AE＜BE时，BE＝9．
综上所述：BE＝1或9．
【点评】此题主要考查了垂径定理，相交弦定理，熟练掌握垂径定理及相交弦定理是解答此题的关键．
13．拦水坝横断面如图所示，迎水坡AB的坡比是1：，坝高BC＝10m，则坡面AB的长度是 20 m．
【分析】利用坡比的定义得出AC的长，进而利用勾股定理求出AB的长．
解：∵迎水坡AB的坡比是1：，坝高BC＝10m，
∴＝＝，
解得：AC＝10，
则AB＝＝20（m）．
故答案为：20．
【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确利用坡比的定义求出AC的长是解题关键．
14．如图，∠1＝∠2，要使△ABC∽△ADE，还需要添加一个条件 ∠D＝∠B或∠C＝∠AED或． ．
【分析】先根据∠1＝∠2求出∠BAC＝∠DAE，再根据相似三角形的判定方法解答即可．
解：∵∠1＝∠2，
∴∠1+∠BAE＝∠2+∠BAE，
即∠BAC＝∠DAE，
所以，添加的条件为∠D＝∠B或∠C＝∠AED或．
故答案为：∠D＝∠B或∠C＝∠AED或．
【点评】本题考查了相似三角形的判定，先求出两三角形的一对相等的角∠BAC＝∠DAE是确定其他条件的关键．
15．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，则sinA的值为 ．
【分析】根据勾股定理，可得AC的长，根据正弦等于对边比斜边，可得答案．
解：由勾股定理，得：AC＝＝＝5，
sinA＝＝，
故答案为．
【点评】本题考查锐角三角函数的概念：在直角三角形中，正弦等于对边比斜边；余弦等于邻边比斜边；正切等于对边比邻边．
16．如图，若B是线段AC的黄金分割点（AB＞BC），AC＝20cm，则AB的长为 （10﹣10） cm．
【分析】根据黄金分割的定义得到AB＝AC，把AC＝20代入计算即可得到答案．
解：∵点B是线段AC的黄金分割点（AB＞BC），AC＝6，
∴AB＝AC＝×20＝（10﹣10）cm，
故答案为：10﹣10．
【点评】本题考查了黄金分割的有关计算，掌握黄金分割的定义是解决本题的关键．
17．如图，在▱ABCD中，点E在BC上，AE与BD相交于点F，若＝，则＝ ．
【分析】先由平行四边形的性质得AD∥BE，AD＝BC，从而∠ADF＝∠EBF，结合对顶角相等，可证△ADF∽△EBF，再利用相似三角形的性质得比例式，然后结合已知比例式求得答案．
解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BE，AD＝BC，
∴∠ADF＝∠EBF，
又∵∠AFD＝∠EFB，
∴△ADF∽△EBF，
∴＝，
∵＝，
∴＝，
∴＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了平行四边形的性质及相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．
18．如图，矩形ABCD中，BC＝4，CD＝2，以AD为直径的半圆O与BC相切于点E，连接BD，则阴影部分的面积为 π ．（结果保留π）
【分析】连接OE，如图，利用切线的性质得OD＝2，OE⊥BC，易得四边形OECD为正方形，先利用扇形面积公式，利用S正方形OECD﹣S扇形EOD计算由弧DE、线段EC、CD所围成的面积，然后利用三角形的面积减去刚才计算的面积即可得到阴影部分的面积．
解：连接OE，如图，
∵以AD为直径的半圆O与BC相切于点E，
∴OD＝2，OE⊥BC，
易得四边形OECD为正方形，
∴由弧DE、线段EC、CD所围成的面积＝S正方形OECD﹣S扇形EOD＝22﹣＝4﹣π，
∴阴影部分的面积＝×2×4﹣（4﹣π）＝π．
故答案为π．
【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了矩形的性质和扇形的面积公式．
三、解答题（大题共7小题，共86分）
19．（1）计算：；
（2）解方程：x2﹣2x﹣1＝0．
【分析】（1）先写出三角函数值，再按照乘方，乘法，加减的顺序计算；
（2）利用配方法求出方程的解．
解：（1）
＝1+2×﹣3﹣2
＝﹣1﹣2；
（2）x2﹣2x﹣1＝0
解：x2﹣2x+1﹣1﹣1＝0
（x﹣1）2＝2
x﹣1＝
x1＝1+；x2＝1﹣．
【点评】本题考查了有理数的混合运算和解一元二次方程，关键掌握计算方法和配方法．
20．如图、在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（﹣2，2）、B（﹣4，0）、C（﹣4，﹣4）．
（1）在y轴右侧，以O为位似中心，将△ABC按相似比为1：2缩小，画出△A′B′C′；
（2）写出△A′B′C′各顶点的坐标；
（3）若△ABC内部一点M的坐标为（a，b），则点M的对应点M′的坐标是 （） ．
【分析】（1）根据位似的性质作图即可．
（2）由图可得答案．
（3）由位似变换可得，点M的横纵坐标分别除以﹣2，即可得点M'的横纵坐标．
解：（1）如图，△A′B′C′即为所求．
（2）由图可得，A'（1，﹣1），B'（2，0），C'（2，2）．
（3）由题意可得，点M'的坐标为（）．
故答案为：（）．
【点评】本题考查作图﹣位似变换，熟练掌握位似的性质是解答本题的关键．
21．如图，是上海世博园内的一个矩形花园，花园长为100米，宽为50米，在它的四角各建有一个同样大小的正方形观光休息亭，四周建有与观光休息亭等宽的观光大道，其余部分（图中阴影部分）种植的是不同花草．已知种植花草部分的面积为3600米2，那么矩形花园各角处的正方形观光休息亭的边长为多少米？
【分析】可设正方形观光休息亭的边长为x米，根据长方形的面积公式列出一元二次方程求解．
解：设正方形观光休息亭的边长为x米．
依题意，有（100﹣2x）（50﹣2x）＝3600
整理，得x2﹣75x+350＝0
解得x1＝5，x2＝70
∵x＝70＞50，不合题意，舍去，
∴x＝5．
答：矩形花园各角处的正方形观光休息亭的边长为5米．
【点评】判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．注意本题表示出种植花草部分的长和宽是解题的关键．
22．如图，为了测量某山的高度、甲在山顶测得C处的俯角为45°，D处的俯角为30°，乙在山下测得C，D之间的距离为100米，已B，C，D在同一水平面的同一直线上，求山高AB（结果保留根号）．
【分析】根据题意可得，AB⊥BD，∠CAB＝∠ACB＝45°，∠D＝∠EAD＝30°，CD＝100，再根据特殊角三角函数即可求出山高AB．
解：根据题意可知：
AB⊥BD，∠CAB＝∠ACB＝45°，∠D＝∠EAD＝30°，CD＝100米，
∴在Rt△ABC中，AB＝BC，
在Rt△ABD中，BD＝BC+CD＝（AB+100）米，
∴tan30°＝，
即＝，
解得AB＝50（+1）（米）．
答：山高AB为50（+1）米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解决本题的关键是掌握仰角俯角定义．
23．如图，△ABC中，以AB为直径作⊙O，交BC于点D，E为弧BD上一点，连接AD、DE、AE，交BD于点F．
（1）若∠CAD＝∠AED，求证：AC为⊙O的切线；
（2）若DE2＝EF•EA，求证：AE平分∠BAD．
【分析】（1）由圆周角定理可得∠BDA＝90°，可得∠DBA+∠DAB＝90°，可证∠BAC＝90°，由切线的判定可证AC为⊙O的切线；
（2）通过证明△DEF∽△AED，可得∠EDF＝∠DAE，可得∠BAE＝∠DAE，即AE平分∠BAD．
【解答】证明：（1）∵AB是直径，
∴∠BDA＝90°，
∴∠DBA+∠DAB＝90°，
∵∠CAD＝∠AED，∠AED＝∠ABD，
∴∠CAD＝∠ABD，
∴∠CAD+∠DAB＝90°，
∴∠BAC＝90°，
即AB⊥AC，
∵AO是半径，
∴AC为⊙O的切线；
（2）∵DE2＝EF•EA，
∴＝，
∵∠DEF＝∠DEA，
∴△DEF∽△AED，
∴∠EDF＝∠DAE，
∵∠EDF＝∠BAE，
∴∠BAE＝∠DAE，
∴AE平分∠BAD．
【点评】本题考查了圆的有关知识，相似三角形的判定和性质，勾股定理，角平分线的性质，求出AB＝2BF是解题的关键．
24．如图（1），△ABC中，AC＝b，AB＝c，CD⊥AB于点D．由直角三角形边角关系，可将三角形的面积公式变形为S△ABC＝bc•sinA①，即三角形的面积等于两边之长与夹角正弦值之积的一半．
如图（2），在△ABC中，CD⊥AB于点D，∠ACD＝α，∠DCB＝β，∵S△ABC＝S△ADC+S△BDC，由公式①，得AC•BCsin（α+β）＝AC•CDsinα+BC•CDsinβ，即：AC•BC•sin（α+β）＝AC•CD•sinα+BC•CD•sinβ②．
（1）请证明等式：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ；
（2）请利用结论求出sin75°的值．
【分析】（1）根据等式的性质以及直角三角形的边角关系即可得出结论；
（2）将sin75°＝sin（45°+30°），再根据（1）的结论和特殊锐角三角函数值进行计算即可．
【解答】证明：（1）∵AC•BC•sin（α+β）＝AC•CD•sinα+BC•CD•sinβ，
∴＝+，
即sin（α+β）＝•sinα+•sinβ，
∵cosβ＝，cosα＝，
∴sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ；
解：（2）由（1）得，
sin75°＝sin（45°+30°）
＝sin45°•cos30°+cos45°•sin30°
＝×+×
＝．
【点评】本题考查解直角三角形，掌握直角三角形的边角关系以及特殊锐角三角函数值是正确解答的前提．
25．（16分）在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+x+c的图象经过点C（0，2）和点D（4，﹣2），点E是直线y＝﹣x+2的图象与二次函数图象在第一象限内的交点．
（1）求二次函数的解析式；
（2）如图①，若点M是二次函数图象上的点，且在直线CE的上方，连接MC，OE，ME，求四边形COEM面积的最大值；
（3）如图②，经过A、B、C三点的圆交y轴于点F（点F与点C不重合），请直接写出点F的坐标．
【分析】（1）把C与D坐标代入二次函数解析式求出a与c的值，确定出二次函数解析式；
（2）过M作MH垂直于x轴，与直线CE交于点H，四边形COEM面积最大即为三角形CME面积最大，构造出二次函数求出最大值；
（3）令y＝0，求出x的值，得出A与B坐标，由圆周角定理及相似的性质得到三角形AOC与三角形BOF相似，由相似得比例求出OF的长，即可确定出F坐标．
解：（1）把C（0，2），D（4，﹣2）代入二次函数解析式得：
，
解得：，
∴二次函数解析式为y＝﹣x2+x+2；
（2）联立一次函数与二次函数解析式得：
，
消去y得：﹣x+2＝﹣x2+x+2，
解得：x＝0或x＝3，
则E（3，1）；
如图①，过M作MH∥y轴，交CE于点H，
设M（m，﹣m2+m+2），则H（m，﹣m+2），
∴MH＝（﹣m2+m+2）﹣（﹣m+2）＝﹣m2+2m，
S四边形COEM＝S△OCE+S△CME＝×2×3+MH•3＝﹣m2+3m+3＝﹣（m﹣）2+，
当m＝时，S最大＝；
答：四边形COEM面积的最大值为；
（3）连接BF，如图②所示，
当﹣x2+x+2＝0时，
解得：x1＝，x2＝，
∴OA＝，OB＝，
∵∠ACO＝∠ABF，∠AOC＝∠FOB，
∴△AOC∽△FOB，
∴＝，即＝，
解得：OF＝，
∴F坐标为（0，﹣）．
【点评】此题属于二次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求二次函数解析式，相似三角形的判定与性质，三角形的面积，二次函数图象与性质，以及图形与坐标性质，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．
2022-2023学年江苏省徐州市云龙区东苑中学五校联盟九年级第一学期学情检测数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共计24分）
1．关于一元二次方程x2﹣4x+4＝0根的情况，下列判断正确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．有且只有一个实数根 D．没有实数根
2．将二次函数y＝（x+3）2﹣1图象沿x轴向右平移2个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为（ ）
A．y＝（x+5）2﹣1 B．y＝（x+3）2+1 C．y＝（x+1）2﹣1 D．y＝（x﹣1）2﹣3
3．已知＝，那么的值为（ ）
A． B． C． D．
4．三角形三边的长度之比为3：5：7，与它相似的三角形的最长边是21cm，另两边的长度之和是（ ）
A．15 cm B．18 cm C．21 cm D．24 cm
5．如图中△ABC外接圆的圆心坐标是（ ）
A．（2，5） B．（5，2） C．（2，6） D．（6，2）
6．如图，BD是⊙O的直径，∠CBD＝30°，则∠A的度数为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．75°
7．如图，每个小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（ ）
A． B．
C． D．
8．抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝﹣1，部分，下列判断中：①abc＞0；②b2﹣4ac＞0；③9a﹣3b+c＝0；④若点（﹣0.5，y1）（﹣2，y2）均在抛物线上，则y1＞y2；⑤当﹣3＜x＜1时，y＜0．其中正确的个数有（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共计30分）
9．在比例尺是1：4000徐州市地图上，民主南路的长度约为25cm它的实际长度为 m．
10．某商品经过连续两次提价售价由原来的每件16元提到每件25元，平均每次提价的百分率为x，根据题意可列方程为 ．
11．已知圆锥的底面圆半径为3cm，其母线长为6cm，则它的侧面积等于 cm2．
12．如图，在⊙O中，直径AB＝10，弦CD⊥AB，垂足为E，弦CD＝6，则弦BE＝ ．
13．拦水坝横断面如图所示，迎水坡AB的坡比是1：，坝高BC＝10m，则坡面AB的长度是 m．
14．如图，∠1＝∠2，要使△ABC∽△ADE，还需要添加一个条件 ．
15．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，则sinA的值为 ．
16．如图，若B是线段AC的黄金分割点（AB＞BC），AC＝20cm，则AB的长为 cm．
17．如图，在▱ABCD中，点E在BC上，AE与BD相交于点F，若＝，则＝ ．
18．如图，矩形ABCD中，BC＝4，CD＝2，以AD为直径的半圆O与BC相切于点E，连接BD，则阴影部分的面积为 ．（结果保留π）
三、解答题（大题共7小题，共86分）
19．（1）计算：；
（2）解方程：x2﹣2x﹣1＝0．
20．如图、在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（﹣2，2）、B（﹣4，0）、C（﹣4，﹣4）．
（1）在y轴右侧，以O为位似中心，将△ABC按相似比为1：2缩小，画出△A′B′C′；
（2）写出△A′B′C′各顶点的坐标；
（3）若△ABC内部一点M的坐标为（a，b），则点M的对应点M′的坐标是 ．
21．如图，是上海世博园内的一个矩形花园，花园长为100米，宽为50米，在它的四角各建有一个同样大小的正方形观光休息亭，四周建有与观光休息亭等宽的观光大道，其余部分（图中阴影部分）种植的是不同花草．已知种植花草部分的面积为3600米2，那么矩形花园各角处的正方形观光休息亭的边长为多少米？
22．如图，为了测量某山的高度、甲在山顶测得C处的俯角为45°，D处的俯角为30°，乙在山下测得C，D之间的距离为100米，已B，C，D在同一水平面的同一直线上，求山高AB（结果保留根号）．
23．如图，△ABC中，以AB为直径作⊙O，交BC于点D，E为弧BD上一点，连接AD、DE、AE，交BD于点F．
（1）若∠CAD＝∠AED，求证：AC为⊙O的切线；
（2）若DE2＝EF•EA，求证：AE平分∠BAD．
24．如图（1），△ABC中，AC＝b，AB＝c，CD⊥AB于点D．由直角三角形边角关系，可将三角形的面积公式变形为S△ABC＝bc•sinA①，即三角形的面积等于两边之长与夹角正弦值之积的一半．
如图（2），在△ABC中，CD⊥AB于点D，∠ACD＝α，∠DCB＝β，∵S△ABC＝S△ADC+S△BDC，由公式①，得AC•BCsin（α+β）＝AC•CDsinα+BC•CDsinβ，即：AC•BC•sin（α+β）＝AC•CD•sinα+BC•CD•sinβ②．
（1）请证明等式：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ；
（2）请利用结论求出sin75°的值．
25．（16分）在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+x+c的图象经过点C（0，2）和点D（4，﹣2），点E是直线y＝﹣x+2的图象与二次函数图象在第一象限内的交点．
（1）求二次函数的解析式；
（2）如图①，若点M是二次函数图象上的点，且在直线CE的上方，连接MC，OE，ME，求四边形COEM面积的最大值；
（3）如图②，经过A、B、C三点的圆交y轴于点F（点F与点C不重合），请直接写出点F的坐标．
参考答案
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共计24分）
1．关于一元二次方程x2﹣4x+4＝0根的情况，下列判断正确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．有且只有一个实数根 D．没有实数根
【分析】把a＝1，b＝﹣4，c＝4代入判别式Δ＝b2﹣4ac进行计算，然后根据计算结果判断方程根的情况．
解：∵一元二次方程x2﹣4x+4＝0，
∴Δ＝（﹣4）2﹣4×1×4＝0，
∴方程有两个相等的实数根．
故选：B．
【点评】本题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；（2）Δ＝0，方程有两个相等的实数根；（3）Δ＜0，方程没有实数根．
2．将二次函数y＝（x+3）2﹣1图象沿x轴向右平移2个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为（ ）
A．y＝（x+5）2﹣1 B．y＝（x+3）2+1 C．y＝（x+1）2﹣1 D．y＝（x﹣1）2﹣3
【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．
解：把函数y＝（x+3）2﹣1图象沿x轴向右平移2个单位长度，平移后图象的函数解析式为：y＝（x+3﹣2）2﹣1，即y＝（x+1）2﹣1．
故选：C．
【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．
3．已知＝，那么的值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据＝，可设a＝2k，则b＝3k，代入所求的式子即可求解．
解：∵＝，
∴设a＝2k，则b＝3k，
则原式＝＝．
故选：B．
【点评】本题考查了比例的性质，根据＝，正确设出未知数是本题的关键．
4．三角形三边的长度之比为3：5：7，与它相似的三角形的最长边是21cm，另两边的长度之和是（ ）
A．15 cm B．18 cm C．21 cm D．24 cm
【分析】由三角形三边的长度之比为3：5：7，与它相似的三角形的最长边是21cm，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得答案．
解：∵三角形三边的长度之比为3：5：7，与它相似的三角形的最长边是21cm，
∴另两边的长分别为：9cm，15cm，
∴另两边的长度之和是：24cm．
故选：D．
【点评】此题考查了相似三角形的性质．注意掌握相似三角形的对应边成比例定理的应用是解此题的关键．
5．如图中△ABC外接圆的圆心坐标是（ ）
A．（2，5） B．（5，2） C．（2，6） D．（6，2）
【分析】本题可先设圆心坐标为（x，y），再根据“三角形外接圆的圆心到三角形三顶点的距离相等”列出等式，化简即可得出圆心的坐标．
解：设圆心坐标为（x，y）；
依题意得：A（3，6）、B（1，4）、C（1，0），
则有：＝＝；
即（3﹣x）2+（6﹣y）2＝（1﹣x）2+（4﹣y）2＝（1﹣x）2+y2，
化简后得：x＝5，y＝2；
因此圆心坐标为：（5，2）．
故选：B．
【点评】本题考查了三角形外接圆的性质和坐标系中两点间的距离公式．解此类题目时要注意运用三角形的外接圆圆心到三角形三点的距离相等这一性质．
6．如图，BD是⊙O的直径，∠CBD＝30°，则∠A的度数为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．75°
【分析】根据直径所对的圆周角是直角，得∠BCD＝90°，可求∠D＝60°，即可求∠A＝∠D＝60°．
解：∵BD是⊙O的直径，
∴∠BCD＝90°，
∵∠CBD＝30°，
∴∠D＝60°，
∴∠A＝∠D＝60°．
故选：C．
【点评】本题重点考查了同弧所对的圆周角相等、直径所对的圆周角为直角的知识．
7．如图，每个小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据网格中的数据求出AB，AC，BC的长，求出三边之比，利用三边对应成比例的两三角形相似判断即可．
解：根据勾股定理，得AC＝＝，AB＝＝，
又∵BC＝2，
∴△ABC的三边之比为：2：＝1：：，
A选项中，三角形三边之比为1：：，
∴图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似，
故A选项符合题意；
B选项中，三角形三边之比为：：3，
∴图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似，
故B不符合题意；
C选项中，三角形三边之比为1：：2，
∴图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似，
故C不符合题意；
D选项中，三角形三边之比为2：：，
∴图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似，
故D不符合题意，
故选：A．
【点评】此题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解本题的关键．
8．抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝﹣1，部分，下列判断中：①abc＞0；②b2﹣4ac＞0；③9a﹣3b+c＝0；④若点（﹣0.5，y1）（﹣2，y2）均在抛物线上，则y1＞y2；⑤当﹣3＜x＜1时，y＜0．其中正确的个数有（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】利用抛物线开口方向得到a＞0，利用抛物线的对称轴方程得到b＝2a＞0，利用抛物线与y轴的交点位置得到c＜0，则可对①进行判断；利用抛物线与x轴交点个数可对②进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点坐标为（﹣3，0），则可对③进行判断；根据二次函数的性质，通过比较两点到对称轴的距离可对④进行判断；利用由图可知另一个交点为（﹣3，0），则可对⑤进行判断．
解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣1，
∴b＝2a＞0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，
∴c＜0，
∴abc＜0，所以①错误；
∵抛物线与x轴有2个交点，
∴Δ＝b2﹣4ac＞0，所以②正确；
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，抛物线与x轴的一个交点坐标为（1，0），
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（﹣3，0），
∴9a﹣3b+c＝0，所以③正确；
∵点（﹣0.5，y1）到直线x＝﹣1的距离比点（﹣2，y2）到直线x＝﹣1的距离小，
而抛物线开口向上，
∴y1＜y2；所以④错误；
∵由图可知另一个交点为（﹣3，0），当﹣3＜x＜1时，y＜0
∴所以⑤正确．
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时，对称轴在y轴左；当a与b异号时，对称轴在y轴右．常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）．抛物线与x轴交点个数由判别式确定：Δ＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；Δ＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；Δ＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共计30分）
9．在比例尺是1：4000徐州市地图上，民主南路的长度约为25cm它的实际长度为 1000 m．
【分析】首先设它的实际距离是xcm，然后根据比例尺的定义，即可得方程：＝，解此方程即可求得答案，注意统一单位．
解：设它的实际长度为xcm，
根据题意得：＝，
解得：x＝100000，
∵100000cm＝1000m，
∴它的实际长度为1000m．
故答案为：1000．
【点评】此题考查了比例尺．此题难度不大，解题的关键是理解题意，根据比例尺的定义列方程，注意统一单位．
10．某商品经过连续两次提价售价由原来的每件16元提到每件25元，平均每次提价的百分率为x，根据题意可列方程为 16（1+x）2＝25 ．
【分析】利用基本数量关系：商品原价×（1+平均每次提价的百分率）＝现在的价格，列方程即可．
解：由题意可列方程是：16（1+x）2＝25．
故答案为：16（1+x）2＝25．
【点评】此题考查了由实际问题一元二次方程抽象出一元二次方程，最基本数量关系：商品原价×（1+平均每次提价的百分率）＝现在的价格．
11．已知圆锥的底面圆半径为3cm，其母线长为6cm，则它的侧面积等于 18π cm2．
【分析】根据圆锥的侧面积公式计算即可．
解：底面圆的半径为3cm，则底面周长＝2π×3＝6πcm，
侧面面积＝（cm2）．
故答案为：18π．
【点评】本题考查了圆锥计算，正确记忆圆锥的侧面积＝底面周长×母线长÷2是解题关键．
12．如图，在⊙O中，直径AB＝10，弦CD⊥AB，垂足为E，弦CD＝6，则弦BE＝ 1或9 ．
【分析】首先设BE＝x，则AE＝10﹣x，根据垂径定理得CE＝DE＝3，然后根据相交弦定理得：CE•DE＝AE•BE，即3×3＝x（10﹣x），由此解出x即可得出答案．
解：设BE＝x，
∵AB＝10，
∴AE＝AB﹣BE＝10﹣x，
∵AB为⊙O的直径，且弦CD⊥AB，
∴CE＝DE，
∵CD＝6，
∴CE＝DE＝3，
由相交弦定理得：CE•DE＝AE•BE，
∴3×3＝x（10﹣x），
整理得：x2﹣10+9＝0，
解得：x＝1或x＝9，
当AE＞BE时，BE＝1，
当AE＜BE时，BE＝9．
综上所述：BE＝1或9．
【点评】此题主要考查了垂径定理，相交弦定理，熟练掌握垂径定理及相交弦定理是解答此题的关键．
13．拦水坝横断面如图所示，迎水坡AB的坡比是1：，坝高BC＝10m，则坡面AB的长度是 20 m．
【分析】利用坡比的定义得出AC的长，进而利用勾股定理求出AB的长．
解：∵迎水坡AB的坡比是1：，坝高BC＝10m，
∴＝＝，
解得：AC＝10，
则AB＝＝20（m）．
故答案为：20．
【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确利用坡比的定义求出AC的长是解题关键．
14．如图，∠1＝∠2，要使△ABC∽△ADE，还需要添加一个条件 ∠D＝∠B或∠C＝∠AED或． ．
【分析】先根据∠1＝∠2求出∠BAC＝∠DAE，再根据相似三角形的判定方法解答即可．
解：∵∠1＝∠2，
∴∠1+∠BAE＝∠2+∠BAE，
即∠BAC＝∠DAE，
所以，添加的条件为∠D＝∠B或∠C＝∠AED或．
故答案为：∠D＝∠B或∠C＝∠AED或．
【点评】本题考查了相似三角形的判定，先求出两三角形的一对相等的角∠BAC＝∠DAE是确定其他条件的关键．
15．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，则sinA的值为 ．
【分析】根据勾股定理，可得AC的长，根据正弦等于对边比斜边，可得答案．
解：由勾股定理，得：AC＝＝＝5，
sinA＝＝，
故答案为．
【点评】本题考查锐角三角函数的概念：在直角三角形中，正弦等于对边比斜边；余弦等于邻边比斜边；正切等于对边比邻边．
16．如图，若B是线段AC的黄金分割点（AB＞BC），AC＝20cm，则AB的长为 （10﹣10） cm．
【分析】根据黄金分割的定义得到AB＝AC，把AC＝20代入计算即可得到答案．
解：∵点B是线段AC的黄金分割点（AB＞BC），AC＝6，
∴AB＝AC＝×20＝（10﹣10）cm，
故答案为：10﹣10．
【点评】本题考查了黄金分割的有关计算，掌握黄金分割的定义是解决本题的关键．
17．如图，在▱ABCD中，点E在BC上，AE与BD相交于点F，若＝，则＝ ．
【分析】先由平行四边形的性质得AD∥BE，AD＝BC，从而∠ADF＝∠EBF，结合对顶角相等，可证△ADF∽△EBF，再利用相似三角形的性质得比例式，然后结合已知比例式求得答案．
解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BE，AD＝BC，
∴∠ADF＝∠EBF，
又∵∠AFD＝∠EFB，
∴△ADF∽△EBF，
∴＝，
∵＝，
∴＝，
∴＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了平行四边形的性质及相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．
18．如图，矩形ABCD中，BC＝4，CD＝2，以AD为直径的半圆O与BC相切于点E，连接BD，则阴影部分的面积为 π ．（结果保留π）
【分析】连接OE，如图，利用切线的性质得OD＝2，OE⊥BC，易得四边形OECD为正方形，先利用扇形面积公式，利用S正方形OECD﹣S扇形EOD计算由弧DE、线段EC、CD所围成的面积，然后利用三角形的面积减去刚才计算的面积即可得到阴影部分的面积．
解：连接OE，如图，
∵以AD为直径的半圆O与BC相切于点E，
∴OD＝2，OE⊥BC，
易得四边形OECD为正方形，
∴由弧DE、线段EC、CD所围成的面积＝S正方形OECD﹣S扇形EOD＝22﹣＝4﹣π，
∴阴影部分的面积＝×2×4﹣（4﹣π）＝π．
故答案为π．
【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了矩形的性质和扇形的面积公式．
三、解答题（大题共7小题，共86分）
19．（1）计算：；
（2）解方程：x2﹣2x﹣1＝0．
【分析】（1）先写出三角函数值，再按照乘方，乘法，加减的顺序计算；
（2）利用配方法求出方程的解．
解：（1）
＝1+2×﹣3﹣2
＝﹣1﹣2；
（2）x2﹣2x﹣1＝0
解：x2﹣2x+1﹣1﹣1＝0
（x﹣1）2＝2
x﹣1＝
x1＝1+；x2＝1﹣．
【点评】本题考查了有理数的混合运算和解一元二次方程，关键掌握计算方法和配方法．
20．如图、在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（﹣2，2）、B（﹣4，0）、C（﹣4，﹣4）．
（1）在y轴右侧，以O为位似中心，将△ABC按相似比为1：2缩小，画出△A′B′C′；
（2）写出△A′B′C′各顶点的坐标；
（3）若△ABC内部一点M的坐标为（a，b），则点M的对应点M′的坐标是 （） ．
【分析】（1）根据位似的性质作图即可．
（2）由图可得答案．
（3）由位似变换可得，点M的横纵坐标分别除以﹣2，即可得点M'的横纵坐标．
解：（1）如图，△A′B′C′即为所求．
（2）由图可得，A'（1，﹣1），B'（2，0），C'（2，2）．
（3）由题意可得，点M'的坐标为（）．
故答案为：（）．
【点评】本题考查作图﹣位似变换，熟练掌握位似的性质是解答本题的关键．
21．如图，是上海世博园内的一个矩形花园，花园长为100米，宽为50米，在它的四角各建有一个同样大小的正方形观光休息亭，四周建有与观光休息亭等宽的观光大道，其余部分（图中阴影部分）种植的是不同花草．已知种植花草部分的面积为3600米2，那么矩形花园各角处的正方形观光休息亭的边长为多少米？
【分析】可设正方形观光休息亭的边长为x米，根据长方形的面积公式列出一元二次方程求解．
解：设正方形观光休息亭的边长为x米．
依题意，有（100﹣2x）（50﹣2x）＝3600
整理，得x2﹣75x+350＝0
解得x1＝5，x2＝70
∵x＝70＞50，不合题意，舍去，
∴x＝5．
答：矩形花园各角处的正方形观光休息亭的边长为5米．
【点评】判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．注意本题表示出种植花草部分的长和宽是解题的关键．
22．如图，为了测量某山的高度、甲在山顶测得C处的俯角为45°，D处的俯角为30°，乙在山下测得C，D之间的距离为100米，已B，C，D在同一水平面的同一直线上，求山高AB（结果保留根号）．
【分析】根据题意可得，AB⊥BD，∠CAB＝∠ACB＝45°，∠D＝∠EAD＝30°，CD＝100，再根据特殊角三角函数即可求出山高AB．
解：根据题意可知：
AB⊥BD，∠CAB＝∠ACB＝45°，∠D＝∠EAD＝30°，CD＝100米，
∴在Rt△ABC中，AB＝BC，
在Rt△ABD中，BD＝BC+CD＝（AB+100）米，
∴tan30°＝，
即＝，
解得AB＝50（+1）（米）．
答：山高AB为50（+1）米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解决本题的关键是掌握仰角俯角定义．
23．如图，△ABC中，以AB为直径作⊙O，交BC于点D，E为弧BD上一点，连接AD、DE、AE，交BD于点F．
（1）若∠CAD＝∠AED，求证：AC为⊙O的切线；
（2）若DE2＝EF•EA，求证：AE平分∠BAD．
【分析】（1）由圆周角定理可得∠BDA＝90°，可得∠DBA+∠DAB＝90°，可证∠BAC＝90°，由切线的判定可证AC为⊙O的切线；
（2）通过证明△DEF∽△AED，可得∠EDF＝∠DAE，可得∠BAE＝∠DAE，即AE平分∠BAD．
【解答】证明：（1）∵AB是直径，
∴∠BDA＝90°，
∴∠DBA+∠DAB＝90°，
∵∠CAD＝∠AED，∠AED＝∠ABD，
∴∠CAD＝∠ABD，
∴∠CAD+∠DAB＝90°，
∴∠BAC＝90°，
即AB⊥AC，
∵AO是半径，
∴AC为⊙O的切线；
（2）∵DE2＝EF•EA，
∴＝，
∵∠DEF＝∠DEA，
∴△DEF∽△AED，
∴∠EDF＝∠DAE，
∵∠EDF＝∠BAE，
∴∠BAE＝∠DAE，
∴AE平分∠BAD．
【点评】本题考查了圆的有关知识，相似三角形的判定和性质，勾股定理，角平分线的性质，求出AB＝2BF是解题的关键．
24．如图（1），△ABC中，AC＝b，AB＝c，CD⊥AB于点D．由直角三角形边角关系，可将三角形的面积公式变形为S△ABC＝bc•sinA①，即三角形的面积等于两边之长与夹角正弦值之积的一半．
如图（2），在△ABC中，CD⊥AB于点D，∠ACD＝α，∠DCB＝β，∵S△ABC＝S△ADC+S△BDC，由公式①，得AC•BCsin（α+β）＝AC•CDsinα+BC•CDsinβ，即：AC•BC•sin（α+β）＝AC•CD•sinα+BC•CD•sinβ②．
（1）请证明等式：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ；
（2）请利用结论求出sin75°的值．
【分析】（1）根据等式的性质以及直角三角形的边角关系即可得出结论；
（2）将sin75°＝sin（45°+30°），再根据（1）的结论和特殊锐角三角函数值进行计算即可．
【解答】证明：（1）∵AC•BC•sin（α+β）＝AC•CD•sinα+BC•CD•sinβ，
∴＝+，
即sin（α+β）＝•sinα+•sinβ，
∵cosβ＝，cosα＝，
∴sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ；
解：（2）由（1）得，
sin75°＝sin（45°+30°）
＝sin45°•cos30°+cos45°•sin30°
＝×+×
＝．
【点评】本题考查解直角三角形，掌握直角三角形的边角关系以及特殊锐角三角函数值是正确解答的前提．
25．（16分）在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+x+c的图象经过点C（0，2）和点D（4，﹣2），点E是直线y＝﹣x+2的图象与二次函数图象在第一象限内的交点．
（1）求二次函数的解析式；
（2）如图①，若点M是二次函数图象上的点，且在直线CE的上方，连接MC，OE，ME，求四边形COEM面积的最大值；
（3）如图②，经过A、B、C三点的圆交y轴于点F（点F与点C不重合），请直接写出点F的坐标．
【分析】（1）把C与D坐标代入二次函数解析式求出a与c的值，确定出二次函数解析式；
（2）过M作MH垂直于x轴，与直线CE交于点H，四边形COEM面积最大即为三角形CME面积最大，构造出二次函数求出最大值；
（3）令y＝0，求出x的值，得出A与B坐标，由圆周角定理及相似的性质得到三角形AOC与三角形BOF相似，由相似得比例求出OF的长，即可确定出F坐标．
解：（1）把C（0，2），D（4，﹣2）代入二次函数解析式得：
，
解得：，
∴二次函数解析式为y＝﹣x2+x+2；
（2）联立一次函数与二次函数解析式得：
，
消去y得：﹣x+2＝﹣x2+x+2，
解得：x＝0或x＝3，
则E（3，1）；
如图①，过M作MH∥y轴，交CE于点H，
设M（m，﹣m2+m+2），则H（m，﹣m+2），
∴MH＝（﹣m2+m+2）﹣（﹣m+2）＝﹣m2+2m，
S四边形COEM＝S△OCE+S△CME＝×2×3+MH•3＝﹣m2+3m+3＝﹣（m﹣）2+，
当m＝时，S最大＝；
答：四边形COEM面积的最大值为；
（3）连接BF，如图②所示，
当﹣x2+x+2＝0时，
解得：x1＝，x2＝，
∴OA＝，OB＝，
∵∠ACO＝∠ABF，∠AOC＝∠FOB，
∴△AOC∽△FOB，
∴＝，即＝，
解得：OF＝，
∴F坐标为（0，﹣）．
【点评】此题属于二次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求二次函数解析式，相似三角形的判定与性质，三角形的面积，二次函数图象与性质，以及图形与坐标性质，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．
相关试卷
江苏省徐州市云龙区东苑中学2022—2023学年上学期第二次质检七年级数学试卷： 这是一份江苏省徐州市云龙区东苑中学2022—2023学年上学期第二次质检七年级数学试卷，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
江苏省徐州市东苑中学五校联盟2022-2023学年上学期学情检测九年级数学试卷： 这是一份江苏省徐州市东苑中学五校联盟2022-2023学年上学期学情检测九年级数学试卷，共3页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
江苏省徐州市东苑中学2021-2022学年九年级上学期第一次质量检测（月考）数学试卷： 这是一份江苏省徐州市东苑中学2021-2022学年九年级上学期第一次质量检测（月考）数学试卷，共2页。
