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2022-2023学年广东省深圳市南山区九年级（上）期末数学试卷（含解析）
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这是一份2022-2023学年广东省深圳市南山区九年级（上）期末数学试卷（含解析），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 如图是一把做工精湛的紫砂壶“景舟石瓢”，其俯视图是( )
A.
B.
C.
D.
2. 若方程x2−3x+m=0有两个不相等的实数根，则m的值可以是( )
A. 5B. 4C. 3D. 2
3. 已知函数y=kx的图象过点(−1,−2)，则该函数的图象必在( )
A. 第一、三象限B. 第三、四象限C. 第二、三象限D. 第二、四象限
4. 如图，四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，下列条件中，能判定四边形ABCD是矩形的是( )
A. AB//DC，AB=CDB. AB//CD，AD//BC
C. AC=BD，AC⊥BDD. OA=OB=OC=OD
5. 一个口袋中有红球、黄球共20个，这些除颜色外都相同，将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一球，记下颜色后再放回口袋，不断重复这一过程，共摸了200次，发现其中有161次摸到红球.则这个口袋中红球数大约有( )
A. 4个B. 10个C. 16个D. 20个
6. 如图，广场上有一盏路灯挂在高9.6m的电线杆顶上，记电线杆的底部为O，把路灯看成一个点光源，一名身高1.6m的女孩站在点P处，OP=2m，则女孩的影子长为( )
A. 13m
B. 45m
C. 14m
D. 25m
7. 如图，长方形花圃ABCD面积为4m2，它的一边AD利用已有的围墙(围墙足够长)，另外三边所围的栅栏的总长度是5m.EF处开一门，宽度为1m.设AB的长度是xm，根据题意，下面所列方程正确的是( )
A. x(5−2x)=4B. x(5+1−2x)=4
C. x(5−2x−1)=4D. x(2.5−x)=4
8. 下面说法错误的是( )
A. 点A (x1,y1)，B (x2,y2)都在反比例函数y=−3x图象上，且x1B. 若点C是线段AB的黄金分割点，AB=8cm，AC>BC，则AC=4 (5−1)cm
C. 顺次连接对角线互相垂直的四边形各边中点所组成的图形是矩形
D. 平面内，经过平行四边形对角线交点的直线，一定能平分它的面积
9. 超市经销一种水果，每千克盈利10元，每天销售500千克，经市场调查，若每千克涨价1元，则日销售量减少20千克，如果超市要保证每天盈利6000元，则每千克应该涨价( )
A. 15元或20元B. 10元或15元C. 10元或20元D. 5元或10元
10. 如图，在矩形ABCD中，过点A作对角线BD的垂线并延长，与DC的延长线交于点E，与BC交于点F，垂足为点G，连接CG，且CD=CF，则下列结论正确的有个( )
①CE=AD
②∠DGC=∠BFG
③CF2=BF⋅BC
④BG=GE−2CG
A. 1B. 2C. 3D. 4
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
11. 若3a=2b，则a−bb= ．
12. 若m，n是一元二次方程x2+2022x−2023=0的两个实数根，则1m+1n= ．
13. 如图，已知l1//l2//l3，AG=2，OB=1，CH=3，DH=4，则GO=______．
14. 如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC=1.2m，高AD=0.8m，要把它加工成一个正方形零件，使一边在BC上，其余两个顶点分别在边AB、AC上，则该正方形的边长是 m.
15. 如图，等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D在AB上，且AD=2DB，连接CD，过点A作AE⊥CD于点E，连接BE，则AEBE的值是 ．
三、解答题（本大题共7小题，共55.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. (本小题6.0分)
解下列方程：
(1)x+2=x2−4；
(2)(x−2)(x−3)=12．
17. (本小题8.0分)
为了解班级学生参加课后服务的学习效果，张老师对本班部分学生进行了为期一一个月的追踪调查，他将调查结果分为四类：A：很好；B：较好：C：一般：D：不达标，并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图，请你根据统计图解答下列问题：
(1)此次调查的总人数为 人；
(2)条形统计图缺少C组女生和D组男生的人数，请将它补充完整：
(3)该校九年级共有学生1000名，请你估计“达标“的共有 人.
(4)为了共同进步，张老师准备从被调查的A类和D类学生中各随机抽取一位同学进行“一帮一”互助学习，请用画树状图或列表的方法求出所选两位同学恰好是相同性别的概率．
18. (本小题6.0分)
如图，在正方形网格中，点A、B、C都在格点上，利用格点按要求完成下列作图，(要求仅用无刻度的直尺，不要求写画法，保留必要的作图痕迹)
(1)在图1中，以C为位似中心，位似比为1：2，在格点上将△ABC放大得到△A1B1C1；请画出
△A1B1C1．
(2)在图2中，线段AB上作点M，利用格点作图使得AMBM=32．
(3)在图3中，利用格点在AC边上作一个点D，使得△ABD∽△ACB．
19. (本小题8.0分)
如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF//BC交BE的延长线于点F．
(1)求证：四边形ADCF是菱形；
(2)若AC=6，AB=8，求菱形ADCF的面积．
20. (本小题8.0分)
如图：△AOB为等腰直角三角形，斜边OB在x轴上，S△OAB=4，一次函数y1=kx+b(k≠0)的图象经过点A交y轴于点C，反比例函数y2=kx(x>0)的图象也经过点A．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)若CD=2AD，求△COD的面积；
(3)当y121. (本小题9.0分)
[综合与实践]：阅读材料，并解决以下问题．
[学习研究]：北师大版教材九年级上册第39页介绍了我国数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中关于一元二次方程的几何解法：以x2+2x−35=0为例，构造方法如下：
首先将方程x2+2x−35=0变形为x(x+2)=35，然后画四个长为x+2，宽为x的矩形，按如图(1)所示的方式拼成一个“空心”大正方形，则图中大正方形的面积可表示为(x+x+2)2，还可表示为四个矩形与一个边长为2的小正方形面积之和，即4x(x+2)+22=4×35+4，因此，可得新方程：(x+x+2)2=144，∵x表示边长，∴2x+2=12，即x=5，遗憾的是，这样的做法只能得到方程的其中一个正根．
[类比迁移]；小明根据赵爽的办法解方程x2+3x−4=0，请你帮忙画出相应的图形，将其解答过程补充完整：
第一步：将原方程变形为x2+3x−4=0，即x( )=4；
第二步：利用四个面积可用x表示为 的全等矩形构造“空心”大正方形(请在画图区画出示意图，标明各边长)，并写出完整的解答过程：
第三步：
[拓展应用]，一般地对于形如：x2+ax=b一元二次方程可以构造图2来解，已知图2是由4个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4.那么此方程的系数a= ，b= ，求得方程的一个正根为 ．
22. (本小题10.0分)
如图1，直线l与坐标轴的正半轴分别交于A，B两点，与反比例函数y=kx(k>0,x>0)的图象交于C，D两点(点C在点D的左边)，过点C作CE⊥y轴于点E，过点D作DF⊥x轴于点F，CE与DF交于点G(4,3)．
(1)当点D恰好是FG中点时，求此时点C的横坐标；
(2)如图2，连接EF，求证：CD//EF；
(3)如图3，将△CGD沿CD折叠，点G恰好落在边OB上的点H处，求此时反比例函数的解析式．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：根据视图的定义，选项B中的图形符合题意，
故选：B．
根据俯视图的定义，从上面看所得到的图形即为俯视图．
本题考查简单组合体的三视图，理解视图的定义是正确判断的前提．
2.【答案】D
【解析】解：根据题意得Δ=(−3)2−4m>0，
解得m<94，
即m的取值范围为m<94．
故选：D．
先根据根的判别式的意义得到Δ=(−3)2−4m>0，再解不等式得到m的取值范围，然后对各选项进行判断．
本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2−4ac有如下关系：当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程无实数根．
3.【答案】A
【解析】解：∵函数y=kx的图象过点(−1,−2)，
∴−2=k−1，
解得k=2，
∴函数解析式为y=2k，
∴函数的图象在第一、三象限．
故选：A．
先将点(−1,−2)代入函数解析式y=kx，求出k的取值，从而确定函数的图象所在象限．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征和反比例函数的图象与性质：k>0时，图象在第一、三象限；k<0时，图象在第二、四象限；以及待定系数法求函数解析式．
4.【答案】D
【解析】解：A、AB//DC，AB=CD，得出四边形ABCD是平行四边形，无法判断四边形ABCD是矩形．故错误；
B、AB//CD，AD//BC，得出四边形ABCD是平行四边形，无法判断四边形ABCD是矩形．故错误；
C、AC=BD，AC⊥BD，无法判断四边形ABCD是矩形．故错误；
D、OA=OB=OC=OD可以判断四边形ABCD是矩形．正确；
故选：D．
根据矩形的判定方法，一一判断即可解决问题．
本题考查矩形的判定方法、熟练掌握矩形的判定方法是解决问题的关键，记住对角线相等的平行四边形是矩形，有一个角是90度的平行四边形是矩形，有三个角是90度的四边形是矩形，属于中考常考题型．
5.【答案】C
【解析】解：因为共摸了200次，有161次摸到红球，所以摸到红球的频率=161200=0.805，由此可根据摸到红球的概率为0.805，所以可估计这个口袋中红球的数量为0.805×20≈16(个)，
故选：C．
先计算出摸到红球的频率为0.805，根据利用频率估计概率得到摸到红球的概率为0.805，然后根据概率公式可估计这个口袋中红球的数量，再计算白球的数量．
本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．
6.【答案】D
【解析】解：如图所示，∵CP//AO，
∴△BCP∽△BAO，
∴PBOB=PCOA，即PB2+PB=1.69.6，
解得：PB=0.4．
故选：D．
根据相似三角形的判定和性质定理得到PB的长，即可得出答案．
本题考查了相似三角形的应用，利用相似三角形对应边成比例列出比例式是解题的关键．
7.【答案】B
【解析】解：设AB=x m，则BC=(5+1−2x)m，
根据题意可得，x(5+1−2x)=4，
故选：B．
根据栅栏的总长度是6m，AB=x m，则BC=(5+1−2x)m，再根据矩形的面积公式列方程即可．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程．
8.【答案】A
【解析】解：A、点A (x1,y1)，B (x2,y2)都在反比例函数y=−3x图象上，且x1B、若点C是线段AB的黄金分割点，AB=8cm，AC>BC，则AC=4 (5−1)cm，故B不符合题意；
C、顺次连接对角线互相垂直的四边形各边中点所组成的图形是矩形，故C不符合题意；
D、平面内，经过平行四边形对角线交点的直线，一定能平分它的面积，故D不符合题意；
故选：A．
根据黄金分割，平行四边形的性质，矩形的判定，中点四边形，反比例函数图象点的坐标特征，逐一判断即可解答．
本题考查了黄金分割，平行四边形的性质，矩形的判定，中点四边形，反比例函数图象点的坐标特征，熟练掌握这些数学概念是解题的关键．
9.【答案】D
【解析】解：设每千克水果应涨价x元，
依题意得方程：(500−20x)(10+x)=6000，
整理，得x2−15x+50=0，
解这个方程，得x1=5，x2=10．
答：每千克水果应涨价5元或10元．
故选：D．
设每千克水果应涨价x元，得出日销售量将减少20x千克，再由盈利额=每千克盈利×日销售量，依题意得方程求解即可．
本题考查了一元二次方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程．
10.【答案】C
【解析】解：∵四边形ABCD为矩形，
∴AD=BC，AD//BC，CD=AB，
∠ADC=∠BCD=90°，
∵AE⊥BD，
∴∠BGF=DGE=90°，
∵∠1+∠2=90°，∠3+∠E=90°，
而∠1=∠3，
∴∠2=∠E，
在△CDB和△CFE中，
∠2=∠E∠BCD=∠ECFCD=CF，
∴△CDB≌△CFE(AAS)，
∴CB=CE，
∴AD=CE，所以①正确；
过C点作CQ⊥BD于Q，CH⊥EF于H点，如图，
∵△CDB≌△CFE，
∴CQ=CH，∠3=CDG，
∴CG平分∠DGE，
即∠DGC=∠EGD=45°，
∵CB>CD，
∴∠CDB>45°，
∵∠1=∠3=∠CDG，
∴∠DGC>∠1，所以②错误；
∵∠1=∠CDB，
∴Rt△ABF∽Rt△BCD，
∴BF：CD=AB：BC，
即CD⋅AB=BF⋅BC，
而CD=AB=CF，
∴CF2=BF⋅BC，所以③正确；
过C作CM⊥CG交GE于M点，如图，
∵∠CGE=45°，
∴△CGM为等腰直角三角形，
∴CG=CM，GM=2CG，
∵∠4+∠BCM=90°，∠5+∠BCM=90°，
∴∠4=∠5，
在△CEM和△CBG中，
∠E=∠2CE=CB∠4=∠5，
∴△CEM≌△CBG(ASA)，
∴EM=BG，
∵GE=GM+ME，
∴GE=2CG+BG，
即BG=GE−2CG.所以④正确．
故选：C．
先证明△CDB≌△CFE得到CB=CE，则AD=CE，于是可对①进行判断；过C点作CQ⊥BD于Q，CH⊥EF于H点，如图，根据全等三角形的对应边的高相等得到CQ=CH，∠3=CDG，所以CG平分∠DGE，则∠DGC=∠EGD=45°，所以可判断∠DGC>∠1，则可对②进行判断；接着证明Rt△ABF∽Rt△BCD，利用相似比得到CD⋅AB=BF⋅BC，然后利用CD=AB=CF可对③进行判断；过C作CM⊥CG交GE于M点，如图，则△CGM为等腰直角三角形，所以CG=CM，GM=2CG，接着证明△CEM≌△CBG得到EM=BG，则GE=2CG+BG，于是可对④进行判断．
本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用．在应用相似三角形的性质时利用相似比进行几何计算．也考查了全等三角形的判定与性质和矩形的性质．
11.【答案】12
【解析】解：∵3a=2b，
∴ab=32，
∴a−bb=3−22=12．
故答案为：12．
先根据内项之积等于外项之积得到ab=32，然后根据分比性质求解．
本题考查了比例的性质：熟练掌握比例的性质(内项之积等于外项之积；合比性质；分比性质；合分比性质；等比性质)是解决问题的关键．
12.【答案】20222023
【解析】解：∵m，n是一元二次方程x2+2022x−2023=0的两个实数根，
∴m+n=−2022，mn=−2023，
∴1m+1n=m+nmn=−2022−2023=20222023．
故答案为：20222023．
利用根与系数的关系，可得出m+n=−2022，mn=−2023，再将其代入1m+1n=m+nmn中，即可求出结论．
本题考查了根与系数的关系，牢记“两根之和等于−ba，两根之积等于ca”是解题的关键．
13.【答案】53
【解析】解：∵l1//l2//l3，
∴CHDH=AGBG，即34=2BG，
∴BG=83，
∵GO=BG−OB=83−1=53，
故答案为：53．
根据平行线分线段成比例定理得出CHDH=AGBG，求出BG，即可求解．
本题考查的是平行线分线段成比例定理的应用，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
14.【答案】0.48
【解析】解：∵PN//BC，
∴△APN∽△ABC，
∴PNBC=AEAD．
∵QM=PN，
∴QMBC=AEAD，
设正方形PNMQ的边长是x m．
则x1.20=0.8−x0.8
解得：x=0.48
故正方形的边长为0.48m．
故答案为：0.48．
根据△APN∽△ABC，根据相似三角形对应边上的高线的比等于相似比即可证得．
此题主要考查相似三角形性质的运用，掌握其性质是解决此题的关键．
15.【答案】2
【解析】解：过D作DF⊥BC于F，过E作EG⊥BC于G，如图：
设AC=BC=3m，
∵DF//AC，AD=2DB，
∴CF=2BF，
∴CF=23BC=2m，BF=m，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠ABC=45°，
∴DF=BF=m，
∴CD=OF2+DF2=5m，
∵∠DCF=90°−∠ACD=∠CAE，∠DFC=90°=∠AEC，
∴△DFC∽△CEA，
∴DFCE=CDAC，即mCE=5m3m，
∴CE=355m，
∴AE=AC2−CE2=655m，
∵EG//DF，
∴CECD=EGDF=CGCF，即355m5m=EGm=CG2m，
∴EG=35m，CG=65m，
∴BG=BC−CG=95m，
∴BE=EG2+BG2=3105m，
∴AEBE=655m3105m=2，
故答案为：2．
过D作DF⊥BC于F，过E作EG⊥BC于G，设AC=BC=3m，由AD=2DB，可得CF=23BC=2m，BF=m，可得CD=OF2+DF2=5m，证明△DFC∽△CEA，有mCE=5m3m，可得CE=355m，AE=AC2−CE2=655m，根据EG//DF，得355m5m=EGm=CG2m，即知EG=35m，CG=65m，可得BG=BC−CG=95m，BE=EG2+BG2=3105m，即可求出答案．
本题考查等腰直角三角形的性质及应用，涉及相似三角形的判定与性质，勾股定理及应用等知识，解题的关键是用含m的代数式表示相关线段的长度．
16.【答案】解：(1)x+2=x2−4，
(x+2)−(x+2)(x−2)=0，
(x+2)(1−x+2)=0，
∴x+2=0或3−x=0，
∴x1=−2，x2=3；
(2)(x−2)(x−3)=12．
整理得，x2−5x−6=0，
(x−6)(x+1)=0，
∴x−6=0，x+1=0，
解得x1=6，x2=−1．
【解析】(1)移项，提取公因式分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
(2)整理后，先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
本题考查了解一元一次方程和解一元二次方程的应用，解此题的关键是能选择适当的方法解一元二次方程．
17.【答案】20 900
【解析】解：(1)调查的总人数为：3÷15%=20(人)，
故答案为：20；
(2)1−50%−25%−15%=10%，
20×10%=2(人)，
D等级的男生人数有：2−1=1(人)，
C等级的人数有：20×25%=5(人)，
C等级的女生人数有：5−2=3(人)，
补全统计图如下：
(3)1000×(15%+50%+25%)=900(人)；
故答案为：900．
(4)由题意画树形图如下：
从树形图看出，所有可能出现的结果共有6种，且每种结果出现的可能性相等，所选两位同学恰好是相同性别的结果共有3种．
所以P(所选两位同学恰好是相同性别)=36=12．
(1)根据A等级的人数和所占的百分比即可得出答案；
(2)用总人数分别乘“一般”和“不达标”所占的百分比求出C、D类的男女生人数和，然后求出C等级的女生和D等级的男生，最后补全统计图即可；
(3)用总人数乘达标的人数所占的百分比就是达标的人数．
(4)根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．掌握概率的求解公式：概率=所求情况数与总情况数之比是解题的关键．
18.【答案】解：(1)如图1，△A1B1C1为所作；
(2)如图2，点M为所作；
(3)如图3，点D为所作．
【解析】(1)延长CA到A1使CA1=2CA，延长CB到B1使CB1=2CB，点C1在C点，则△A1B1C1满足条件；
(2)构建Rt△ACB，BC为分成5等份，其中N点为5等份点，过N点的格线交AB于M点，根据平行线分线段成比例定理可判断M点满足条件；
(3)把AC绕A点逆时针旋转90°得到AE，平移AE使A点与B点重合，则E点的对应点为F点，则BF与AC的交点为D点．
本题考查了作图−位似变换：掌握画位似图形的一般步骤(先确定位似中心；再分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；接着根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；然后顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形)是解决问题的关键．
19.【答案】解：(1)证明：
∵E是AD的中点
∴AE=DE
∵AF//BC
∴∠AFE=∠DBE
在△AEF和△DEB中∠AFE=∠DBE∠DEB=∠AEFAE=DE
∴△AEF≌△DEB(AAS)
∴AF=DB
∴四边形ADCF是平行四边形
∵∠BAC=90°，
D是BC的中点
∴AD=CD=12BC
∴四边形ADCF是菱形；
(2)解：法一、
设AF到CD的距离为h，
∵AF//BC，
AF=BD=CD，
∠BAC=90°，
∴S菱形ADCF=CD⋅h
=12BC⋅h
=S△ABC
=12AB⋅AC
=12×6×8=24．
法二、
连接DF
∵AF=DB，
AF//DB
∴四边形ABDF是平行四边形
∴DF=AB=8
∴S菱形ADCF=12AC⋅DF
=12×6×8=24．
答：菱形ADCF的面积为24．
【解析】(1)根据菱形的判定即可证明四边形ADCF是菱形；
(3)根据AC=6，AB=8，即可求菱形ADCF的面积．
本题考查了菱形的判定和性质、直角三角形斜边上的中线、三角形中位线定理，解决本题的关键是掌握以上基础知识．
20.【答案】0【解析】解：(1)过点A分别作AM⊥y轴于M，AN⊥x轴于N，
∵△AOB是等腰直角三角形，
∴OA=AB，∠OAB=90°，
∴∠AOB=45°，
∵S△OAB=4，
∴12OA⋅AB=12OA2=4，
∴OA=22，
∴AM=OM=2，
∴点A(2,2)，
∵反比例函数y2=kx(x>0)的图象经过点A，
∴k=2×2=4，
∴反比例函数的解析式为y2=4x；
(2)∵AM⊥y轴于M，
∴AM//OC，
∴△OCD∽△MAD，
∴OCAM=CDAD，
∴CD=2AD，
∴OC=2AM=4，
∴C(0,−4)，
一次函数y1=ax+b(a≠0)的图象经过点C、D，
∴2a+b=2b=−4，解得a=3b=−4，
∴y1=3x−4，
令y=0，则3x−4=0，解得x=43，
∴D(43,0)，
∴OD=43，
∴S△COD=12OD⋅OC=12×43×4=83；
(3)当y1故答案为：0(1)过点A分别作AM⊥x轴于M，根据三角形面积求得OA，进而即可求得A的坐标，利用待定系数法从而得出答案；
(2)通过证得△OCD∽△MAD，得出OC的长，即可求得点C的坐标，利用待定系数法求得一次函数的解析式，进而求得点D的坐标，再利用三角形面积公式可得答案；
(3)根据图象即可求解．
本题是反比例函数与一次函数的交点问题，主要考查了反比例函数图象上点的坐标的特征，等腰直角三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，三角形的面积以及函数与不等式的关系等知识，求得交点坐标是解题的关键．
21.【答案】x+3 长为x+3，宽为x ±2 3 1或3
【解析】解：[类比迁移]
第一步：将原方程变形为x2+3x−4=0，即x(x+3)=4；
第二步：利用四个面积可用x表示为长为x+3，宽为x的全等矩形构造“空心”大正方形(请在画图区画出示意图，标明各边长)，
画四个长为x+3，宽为x的矩形，按如图所示的方式拼成如图，拼成一个“空心”大正方形，则图中大正方形的面积可表示为(x+x+3)2，还可表示为四个矩形与一个边长为3的小正方形面积之和，即4x(x+3)+32=4×4+9，因此，可得新方程：(x+x+3)2=25，
∵x表示边长，
∴2x+3=5，即x=1，
第三步：方程的一个正根为x=1；
故答案为：x+3；长为x+3，宽为x；
[拓展应用]
∵x2+ax=b，
∴x(x+a)=b，
∴四个小矩形的面积各为b，大正方形的面积是(x+x+a)2，其中它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即4×b+a2，
∵图2是由4个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4，
∴b=3，a2=4，
解得：b=3，a=±2，
当a=2时，(x+x+2)2=4×3+4，2x+2=4，x=1，方程的一个正根为1；
当a=−2时，(x+x−2)2=4×3+4，2x−2=4，x=3，方程的一个正根为3．
综上所述，方程的一个正根为1或3．
故答案为：±2，3，1或3．
[类比迁移]根据赵爽的办法解答即可；
[拓展应用]根据题意把x2+ax=b，变形为x(x+a)=b，根据图2由4个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4，即可得到答案．
本题考查了一元二次方程的应用，解一元二次方程，能知道系数a，b与各图形面积的关系是解题的关键．
22.【答案】(1)解：当点D恰好是FG中点时，则点D(4,32)，
将点D的坐标代入反比例函数表达式得：32=k4，解得：k=6，
即反比例函数的表达式为：y=6x，
当y=3时，则3=6x，解得：x=2，
即此时点C的横坐标是2；
(2)证明：设点D(4,k4)，C(13k,3)，
则GD=3−k4，则GDGF=3−14k3=1−k12，
同理可得：CGGE=1−112k=GDGF，
∴CD//EF；
(3)解：过点C作CN⊥OB于点N，
设GD=HD=x，CG=CH=a，则EC=4−a，DF=3−x，
即点C、D的坐标分别为(4−a,3)、(4,3−x)，
则3(4−a)=4(3−x)①，
∵∠CHD=90°，
∴∠NCH+∠FHD=90°，∠NCH+∠HNC=90°，
∴∠NCH=∠DHF，
∴sin∠NCH=sin∠DHF，即3−xx=a2−9a②，
联立①②并解得：x=7532，
则点D(4,2132)，
将点D的坐标代入反比例函数表达式得：2132=k4，
解得：k=218，
故反比例函数的表达式为：y=218x．
【解析】(1)当点D恰好是FG中点时，则点D(4,32)，求出k=6，进而求解；
(2)证明CGGE=1−112k=GDGF，即可求解；
(3)由点C、D的坐标分别为(4−a,3)、(4,3−x)，得到3(4−a)=4(3−x)，由sin∠NCH=sin∠DHF，得到3−xx=a2−9a，求出x=7532，即可求解．
此题是反比例函数综合题，主要考查了平行线分线段成比例、解直角三角形等，是一道典型的综合类的题目．
1. 如图是一把做工精湛的紫砂壶“景舟石瓢”，其俯视图是( )
A.
B.
C.
D.
2. 若方程x2−3x+m=0有两个不相等的实数根，则m的值可以是( )
A. 5B. 4C. 3D. 2
3. 已知函数y=kx的图象过点(−1,−2)，则该函数的图象必在( )
A. 第一、三象限B. 第三、四象限C. 第二、三象限D. 第二、四象限
4. 如图，四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，下列条件中，能判定四边形ABCD是矩形的是( )
A. AB//DC，AB=CDB. AB//CD，AD//BC
C. AC=BD，AC⊥BDD. OA=OB=OC=OD
5. 一个口袋中有红球、黄球共20个，这些除颜色外都相同，将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一球，记下颜色后再放回口袋，不断重复这一过程，共摸了200次，发现其中有161次摸到红球.则这个口袋中红球数大约有( )
A. 4个B. 10个C. 16个D. 20个
6. 如图，广场上有一盏路灯挂在高9.6m的电线杆顶上，记电线杆的底部为O，把路灯看成一个点光源，一名身高1.6m的女孩站在点P处，OP=2m，则女孩的影子长为( )
A. 13m
B. 45m
C. 14m
D. 25m
7. 如图，长方形花圃ABCD面积为4m2，它的一边AD利用已有的围墙(围墙足够长)，另外三边所围的栅栏的总长度是5m.EF处开一门，宽度为1m.设AB的长度是xm，根据题意，下面所列方程正确的是( )
A. x(5−2x)=4B. x(5+1−2x)=4
C. x(5−2x−1)=4D. x(2.5−x)=4
8. 下面说法错误的是( )
A. 点A (x1,y1)，B (x2,y2)都在反比例函数y=−3x图象上，且x1
C. 顺次连接对角线互相垂直的四边形各边中点所组成的图形是矩形
D. 平面内，经过平行四边形对角线交点的直线，一定能平分它的面积
9. 超市经销一种水果，每千克盈利10元，每天销售500千克，经市场调查，若每千克涨价1元，则日销售量减少20千克，如果超市要保证每天盈利6000元，则每千克应该涨价( )
A. 15元或20元B. 10元或15元C. 10元或20元D. 5元或10元
10. 如图，在矩形ABCD中，过点A作对角线BD的垂线并延长，与DC的延长线交于点E，与BC交于点F，垂足为点G，连接CG，且CD=CF，则下列结论正确的有个( )
①CE=AD
②∠DGC=∠BFG
③CF2=BF⋅BC
④BG=GE−2CG
A. 1B. 2C. 3D. 4
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
11. 若3a=2b，则a−bb= ．
12. 若m，n是一元二次方程x2+2022x−2023=0的两个实数根，则1m+1n= ．
13. 如图，已知l1//l2//l3，AG=2，OB=1，CH=3，DH=4，则GO=______．
14. 如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC=1.2m，高AD=0.8m，要把它加工成一个正方形零件，使一边在BC上，其余两个顶点分别在边AB、AC上，则该正方形的边长是 m.
15. 如图，等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D在AB上，且AD=2DB，连接CD，过点A作AE⊥CD于点E，连接BE，则AEBE的值是 ．
三、解答题（本大题共7小题，共55.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. (本小题6.0分)
解下列方程：
(1)x+2=x2−4；
(2)(x−2)(x−3)=12．
17. (本小题8.0分)
为了解班级学生参加课后服务的学习效果，张老师对本班部分学生进行了为期一一个月的追踪调查，他将调查结果分为四类：A：很好；B：较好：C：一般：D：不达标，并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图，请你根据统计图解答下列问题：
(1)此次调查的总人数为 人；
(2)条形统计图缺少C组女生和D组男生的人数，请将它补充完整：
(3)该校九年级共有学生1000名，请你估计“达标“的共有 人.
(4)为了共同进步，张老师准备从被调查的A类和D类学生中各随机抽取一位同学进行“一帮一”互助学习，请用画树状图或列表的方法求出所选两位同学恰好是相同性别的概率．
18. (本小题6.0分)
如图，在正方形网格中，点A、B、C都在格点上，利用格点按要求完成下列作图，(要求仅用无刻度的直尺，不要求写画法，保留必要的作图痕迹)
(1)在图1中，以C为位似中心，位似比为1：2，在格点上将△ABC放大得到△A1B1C1；请画出
△A1B1C1．
(2)在图2中，线段AB上作点M，利用格点作图使得AMBM=32．
(3)在图3中，利用格点在AC边上作一个点D，使得△ABD∽△ACB．
19. (本小题8.0分)
如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF//BC交BE的延长线于点F．
(1)求证：四边形ADCF是菱形；
(2)若AC=6，AB=8，求菱形ADCF的面积．
20. (本小题8.0分)
如图：△AOB为等腰直角三角形，斜边OB在x轴上，S△OAB=4，一次函数y1=kx+b(k≠0)的图象经过点A交y轴于点C，反比例函数y2=kx(x>0)的图象也经过点A．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)若CD=2AD，求△COD的面积；
(3)当y1
[综合与实践]：阅读材料，并解决以下问题．
[学习研究]：北师大版教材九年级上册第39页介绍了我国数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中关于一元二次方程的几何解法：以x2+2x−35=0为例，构造方法如下：
首先将方程x2+2x−35=0变形为x(x+2)=35，然后画四个长为x+2，宽为x的矩形，按如图(1)所示的方式拼成一个“空心”大正方形，则图中大正方形的面积可表示为(x+x+2)2，还可表示为四个矩形与一个边长为2的小正方形面积之和，即4x(x+2)+22=4×35+4，因此，可得新方程：(x+x+2)2=144，∵x表示边长，∴2x+2=12，即x=5，遗憾的是，这样的做法只能得到方程的其中一个正根．
[类比迁移]；小明根据赵爽的办法解方程x2+3x−4=0，请你帮忙画出相应的图形，将其解答过程补充完整：
第一步：将原方程变形为x2+3x−4=0，即x( )=4；
第二步：利用四个面积可用x表示为 的全等矩形构造“空心”大正方形(请在画图区画出示意图，标明各边长)，并写出完整的解答过程：
第三步：
[拓展应用]，一般地对于形如：x2+ax=b一元二次方程可以构造图2来解，已知图2是由4个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4.那么此方程的系数a= ，b= ，求得方程的一个正根为 ．
22. (本小题10.0分)
如图1，直线l与坐标轴的正半轴分别交于A，B两点，与反比例函数y=kx(k>0,x>0)的图象交于C，D两点(点C在点D的左边)，过点C作CE⊥y轴于点E，过点D作DF⊥x轴于点F，CE与DF交于点G(4,3)．
(1)当点D恰好是FG中点时，求此时点C的横坐标；
(2)如图2，连接EF，求证：CD//EF；
(3)如图3，将△CGD沿CD折叠，点G恰好落在边OB上的点H处，求此时反比例函数的解析式．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：根据视图的定义，选项B中的图形符合题意，
故选：B．
根据俯视图的定义，从上面看所得到的图形即为俯视图．
本题考查简单组合体的三视图，理解视图的定义是正确判断的前提．
2.【答案】D
【解析】解：根据题意得Δ=(−3)2−4m>0，
解得m<94，
即m的取值范围为m<94．
故选：D．
先根据根的判别式的意义得到Δ=(−3)2−4m>0，再解不等式得到m的取值范围，然后对各选项进行判断．
本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2−4ac有如下关系：当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程无实数根．
3.【答案】A
【解析】解：∵函数y=kx的图象过点(−1,−2)，
∴−2=k−1，
解得k=2，
∴函数解析式为y=2k，
∴函数的图象在第一、三象限．
故选：A．
先将点(−1,−2)代入函数解析式y=kx，求出k的取值，从而确定函数的图象所在象限．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征和反比例函数的图象与性质：k>0时，图象在第一、三象限；k<0时，图象在第二、四象限；以及待定系数法求函数解析式．
4.【答案】D
【解析】解：A、AB//DC，AB=CD，得出四边形ABCD是平行四边形，无法判断四边形ABCD是矩形．故错误；
B、AB//CD，AD//BC，得出四边形ABCD是平行四边形，无法判断四边形ABCD是矩形．故错误；
C、AC=BD，AC⊥BD，无法判断四边形ABCD是矩形．故错误；
D、OA=OB=OC=OD可以判断四边形ABCD是矩形．正确；
故选：D．
根据矩形的判定方法，一一判断即可解决问题．
本题考查矩形的判定方法、熟练掌握矩形的判定方法是解决问题的关键，记住对角线相等的平行四边形是矩形，有一个角是90度的平行四边形是矩形，有三个角是90度的四边形是矩形，属于中考常考题型．
5.【答案】C
【解析】解：因为共摸了200次，有161次摸到红球，所以摸到红球的频率=161200=0.805，由此可根据摸到红球的概率为0.805，所以可估计这个口袋中红球的数量为0.805×20≈16(个)，
故选：C．
先计算出摸到红球的频率为0.805，根据利用频率估计概率得到摸到红球的概率为0.805，然后根据概率公式可估计这个口袋中红球的数量，再计算白球的数量．
本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．
6.【答案】D
【解析】解：如图所示，∵CP//AO，
∴△BCP∽△BAO，
∴PBOB=PCOA，即PB2+PB=1.69.6，
解得：PB=0.4．
故选：D．
根据相似三角形的判定和性质定理得到PB的长，即可得出答案．
本题考查了相似三角形的应用，利用相似三角形对应边成比例列出比例式是解题的关键．
7.【答案】B
【解析】解：设AB=x m，则BC=(5+1−2x)m，
根据题意可得，x(5+1−2x)=4，
故选：B．
根据栅栏的总长度是6m，AB=x m，则BC=(5+1−2x)m，再根据矩形的面积公式列方程即可．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程．
8.【答案】A
【解析】解：A、点A (x1,y1)，B (x2,y2)都在反比例函数y=−3x图象上，且x1
C、顺次连接对角线互相垂直的四边形各边中点所组成的图形是矩形，故C不符合题意；
D、平面内，经过平行四边形对角线交点的直线，一定能平分它的面积，故D不符合题意；
故选：A．
根据黄金分割，平行四边形的性质，矩形的判定，中点四边形，反比例函数图象点的坐标特征，逐一判断即可解答．
本题考查了黄金分割，平行四边形的性质，矩形的判定，中点四边形，反比例函数图象点的坐标特征，熟练掌握这些数学概念是解题的关键．
9.【答案】D
【解析】解：设每千克水果应涨价x元，
依题意得方程：(500−20x)(10+x)=6000，
整理，得x2−15x+50=0，
解这个方程，得x1=5，x2=10．
答：每千克水果应涨价5元或10元．
故选：D．
设每千克水果应涨价x元，得出日销售量将减少20x千克，再由盈利额=每千克盈利×日销售量，依题意得方程求解即可．
本题考查了一元二次方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程．
10.【答案】C
【解析】解：∵四边形ABCD为矩形，
∴AD=BC，AD//BC，CD=AB，
∠ADC=∠BCD=90°，
∵AE⊥BD，
∴∠BGF=DGE=90°，
∵∠1+∠2=90°，∠3+∠E=90°，
而∠1=∠3，
∴∠2=∠E，
在△CDB和△CFE中，
∠2=∠E∠BCD=∠ECFCD=CF，
∴△CDB≌△CFE(AAS)，
∴CB=CE，
∴AD=CE，所以①正确；
过C点作CQ⊥BD于Q，CH⊥EF于H点，如图，
∵△CDB≌△CFE，
∴CQ=CH，∠3=CDG，
∴CG平分∠DGE，
即∠DGC=∠EGD=45°，
∵CB>CD，
∴∠CDB>45°，
∵∠1=∠3=∠CDG，
∴∠DGC>∠1，所以②错误；
∵∠1=∠CDB，
∴Rt△ABF∽Rt△BCD，
∴BF：CD=AB：BC，
即CD⋅AB=BF⋅BC，
而CD=AB=CF，
∴CF2=BF⋅BC，所以③正确；
过C作CM⊥CG交GE于M点，如图，
∵∠CGE=45°，
∴△CGM为等腰直角三角形，
∴CG=CM，GM=2CG，
∵∠4+∠BCM=90°，∠5+∠BCM=90°，
∴∠4=∠5，
在△CEM和△CBG中，
∠E=∠2CE=CB∠4=∠5，
∴△CEM≌△CBG(ASA)，
∴EM=BG，
∵GE=GM+ME，
∴GE=2CG+BG，
即BG=GE−2CG.所以④正确．
故选：C．
先证明△CDB≌△CFE得到CB=CE，则AD=CE，于是可对①进行判断；过C点作CQ⊥BD于Q，CH⊥EF于H点，如图，根据全等三角形的对应边的高相等得到CQ=CH，∠3=CDG，所以CG平分∠DGE，则∠DGC=∠EGD=45°，所以可判断∠DGC>∠1，则可对②进行判断；接着证明Rt△ABF∽Rt△BCD，利用相似比得到CD⋅AB=BF⋅BC，然后利用CD=AB=CF可对③进行判断；过C作CM⊥CG交GE于M点，如图，则△CGM为等腰直角三角形，所以CG=CM，GM=2CG，接着证明△CEM≌△CBG得到EM=BG，则GE=2CG+BG，于是可对④进行判断．
本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用．在应用相似三角形的性质时利用相似比进行几何计算．也考查了全等三角形的判定与性质和矩形的性质．
11.【答案】12
【解析】解：∵3a=2b，
∴ab=32，
∴a−bb=3−22=12．
故答案为：12．
先根据内项之积等于外项之积得到ab=32，然后根据分比性质求解．
本题考查了比例的性质：熟练掌握比例的性质(内项之积等于外项之积；合比性质；分比性质；合分比性质；等比性质)是解决问题的关键．
12.【答案】20222023
【解析】解：∵m，n是一元二次方程x2+2022x−2023=0的两个实数根，
∴m+n=−2022，mn=−2023，
∴1m+1n=m+nmn=−2022−2023=20222023．
故答案为：20222023．
利用根与系数的关系，可得出m+n=−2022，mn=−2023，再将其代入1m+1n=m+nmn中，即可求出结论．
本题考查了根与系数的关系，牢记“两根之和等于−ba，两根之积等于ca”是解题的关键．
13.【答案】53
【解析】解：∵l1//l2//l3，
∴CHDH=AGBG，即34=2BG，
∴BG=83，
∵GO=BG−OB=83−1=53，
故答案为：53．
根据平行线分线段成比例定理得出CHDH=AGBG，求出BG，即可求解．
本题考查的是平行线分线段成比例定理的应用，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
14.【答案】0.48
【解析】解：∵PN//BC，
∴△APN∽△ABC，
∴PNBC=AEAD．
∵QM=PN，
∴QMBC=AEAD，
设正方形PNMQ的边长是x m．
则x1.20=0.8−x0.8
解得：x=0.48
故正方形的边长为0.48m．
故答案为：0.48．
根据△APN∽△ABC，根据相似三角形对应边上的高线的比等于相似比即可证得．
此题主要考查相似三角形性质的运用，掌握其性质是解决此题的关键．
15.【答案】2
【解析】解：过D作DF⊥BC于F，过E作EG⊥BC于G，如图：
设AC=BC=3m，
∵DF//AC，AD=2DB，
∴CF=2BF，
∴CF=23BC=2m，BF=m，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠ABC=45°，
∴DF=BF=m，
∴CD=OF2+DF2=5m，
∵∠DCF=90°−∠ACD=∠CAE，∠DFC=90°=∠AEC，
∴△DFC∽△CEA，
∴DFCE=CDAC，即mCE=5m3m，
∴CE=355m，
∴AE=AC2−CE2=655m，
∵EG//DF，
∴CECD=EGDF=CGCF，即355m5m=EGm=CG2m，
∴EG=35m，CG=65m，
∴BG=BC−CG=95m，
∴BE=EG2+BG2=3105m，
∴AEBE=655m3105m=2，
故答案为：2．
过D作DF⊥BC于F，过E作EG⊥BC于G，设AC=BC=3m，由AD=2DB，可得CF=23BC=2m，BF=m，可得CD=OF2+DF2=5m，证明△DFC∽△CEA，有mCE=5m3m，可得CE=355m，AE=AC2−CE2=655m，根据EG//DF，得355m5m=EGm=CG2m，即知EG=35m，CG=65m，可得BG=BC−CG=95m，BE=EG2+BG2=3105m，即可求出答案．
本题考查等腰直角三角形的性质及应用，涉及相似三角形的判定与性质，勾股定理及应用等知识，解题的关键是用含m的代数式表示相关线段的长度．
16.【答案】解：(1)x+2=x2−4，
(x+2)−(x+2)(x−2)=0，
(x+2)(1−x+2)=0，
∴x+2=0或3−x=0，
∴x1=−2，x2=3；
(2)(x−2)(x−3)=12．
整理得，x2−5x−6=0，
(x−6)(x+1)=0，
∴x−6=0，x+1=0，
解得x1=6，x2=−1．
【解析】(1)移项，提取公因式分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
(2)整理后，先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
本题考查了解一元一次方程和解一元二次方程的应用，解此题的关键是能选择适当的方法解一元二次方程．
17.【答案】20 900
【解析】解：(1)调查的总人数为：3÷15%=20(人)，
故答案为：20；
(2)1−50%−25%−15%=10%，
20×10%=2(人)，
D等级的男生人数有：2−1=1(人)，
C等级的人数有：20×25%=5(人)，
C等级的女生人数有：5−2=3(人)，
补全统计图如下：
(3)1000×(15%+50%+25%)=900(人)；
故答案为：900．
(4)由题意画树形图如下：
从树形图看出，所有可能出现的结果共有6种，且每种结果出现的可能性相等，所选两位同学恰好是相同性别的结果共有3种．
所以P(所选两位同学恰好是相同性别)=36=12．
(1)根据A等级的人数和所占的百分比即可得出答案；
(2)用总人数分别乘“一般”和“不达标”所占的百分比求出C、D类的男女生人数和，然后求出C等级的女生和D等级的男生，最后补全统计图即可；
(3)用总人数乘达标的人数所占的百分比就是达标的人数．
(4)根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．掌握概率的求解公式：概率=所求情况数与总情况数之比是解题的关键．
18.【答案】解：(1)如图1，△A1B1C1为所作；
(2)如图2，点M为所作；
(3)如图3，点D为所作．
【解析】(1)延长CA到A1使CA1=2CA，延长CB到B1使CB1=2CB，点C1在C点，则△A1B1C1满足条件；
(2)构建Rt△ACB，BC为分成5等份，其中N点为5等份点，过N点的格线交AB于M点，根据平行线分线段成比例定理可判断M点满足条件；
(3)把AC绕A点逆时针旋转90°得到AE，平移AE使A点与B点重合，则E点的对应点为F点，则BF与AC的交点为D点．
本题考查了作图−位似变换：掌握画位似图形的一般步骤(先确定位似中心；再分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；接着根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；然后顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形)是解决问题的关键．
19.【答案】解：(1)证明：
∵E是AD的中点
∴AE=DE
∵AF//BC
∴∠AFE=∠DBE
在△AEF和△DEB中∠AFE=∠DBE∠DEB=∠AEFAE=DE
∴△AEF≌△DEB(AAS)
∴AF=DB
∴四边形ADCF是平行四边形
∵∠BAC=90°，
D是BC的中点
∴AD=CD=12BC
∴四边形ADCF是菱形；
(2)解：法一、
设AF到CD的距离为h，
∵AF//BC，
AF=BD=CD，
∠BAC=90°，
∴S菱形ADCF=CD⋅h
=12BC⋅h
=S△ABC
=12AB⋅AC
=12×6×8=24．
法二、
连接DF
∵AF=DB，
AF//DB
∴四边形ABDF是平行四边形
∴DF=AB=8
∴S菱形ADCF=12AC⋅DF
=12×6×8=24．
答：菱形ADCF的面积为24．
【解析】(1)根据菱形的判定即可证明四边形ADCF是菱形；
(3)根据AC=6，AB=8，即可求菱形ADCF的面积．
本题考查了菱形的判定和性质、直角三角形斜边上的中线、三角形中位线定理，解决本题的关键是掌握以上基础知识．
20.【答案】0
∵△AOB是等腰直角三角形，
∴OA=AB，∠OAB=90°，
∴∠AOB=45°，
∵S△OAB=4，
∴12OA⋅AB=12OA2=4，
∴OA=22，
∴AM=OM=2，
∴点A(2,2)，
∵反比例函数y2=kx(x>0)的图象经过点A，
∴k=2×2=4，
∴反比例函数的解析式为y2=4x；
(2)∵AM⊥y轴于M，
∴AM//OC，
∴△OCD∽△MAD，
∴OCAM=CDAD，
∴CD=2AD，
∴OC=2AM=4，
∴C(0,−4)，
一次函数y1=ax+b(a≠0)的图象经过点C、D，
∴2a+b=2b=−4，解得a=3b=−4，
∴y1=3x−4，
令y=0，则3x−4=0，解得x=43，
∴D(43,0)，
∴OD=43，
∴S△COD=12OD⋅OC=12×43×4=83；
(3)当y1
(2)通过证得△OCD∽△MAD，得出OC的长，即可求得点C的坐标，利用待定系数法求得一次函数的解析式，进而求得点D的坐标，再利用三角形面积公式可得答案；
(3)根据图象即可求解．
本题是反比例函数与一次函数的交点问题，主要考查了反比例函数图象上点的坐标的特征，等腰直角三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，三角形的面积以及函数与不等式的关系等知识，求得交点坐标是解题的关键．
21.【答案】x+3 长为x+3，宽为x ±2 3 1或3
【解析】解：[类比迁移]
第一步：将原方程变形为x2+3x−4=0，即x(x+3)=4；
第二步：利用四个面积可用x表示为长为x+3，宽为x的全等矩形构造“空心”大正方形(请在画图区画出示意图，标明各边长)，
画四个长为x+3，宽为x的矩形，按如图所示的方式拼成如图，拼成一个“空心”大正方形，则图中大正方形的面积可表示为(x+x+3)2，还可表示为四个矩形与一个边长为3的小正方形面积之和，即4x(x+3)+32=4×4+9，因此，可得新方程：(x+x+3)2=25，
∵x表示边长，
∴2x+3=5，即x=1，
第三步：方程的一个正根为x=1；
故答案为：x+3；长为x+3，宽为x；
[拓展应用]
∵x2+ax=b，
∴x(x+a)=b，
∴四个小矩形的面积各为b，大正方形的面积是(x+x+a)2，其中它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即4×b+a2，
∵图2是由4个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4，
∴b=3，a2=4，
解得：b=3，a=±2，
当a=2时，(x+x+2)2=4×3+4，2x+2=4，x=1，方程的一个正根为1；
当a=−2时，(x+x−2)2=4×3+4，2x−2=4，x=3，方程的一个正根为3．
综上所述，方程的一个正根为1或3．
故答案为：±2，3，1或3．
[类比迁移]根据赵爽的办法解答即可；
[拓展应用]根据题意把x2+ax=b，变形为x(x+a)=b，根据图2由4个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4，即可得到答案．
本题考查了一元二次方程的应用，解一元二次方程，能知道系数a，b与各图形面积的关系是解题的关键．
22.【答案】(1)解：当点D恰好是FG中点时，则点D(4,32)，
将点D的坐标代入反比例函数表达式得：32=k4，解得：k=6，
即反比例函数的表达式为：y=6x，
当y=3时，则3=6x，解得：x=2，
即此时点C的横坐标是2；
(2)证明：设点D(4,k4)，C(13k,3)，
则GD=3−k4，则GDGF=3−14k3=1−k12，
同理可得：CGGE=1−112k=GDGF，
∴CD//EF；
(3)解：过点C作CN⊥OB于点N，
设GD=HD=x，CG=CH=a，则EC=4−a，DF=3−x，
即点C、D的坐标分别为(4−a,3)、(4,3−x)，
则3(4−a)=4(3−x)①，
∵∠CHD=90°，
∴∠NCH+∠FHD=90°，∠NCH+∠HNC=90°，
∴∠NCH=∠DHF，
∴sin∠NCH=sin∠DHF，即3−xx=a2−9a②，
联立①②并解得：x=7532，
则点D(4,2132)，
将点D的坐标代入反比例函数表达式得：2132=k4，
解得：k=218，
故反比例函数的表达式为：y=218x．
【解析】(1)当点D恰好是FG中点时，则点D(4,32)，求出k=6，进而求解；
(2)证明CGGE=1−112k=GDGF，即可求解；
(3)由点C、D的坐标分别为(4−a,3)、(4,3−x)，得到3(4−a)=4(3−x)，由sin∠NCH=sin∠DHF，得到3−xx=a2−9a，求出x=7532，即可求解．
此题是反比例函数综合题，主要考查了平行线分线段成比例、解直角三角形等，是一道典型的综合类的题目．
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