2022-2023学年江苏省徐州市（各县）九年级（上）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年江苏省徐州市（各县）九年级（上）期末数学试卷

一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  小明同学对数据、、、，进行统计分析，发现其中一个两位数的个位数字被墨水污染已无法看清，则下列统计量与被污染数字无关的是(    )

A. 平均数 B. 标准差 C. 方差 D. 中位数

2.  卡塔尔世界杯小组赛，一粒制胜球如图射门前是否出底线成为球迷讨论的热点，裁判依据图判定该球并未出界，图中的圆与直线的位置关系为(    )

A. 相切 B. 相交 C. 相离 D. 不确定

3.  如图，、、为上的三个点，，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

4.  如图，在中，点在上，：：，交于，下列结论中不正确的是(    )

A.
B. ∽
C.
D.

5.  联欢会上，甲、乙、丙三人分别站在地面上的三个顶点处，在内部放置一个圆凳，游戏开始后，三人同时出发，抢先坐到圆凳者获胜为使游戏公平，圆凳应放置在的(    )

A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 中心

6.  关于抛物线，下列结论中正确的是(    )

A. 对称轴为直线 B. 当时，随的增大而减小
C. 与轴没有交点 D. 与轴交于点

7.  如图，两个螺栓上有、、三个螺母，每次随机拧下一个螺母，直至全部被拧下，则“最后拧下螺母”的概率是(    )

A.
B.
C.
D.

8.  如图，已知的半径为，正三角形的边长为，为边上的动点，过点作的切线，切点为，则的最小值为(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共8小题，共32.0分）

9.  方程的解为：______．

10.  若方程的两根分别为、，则 ______ ．

11.  在比例尺为：的地图上，若甲、乙两地间的距离为，则甲、乙两地的实际距离为______ ．

12.  甲、乙两人在相同条件下进行射击练习，每人次射击成绩的平均值都是环，方差分别为，，则两人成绩比较稳定的是______ 填“甲”或“乙”．

13.  圆锥的底面半径是，母线长为，则这个圆锥的侧面积是______ 结果保留

14.  我国南宋数学家杨辉所著田亩比类乘除算法中记载了这样一道题：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步．”其大意为：一个矩形的面积为平方步，宽比长少步，问宽和长各多少步？设矩形的宽为步，根据题意，可列方程为______．

15.  如图，在中，，将沿所在直线折叠，点恰好落在上的点处，且，则的度数为______ ．

16.  如图，将边长为的正三角形绕中心旋转，阴影部分的面积为______ ．

三、解答题（本大题共9小题，共84.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
计算：；
解方程：．

18.  本小题分
某中学为了解学生对航空航天知识的掌握情况，随机抽取名学生进行测试，并对成绩百分制进行整理，信息如下．
成绩频数分布表：

“”这组的具体成绩单位：分是：
，，，，，，，，，，，．
根据以上信息，解决下列问题．
此次测试成绩的中位数是______ 分，成绩不低于分的人数占测试人数的百分比为______ ；
该测试成绩的平均数是分，甲的成绩是分乙说：“甲的成绩高于平均数，所以甲的成绩高于一半学生的成绩”你认为乙的说法正确吗？请说明理由；
请对该校学生航空航天知识的掌握情况作出合理的评价．

19.  本小题分
不透明的袋子中装有个白球、个黑球，这些球除颜色外无其他差别．
从袋子中随机摸出个球，摸到白球的概率为______ ；
从袋子中随机摸出个球，放回并摇匀，再随机摸出个球用列表或画树状图的方法，求两次摸出的球都是白球的概率．

20.  本小题分
已知二次函数．
完成下表，并在方格纸中画该函数的图象；

根据图象，完成下列填空：
当时，随的增大而______ ；
当时，的取值范围是______ ．

21.  本小题分
如图，为的直径，为上的点，是的中点，于点，于点．
判断与的位置关系，并说明理由
连接、，若，求的长度．

22.  本小题分
如图，吕梁阁为徐州园博园的地标性建筑一架无人机飞到与吕梁阁顶端等高的点处，测得吕梁阁底部的俯角为，当其飞至点时，测得点的俯角为若点在线段上，，求吕梁阁的高度．
参考数据：，，，，，．

23.  本小题分
如图，有一块矩形硬纸板，长，宽，在其四角各剪去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，可制成一个无盖长方体盒子．
当剪去正方形的边长取何值时，所得长方体盒子的侧面积为？
所得长方体盒子的侧面积是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．

24.  本小题分
如图，由相似三角形的性质可得，阴影三角形的边上的高等于的三分之二，从而阴影三角形的面积等于正方形面积的三分之一类似的，请你用无刻度的直尺，在图图中各画一个阴影三角形，使其形状各不相同且面积都等于正方形面积的三分之一．
 

25.  本小题分
如图，在中，、为边上的两个动点，．

若，，则与相似吗？为什么？
若即、重合，则 ______ 时，∽；
当和满足怎样的数量关系时，∽？请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：这组数据的平均数、方差和标准差都与被涂污数字有关，而这组数据的中位数为，与被涂污数字无关．
故选：．
利用平均数、中位数、方差和标准差的定义对各选项进行判断．
本题主要考查方差、标准差、中位数和平均数，解题的关键是掌握中位数的定义．
 

2.【答案】 

【解析】解：足球所在的圆与直线只有一个公共点，
图中的圆与直线相切，
故选：．
通过观察发现，足球所在的圆与直线只有一个公共点，可知图中的圆与直线相切，于是得到问题的答案．
此题重点考查直线与圆的位置关系，通过观察，得到直线与圆的公共点的个数是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：和都对，
．
故选：．
直接利用圆周角定理求解．
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
 

4.【答案】 

【解析】解：：：，
，
，
，
，结论正确；
，
，结论正确；
，
∽，结论正确；
，，
，结论错误，
故选：．
根据平行线分线段成比例定理、相似三角形的性质解答即可
本题考查的是平行线分线段成比例定理和相似三角形的性质，灵活运用平行线分线段成比例定理、掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：三边垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等，
凳子应放置的最适当的位置时在的三边垂直平分线的交点．
故选：．
根据三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点解答即可．
此题考查的是三角形的重心，内心及外心，熟知仨三角形的外心是三边垂直平分线的交点是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：抛物线，对称轴为直线，故此选项A错误；
当时，随的增大而减小，故选项B正确；
抛物线，开口向上，顶点坐标为：，
与轴有个交点，故选项C错误；
当时，，故图象与轴交于点，故选项D错误．
故选：．
直接利用二次函数的性质分别分析得出答案．
此题主要考查了抛物线于轴的交点以及二次函数的性质，正确掌握二次函数的性质是解题关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：一共种情况，，，，其中“最后拧下螺母”的有种情况，
故“最后拧下螺母”的概率是．
故选：．
根据概率公式求解即可．
本题考查了概率公式，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

8.【答案】 

【解析】解：连接、，过点作于，
是的切线，
，
，
当时，最小，取最小值，
为等边三角形，
，
，
的最小值为：，
故选：．
连接、，过点作于，根据切线的性质得到，根据勾股定理求出，根据等边三角形的性质求出，根据垂线段最短解答即可．
本题考查的是切线的性质、等边三角形的性质、垂线段最短，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
 

9.【答案】， 

【解析】解：移项得：，
即，
于是得：或．
则方程的解为：，．
故答案是：，．
本题考查了因式分解法解二元一次方程，理解因式分解法解方程的依据是关键．首先把方程移项，把方程的右边变成，然后对方程左边分解因式，根据几个式子的积是，则这几个因式中至少有一个是，即可把方程转化成一元一次方程，从而求解．
 

10.【答案】 

【解析】解：方程的二次项系数，一次项系数，
．
故答案是：．
利用根与系数的关系解答并填空即可．
考查了一元二次方程的根与系数的关系．解答该题需要熟记公式：．
 

11.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
图上距离除以比例尺，算出实际距离，进而把换算成即可．
本题考查有关比例线段的计算；注意换算成应缩小倍．
 

12.【答案】甲 

【解析】解：，
，
成绩较为稳定的运动员是甲，
故答案为：甲．
根据方差越小成绩越稳定，即可求解．
本题主要考查方差，方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
 

13.【答案】 

【解析】解：底面圆的半径为，则底面周长，
侧面面积，
故答案为：．
侧面积底面周长母线长．
此题考查的是圆锥的计算，掌握圆的周长公式和扇形面积公式求解．
 

14.【答案】 

【解析】解：矩形的宽为，且宽比长少，
矩形的长为．
依题意，得：．
故答案为：．
由矩形的宽及长与宽之间的关系可得出矩形的长为，再利用矩形的面积公式即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程以及数学常识，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：根据折叠可知，，，
，
，
垂直平分，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
根据折叠得出，，根据，得出垂直平分，得出，根据等角对等边，得出，即可得出，根据，即可得出答案．
本题主要考查了折叠的性质，垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理的应用，解题的关键是求出．
 

16.【答案】 

【解析】解：根据旋转的性质可知，图中空白部分的小三角形也是等边三角形，且边长为，且面积是的，
观察图形可得，重叠部分的面积是与三个小等边三角形的面积之差，
的高是，一个小等边三角形的高是，
的面积是，一个小等边三角形的面积是，
所以重叠部分的面积是
故答案为：．
根据旋转的性质，观察图形易得，图中空白部分的小三角形也是等边三角形，且边长为，且面积是的，重叠部分的面积是与三个小等边三角形的面积之差，代入数据计算可得答案．
本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等边三角形的性质．
 

17.【答案】解：原式

；
，
，
则，即，
，
，． 

【解析】先代入三角函数值、化简二次根式、计算零指数幂，再计算乘法，最后计算加减即可；
将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，再开方即可得．
本题主要考查实数的运算和解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．
 

18.【答案】   

【解析】解：这次测试成绩的中位数是第、个数据的平均数，而第、个数据的平均数为分，
所以这组数据的中位数是分，
成绩不低于分的人数占测试人数的百分比为，
故答案为：，；
不正确，
因为甲的成绩分低于中位数分，
所以甲的成绩不可能高于一半学生的成绩；
测试成绩不低于分的人数占测试人数的，说明该校学生对“航空航天知识”的掌握情况较好答案不唯一，合理均可．
根据中位数的定义求解即可，用不低于分的人数除以被测试人数即可；
根据中位数的意义求解即可；
答案不唯一，合理均可．
本题考查了中位数，频数分布表等知识，掌握中位数的定义及其意义是解决问题的关键．
 

19.【答案】 

【解析】解：从袋子中随机摸出个球，摸出的球是白球的概率是；
故答案为：；
画树状图如下：

一共有种等可能的情况，其中两次摸出的球都是白球的概率为种，
两次摸出的球都是白球的概率为．
故答案为：．
直接根据概率公式求解即可；
画出树状图，求解即可．
本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出，再从中选出符合事件或的结果数目，然后根据概率公式求出事件或的概率．
 

20.【答案】          增大   

【解析】解：由表格数据可知抛物线的对称轴为直线，
把代入得，，
把代入得，，
抛物线的顶点为，
把代入得，，
如下表，

画出函数的图象如图：

根据图象，当时，函数值随的增大而增大，
故答案为：增大；
根据图象，当时，的取值范围是．
故答案为：．
将的值代入求出对应的函数值，由表格可知抛物线的对称轴为直线，根据表格数据画出函数图象即可；
根据图象即可求解；
根据图象即可求解．
此题主要考查了二次函数图象，关键是正确画出此函数图象，根据图象可以直接看出所要求的答案．
 

21.【答案】解：与相切．
证明：连接、，
点是的中点，
，
，
，
，
，
，
，
，
与相切．

如图，过作于，则四边形是矩形，
，
又，
，
，
在和中，
，
≌，
，
又，经过圆心，
，
． 

【解析】先连接、，根据点是的中点，得出，进而根据内错角相等，判定，最后根据，得出与相切；
如图，过作于，则四边形是矩形，证明≌，可得结论．
本题主要考查了直线与圆的位置关系以及垂径定理的运用，在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，通常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线．本题也可以根据与相似，求得的长．
 

22.【答案】解：设，则，
在中，，
解得，
在中，，
解得，
．
吕梁阁的高度约为． 

【解析】设，则，在中，，可得，在中，，求出的值，进而可得答案．
本题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．
 

23.【答案】解：设剪去正方形的边长为，则做成无盖长方体盒子的底面长为，宽为，高为，
依题意，得：，
整理，得：，
解得：，．
当时，，不合题意，舍去．
答：当剪去正方形的边长为时，所得长方体盒子的侧面积为；
存在，理由如下：
盒子的侧面积为：


．
，
当时，有最大值，最大值为．
故所得长方体盒子的侧面积存在最大值，最大值为． 

【解析】设剪去正方形的边长为，则做成无盖长方体盒子的底面长为，宽为，高为，根据长方体盒子的侧面积为，即可得出关于的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论；
利用盒子侧面积为：，进而利用配方法求出最值即可．
此题主要考查了一元二次方程的应用以及二次函数的应用，想象出立体图形的形状进而表示出侧面积是解题关键．
 

24.【答案】解：满足条件的三角形如图所示：
 

【解析】利用等高模型画出图形即可．
本题考查作图相似变换，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用等高模型解决问题，属于中考常考题型．
 

25.【答案】 

【解析】解：结论：∽．
理由：，
，
，
，，
，
∽；
当时，∽．
理由：如图，

，
，
，，
，
∽．
故答案为：；
结论：．
理由：，
，
，
当时，则有∽，
，
，
，
在中，，
，
即．
由条件可证明为等边三角形，结合可得到，可证明∽；
利用的结论可得到对应边成比例，把条件代入可得到与之间的关系；
由条件可知当关系成立时则有∽，可得到，再结合外角和三角形内角和可找到和之间的关系式．
本题主要考查相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的对应边成比例、对应角相等是解题的关键，注意三角形内角和定理的应用．