新高考物理一轮复习知识梳理+分层练习专题58 放缩圆、旋转圆、平移圆和磁聚焦模型在磁场中的应用（含解析）

2023届高三物理一轮复习多维度导学与分层专练

专题58 放缩圆、旋转圆、平移圆和磁聚焦模型在磁场中的应用

【知识导学与典例导练】

一、放缩圆模型

【例1】如图所示，在边长为L的正三角形abc区域内存在方向垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，有一群质量为m、电荷量为q的粒子，以大小不同的速度从a点沿ac方向进入磁场，从ab边或bc边射出磁场。下列说法正确的是（　　）（不计粒子重力和粒子间的相互作用）

A．粒子带正电

B．粒子在磁场中运动时间最长为

C．从b点飞出的粒子的轨迹半径为

D．从bc边飞出的粒子，飞出点越靠近c，运动时间越长

【答案】C

【详解】A．由左手定则可知粒子带负电，A错误；

B．粒子从ab边射出时在磁场中转过的圆心角最大，运动时间最长，如图所示

最长时间为，B错误；

C．如图所示

由几何关系得从b点飞出的粒子的轨迹半径为，C正确；

D．如图所示

从bc边飞出的粒子，飞出点越靠近c对应的圆心角越小，运动时间越短，D错误。故选C。

二、旋转圆模型

【例2】如图所示，矩形ABCD区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁场的磁感应强度大小为B，AB边长为d，BC边长为2d，O是BC边的中点，E是AD边的中点，在O点有一粒子源，可以在纸面内向磁场内各个方向均匀射出质量均为m、电荷量均为q、同种电性的带电粒子，粒子射出的速度大小相同，速度与OB边的夹角为的粒子恰好从E点射出磁场，不计粒子的重力，则（　　）

A．从AD边射出与从CD边射出的粒子数之比为

B．粒子运动的速度大小为

C．粒子在磁场中运动的最长时间为

D．磁场区域中有粒子通过的面积为

【答案】ABD

【详解】如图所示

B．粒子带正电不可能从与60度夹角的O点射入经过B点，因此带负电，由此粒子的运动轨迹结合几何关系可知，粒子做圆周运动的半径由牛顿第二定律解得粒子运动的速度大小为

故B正确；

C．由于粒子做圆周运动的速度大小相同，因此在磁场中运动的轨迹越长，时间越长，分析可知，粒子在磁场中运动的最长弧长为四分之一圆周，因此最长时间为四分之一周期，即最长时间为，故C错误；

D．由图知，磁场区域有粒子通过的面积为图中区域的面积，即为故D正确；

A．由图可知，当速度垂直时，粒子刚好从点射出，如下图所示

由几何关系可知，当速度方向与的夹角为时，恰好从点射出，则从AD边射出与从CD边射出的粒子数之比为故A正确。故选ABD。

三、平移圆模型

【例3】如图所示，在直角三角形ABC内存在垂直纸面向外的匀强磁场，AC=d，∠B=30°，现垂直AB边射入一群质量均为m、电荷量均为q、速度大小均为v的带正电粒子，已知垂直AC边射出的粒子在磁场中运动的时间为t，而在磁场中运动的最长时间为（不计重力和粒子间的相互作用）。下列判断正确的是（　　）

A．粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期为t

B．该匀强磁场的磁感应强度大小为

C．粒子在进入磁场时速度大小为

D．粒子在磁场中运动的轨迹半径为

【答案】BC

【详解】A．带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，垂直ACAC边射出的粒子在磁场中运动的时间是，则得周期为故A错误；

B．由；；得故B正确；

D．

运动时间最长的粒子在磁场中运动的轨迹如图所示，根据几何关系有解得

故D 错误；

C．根据粒子在磁场中运动的速度为周期为半径为联立得故C正确。故选BC。

四、磁聚焦模型

1．磁发散：如图1所示，有界圆形磁场的磁感应强度为B，圆心为O，从P点有大量质量为m、电荷量为q的正粒子，以大小相等的速度v沿不同方向射入有界磁场，不计粒子的重力，如果正粒子轨迹圆半径与有界圆形磁场半径相等，则所有粒子射出磁场的方向平行。

2．磁汇聚：如图2所示，大量的同种带正电的粒子，速度大小相同，平行入射到圆形磁场区域，如果轨迹圆半径与磁场圆半径相等(R＝r)，则所有的带电粒子将从磁场圆的最低点B点射出。

【例4】如图所示，在真空中，半径为R的圆形区域内存在垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度为B，一束质子在纸面内以相同的速度射向磁场区域，质子的电荷量为e，质量为m，速度为，则以下说法正确的是（　　）

A．对着圆心入射的质子的出射方向的反向延长线不一定过圆心

B．从a点比从b点进入磁场的质子在磁场中运动时间短

C．所有质子都在磁场边缘同一点射出磁场

D．若质子以相等的速率从同一点沿各个方向射入磁场，则它们离开磁场的出射方向可能垂直

【答案】C

【详解】AC．质子做圆周运动的向心力由洛伦兹力提供，可得又联立，可得

由几何关系可知，对着圆心入射的质子最后从O点正下方C点射出磁场，出射方向的反向延长线一定过圆心。再假设从任意点E水平射入的质子，做圆周运动的圆心为D，连接两交点及圆心。由于，且DE=OC,则四边形DEOC是平行四边形，所以DE=OC=R，从任意点水平射入的质子也从O点正下方C射出，由于磁场的半径与质子轨迹圆的半径相等，所以对着圆心入射的质子的出射方向的反向延长线一定过圆心。故A错误；C正确；

B．质子射入磁场中，受到向下的洛伦兹力而向下偏转，因质子的运动半径相同，故从a点比从b点进入磁场的质子在磁场中运动经过的弧长更长，则时间长。故B错误；

D．若质子以相等的速率从同一点沿各个方向射入磁场，质子运动的半径为考虑两个极端情况，当质子的入射速度接近竖直向上或竖直向下时，质子射出磁场的偏转角的夹角小于90°，其轨迹如图，

最后离开磁场的速度夹角小于90°，所以不存在离开磁场的出射方向垂直的情况。故D错误。故选C。

【多维度分层专练】

1．如图所示，直角三角形abc区域内（含边界）存在垂直于纸面向外、磁感应强度大小为B的匀强磁场，顶点a处有一离子源，沿ac方向同时射出一群速度大小不同的正离子，离子的质量均为m、电荷量均为q，已知，bc边长为L，不计离子的重力及离子间的相互作用力，则下列说法正确的是（　　）

A．从ab边界射出的离子，一定同时平行射出

B．从bc边界射出的离子在磁场中运动的时间均不小于

C．从bc边界射出的离子的速度均不小于

D．当某离子垂直于bc边界射出时，磁场中的所有离子都在与ab边界成15°角的一条直线上

【答案】ACD

【详解】A．由题意可知，离子的入射角度相同，转过的圆心角也相同，则出射角相同，同时由可得，当磁场强度、离子质量和所带电荷相同时，离子在磁场中的运动时间也相同，故离子会同时平行射出，故A正确；

B．当从a中射入的离子从bc边垂直射出时，由几何关系可知，此时转过的圆心角为30°，则所用的时间为

即此时离子在磁场中运动的时间均小于，故B错误；

C．由可知，当离子的运动速度越小时，离子运动的半径就越小，当离子从bc边界射出时，从b点射出的离子运动半径最小，速度也最小，从b点射出时，由几何关系可知，离子的运动半径为

解得故从bc边界射出的离子的速度应该不小于，故C正确；

D．同一时刻，经历相同的时间，转过相同圆心角的离子在同一条直线上，当当某离子垂直于bc边界射出时，由几何关系可知，此时离子转过的圆心角为30°，由弦切角与圆心角的关系可知，此时所有离子在与ab边界成15°角的一条直线上，故D正确。故选ACD。

2．如图，等腰直角三角形区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为，为边的中点，为边上的一点。现有一带正电的粒子（不计重力）从点以大小不同的速度沿方向射入磁场，分别从、、点射出磁场，所用时间分别为、、，且，若已知，则（　　）

A．

B．带电粒子的比荷为

C．从点与从点射出的速度大小之比为

D．从点与从点射出的速度大小之比为

【答案】AC

【详解】A．如图所示，从d、c两点射出的粒子在磁场中转过的圆心角均为90°，所以t1=t2则

故A正确；

B．设粒子在磁场中运动的周期为T，速度大小为v，半径为r，根据牛顿第二定律有解得

由题意可知解得故B错误；

CD．设ac=L，根据几何关系可知从、点射出磁场的粒子的运动半径分别为；在△eca中，根据正弦定理可得解得从点与从点射出的速度大小之比为

从点与从点射出的速度大小之比为故C正确，D错误。故选AC。

3．如图，在区域内存在与平面垂直的匀强磁场，磁感应强度为B。在时刻，一位于坐标原点的粒子源向y轴右侧平面各方向均匀发射出大量相同的带电粒子，所有粒子的初速度大小相同。已知沿y轴正方向发射的粒子在时刻刚好从磁场边界上P（3a，a）点离开磁场，不计粒子重力，不考虑粒子间的相互作用。则（　　）

A．粒子在磁场中做圆周运动的半径R为2a

B．粒子的比荷为

C．从粒子发射到全部粒子离开磁场所用的时间为2t0

D． 时刻仍在磁场中的粒子数与粒子源发射的总粒子数之比为1：3

【答案】ACD

【详解】A．沿y轴正方向发射的粒子在磁场中运动的轨迹如图所示

设粒子运动的轨迹半径为，由几何关系知道所以则粒子从O到P偏转了，则有故A正确；

B．由题意及几何关系可得所以故B错误；

C．在磁场中飞行时间最长的粒子对应的轨迹应与磁场右边界相切，其轨迹如下图所示

由几何关系知粒子转过的圆心角为，且由对称性可知从粒子发射到全部粒子飞出磁场所用时间故C正确；

D．由以上分析可知仍然留在磁场中的粒子与轴的角度范围为，由于粒子发生在内总是均匀的，所以还在磁场中的粒子和总的发射的粒子数之比为，故D正确。故选ACD。

4．如图所示，边界OA与OC之间分布有垂直纸面向里的匀强磁场，边界OA上有一粒子源S。 某一时刻，从S平行于纸面向各个方向发射出大量带正电的同种粒子（不计粒子的重力及粒子间的相互作用），所有粒子的初速度大小相同，经过一段时间有大量粒子从边界OC射出磁场。 已知∠AOC=60°，从边界OC射出的粒子在磁场中运动的最长时间等于（T为粒子在磁场中运动的周期），则从边界OC射出的粒子在磁场中运动的时间可能为（　　）

A． B． C． D．

【答案】BCD

【详解】粒子在磁场做匀速圆周运动，粒子在磁场中出射点和入射点的连线即为轨迹的弦，初速度大小相同，根据可得轨迹半径相同，又由于最长时间恰好为半个周期，可分析出粒子在磁场中运动的圆弧为劣弧，弦越长，所对圆心角越大，因此粒子恰好从S点正上方射出时，运动时间最长，此时在磁场中恰好运动了半个圆周，该粒子恰好沿SA方向射入磁场，如图所示

设OS=d，有几何关系可知粒子在磁场中运动的轨道半径当出射点E与S点的连线垂直于OC时，弦ES最短，轨迹所对的圆心角最小，根据几何关系可知弦所对圆心角为60o，粒子在磁场中运动的最短时间粒子在磁场中运动时间范围为故选BCD。

5．如图所示，边长为L的正方形区域内存在垂直平面向内的匀强磁场，在边各个位置均有带正电的同种粒子以速度垂直于边射入磁场，有两个粒子均可以在边上距离c点为的A处射出磁场。已知粒子的质量为m、电量为q，磁场的磁感应强度为B，不计重力及带电粒子之间的相互作用，则（　　）

A．一定满足

B．一定满足

C．从A点射出的两个粒子在磁场中运动的时间之和为

D．从b点离开磁场的粒子在磁场中运动的时间最长

【答案】C

【详解】AB．从A点射出的两个粒子的轨迹如图；

两粒子在磁场中运动的半径相同，圆心尽在dc线上，由几何关系可知，两粒子从A点射出时速度方向垂直，且O2c=O1c=Ac=则粒子的轨道半径为 由于解得 选项AB错误；

C．由几何关系可知，从A点射出的两个粒子在磁场中运动转过的圆心角之和为π，则运动时间之和为

选项C正确；

D．因粒子的轨道半径为；则有的粒子可以从dc边射出磁场，此粒子离开磁场运动的时间最长，为半个周期，选项D错误。故选C。

6．如图所示，在等腰直角三角形BAC内充满着磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向外的匀强磁场（图中未画出）。一群质量为m、电荷量为+q、速度为v的带正电粒子垂直AB边射入磁场，已知从AC边射出且在磁场中运动时间最长的粒子，离开磁场时速度垂直于AC边。不计粒子重力和粒子间的相互作用。下列判断中正确的是（　　）

A．等腰三角形BAC中AB边的长度为

B．粒子在磁场中运动的最长时间为

C．从AB中点射入的粒子离开磁场时的位置与A点的距离为

D．若仅将磁场反向，则粒子在磁场中运动的最长时间不变

【答案】AB

【详解】A．依题意可知在磁场中运动时间最长的粒子的运动轨迹时半圆，轨迹圆的圆心在A点。且其轨迹与BC边相切。根据几何关系可知粒子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，有

联立，可得故A正确；

B．粒子在磁场中匀速圆周运动的周期为根据上一选项分析，粒子轨迹所对应的圆心角度为90，则有故B正确；

C．从AB中点射入的粒子，其轨迹为上面所分析的粒子轨迹向下平移得到

此轨迹圆的圆心在A点的正下方，由几何关系可知，离开磁场时的位置与A点的距离必然小于轨迹半径r，即。故C错误；

D．若仅将磁场反向，则粒子在磁场中将向上偏转，不会出现圆心角为90的轨迹，故最长时间将变小，故D错误。故选AB。

7．如图所示，长方形的长，宽，、分别是、的中点，以为圆心、为半径的圆弧和以为圆心、为半径的圆弧组成的区域内有垂直纸面向里的匀强磁场（边界上无磁场），磁感应强度。一群不计重力、质量、电荷量的带正电粒子以速度沿垂直且垂直于磁场方向射入磁场区域，不计粒子间的相互作用，则下列判断正确的是（　　）

A．从边射入的粒子，出射点全部分布在边

B．从边射入的粒子，出射点全部分布在边

C．从边射入的粒子，出射点分布在边

D．从边射入的粒子，出射点全部通过点

【答案】D

【详解】粒子进入磁场后做匀速圆周运动，根据洛伦兹力提供向心力，可得

从边射入的粒子先做直线运动，设某一粒子从点进入磁场，其圆心为，如图所示

因根据几何关系，可得：虚线四边形是菱形，则该粒子一定从点射出，同理，从边射入的粒子，全部从点射出；从边射入的粒子，轨迹均为以为半径的圆弧，从点射入的从点射出，从边射入的粒子，因边界上无磁场，粒子到达边界后做直线运动，即从边射入的粒子全部通过点，故D正确，ABC错误。故选D。

8．如图，在边长为L的正方形abcd的部分区域内存在着方向垂直纸面的匀强磁场，a点处有离子源，可以向正方形abcd所在区域的任意方向发射速率均为v的相同的正离子，且所有离子均垂直bc边射出，下列说法正确的是（　　）

A．磁场区域的最小面积为L2

B．离子在磁场中做圆周运动的半径为L

C．磁场区域的最大面积为L2

D．离子在磁场中运动的最长时间为

【答案】BC

【分析】如图1所示，假设半径为R的圆形磁场区域边界处有一离子源S可以向各个方向发射速率相同的离子，且离子在磁场中做匀速圆周运动的半径也为R，考察其中某一离子的运动轨迹，根据几何知识可得四边形OSO′P为菱形，则出射离子的速度方向与OS垂直，即所有离子出射方向平行，由此可以得到一个结论，当离子运动半径与圆形磁场半径相同时，离子从同一点以任意方向射入磁场，其出射速度方向都将平行。

【详解】B．根据上面分析以及本题所描述的情境可知，abcd内磁场区域的边界一定为以d为圆心、L为半径的四分之一圆弧，所以离子在磁场中做圆周运动的半径为L，故B正确；

AC．如图2所示，磁场区域的最小面积为图中阴影部分的面积，即磁场区域的最大面积为四分之一圆的面积，即故A错误，C正确；

D．当离子从c点射出时运动时间最长，为故选BC。